10 ĐỀ THI HSG TOÁN 10 CÓ ĐÁP ÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.36 MB, 63 trang )
!!" #$%&'#"&
()*!+&,#-./
®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng
M«n : To¸n - líp 10
Thêi gian : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Câu I:(5 điểm)
1. 012!3)4%!56
( ) ( ) ( ) ( )
7
8 7 9 : 9x x x x x
− − − − ≤
2. "#;#.<!=#>1>#?,@ABC."#"3)4%!56D
7
E1DE#FB#G
%H&!*I#J"K
[ ]
BL 8
'6&%;!5M@2!#N1O*!P#
( ) ( )
( )
7a b a b
P
a a b c
− −
=
− +
'
Câu II:(5 điểm)
8'6&!2!#0#;#%H&%*QR#N3)4%!56
7
CSC?:C?7C?8? yxxxx
=++++
7'6&JT*UH#N!&.<&JOH3)4%!56.*#G%H&
V V
V V
8 8
W
8 8
8W 8B
x y
x y
x y m
x y
+ + + =
+ + + = −
Câu III:(3 điểm) 5"%&X!3Y%>#"%G#
·
B
ZB 'xOy =
>JO&+)[!!Q
J\!5R!]D,]Q."#"
7B8V
7B8788
=+
ONOM
'P%&J)^%!Y%*_
J`*JO&#<JM'
Câu IV:(2 điểm)"D>Q.< )4%!QJ\>#G!\%1a%
8b
9
'6&%;!5Mc
2!#N1O*!P#
8
V8878
88
7
7
+
+
+
+++=
xy
y
y
x
y
xxP
'
Câu V:(5 điểm)
8'5R&X!3Y%,@H!dJI]DQ#"J)^%!Y%
BVV7
8
=−−
yxd
,
B8b7W
7
=−+
yxd
')^%!Y%dJ`*%"JO&#N
8
d
,
7
d
#e!!]D>]Q+
)[!!K,f'g!3)4%!56J)^%!Y%d."#"
7
7
OAB
S
AB
∆
c2!'
7'"!&%;#f#G!5d%!h&'dA
1
, B
1
, C
1
+)[!6#g*,*_%%G#
#ND*<%#Kf>>f'P%&5a%
7 7 7
8 8 8
' ' ' Ba GA b GB c GC
+ + =
uuur uuur uuuur r
'?với a=BC, b=AC, c=ABC'
Hết
Cõu Ni dung Thang
im
I 5.0
1. Gii bt phng trỡnh:
( ) ( ) ( ) ( )
7
8 7 9 : 9x x x x x
2.5
( )
( ) ( )
7 7 7
7 Z : S : 9bpt x x x x x
+ +
(2)
Bx =
không phải là nghiệm
B>W
Bx
, phơng trình (2)
: :
Z S 9x x
x x
+ +
ữ ữ
B>W
Đặt
:
x t
x
+ =
, điều kiện
9 7t
(*)
Bpt trở thành:
7
8W WB B W 8Bt t t +
, kết hợp (*) ta đợc:
:
9 7 8B 9 7 8B W 8b W 8bt x x
x
+ +
KL: nghiệm của BPT là:
W 8bLW 8bx
+
8>B
2. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
( ) ( )
( )
7a b a b
P
a a b c
=
+
. 2.5
dD
8
>D
7
7%H&#NJi#"'j"kj!
8 7
8 7
b
x x
a
c
x x
a
+ =
=
B>W
l"
BR!#G
( ) ( )
7 7
8 7 8 7
8 7 8 7
8 7 8 7 8 7 8 7
8 7
8 7
7
8 8
8
b b
x x x x
x x x x
a a
P
b c
x x x x x x x x
a a
ữ ữ
+ + + +
+ + +
= = = +
+ + + + + +
+
ữ
B>bW
m_%&2!!n!\%`*;!%0./D
8
D
7
"7%H&!*I#oBL8pR
7 7
8 8 7 7
L 8x x x x
,
8 7 8 7
8 x x x x+ + +
qBR!#G
7 7
8 7 8 7 8 7 8 7
8 7 8 7 8 7 8 7
8
8
8 8
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + + + +
=
+ + + + + +
V
B>bW
l2*JY%!P#DrQ5U
8 8 7
7
7
8
x x x
x
=
=
8
7
8
7
B
D F8
8
D F8
x
x
=
=
B
B
B
7
c
b a
b
a c
=
=
= =
Vy giỏ tr ln nht ca P bng 3
B>W
II 5.0
1.Tỡm tt c cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh:
7
CSC?:C?7C?8? yxxxx =++++
2.5
X!
