Tìm hiểu các ứng dụng của số liệu thống kê theo cuốn sách Discovering Advanced Algebra

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

BÀI TẬP NHÓM
Đ TÀI:
TÌM HIỂU CÁC ỨNG DỤNG CỦA SỐ LIỆU THỐNG KÊ
THEO CUỐN SÁCH DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA
Thành viên nhóm 7: 1. Nguyễn Thị Hồng Nhiên
2. Nguyễn Thị Thế Nhân
3. Hồ Thị Thuý
4. Nguyễn Thị Nhựt
MỤC LỤC
Lời mở đầu
Ngày nay thống kê là một trong những công cụ không thể thiếu trong
hoạt động nghiên cứu, công tác thực tiễn , quản lý vĩ mô quan trọng, cung cấp
các thông tin thống kê trung thực, khách quan đầy đủ, chính xác, kịp thời trong
công việc đánh giá , dự báo tình hình, hoạch định chiến lược, chính sách xây
dựng kế hoạch phát triển kinh tế - xã hội và đáp ứng nhu cầu thông tin thống kê
của sinh viên, nhà quản lý, nhà nghiên cứu,nhà điều hành và mỗi cá nhân.
Để hiểu rõ hơn về những ứng dụng của thống kê chúng ta sẽ khám phá
chương 13 của sách “Discovering Advanced Algebra - Khám phá đại số nâng
cao”.
Chương 13 được xây dựng với những ứng dụng thống kê trong kinh tế
-xã hội và các ví dụ gần gũi,thực tế,các ứng dụng trong cuộc sống hằng ngày. Để
thuận tiện cho bạn đọc giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau nhưng đơn
giản và hiệu quả, tác giả đã đưa ra những nhiều ví dụ minh họa cho những
trường hợp cụ thể ,với những con số các số liệu được sắp xếp trong bảng biểu,
hay những đồ thị biểu diễn những dữ liệu đó.Theo các trình tự khoa học, đầu
tiên là đưa ra giả thuyết,sau đó dẫn dắt người đọc tìm hướng giải quyết giả
thuyết và cuối cùng là đưa ra kết luận tổng thể về mối quan hệ giữa các

biến,cách tính hệ số tương quan,độ lệch chuẩn,phân phối chuẩn Với mục đích
thống kê được dùng để nhận ra và hiểu các biến thể có hệ thống khi đo lường
các hiện tượng kinh tế - xã hội để tóm tắt dữ liệu và đưa ra quyết định dựa trên
dữ liệu. Và đặc biệt trong chương này bạn có một lượng bài tập ôn tập khá lớn
giúp cho bạn ôn luyện kĩ năng sau khi được giới thiệu lí thuyết trước đó và
những ứng dụng trong đời sống thực tiễn.
Trong bài thu hoạch này,nội dung chính gồm ba chương:
Chương 1:Giới thiệu về tác giả và tóm tắt nội dung sách Discovering
Advanced Algebra
Chương 2:Nội dung chương 13 ứng dụng của số liệu thống kê
Chương 3: Kết luận.
Hi vọng các bạn sẽ khám phá ra nhiều điều thú vị và bổ ích về ứng dụng
của thống kê để góp phần nâng cao hiệu quả trong hoạt động nghiên cứu, công
tác thực tiễn và quản lý .
CHƯƠNG I: Giới thiệu về tác giả và tóm tắt nội dung sách Discovering
Advanced Algebra
1. Giới thiệu tác giả
Tác gỉa Jerald Murdock, Ellen và Eric Kamischke bắt đầu làm việc cùng
nhau tại Interlochen Arts Academy ở Interlochen, Michiguan. Họ bắt đầu làm
việc với học trò của mình bằng cách sử dụng dữ liệu thực tế và thực hành thí
nghiệm. Kết quả này đã được công bố bởi nhà xuất bản Key Curriculum Press
qua các cuốn sách như Advanced Algebra through data exploration: A graphing
Calculator Approach sau đó sửu đổi thành Discovering Advanced Algebra: An
Investygative Approach.
Jerald Murdock đã được tổng thống Awardee For excellence trao giải xuất
sắc ở viện toán học và là ủy viên Woodrow wilson. Ông đã giảng dạy trong cả
hai trường trung học công và tư. ông còn là một diễn gia giàu kinh nghiệm và
một nhà lãnh đạo hội thảo Ellen Kamischke có bằng cử nhân về toán học và vật
lý. Cô rất thích tìm cách để kết hợp tranh ảnh trong giảng dạy của mình. Cô ấy
là một nhà lảnh đạo hội thảo và thuyết trình tại hội nghị toán học khu vực và

