Chuỗi số lý thuyết và ví dụ

Chuỗi số
1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Giả sử {a
n
: n 1} là dãy số thực. Ngời ta gọi
chuỗi số
là biểu thức
a
1
+ a
2
+ + a
n
+ =


n=1
a
n
(1)
Với mỗi n N ta đặt
S
n
:= a
1
+ a
2
+ + a
n
(2)
Số a

n
đợc gọi là số hạng thứ n và S
n
đợc gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1).
Ta nhận xét rằng S
n+1
= S
n
+ a
n+1
, n 1.
Định nghĩa 1.1 Nếu dãy tổng riêng {S
n
: n 1} có giới hạn hữu hạn là S khi n thì
ta nói rằng chuỗi (1) là
hội tụ
và S đợc gọi là tổng của chuỗi. Khi đó ta viết
S =


n=1
a
n
.
Trờng hợp ngợc lại, ta nói rằng chuỗi (1) là
phân kỳ
.
Mệnh đề 1.2 Nếu chuỗi chuỗi (1) hội tụ thì a
n
0 (n ).

Chứng minh.
Ta có a
n
= S
n
S
n1
, n 2 , mà chuỗi (1) hội tụ nên khi n thì
S
n1
S và S
n
S , do đó a
n
S S = 0 (n ).2
Mệnh đề trên đây chính là điều kiện cần để chuỗi (1) hội tụ. Từ đây nếu a
n
0 khi
n thì chuỗi (1) phân kỳ. Chứng minh bằng một cách tơng tự (giải thích?) ta có kết
quả sau
Mệnh đề 1.3 Nếu chuỗi chuỗi (1) hội tụ thì
S
2n
S
n
= a
n+1
+ a
n+2
+ + a

2n
0 (n ).
Ví dụ 1.
Cho các chuỗi
1 + 1 + 1 + + 1 +
1 1 + 1 + (1)
n+1
+
Với chuỗi thứ nhất ta có S
n
= n (n ), nên chuỗi này phân kỳ.
Với chuỗi thứ hai ta có S
2n
= 0 và S
2n1
= 1, nên không tồn tại giới hạn của S
n
(n ),
do đó chuỗi này cũng phân kỳ.
1
Bài tập
1. Chứng minh rằng chuỗi


n=1
sin n
phân kỳ.
2. Tuỳ theo các giá trị của x R , hãy khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1 + x + x
2

+ + x
n
+
Ví dụ 2.
Ta thấy chuỗi
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ +
1
n(n + 1)
+ = 1
Thật vậy
S
n
=
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ +

1
n(n + 1)
=

1
1
2

+

1
2

1
3

+

1
3

1
4

+ +

1
n 1

1

n

= 1
1
n
.
Do đó lim
n
S
n
= 1.
Ví dụ 3.
Xét chuỗi điều hoà
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ +
1
n
+
Ta thấy
S
2n
S

n
=
1
n + 1
+
1
n + 2
+ +
1
2n
n.
1
2n
=
1
2
.
Do đó S
2n
S
n
0 khi n . Vậy theo mệnh đề 1.3 thì chuỗi này phân kỳ.
Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng với chuỗi điều hoà thì a
n
=
1
n
0 (n ). Đồng thời
S
n

+ (n ), nhng sự tăng này rất chậm (Euler đã tính đợc rằng S
1000000

14).
Ghi chú. L. Euler (15/04/1707 - 18/09/1783) là nhà toán học, cơ học, thiên văn học và vật lý học
nổi tiếng ngời Thuỵ Sỹ. Năm 1726 ông đến Nga làm việc theo lời mời của Viện hàn lâm khoa học
Peterburg và trở thành viện sỹ của Viện hàn lâm này từ năm 1733. Năm 1741 theo lời mời của nhà vua
Phổ Fredric II ông chuyển đến làm việc tại Berlin nhng vẫn giữ mối liên hệ mật thiết với nớc Nga.
Năm 1776 Euler quay trở lại Nga, sống và làm việc cho đến hơi thở cuối cùng tại đây.
2
Bài tập
3. Chứng minh rằng đối với chuỗi điều hoà ta có bất đẳng thức
0 < S
n
ln(n + 1) < 1 , n 1 .
Ví dụ 4.
Xét chuỗi điều hoà tổng quát
1 +
1
2