W
+=
xt
>!J)[#
7
CSC?:C?7C?8? yxxxx =++++
777
C8ZC?S? ytt =−−⇔
?8C
X!
7
7W
7
−= tu
?
Zu
∈
7
C
⇔ + − =(1) (2u 2y)(2u 2y) 49
B>W
Trường hợp 1:
−=
=
∨
=
=
⇒
=−
=+
∨
=−
=+
87
7W7
87
7W7
9S77
877
877
9S77
y
u
y
u
yu
yu
yu
yu
BW7W7 =⇒±=⇒= xtu
Q
8B−=x
sJG
C87LB?C>? ±=yx
>
C87L8B? ±−
B>W
Trường hợp 2:
=
−=
∨
−=
−=
⇒
−=−
−=+
∨
−=−
−=+
87
7W7
87
7W7
9S77
877
877
9S77
y
u
y
u
yu
yu
yu
yu
WB7W7 −=⇒=⇒−= xtu
sJG
C87LW?C>? ±−=yx
B>W
Trường hợp 3:
=
−=
∨
=
=
⇒
−=−
−=+
∨
=−
=+
B
b7
B
b7
b77
b77
b77
b77
y
u
y
u
yu
yu
yu
yu
89b7
−=⇒±=⇒=
xtu
Q
S
−=
x
7Vb7 −=⇒±=⇒−= xtu
Q
:−=x
sJG
CBL8?C>? −=yx
>
CBL7?−
>
CBL:?−
>
CBLS?−
B>W
G&K3)4%!56#G8B%H&%*QR?D>QC
CBL8?−
>
CBL7?−
>
CBL:?−
>
CBLS?−
>
C87LB?
>
C87LB? −
>
C87LW?−
>
C87LW? −−
>
C87L8B?−
>
C87L8B? −−
B>W
2. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm 2.5đ
X!*F
8
x
x
+
,,F
8
y
y
+
,@
7> 7u v≥ ≥
HJi#"!5t!
( )
V V
W
W
:
V 8W 8B
u v
u v
u v m
u v u v m
+ =
+ =
⇔
= −
+ − + = −
*>,#;#%H&#N!
7
W!E:F&?8C
8'B
8'B
HJi#"#G%H&U,#-U?8C#G%H&!
8>
!
7
!"0&i
8 7
7> 7t t≥ ≥
?!
8
>!
7
U_%2!!g!3h1H!C
uv!&.<QF!
7
W!E:,@!
] [
)
? L 7 7L∈ −∞ − ∪ +∞
! k
∞
k7 7
W
7
E
∞
Q
E
∞
E
∞
77
7
b
9
s10%1g!R.*Q5HJi#"#G%H&U
b
7
9
77
m
m
≤ ≤
≥
B'W
III. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định. 3.0đ
d]!!3h%;##N%G#D]Q
(*Q5]!#<JM'd%"JO&,@!]!'
#P%&#<JM'
B'W
w
MONONOMS
OMN
.''
7
8
=
∆
F
ONOMONOM '
9
V
ZB.''
7
8
B
=
?8C
B'W
w
NOIOIONMOIOIOMSSS
ONIOMIOMN
.''
7
8
.''
7
8
+=+=
∆∆∆
F
OIONOMOIONOM C'?
9
8
VB.'C'?
7
8
B
+=+
?7C
8'B
s?8C,?7C.*Q5
ONOM
ONOM
OI
'V
8 +
=
V7B8V
7B87
C
88
?
V
8
=+=
ONOM
I⇒
#<JM'
8'B
IV
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
8
V8878
88
7
7
+
+
+
+++=
xy
y
y
x
y
xxP
.