quốc gia về các chủ đè khác nhau, từ văn bản trong toán học đại số và giải tích.
Eric Kamischke cũng là ủy viên Woodrow wilson. Một giáo viên hóa học trước
đây. Một chuyên gia vê công nghệ trong lớp học và sử dụng nó để điếu tra
phòng thí nghiệm trong giảng dạy toán học của mình và trong bài thuyết minh
của mình cho giáo viên.
2. Tóm tắt nội dung sách Discovering Advanced Algebra:
2.1 Khái quát chung
Cuốn sách của 3 tác giả Jerald Murdock, Ellen và Eric Kamischke được
xuất bản vào tháng 8 năm 2003. Sách gồm 14 chương từ 0 đến chương 13 chủ
yếu trình bày về đại số.
Nội dung các chương như sau:
Chương 0: Giải quyết vấn đề
Chương 1: Các mô hình và phép truy hồi
Chương 2: Mô tả dữ liệu
Chương 3: Các mô hình và hệ thống tuyênd tính
Chương 4: Hàm số, mối tương quan và cac phép biến đổi
Chương 5: Các hàm số mũ, lũy thừa logarit
Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính
Chương 7 : Hàm bậc hai và các hàm đa thức khác
Chương 8: Phương trình tham số và lượng giác.
Chương 9: Các đường conic và hàm số hữu tỉ
Chương 10: Hàm số lượng giác
Chương 11: Chuỗi số
Chương 12: Xác suất
Chương 13: Các ứng dụng của thống kê.
Trong mỗi chương sẽ giới thiệu cho chúng ta nhiều khái niệm, định nghĩa,
định lý, tính chât cơ bản trong đại số và có nhiều ví dụ minh họa, Bài tập áp
dụng rất thực tế.
2.2 Khái quát nội dung chương 13 trong sách Discovering Advanced
Algebra

Chương 13 của sách đề cập dến các ứng dụng của thống kê. Nội dung
chính của chương này gồm 7 bài:
Bài 13.1: Phân bố xác suất
Bài 13.2: Phân phối chuẩn
Bài 13.3: Giá trị z và khoảng tin cậy
Bài 13.4: Định lý phân phối trung bình
Bài 13.5: Dữ liệu hai chiều và sự tương quan
Bài 13.6: Đường bậc hai bé nhất
Bài 13.7: Phi tuyến tính hồi quy
Mở đầu mỗi bài đều có các hoạt động tình huống cụ thể gợi mở vấn đè
giúp bạn đọc tự khám phá, tìm tòi ra kiến thức. Cuối mỗi bài đều có phần bài tập
thực hành và vận dụng kiến thức đã học được.
Bài thu hoạch này tập trung giới thiệu chương 13 của sách. Dưới đây là
nội dung chính chương 13 của sách Discovering Advanced Algebra
Chương II:
NỘI DUNG CHƯƠNG 13 TRONG SÁCH
ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ
Bức tranh này (1990) được vẽ bởi nghệ sĩ sinh ra ở Nhật Bản tạo một “ đám
đông” của khuông mặt. Trong chương này chúng ta sẽ khám phá dữ liệu số về
dân số có thể được đại diện bằng một vài số tóm tắt. Bạn cũng sẽ tìm hiểu dữ
liệu về một nhóm nhỏ nhưng ngẫu nhiên của dân số có thể dẫn đến những khái
quát giá trị về toàn bộ dân số.
MỤC TIÊU
Trong chương này bạn sẽ
• Tìm hiểu phương pháp để dự đoán dân số dựa trên một mẫu ngẫu nhiên.
• Tìm ra sự kết hợp giữa số liệu thống kê của một mẫu và các thông số của toàn
bộ dân số.
• Nghiên cứu sự phân phối dân số, bao gồm cả phân phối chuẩn.
• Các hàm phù hợp dữ liệu và đưa ra dự đoán sử dụng ít nhất các đường hình
vuông và các phương trình hồi quy khác.