+
1
3

+
1
4

+ +

1
n

+ , R .
Đặt
S
n
() = 1 +
1
2

+
1
3

+
1
4

+ +
1
n

.
Với 1 ta có S
n
() S
n
(1) , thế mà theo ví dụ 3 thì S
n

(1) + (n ),
nên suy ra khi 1 chuỗi điều hoà tổng quát là phân kỳ. Ta sẽ chứng tỏ rằng với
> 1 chuỗi điều hoà tổng quát là hội tụ.
Trớc tiên với = 2 ta có
S
n
(2) = 1 +
1
2
2
+
1
3
2
+ +
1
n
2
< 1 +
1
1.2
+
1
2.3
+ +
1
(n 1)n
= = 2
1
n

< 2 .
Nh thế dãy {S
n
(2) : n 1} là dãy tăng và bị chặn trên, nên tồn tại giới hạn lim
n
S
n
(2).
Nếu 2 thì S
n
() S
n
(2), nên dãy {S
n
() : n 1} cũng là dãy tăng và bị
chặn trên, do đó tồn tại giới hạn lim
n
S
n
(). Vậy chuỗi điều hoà tổng quát hội tụ khi
2.
Công việc còn lại là xét trờng hợp 1 < < 2. Điều này dành cho bạn đọc, xem nh
là bài tập.
Gợi ý.
Có thể xét luôn một lúc trờng hợp > 1 bằng cách dùng định lý Lagrange cho
hàm f (x) = (x + n 1)
1
, x [0, 1] , dẫn tới bất đẳng thức
1
n

1
1

1
(n 1)
1

1
n
1

, n 2 .
Từ đó suy ra bất đẳng thức
S
n
() 1 +
1
1

1
1
n
1

<

1
.

3
Bài tập
4. Chứng minh rằng các chuỗi sau đây là hội tụ và tìm tổng của chúng
(a)


n=1
2n + 1
n
2
(n + 1)
2
, (b)


n=1
n
(2n 1)
2
(2n + 1)
2
,
(c)


n=1
1
(

n +

n + 1)

n(n + 1)
, (d)


n=1
1
4n
2
1
,
(e)


n=1
n

n
2
1

n(n + 1)
, (f)


n=1
1
n(n + m)

, m N .
5. Chứng minh rằng


n=1
n
3.5.7 (2n + 1)
=
1
2
.
Mệnh đề 1.4 (i) Giả sử rằng chuỗi


n=1
a
n
hội tụ và tổng của nó là S. Khi đó với bất
kỳ c R thì chuỗi


n=1
ca
n
hội tụ và tổng của nó là cS, tức là


n=1
ca
n

= c


n=1
a
n
.
(ii) Giả sử các chuỗi


n=1
a
n
,


n=1
b
n
hội tụ và tổng của chúng lần lợt là S
1
, S
2
. Khi
đó chuỗi


n=1
(a
n

+ b
n
) hội tụ và có tổng là S
1
+S
2
, tức


n=1
(a
n
+ b
n
) =


n=1
a
n
+


n=1
b
n
.
Chứng minh.
Rất đơn giản vì dựa vào định nghĩa dãy tổng riêng và sự hội tụ (giải thích?)
Định nghĩa 1.5 Cho chuỗi