2.0đ
#GF?DE
y
8
C
7
E88?DE
y
8
CE
y
x
8
V
+
'X!
t
FDE
y
8
qB'#G B'W
F
t
7
E88
t
E
t
V
F?
t
7
8
C
7
E?87
t
E
t
V
C
9
8
t
t
V
'877≥
9
8
F
9
9b
'
Y%!P#D0Q5U!F
7
8
'
8'B
0H
8b
9
8 8
7
x y
x
y
+ =
+ =
J)[#DF
9
8
,QF9'
xQMin P =
9
9b
JK!J)[#UDF
9
8
,QF9'
B'W
V 5.0đ
1. Viết phương trình đường thẳng d sao cho
7
7
OAB
S
AB
∆
nhỏ nhất. 2.5đ
• dI %"JO&#NJ)^%!Y%
8
d
,
7
d
C8LV?I⇒
'
B'W
• 0./
CBL?aA
,
CLB? bB
,@
B> >ba
!6J)^%!Y%d#G3)4%
!56
8=+
b
y
a
x
'6
8
8V
=+⇒∈
ba
dI
B'W
• #G
+=
+=
+
=
∆
777777
77
7
7
88
9
88
'9
'
'9
baOBOAOBOA
OBOA
S
AB
OAB
B'W
• y3 z%12!JY%!P#f*#_3.U!#G
8
8V88
C8V?
7
77
77
=
+≥
++
ba
ba
8B
888
77
≥+⇒
ba
B'W
•
W
7
7
7
=
∆OAB
S
AB
U
=
=
⇔
=
=+
8B
V
8B
V
8
8V
b
a
ba
ba
mJGJ)^%!Y%d#G3)4%!56
B8BV =−+ yx
'
B'W
2. Chứng minh rằng:
7 7 7
8 8 8
' ' ' Ba GA b GB c GC
+ + =
uuur uuur uuuur r
'?Với a=BC, b=AC, c=ABC'
2.5đ
7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8
' ' ' B ? ' ' ' C Ba GA b GB a GC a GA b GB a GC+ + = ⇔ + + =
uuur uuur uuuur r uuur uuur uuuur
9 7 9 7 9 7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8 8 8
' ' ' 7 ' 7 ' 7 ' Ba GA b GB c Gc a b GA GB a c GA GC b c GB GC⇔ + + + + + =
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
?wC
B'bW
#G
8 8 8
> > > 7
V V V
a b c
a b c
h h h
GA GB GC ah bh ch S= = = = = =
>
8'B
B 7 7 7
8 8 8 8 8 8
B 7 7 7
8 8 8 8 8 8
B
8 8 8 8 8 8
' ' ' ".?8:B C ' ' ". >k71'#".
' ' ' ".?8:B C ' ' ".f> k7#'#".
' ' ' ".?8:B C ' ' ".> k7#1'#".
GA GB GA GB c C GA GB c C C c a b
GA GC GA GC c B GA GC c B b a c
GC GB GC GB c A GC GB c A
= − = − = − −
= − = − = − −
= − = −
uuur uuur
uuur uuuur
uuuur uuur
7 7 7
a b c= − −
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
?wC
9 ' 9 ' 9 ' 9 '? C 9 '? C 9 '? C
B
S S S S S S
S a S b S c S c a b S b a c S a c b
VT
− − − − − −
= + + + + + =
{JT*30#P%&'
B'bW
1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:
( )
( ) ( )
7
8 7
7 7 8 7
x y x y y
x y y x
+ − = − −
− = − −
®k:
8
?wwC
B
x
y
≥
≥
0,5
HPT
( )
( ) ( )
7 7
8 7 7 B?9C
7 7 8 7 ?WC
x x y y y
x y y x
− + + + + =
⇔
− = − −
Gi¶i (4) xem nh ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi Èn x ta ®îc:
8 7
x y
x y
= −
= +
1,0
Víi x=-y lo¹i do (**)
0,5
Thay x=1+2y vµo (5) ta cã:
( )
( ) ( )
7 W
8 7 7 7 7 7
8 8
y x
y y y y
y x
= ⇒ =
+ − = − ⇔
= − ⇒ = −
kÕt hîp
(**) nghiÖm cña HPT lµ: (x;y) = ( 5;2)
1,0
M
A
B
C
N
#G
7
>
V
BC BA
BN
+
=
uuur uuur
uuur
( )
8
8 8
BA k BC
CA kCB
CM
k k
− +
+
= =
+ +
uuur uuur
uuur uuur
uuuur
0,25
l"
' BBN CM BN CM⊥ ⇔ = ⇔
uuur uuuur
( )