BÀI 13.1: PHÂN BỐ XÁC SUẤT
Sẽ có một ngày suy luận thống kê là cần thiết cho công dân giống như khả
năng đọc và viết.
“Tôi đã làm một cuộc khảo sát và 22% trẻ em trong ngôi trường này có đôi
mắt màu xanh, vì thế 22% dân số quanh khu vực này phải có đôi mắt màu xanh”
Sean tuyên bố. “Chính xác 22%?” Yiscah hỏi.
Một trong những ứng dạng chính của thống kê là để tìm hiểu về một tập
hợp rộng lớn, chẳng hạn như dân cư của một thành phố, bằng cách nhìn vào tập
hợp nhỏ hơn, chẳng hạn như học sinh trong một trường. Tập hợp lớn được gọi
là dân số, và tập hợp nhỏ hơn là một mẫu của dân số.
Các con số tương ứng mô tả toàn bộ dân số được gọi là thông số
Khi bạn kiểm tra xác xuất trong chương 12. Bạn sử dụng các biến ngẫu
nhiên rời rạc. Các dữ liệu có giá trị nguyên, chẳng hạn như 5 cái đầu, 3 cái đuôi,
hoặc 454 học sinh. Tuy nhiên đôi khi dữ liệu có thể đưa vào bất kì giá trị thực
trong một khoảng nào đó. Nó được đại diện bởi một biến ngẫu nhiên liên tục.
Bạn có thể nói rằng tất cả mọi người là 15 hoặc 16 tuổi, nhưng thực sự không có
ai chinhs xác 16, bởi vì một người là chính xác 16 chỉ tại một khoảng khắc. Tuổi
của bạn là biến liên tục, và có vô hạn lứa tuổi.
I. Điều tra:
1. Độ dài bút chì
Bạn sẽ cần: Thước đo (cm), bút chì, giấy kẻ ô vuông.
Trong điều tra này, bạn sẽ khám phá sự khác biệt giữa biến ngẫu nhiên rời
rạc và liên tục.
Bắt đầu bằng cách thu thập tất cả bút chì mà nhóm bạn có.
• Bước 1: Đo bút chì của bạn chính xác đến một phần mười của một cm. Trước
khi bạn chia sẽ dữ liệu với các nhóm khác, dự đoán hình dạng của một biểu đồ
của lớp dữ liệu.
• Bước 2: Chia sẽ tất cả các phép đo để lớp có một tập hợp các dữ liệu. Trên giấy
vẽ đồ thị, vẽ một biểu đồ với các cột đại diện cho một cm gia tăng trong chiều
dài bút chì.

• Bước 3: Chia tổng số bút chì cho mõi cột của bút chì. Làm mới biểu đồ, sử dụng
các thương số như các giá trị trên trục y.
• Bước 4: Kiểm tra rằng diện tích biểu đồ thứ hai của bạn là một. Tại sao điều này
phải đúng ?
• Bước 5: Hãy tưởng tượng rằng bạn thu thập càng nhiều bút chì và vẽ một biểu
đồ sử dụng phương pháp mô tả trong bước 3. Phác họa biểu đồ của nhiều bút chì
có chiều dài vô hạn sẽ trông như thế nào. Đưa ra lí do cho câu trả lời của bạn.
• Bước 6: Hãy tưởng tượng làm một cuộc khảo sát rất đầy đủ và chính xác của tất
cả các bút chì trên thế giới. Giả sử rằng sự phân bố đó giống như sự phân bố bút
chì trong mẫu của bạn. Cũng giả sử rằng bạn sử dụng vô số cột rất hẹp.
Để gần đúng ý tưởng này, phác thảo trên đầu biểu
đồ của bạn một đường cong trơn, như hình bên phải. Làm
cho khu vực giữa đường cong và trục hoành giống như
khu vực của biểu đồ. Chắc chắn rằng khu vực thêm được
bao bọc bởi đường cong trên biểu đồ giống như khu vực cắt đứt các góc của cột
như bạn mịn ra hình dạng.
• Bước 7: Đặt ít làm chiều dài của bút chì. Sử dụng biểu đồ trong bước 6 để ước
tính diện tích của các khu vực khác nhau giưa đường cong và trục x, thỏa mãn
các điều kiện
a. x < 10
b. 11 < x <12
c. x > 12.5
d. x = 11
2. Biểu đồ bạn vẽ trong bước 3 của cuộc điều tra, đưa ra các tỉ lệ của bút chì trong
các cột, là một biểu đồ tần số tương đối. Nó cho thấy tỉ lệ của giá trị của một
biến ngẫu nhiên rời rạc chứa trong mõi cột. Đường cong liên tục bạn đã vẽ trong
bước 6 sấp xỉ một biến ngẫu nhiên liên tục của tập vô hạn
VÍ DỤ A: Một máy phát điện số chọn một số ngẫu
nhiên từ 0 – 6 theo phân bố xác suất bên phải. Bởi vì số
ngẫu nhiên có thể nhận một giá trị nào của x với 0