n=1
a
n
, với mỗi m N ta xét chuỗi
a
m+1
+ a
m+2
+ + a
n
+ (3)
và gọi đó là chuỗi đuôi (hay chuỗi phần d) của chuỗi đã cho.
Khi chuỗi (3) hội tụ, ta ký hiệu tổng của nó là R
m
. Ta nhận thấy rằng nếu chuỗi đã cho
hội tụ với tổng là S, thì với bất kỳ m N chuỗi đuôi cũng hội tụ và S = S
m
+ R
m
,
đồng thời ta có R
m
0 (m ). Ngợc lại, nếu với một giá trị m N nào đó mà
chuỗi đuôi hội tụ, thì chuỗi đã cho cũng hội tụ.
Sau đây ta đa ra tiêu chuẩn Cauchy về điều kiện cần và đủ để một chuỗi là hội tụ.
Định lý 1.6 Để chuỗi (1) đã cho hội tụ thì điều kiện cần và đủ là > 0, N N sao
cho n N, p N thì |a
n+1

+ a
n+2
+ + a
n+p
| < .
4
Chứng minh.
Do tiêu chuẩn Cauchy đối với dãy {S
n
} (giải thích?)
Bài tập
6. Chứng minh rằng chuỗi sau là hội tụ
sin 1
2
1
2
+
sin 2
2
2
2
+
sin 3
2
3
2
+ +
sin n
2
n

2
+
2 Chuỗi dơng
Chuỗi số


n=1
a
n
với a
n
0, n 1 đợc gọi là chuỗi dơng (không âm).
Trớc tiên ta đa ra tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi dơng.
Định lý 2.1 Chuỗi dơng hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {S
n
: n 1} của nó bị
chặn.
Chứng minh.
Ta thấy ngay rằng dãy tổng riêng của chuỗi dơng là đơn điệu tăng (không
giảm), bởi vì ta có S
n+1
= S
n
+ a
n+1
S
n
, n 1.
Giả sử chuỗi dơng hội tụ. Khi đó dãy tổng riêng của nó hội tụ, suy ra dãy này bị
chặn.

Giả sử dãy tổng riêng bị chặn. Khi đó dãy tổng riêng này đơn điệu tăng và bị chặn nên
nó hội tụ, tức là chuỗi dã cho hội tụ.2
Bổ đề 2.2 Cho chuỗi dơng hội tụ và giả sử có dãy số {d
n
: n 1} sao cho
L > 0 : 0 d
n
L, n 1. Khi đó chuỗi sau đây hội tụ


n=1
d
n
a
n
(4)
Chứng minh.
Gọi S
n
và S

n
lần lợt là tổng riêng của chuỗi dơng và chuỗi (4) đã cho.
Theo định lý 2.1 ta có
S
n
S = lim
n
S
n

, n 1 .
Khi đó
S

n
=
n

k=1
d
k
a
k

n

k=1
La
k
= L
n

k=1
a
k
= LS
n
LS .
Đến đây do (4) là chuỗi dơng, nên nó hội tụ theo định lý 2.1 vừa nêu.2
Nhận xét.

Ta có thể thay điều kiện 0 d
n
L trong bổ đề trên bởi điều kiện |d
n
| L
thì kết luận của bổ đề vẫn đúng. Chứng minh bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Cauchy
(giải thích?)
5
Bài tập
7. Chứng minh sự hội tụ của các chuỗi sau đây
(a)


n=1
1
2

n
, (b)


n=1
n

n
n
2
, (c)

n=1
1
n
2

n + 1
n

n
.
8. Chứng tỏ rằng điều kiện bị chặn của dãy {d
n
} trong bổ đề 2.2 cũng còn là điều kiện
cần.
Tiếp theo ta đa ra các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dơng.
Mệnh đề 2.3 Cho các chuỗi (A) =


n=1
a
n
, (B) =


n=1
b
n
thoả mãn điều kiện
0 a
n

b
n
, n 1 . Khi đó nếu chuối (B) hội tụ thì chuỗi (A) hội tụ (cũng có
nghĩa là nếu chuỗi (A) phân kỳ thì chuỗi (B) phân kỳ).
Mệnh đề này thờng đợc gọi là dấu hiệu so sánh.
Chứng minh.
Giả sử chuỗi (B) hội tụ. Ta đặt
d
n
=