( )
( )
7 8 BBC BA BA k BC+ − + =
uuur uuur uuur uuur
( ) ( )
7 7
8 8
8 7 7 8 ' B 8 7 B
7 9
k a a k BA BC k k k− + + − + = ⇔ − − + − − = ⇔ =
uuur uuur
0,5
@
8
9 W
a
k AM= ⇒ =
0,25
fJ)^%!Y%J`*f,,*_%%G#,@J)^%#"K!sR#G
( ) ( )
9 7 V 8 B 9 V W Bx y x y− + + = ⇔ + − =
'
0,5
dJIJO&%H&#NH
( )
9 V W B 8
8LV
7 W B V
x y x
C
x y y
+ − = = −
⇔ ⇒ −
+ − = =
0,5
d J)^%!Y%J`*f,,*_%%G#,@J)^%3h%;#%G#> #G3)4%
!56
( ) ( )
7 7 8 B 7 W Bx y x y− − + = ⇔ − − =
'
dJIJO&%"JO&#N ,3h%;#%G#%H&#NH
( )
7 W B V
VL8
7 W B 8
x y x
H
x y y
+ − = =
⇔ ⇒
− − = =
0,5
df|JO&J<DP%,@f`*J)^%3h%;#%G#>UJGf}!*I#,
!5*%JO&ff}R!#G
( )
~ ~
7 9L 7 V ~ 9LV
B H B B H B
x x x y y y B
= − = = − = ⇒
J)^%!Y%J`*,#G,j#!4#-
0,5
3)4%
( )
~ WLBCB
uuur
R#G
( ) ( )
B 8 W V B V Bx y y+ − − = ⇔ − =
'
0,5
dJIJO&%H&#NH
( )
V B W
WLV
V 9 7b B V
y x
A
x y y
− = = −
⇔ ⇒ −
− + = =
xQ
( ) ( )
WLV > 8LVA C− −
'
0,5
Q!dJI>f+)[!,",g!5;3)4%!56J)^%3h%;#%G#!J)[##;#
.<
9L W− −
> "JGJ)^%3h%;#%G#JG3h%;#%"'
0,5
mnH*#-!x3[3#;#.<!=R'0./
f N N→
&.<!c&i#;#JT*UH
( )
8 Bf >
,
( )
( )
( )
( )
( )
7 7
7 7
7 7f m n f m f n+ = +
,@&d
> m n N∈
'n#;#%;!5M#N
( )
7f
,
( )
7B8Vf
'
X!
( )
7f a=
'"
( ) ( )
( )
( )
7
B B V B B Bm n f f f= = ⇒ = ⇒ =
'
"
( ) ( )
( )
( )
7
8L B 8 8 8 8m n f f f= = ⇒ = ⇒ =
'"
( )
8 V V'm n f= = ⇒ =
"
( )
( )
( )
7
7
B >n f m f m m N= ⇒ = ∀ ∈
R
( )
7
9f a=
'
0,25
X!U;#,@&•.<!=R
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
7 7 7
7
7 7 7 7
V 8 7 7 V 7
8 7 7 V 7 8
k k k k k
f k f k f k f k
≥ ⇒ + + − = − +
⇒ + + − = − +
s?8C#"
Vk =
!#G
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
7 7 7 7
9
9 7 8 B 7 V 8Z 7 7 7f f f f a a f+ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =
'
0,25
j"!5R!#P%&J)[#
( )
f n n=
,@
BL8L7LVL9n =
'#P%&1a%`*QK3
( )
f n n=
'x!,xQ>,@
Vn ≥
!sJY%!P#?8C!#G
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
7 7 7 7
7
7 7 7
7
8 7 7 V 7
8 V 7 7 7 8 8 8
f n f n f n f n
f n n n n n f n n
+ + − = − +
⇒ + = − + − − = + ⇒ + = +
l"JG
( ) ( )
> 7B8V 7B8V'f n n n N f= ∀ ∈ ⇒ =
0,5
!!" #$%&'#"&
()*!+&,#-./
®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng
M«n : To¸n - líp 10
Thêi gian : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bài 1.?4 điểmC
8'03)4%!56
887
V
=−+− xx
7'6&&JO3)4%!56
3m 1
x 6 x 9 m x 2 x 9 8 x
2
+
+ − + + − − = +
#G
%H&
1 2
x ,x
."#"
1 2
x 10 x< <
Bài 2.?2,5 điểmC@%;!5M"#N&!612!3)4%!56.*%H&J€%,@
&dD
ZD
7
E9DEWq•7D
7
E9&DE8•?8C
Bài 3. ?3 điểmC"H3)4%!56
7
7 V : B
B
x y
x y m
+ − =
− + =
8'0H3)4%!56,@&F8'
7'6&&JOH3)4%!56#G%H& *Q2!'