≤
x
≤
6,
đồ thị là một đồ thị liên tục. Tìm xác suất để chọn được một
số là:
a. Bé hơn 2
b. Giữa 2.5 và 3.5
c. Lớn hơn 4
GIẢI
Đầu tiên lư ý rằng khu vực bóng mờ cho toàn bộ phân phối có diện tích là
1, để tìm xác suất của một tập hợp các kết quả, tìm diện tích của khu vực tương
ứng với nó
a. Khu vực giữa 0 và 2 là một hình chư nhật với chiều rộng 2 chiều dài 2. Diện tích
của nó là 2.2, hoặc 4. Vì thế xác suất chọn ngẫu nhiên được một số giữa 0 và 2
là 4.
b. Khu vực giữa 2.5 và 3.5 là một hình chữ nhật với chiều rộng 1 và chiều dài 2.
Diện tích của nó là 2. Vì thế xác suất là 2 để chọn ngẫu nhiên được một số giữa
2.5 và 3.5.
c. Khu vực giữa 4 và 6 là một tam giác với chiều rộng là 2 và chiều cao là 2. Diện
tích của tam giác là 2. Vì thế xác suất là 2.
Trong chương 2 bạn đã được tìm hiểu 3 phương pháp trọng tâm đẻ mô tả
một tập dữ liệu có ý nghĩa, trung bình và mode. Với một phân bố xác suất bạn
không có một tập hữu hạn các dữ liệu. Vì thế những thống kê phải được xác
định và tính toán theo những cách hơi khác nhau.
II. Các đại lượng cơ bản của phân bố xác suất.
• Mode (yếu vị ) : Giá trị hoặc những giá trị mà tại đó đồ thị đạt giá trị lớn nhất
của nó.
• Trung bình: Số d sao cho đường x = d chia khu vực trên thành 2 phần với diện
tích bằng nhau.

• Kì vọng (giá trị trung bình): trung bình cộng của gía trị xác suất. Vì thế, hoành
độ của trọng tâm, hoặc điểm cân bằng của khu vực cũng là giá trị trung bình.
1. VÍ DỤ B:
Một số lượng lớn người dân được yêu cầu hoàn
thành một câu đố. Thời gian làm của mõi người được
ghi nhận.Các dữ liệu thể hiện trong đồ thị phân bố xác
suất bên phải, với thời gian dao động giữa 0 và 8 giây.
a. Tim mode
b. Tìm trung bình
c. Tìm giá trị trung bình (kì vọng)
Giải
Chú ý rằng khu vực bóng mờ có diện tích bằng 1.
a. Yếu vị là hoành độ của điểm cao nhất, 2 giây.
b. Tìm đường thẳng đứng mà chia tam giác trên thành hai khu
vực, mõi khu vực có diện tích là 0.5. Một vài thử nghiệm
cho thấy trung bình khoảng 3 s. Tam giác nhỏ hơn có cạnh đáy là 5 và chiều
cao khoảng 2.
A ~ 0.5 x 5 x 0.2 ~ 0.5
Vì thế khoảng một nửa diện tích của tam giác nhỏ hơn nằm sau 3. Để tính
chính xác trung bình, bạn ó thể dùng phương trình của các đường hình thành
ranh giới của khu vực. Phương trình của đường thẳng đi qua (2, 0.25) và (8, 0)
là y = -(x -8)/24. Dùng phương trình này để tìm gái trị của trung bình, d, vì thế
diện tích tam gaics bên phải ó trung bình là 0.5.
A = 0.5bh = 0.5(8 – d)[-(d – 8)/24]
0.5 = 0.5(8 – d)[-(d – 8)/24]
1 = -(- d^2 -16d – 64)/24
- 24 = - d^2 -16d – 64
- d^2 -16d – 40 = 0
d ~ 3.101, 12.899


 !
"#$%
&'()!*+
,*+-#.
/-,012
3,456"78197.

:;<=.8>'"
Gía trị thứ 2 là bên ngoài của miền xác định, vì vậy trung bình của phân
phối là khoảng 3.101.
c. Bằng cách cắt ra hình tam giác và cân bằng nó trên đầu tẩy của 1 bút chì, bạn có
thể nhận được một ước lượng khá tốt mà giá trị trung binh là 3.33 in.
III. BÀI TẬP
???@ Trả lời các bài tập 1-4 ở trang 729 cho mỗi phân phối dưới đây.
1. Tìm chiều cao của hộp lưới trên trục y để diện tích là 1.
2. Tìm xác suất mà một giá trị được chọn ngấu nhiên sẽ nhỏ hơn 3.
3. Ước tính trung bình.
4. Ước tính giá trị trung bình.
???1 Giả sử mõi người trong lớp bạn lựa chọn một bộ 4 số từ 1 đến 8
(cho phép lặp đi lặp lại) và mỗi người tính toán giá trị trung bình
của tập hợp của mình.
a. phát thảo một biểu đồ có thể có của các giá trị trung bình. Giải thích lí
do cho biểu đồ của bạn.
b. Dựa vào biểu đồ của bạn, ước tính giá trị trung bình và trung bình của
phân phối của bạn.
3.3 12. bảng này liệt kê các lứa tuổi của Chủ tịch và Phó Chủ tịch của Hoa
Kì khi lần đầu tiên họ nhận chức.
President Tuổi
Washington 57
J. Adams 61