a
n
b
n
, nếu b
n
= 0
0 , nếu b
n
= 0
thì đợc 0 d
n
1 , d
n
b
n
= a

n
, n 1. Theo bổ đề 2.2 ta đợc điều cần chứng
minh.2
Ví dụ 5.
Xét chuỗi


n=1
n sin
1
n
3
.
Ta thấy rằng 0 < sin x < x , x (0,

2
) , nên 0 < n sin
1
n
3
<
1
n
2
. Thế mà chuỗi


n=1
1
n

2
là hội tụ (xem ví dụ 4), nên chuỗi đã cho hội tụ.
Ví dụ 6.
Xét chuỗi


n=1
sin
1
n
.
Ta thấy rằng sin x >
2

x , x (0,

2
) , nên sin
1
n
>
2

.
1
n
> 0 , n 1. Thế mà
chuỗi điều hoà là phân kỳ (xem ví dụ 3), nên chuỗi đã cho phân kỳ.
6
Kết luận của mệnh đề 2.3 vẫn đúng nếu N N sao cho 0 a

n
b
n
, n N , bởi
vì sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi có thể coi nh tơng đơng với sự hội tụ hay
phân kỳ của chuỗi đuôi của nó.
Ví dụ 7.
Xét chuỗi


n=1
(ln n)
3
n
2
.
Ta thấy (giải thích?)
(ln n)
3

n
0 (n )
nên N N sao cho n N thì
(ln n)
3

n
1
(ln n)
3

n
2

1
n
3/2
.
Thế mà chuỗi
n

n=1
1
n
3/2
là hội tụ (xem ví dụ 4), nên chuỗi đã cho hội tụ.
Bài tập
9. Chứng minh sự hội tụ của các chuỗi sau
(a)


n=1
1
n
ln

1 +
1
n

, (b)

n=1

1 cos
1
n

, (c)


n=1

n
n + 1

n(n+1)
.
Mệnh đề 2.4 Cho các chuỗi (A) =


n=1
a
n
, (B) =


n=1
b
n

thoả mãn điều kiện
a
n
> 0 , b
n
> 0 , n 1 . Giả sử rằng tồn tại (hữu hạn hoặc vô hạn) giới hạn sau
lim
n
a
n
b
n
= C , 0 < C < + .
Với C < + , nếu chuỗi (B) hội tụ thì chuỗi (A) hội tụ. Với C > 0 , nếu chuỗi (B)
phân kỳ thì chuỗi (A) phân kỳ. Nh vậy, khi 0 < C < + hai chuỗi (A) và (B) đồng
thời hội tụ hay phân kỳ.
Chứng minh.
Giả sử C < + và chuỗi (B) hội tụ. Đặt d
n
=
a
n
b
n
> 0 , n 1 thì


n=1
d
n

b
n
=


n=1
a
n
. Khi đó dãy {d
n
: n 1} có giới hạn hữu hạn là C, nên dãy này
bị chặn (0 < d
n
L, n 1). Theo bổ đề 2.2 ta suy ra chuỗi (A) hội tụ.
Giả sử C > 0 , khi đó lim
n
b
n
a
n
=
1
C
< + . Theo điều vừa chứng minh ta suy ra nếu
chuỗi (A) hội tụ thì chuỗi (B) hội tụ, tức là nếu chuỗi (B) phân kỳ thì chuỗi (A) phân
kỳ. Vậy ta đợc nốt phần còn lại của mệnh đề.2
7
Ví dụ 8.
Cho > 0 , xét chuỗi

n=1
(

n
2
+ 1 n)

.
Ta có (giải thích?)


n=1
(

n
2
+ 1 n)


1
2

.
1
n

(n ) ,
do đó

n=1
(

n
2
+ 1 n)