Bài 4.?3 điểmC'"!&%;#fI!g3J)^%!5‚!h&]1;Un>#G
!5d%!h&'P%&5a%
8'
7 7 7 7 7 7
8
? C
V
GA GB GC a b c+ + = + +
'
7'
7 7 7
7 7
S
a b c
R OG
+ +
− =
Bài 5?4,5 điểmC'5R&X!3Y%!"KJI]DQ#"JO&?7LkWC>f?k9LWC,
J)^%!Y% Dk7QEVFB'
8'g!3)4%!56J)^%!Y%∆J`*JO&."#"U"0%#;#!sfJg∆
@2!'
7'6&JO&!5R ."#"Efc2!'
Bài 6.(3 điểm)">1>##;#.<!=# )4%!c&iE1E#F7'
P%&5a%
7 7 7
8
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
kkkkkkkkkkkkkkkkkg!kkkkkkkkkkkkkkkkk
ĐÁP ÁN
Đáp án
Thang
điểm
Bài 1.
4 điểm
1. ƒ„!F
V
7 x−
1F
8−x
ƒm1
'B
≥
⇔
=−=
==
==
⇔
=+
=+
VL7
BL8
8LB
8
8
7V
ba
ba
ba
ba
ba
wCFBL1F8%…†‡#DF7
wCF8L1FB%…†‡#DF8
wCFk7L1FV%…†‡#DF8B
ˆQ%‰&#Š3‹%!5Œ•DF8LDF7>DF8B'
0, 25 đ
0, 75 đ
0, 75 đ
0,25 đ
7'
( )
3m 1
x 9 3 m x 9 1 x
2
+
⇔ − + + − + = +
JX!
t x 9,t 0
= − ≥
!5t!
( ) ( )
2 2
3m 1
t 3 m t 1 t 9 2t 2 m 1 t m 13 0
2
+
+ + + = + + ⇔ − + + + =
?8C
1J+*#G%H&
1 2
x 10 x< <
⇔
?8C#G%H&
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
' 0
0 t 1 t t 1 t 1 0
t t 0
∆ >
≤ < < ⇔ − − <
+ >
( ) ( )
2
2
m 1 2 m 13 0
m 25 0
m 13
m 1 1 0 13 m 0 m 13
2
m 1
m 1 0
+ − + >
− >
+
⇔ − − + < ⇔ − < ⇔ >
> −
+ >
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,75 đ
Bài 2.
2,5
điểm
6ZD
7
E9DEWqB,@&dDR
?8C⇔k?ZD
7
E9DEWCŽ7D
7
E9&DE8ŽZD
7
E9DEW
⇔
7
7
?8 C 8 B
9 7?8 C V B
x m x
x m x
+ − + >
+ + + >
?7C
hQ>?8C%H&J€%,@&dDU,#-U#012!3)4%!56
!5"%H?7CJ•%!^%H&J€%,@&dD'T*Q!)4%J)4%,@
7 7
8
~ 7 7
7
?8 C 9 7 V B
?8 C 87 7 88 B
m m m
m m m
∆ = − − = − − <
∆ = + − = + − <
8 V
8 8 7 V
8 7 V 8 7 V
m
m
m
− < <
⇔ ⇔ − < < − +
− − < < − +
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3.
3 điểm
7
7
7 V : B
B 7 V V : B ?8C
y x m
x y
x y m x x m
= +
+ − =
⇔
− + = + + − =
8'@&F8
?8C⇔
7
7 V W Bx x+ − =
'X!!F•D•?!≥BC!J)[#3)4%!56
0,5 đ
7!
7
EV!kWFB⇔
8
W
?