Jefferson 57
Madison 57
Monroe 58
J. Q. Adams 57
Jackson 61
Van Buren 54
W. Harrison 68
Tyler 51
Polk 49
Taylor 64
Fillmore 50
Pierce 48
Buchanon 65
Lincoln 52
A Johnson 56
Grant 46
Hayes 54
Garfield 49
Arthur 50
Cleveland 47
B Harrison 55
President
Mckinley
T. Rốevelt
Taft
Wilson
Harding
Coolidge
Hoover
F. D. Roosevelt

Truman
Eisenhower
Kennedy
L. B. Johnson
Nixon
Ford
Carter
Reagan
G. H. W. Bush
W. Clinton
G. W. Bush
Phó tổng thống Tuổi
J. Adams 53
Jefferson 53
Burr 45
G. H. Clinton 65
Gerry 68
Tompkins 42
Calhoun 42
Van Buren 50
R. M. Johnson 56
Tyler 50
Dallas 52
Fillmore 49
King 66
Breckinridge 36
Hamlin 51
A. Johnson 56
Colfax 45
Wilson 61

Wheeler 56
Arthur 51
Hendricks 65
Morton 64
Stevenson 57
Phó tổng thống
Hobart
T. Roosevelt
Fairbanks
Sherman
Marshall
Coolidge
Dawes
Curtis
Wallace
Truman
Barkley
Nixon
L. B. Johnson
Humphrey
Agnew
Ford
Rockefeller
Mondale
G. H. W. Bush
Quayle
Gore
7 Cheney
a. Nhập dữ liệu của hai danh sách vào máy tính riêng của bạn và tính giá trị trung
bình, độ lệch chuẩn, s, trung bình và IQR của mõi danh sách. So sách các dữ liệu

được thiết lập dựa trên các thống kê này.
b. Vẽ một biểu đồ cho mõi tập dữ liệu. sử dụng cùng một phạm vi và kích cỡ cho
mõi đồ thị. Mô tả cách thức biểu đồ phản ánh số liệu thống kê cho mỗi bộ dữ
liệu.
c. Tính toán cho mỗi muc và tạo ra hai danh sách mới để chuyển đổi các lứa tuổi
trong danh sách thành một quy mô tiêu chuẩn hóa ( dịch lại)
d. Vùng biến thiên của các gía trị trong mỗi bản phân phối là gì? Giải thích những
đại diện của phân phối mới.
e. Vẽ biểu đồ cho mỗi tiêu chuẩn hóa. Sử dụng miền – 3.5 ≤ x ≤ 3.5.
f. So sánh và mô tả các đồ thị.
A2 giả sử bạn tung 1 cặp xúc sắc cân xứng 5 lần. Xác suất để tổng là 8 ít nhất 3
lần?
BÀI 13.2: PHÂN PHỐI CHUẨN
Trong chương 12 bạn đã tìm hiểu phân phối nhị thức, (p + q), cho biến ngẫu
nhiên rời rạc. Số các phép thử được đại diện bởi n, và p và q đại diện chỉ đại
diện cho haikeets quả của mỗi ặ kiện. Trong bài này bạn sẽ khám phá ra một số
tính chất của phân phối xác suất.
I. Điều tra
1. Cái chuông
Xét số đầu, x, khi 15 đòng xu cân xứng được tung cùng một lúc. Phân phối
xác suất, P(x), là một phân phối nhị thức, bởi vì có chính xác hai kết quả có thể
cho mỗi lần tung là đầu hoặc đuôi.
• Bước 1: Phân phối xác suất nhị thức cho thử nghiệm này là p
là xác suất xuất hiện dầu cho mỗi lần tung đồng xu. Tạo một bản tính cho hàm
này với mục bảng tạo giá trị nguyên của x từ 0đến 15. Bạn nên dùng giá trị nào
cho p?. Gái trị của x cho P(x) đạt gái trị lớn nhất.
• Bước 2: Tạo hai danh sách, L1 và L2. Các mục trong danh sách L1 nên chứa tất
cả các giá trị có thể xẩy ra của x. Nhập các giá trị tương ứng của P(x) trong danh
sách L2. Bạn có thể thực hiện nhanh bằng cách xác định L2 như sự bieeur diễn
của Y1 (L1). Hoàn thành bản dưới đây. Tổng các giá trị trong danh sách 2 là bao