1
n


1
2

(n ) .
Đến đây do chuỗi điều hoà tổng quát đã đợc xét (xem ví dụ 4), ta suy ra chuỗi đã cho
phân kỳ khi 1 và hội tụ khi > 1 .
Ví dụ 9.
Chứng minh rằng

n
:= 1 +
1
2
+
1
3
+ +
1

n
ln n (n ) ,
trong đó 0, 577215 là hằng số Euler. Một điều thú vị là từ trớc đến nay ngời
ta cha biết có phải là số vô tỷ hay không.
Thật vậy, ta có

n
= 1 +

1
2
ln
2
1

+

1
3
ln
3
2

+ +

1
n
ln
n
n 1

chính là tổng riêng của chuỗi
1 +


n=2

1
n
ln
n
n 1

.
Thế mà ta thấy (giải thích?)
1
n
ln
n
n 1

1
2n
2
(n ) .
Bài tập
10. Giả sử [, ] R . Với những giá trị , nào thì chuỗi sau hội tụ


n=1

n

arctan n

?
11. Chứng minh rằng chuỗi sau đây hội tụ
1
2 ln 2
+
1
3 ln 3
+ +
1
n ln n
ln ln n : n 2} .
8
Mệnh đề 2.5 Cho các chuỗi (A) =


n=1
a
n
, (B) =


n=1
b
n
thoả mãn điều kiện
a

n
> 0 , b
n
> 0 ,
a
n+1
a
n

b
n+1
b
n
, n 1 .
Khi đó từ sự hội tụ của chuỗi (B) suy ra sự hội tụ của chuỗi (A) .
Chứng minh.
Giả sử chuỗi (B) hội tụ. Ta đặt
d
n
=
a
n
b
n
> 0 , n 1 .
Do
a
n+1
a
n

b
n+1
b
n
nên
d
n+1
=
a
n+1
b
n+1

a
n
b
n
= d
n
d
n+1
d
1
, n 1 .
Nh vậy dãy {d
n
: n 1} bị chặn 0 < d
n
d

1
. Khi đó theo bổ đề 2.2 thì chuỗi


n=1
d
n
b
n
=


n=1
a
n
là hội tụ.2
Ví dụ 10.
Chứng minh sự hội tụ của chuỗi


n=1
n
n2
e
n
.n!
.
Thật vậy, với n 1 ta có
a
n+1

a
n
=
(n + 1)
n1
e
n
n!
n
n2
e
n+1
(n + 1)!
=
1
e
.

1 +
1
n

n2
<

n
n + 1

2
=

1
(n+1)
2
1
n
2
=
b
n+1
b
n
, b
n
=
1
n
2
.
Bài tập
12. Chứng minh sự hội tụ của các chuỗi sau
(a)


n=1
n
2
3
n
, (b)

n=1
(n!)
2
(2n)!
.
13. Chứng minh rằng chuỗi


n=1
n
n
e
n
n!
phân kỳ.
14. Cho chuỗi dơng hội tụ


n=1
a
n
. Chứng minh sự hội tụ của các chuỗi sau
(a)

a
1
a
2
+

a
2
a
3
+ +

a
n
a
n+1
+
(b)

a
1
1
+

a
2
2
+ +

a
n
n
+
9
3 Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi

3.1 Tiêu chuẩn D

Alembert
Định lý 3.1 (Tiêu chuẩn thứ nhất). Cho chuỗi (A) =


n=1
a
n
thoả mãn
1) a
n
> 0 , n 1
2) , 0 < 1 , n
0
N :
a
n+1
a
n
, n n
0
Khi đó chuỗi (A) hội tụ.
Nếu với điều kiện 1) và 2