7
lo¹i)
t
t
=
= −
'
@!F8⇒•D•F8⇔DF±8'
xQH#G7%H&?8L7C,?k8L7C'
7'H#G%H& *Q2!⇔?8C#G%H& *Q2!
⇔7!
7
EV!EV&k:FB?7C#G%H&!"0&i
8
7
B
B
t
t
=
<
⇔
V : B
:
V
V
B
7
m
m
− =
⇔ =
− <
0,75 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
Bài 4
3 điểm
8'G
7 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 7 7 7 7
7 7 7
9
? C
S
9
S 7 9 7 9 7 9
V
a b c
GA GB GC m m m
b c a c a b a b c
a b c
+ + = + +
+ + +
= − + − + −
÷
+ +
=
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
7'G
7 7 7
7 7 7
7 7 7 7
? C ? C ? C
V 7 ? C
OA OB OC OG GA OG GB OG GC
OG GA GB GC OG GA GB GC
+ + = + + + + +
= + + + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
l"]F]fF]F,
BGA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
R
7 7 7 7 7
V VR OG GA GB GC= + + +
Q
7 7 7
7 7 7 7 7
V V
V
a b c
R OG GA GB GC
+ +
− = + + =
⇒
7 7 7
7 7
S
a b c
R OG
+ +
− =
0,5đ
0,5 đ
0,5 đ
fW'
9>W
JO&
8'd6#g*#Nf!5R∆>!#Gf≤f'
Y%!P#D0Q5U,#-U≡'mJG∆J)^%!Y%`*,
,*_%%G#,@f'
VDkWQkV8FB'
7'mO&!5,f#•%3n,@ '
d|JO&J<DP%#N`* '
GEfF|Ef≥|f'
Y%!P#D0Q5⇔ |>>f!Y%%'(*Q5%"JO&#N
J)^%!Y%|f,@ '
d |J)^%!Y%`*,,*_%%G#,@ ' |#G
7DEQE8FB'
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25đ
d%"JO&#N |, 'dJIF?k8L8C'
!5*%JO&#N|R|#G!"KJI|?k9LbC'
)^%!Y%|f#G
~ ?BL 7CA B = −
uuuur
R#G
~
?8LBC
A B
n =
r
J)^%!Y%|fDE9FB'
"KJI%"JO&#N|f, %H&#NH3)4%!56
9 B 88
7 V B 9
y x
x y y
+ = = −
⇔
− + = = −
⇒?k88Lk9C
0,25đ
0,25 đ
0,25đ
0,5 đ
fZ
VJO&
Bài 6.(3 điểm)">1>##;#.<!=# )4%!c&iE1E#F7'
P%&5a%
7 7 7
8
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
G
7 7
7 '
9 9
a b c a b c
a
b c b c
+ +
+ ≥ =
+ +
'
)4%!=
7 7
7 '
9 9
b a c b a c
b
a c a c
+ +
+ ≥ =
+ +
L
7 7
7 '
9 9
c a b c a b
c
a b a b
+ +
+ ≥ =
+ +
I%,g,@,g#;#12!JY%!P##•%#T*!J)[#
!!" #$%&'#"&
()*!+&,#-./
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10
Môn Toán
NM HC 2008-2009
Thi gian lm bi:180 phút (không k thi gian giao
đ)
Bài1(8đ).
1) Giải phơng trình:
9
x (x +1)(x + 2)(x +3) =
16
2) Giải hệ phơng trình:
2 2
x + y + xy = 4
x y + xy = 3
.
Bài 2(3đ).
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P =
2 2
2 2
x + 3xy - y
x + xy + y
Bài 3(2đ).
Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đờng thẳng d :
x 2y 3 = 0. Tìm điểm M thuộc d sao cho
7 VMA MB MC+ -
uuur uuur uuur
đạt giá trị
nhỏ nhất
Bài 4?ZJC
"!&%;#f#GV%G#d>#G!5=#!h&>%d1;UnJ)^%
!5%"K!g3'
8CP%&5a%F7'#".'