nhiêu? Tại sao câu trả lời này có ý nghĩa?
Đầu 0 1 2 15
P(x)
• Bước 3: Tạo ra một biểu đồ tần số tương đối cho thấy sự phân bố của đầu. Sử
dụng danh sách 2 như tần số. Mô tả hình dạng và vùng gái trị của biểu đồ. Giá
trị lớn nhất là bao nhiêu?
• Bước 4: vẽ đồ thị P(x) sử dụng cửa sổ với miền xác định quen thuộc, chẳng hạn
như [0,18.8, 1, -0.01, 0.25, 0.1]. Bạn có thể bậc chế độ ẩn các trục để thấy tất cả
các điểm. Giá trị nào của x để hàm số xác định? Viết một mô tả ngắn gọn cho
biểu đồ. Bao gồm hình dạng và ước tính của bạn cho mode, trung bình, và giá trị
trung bình của phân phối.Làm thế nào đẻ biểu đồ này khác với biểu đồ trong
bước 3?
• Bước 5: vẽ đồ thị sử dụng một cửa sổ với miền xác định
quen thuộc, chẳng hạn như [0, 47, 1, -0.01, -0.25, 0.1]. Những thử nghiệm lý
thuyết này mô tả phương trình nào?. Một lần nũa, viết mô tả ngắn gọn cho biểu
đồ bao gồm hình dạng, tập xác định và vùng giá trị, và ước tính của bạn cho
mode, trung bình và giá trị trung bình của phân phối. So sánh đồ thị này với đồ
thị trong bước 4.
• Bước 6: Nhập các giá trị được xác định của x và P(x) trong các danh sách L1 và
L2. Sau đó tìm giá trị tủng bình và đọ lệch chuẩn của phân phối.[ Xem Lưu ý
tính 2B để hiểu làm thế nào để tìm số liệu thống kê của bảng tần số.]
• Bước 7: Nếu số đồng tiền tăng lên. Câu trả lời cho bước 6 và 7 có thay đổi
không? Viết dự đoán của bạn và sau đó xác minh chúng.
Như tăng lên càng lớn, phân phối nhị thức trông càng giống đường cong
liên tục hình chuông bên phải. Sự phân phối dân số lớn có
hình dạng này. Chiều cao, kích thước quần áo và những
điểm kiểm tra là một vài ví dụ. Trong thực tế đường cong
hình chuông rất phổ biến, nó được gọi là đường cong chuẩn, và phân phối hình
chuông được gọi là phân phối chuẩn.
Các đường cong chuẩn thường phân phối của một mẫu hay toàn bộ dân

số. Bạn có thể sử dụng x và s để đại diện cho giá trị trung bình và độ lệch chuẩn
của một mẫu, nhưng bạn sử dụng muy và sigma ( phát âm là “mew” và “sigma”)
để đại diện cho giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của toàn bộ dân số.
Trong chương này bạn sẽ thấy một số tính chất của phân phối chuẩn.
Phương trình tổng quát của một đường cong phân phối chuẩn có dạng y=. Nếu
bạn vẽ đồ thị hàm số y =, bạn sẽ có dd]ơcj một đường conh hình chung đối xứng
qua trục thẳng đứng. Để mô tả một phân phối đặc biệt của dữ liệu, bạn dịch các
đường cong theo chiều ngang được tập trung tại giá trị trung bình của dữ liệu, và
bạn căng nó theo chiều ngang để phù hợp với độ lệch chuẩn của dữ liệu. Sau đó,
bạn thu nhỏ nó theo chiều dọc để diện tích là một. Các bước này được thể hiện
qua đồ họa dưới đây. Bạn sẽ muốn bắt đầu với một hàm gốc có độ lệch chuẩn là
một.
Hàm gốc của phân phối xác suất có độ lệch chuẩn là một, và được gọi là
phân phối chuẩn chính tắc để đáp ứng các điều kiện của phân phối chuẩn chính
tắc, các nhà thống kê đã sử dụng toán học tiên tiến để xác định các giá trị của a
và b trong phương trình y =. . Gía trị của a liên quan đến số
π
.
a =
π
2
1
≈
0.399
Giá trị của b liên quan đến một hằng số toán học thông thường, số siêu
việt e.
b =
e