) n
0
N :
a
n+1

a
n
1 , n n
0
, thì chuỗi (A) phân kỳ.
Chứng minh.
Với điều kiện 2) thì n n
0
ta có
a
n+1
a
n
=

n+1

n
=
b
n+1
b
n
, b
n
=
n
.
Thế mà chuỗi

n=1
b
n
=


n=1

n
là hội tụ, nên theo mệnh đề 2.5 chuỗi (A) hội tụ.
Còn nếu với điều kiện 2

) thì ta có a
n+1
a
n
> 0 , n n
0
, nên a
n
0 khi
n . Do đó trong trờng hợp này chuỗi (A) phân kỳ.2
Định lý 3.2 (Tiêu chuẩn thứ hai). Cho chuỗi (A) =


n=1
a
n
thoả mãn

1) a
n
> 0 , n 1
2) lim
n
a
n+1
a
n
= r , 0 r +
Khi đó chuỗi (A) hội tụ nếu r < 1 , phân kỳ nếu r > 1 .
Chứng minh.
Đây là hệ quả của định lý 3.1 (giải thích?)
Ví dụ 11.
Xét chuỗi
1 + x +
x
2
2!
+
x
3
3!
+ +
x
n
n!
+ , x 0 .
Ta có
a

n+1
a
n
=
x
n+1
n!
x
n
(n + 1)!
=
x
n + 1
0 (n ) .
Do đó theo định lý 3.2 thì chuỗi đã cho hội tụ.
10
Ghi chú. J.L. DAlembert (16/11/1717 - 29/10/1783) là nhà toán học, cơ học, vật lý, triết học và là một
nhà bác học có ảnh hởng rộng lớn ngời Pháp. Ông là viện sỹ Viện hàn lâm khoa học Paris từ năm
1741.
Bài tập
15. Chứng minh sự hội tụ của các chuỗi sau đây
(a)


n=1
3
n
(n!)
2
(2n)!

, (b)


n=1
7
n
(n!)
2
n
2n
.
3.2 Tiêu chuẩn Cauchy
Định lý 3.3 (Tiêu chuẩn thứ nhất). Cho chuỗi (A) =


n=1
a
n
thoả mãn
1) a
n
0 , n 1
2) , 0 < 1 , n
0
N :
n

a
n
, n n

0
Khi đó chuỗi (A) hội tụ.
Nếu với điều kiện 1) và 2

)
n

a
n
1 với vô hạn chỉ số n , thì chuỗi (A) phân kỳ.
Chứng minh.
Với điều kiện 2) thì n n
0
ta có a
n

n
. Thế mà chuỗi


n=1

n
hội
tụ, nên theo mệnh đề 2.3 (dấu hiệu so sánh) ta suy ra chuỗi (A) hội tụ.
Còn nếu với điều kiện 2

) thì ta có a
n
1 với vô hạn chỉ số n , nên (giải thích?)

a
n
0 khi n . Do đó trong trờng hợp này chuỗi (A) phân kỳ.2
Định lý 3.4 (Tiêu chuẩn thứ hai). Cho chuỗi (A) =


n=1
a
n
thoả mãn
1) a
n
0 , n 1
2) lim
n
n

a
n
= r , 0 r +
Khi đó chuỗi (A) hội tụ nếu r < 1 , phân kỳ nếu r > 1 .
Chứng minh.
Đây là hệ quả của định lý 3.3 (giải thích?)
Ví dụ 12.
Xét chuỗi


n=1
n
n

2
2
n
(n + 1)
n
2
.
11
Ta thấy
n

a
n
= 2

n
n + 1

n

2
e
< 1 (n ) .
Do đó theo định lý 3.4 thì chuỗi đã cho hội tụ.
Ghi chú. Bá tớc O.L. Cauchy (21/08/1789 - 23/05/1857) là nhà toán học nổi tiếng ngời Pháp. Ông là
viện sỹ Viện hàn lâm khoa học Paris từ năm 1816.
Bài tập
16. Chứng minh sự hội tụ của các chuỗi sau đây
(a)

n=1
n
3
2
n
, (b)


n=1
3
n
(ln n)
n
.
17. Cho dãy số {a
n
> 0 : n 1} thoả mãn lim
n
a
n+1
a
n
= r .
Chứng minh rằng lim
n
n

a
n

= r .
Hãy chỉ ra ví dụ chứng tỏ rằng điều ngợc lại không đúng.
12