≈

1.649
Máy tính cho phép bạn làm việc với những con số khá dễ dàng
2. Ví dụ
Một nhóm học sinh căng 500 đồng xu Mĩ họ nhaqanj ra rằng những đống
xu có cân nặng được phân phối chuẩn với một giá trị trung bình là 3.1gam và độ
lệch chuẩn là 0.14g.
a. Sử dụng máy tính của bạn để tạo ra một đồ thị cho đường cong chuẩn này.
b. Xác suất mà một đồng xu được chọn ngẫu nhiên có cân nặng giữa 3.2 và 3.4g là
bao nhiêu?
c. Xác suất mà một đồng xu được chọn ngẫu nhiên có cân nặng lớn hơn 3.3g là
bao nhiêu?
d. Xác suất mà cân nặng của một đồng xu sẽ nằm giữa một độ lệch chuẩn của giá
trị trung bình? Hai độ lệch chuẩn của giá trị trung bình? Ba độ lệch chuẩn của
giá trị trung bình?
Giải
Giá trị trung bình là 3.1 và độ lệch chuẩn là 0.14g
a. Bạn có thể vẽ độ thị đường cong xác suất sử dụng n( x, 3.1, 0.14 )
b. Xác suất mà một đồng xu chọn được ngẫu nhiên sẽ có trọng lượng giữa 3.2 và
3.4g bằng với diện tích dưới đường cong chuẩn giữa 3.2 và 3.4g.
Bạn có thể sử dụng N ( 3.2, 3.4, 3.1, 0.14 ) để tìm diện tích này. Diện tích
khoảng 0.22, vì thế cơ hội là 22% để một đông xu lựa chọn ngẫu nhiên sẽ có
khối lượng giữa 3.2 và 3.4g.
c. Bạn muốn tìm diện tích dưới đường cong bên phải của 3.3g tuy nhiên khoảng
này không có giới hạn trên. Làm thế nào để xây dựng ràng buộc trên. Cho dù
bạn sử dụng 100 hoặc 1000, bạn cũng nhận được câu trả lời tương tự, chính xác
đến 8 chữ số.
N(3.3, 100, 3.1, 0.14) = .0765637714
N(3.3, 1000, 3.1, 0.14) = .0765637714
Vì vậy bạn có thể sử dụng bất kì một số nào cho giới hạn trên.
Xác suất mà một đồng xu sẽ nặng hơn 3.3g là khoảng 0.07.

d. Xác suất mà khối lượng sẽ nằm trong một độ lệch chuẩn của giá trị trung bình là
N ( 3.1 – 0.14, 3.1 + 0.14, 3.1, 0.14 ), hoặc xấp sĩ 0.683. Xác suất mà khối lượng
sẽ nằm trong hai độ lệch chuẩn của giá trị trung bình là N ( 3.1 – 0.28, 3.1 +
0.28, 3.1, 0.14 ), hoặc xấp sĩ 0.995. Xác suất mà khối lượng sẽ nằm trong ba độ
lệch chuẩn của giá trị trung bình là N ( 3.1 – 0.42, 3.1 + 0.42, 3.1, 0.14 ), hoặc
xấp sĩ 0.997.
Phân phối chuẩn
Phương trình của một phân phối chuẩn với giá trị trung bình
µ
và độ lệch
chuẩn
σ
là
Nhìn vào độ cao của một đường cong chuẩn. Tại các điểm mà một độ lệch
chuẩn chính xác từ giá trị trung bình, những thay đổi đường cong giữa uốn cong
xuống ( một phần của đường cong có độ giốc giảm) và uốn cong lên phía trên
( các bộ phận của đường cong có độ dốc tăng). Các điểm này được gọi là điểm
uốn. Bạn có thể ước tính độ lệch chuẩn của mọi phân phối chuẫn bằng cách xác
định điểm uốn của đồ thị của nó.
II. BÀI TẬP
2.1. Từ mỗi phương trình, ước tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn.
2.2. Từ mỗi độ thị, ước tính giá trị và độ lệch chuẩn.
2.3. Các nhà sản xuất Sweet Sips nước uống trái cây 100% đã phát hiện ra rằng máy
điền của họ sẽ điền vào một chai với độ lệch chuẩn là 0.75 o z. Kiểm soát trên
máy tính sẽ thay đổi giá tri trung bình nhưng sẽ không ảnh hưởng đến độ lệch
chuẩn.
a. Họ nên đặt giá trị trung bình ở đâu để 90% các chai có ít nhất 12 o z nước trái
cây trong chúng?
b. Nếu một chai nước uống trái cây có thể giữ 13.5 o z trước khi tràn, bao nhieu
phần trăm chai sẽ tràn ở ví dụ 8a?

BÀI 13.4: GIÁ TRỊ Z VÀ KHOẢNG TIN CẬY
I. Điều tra
1. Khu vực và phân phối
Bất kỳ một phép đo chiều dài nào của một đối tượng cũng chỉ là xấp xỉ chiều
dài thực tế. Thông thường,các phép đo được thực hiện bởi nhiều người sẽ được
phân phối chuẩn. Bạn sẽ sử dụng ý tưởng này để khám phá khu vực dưới đường
cong.
• Bước 1:
Đo chiều dài của sợi dây thừng, chính xác đến
0,1cm. Giả sử đo lường của bạn là giá trị trung bình
của tất cả các phép đo và có độ lệch chuẩn là 0,8 cm.
Phác họa một đường cong dựa trên đo lường của bạn.
• Bước 2 :
Sử dụng phần dưới đường cong để tìm xác suất mà một phép đo mới sẽ là
a. trong vòng một độ lệch chuẩn của chiều dài đó. (Tức là, tìm diện tích giữa
-0,8 và + 0,8).
b. trong hai độ lệch chuẩn của chiều dài đó
c. trong ba độ lệch chuẩn của chiều dài đó
• Bước 3:
Có một quy luật trong thống kê được gọi là " quy luật 68-95-99.7." .So sánh
kết quả của bạn từ bước2 với những thành viên trong nhóm của bạn, và viết một
quy luật mà có thể theo tên đó.
Khi nói rằng trọng lượng trung bình của một đồng xu là 0,4 g thì bạn không
thể biết được liệu những giá trị nhỏ hơn nó là thiểu số hay đa số.Nhưng nếu nói
rằng trọng lượng của một đồng xu có độ lệch chuẩn là 2,86 từ giá trị trung bình
thì đó là giá trị thiểu số.
Trong nghiên cứu này, bạn sẽ tập trung vào hai thông số độ lệch chuẩn và giá
trị trung .Giá trị độ lệch chuẩn của một phân phối chuẩn biến x là giá trị trung
bình được gọi là z-giá trị. Về z-giá trị, cuộc điều tra đã yêu cầuxác suất mà một
phép đo mới sẽ có một giá trị z giữa -1 và 1, giữa- 2 và2, và giữa -3 và 3. Quy

luật 68-95-99.7 đã trả lời cho những câu hỏi về 68%, 95%, và 99.7%
Đối với quy luật 68-95-99.7,68% số
giá trị nằm trong khoảng 1 lần độ
lệch chuẩn so với trị trung bình,
khoảng 95% số giá trị trong khoảng
hai lần độ lệch chuẩn và khoảng
99.7% nằm trong khoảng 3 lần độ
lệch chuẩn.
Biến ngẫu nhiên x có số trung bình là 0 và phương sai là 1 thì z được gọi là
biến ngẫu nhiên chuẩn hóa,và được tính bằng công thức .Sau đây là ví dụ minh
họa về biến ngẫu nhiên được chuẩn hóa:
2. VÍ DỤ A:
Chiều cao của một nhóm nam giới được phân phối chuẩn với số trung bình
là 70 in và độ lệch chuẩn là 2.5 in.
a. Tìm xác suất để giá trị z là 67.5 in và 72.5 in
b. Tìm xác suất để 67.5<z<72.5
c. Tìm khoảng giá trị của x, đối xứng với giá trị trung bình,chứa 90% chiều cao.
Giải
Đối với dân số này, µ = 70 và σ = 2,5.
a. Sử dụng công thức để chuẩn hóa các biến
= -1 và
Trong bản phân phối này, 67,5 tương ứng với một giá trị z là -1, có nghĩa
là giá trịđộ lệch chuẩn dưới trung bình. Chiều cao 72,5 nhập tương ứngmột z-giá
trị là 1, có nghĩa là độ lệch chuẩn trên trung bình.
b. Z-giá trị của 65in là hoặc -2, và z-giá trị của 75in là hoặc 2.
Xác suất 95% số giá trị trong khoảng hai lần độ lệch chuẩn so với giá trị
trung bình Đồ thị dưới đây sẽ khẳng định dự đoán này. (Xem lưu ý 13c để nhớ
lại cách vẽ đường cong này)
c. Bạn đã biết rằng 68% chiều cao rơi vào khoảng -1 ≤ z ≤ 1 ,tương ứng
với 67,5 ≤ x ≤ 72,5 . Bạn cũng biết rằng 95% chiều cao rơi vàokhoảng 65≤

x ≤ 75. Vì vậy, bạn có thể đoán rằng một khoảng thời gian khoảng 66 ≤ x ≤
74 sẽ chứa 90% độ cao. Sử dụng máy tính và thử nghiệm và tìm lỗi để được kết
quả chính xác nhất. Màn hình máy tính dưới đây cho thấy rằng khoảng 65,8875
≤ x ≤ 74,1125 chứa 90,003% dữ liệu.
Sử dụng giá trị z và nguyên tắc 68-95-
99.7 giúp bạn họcvề dân số từ một mẫu
phân bố chuẩn lấy từ những người đó?
Bạn có thể kết luận, choví dụ, rằng xác
suất là 68% số giá trị nằm trong khoảng
1 độ lệch chuẩn so với trị trung bình .
Không thực sự như vậy, các dân số có
thể hoặc không nằm trong khoảng này,
vì vậy khả năng mà nó có là 0 hoặc 1.
Nhưng bạn có thể khẳng định giá trị
trung bình dân số nằm trong một
khoảng cụ thể.
II. Khoảng tin cậy