7CP%&5a%
#". #". #". . . .A B C A B C+ + < + +
Bài 5(1 đ)
Cho a, b, c là ba số thực dơng. Chứng minh rằng:
a b c
+ + 2
b + c a + c b + a
________________ Hết _____________
Câu
l
Cõu 1:
1) Giải phơng trình:
9
x (x +1)(x + 2)(x + 3) =
16
(1)
* Đặt t = x(x+3) (1) trở thành t(t+2) =9/16
S
9
8
9
t
t
ộ
ờ=-
ờ
ờ
ờ
=
ờ
ở
8
* với t =
S
9
ta có x(x+3) = -
S
9
x
2
+ 3x +
S
9
= 0 x = -
V
7
8
* với t =
8
9
ta có x(x+3) =
8
9
x
2
+ 3x -
8
9
= 0
ộ
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
-3 + 10
x =
2
-3 - 10
x =
2
8
* Vậy phơng trình có nghiệm
V
7
V 8B
7
V 8B
7
x
x
x
ộ
ờ
=-
ờ
ờ
ờ
- +
ờ
=
ờ
ờ
ờ
+
ờ
=-
ờ
ở
8
2) Giải hệ phơng trình:
2 2
x + y + xy = 4
x y + xy = 3
(2)
?7C
?DEQCEDQF9
DQ?DEQCFV
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
đặt S = x+ y; P = xy
Ta đợc hệ
9
V
S P
SP
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
Khi đó S, P là nghiệm của Phơng trình
t
2
- 4t + 3 = 0
8
V
S
P
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
hoặc
V
8
S
P
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
7
w
8
V
S
P
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
x, y là nghiệm của phơng trình u
2
u + 3 = 0
Phơng trình này vô nghiệm
8
w
V
8
S
P
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
x, y là nghiệm của phơng trình u
2
3u + 1 = 0
8
V W
7
V W
7
x
y
ỡ
ù
+
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
-
ù
ù
=
ù
ù
ợ
hoặc
V W
7
V W
7
x
y
ỡ
ù
-
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
+
ù
ù
=
ù
ù
ợ
Vây hệ có 2 nghiệm
V W
7
V W
7
x
y
ỡ
ù
+
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
-
ù
ù
=
ù
ù
ợ
và
V W
7
V W
7
x
y
ỡ
ù
-
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
+
ù
ù
=
ù
ù
ợ
Câu 2
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P =
2 2
2 2
x + 3xy - y
x + xy + y
* y = 0 thì P = 1
8
* y 0 thì P =
7
7
V 8
8
t t
t t
+ -
+ +
với t = x/y gọi P là một giá trị bất kỳ của nó
khi đó phơng trình sau ẩn t phải có nghiệm
P(t
2
+t +1) = t
2
+ 3t - 1(1- P)t
2
+ (3 -P)t (1+ P ) = 0 có nghiệm
hay
7 7
8
?V C 9?8 C B ?wC
P
P P
ộ
=
ờ
ờ
= - + -
ở
(*) -3P
2
6P +13 0 - (1+
V
) P
V
- 1
8
B>W
Vậy giá trị lớn nhất của P = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = - (1+
V
)
Câu 3
Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đờng thẳng d : x
2y 3 = 0. Tìm điểm M thuộc d sao cho
Q =
7 VMA MB MC+ -
uuur uuur uuur
đạt giá trị nhỏ
ọi M(2y+3 ; y) d Khi đó
7 VMA MB MC+ -
uuur uuur uuur
= (2y 5 ; y+21)
7 VMA MB MC+ -
uuur uuur uuur
=
7 7
?7 WC ? 78Cy y- + +
=
7
W 77 9ZZy y+ +
Q đạt giá trị nhỏ nhất khi y =
88
W
-
Vậy M(
b
W
-
;
88
W
-
)
7
Câu4
"!&%;#f#GV%G#d>#G!5=#!h&>%d1;Un
J)^%!5%"K!g3'
8CP%&5a%F7'#".'
7CP%&5a%
#". #". #". . . .A B C A B C+ + < + +
O
A
C
B
H
A'
D
8
1) Gọi A là điểm sao cho AA là đờng kính dễ có BHCA là hình bình
hành. Do đó AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA
7
7C
8
#". #". #". ?#". #". #". #". #". #". C
7
. #". . #". . #".
7 7 7 7 7 7
A B C A B B C C A
C A B A B C B C A
+ + = + + + + +
- - -
= + +
Ta có
#". 8
7
A B-
Ê
vì C nhọn nên
B B
B ZB 7#". 8 #". 7#".
7 7 7 7
C C A B C-
< < ị > ị <
Tơng tự ta có
#". 7#".
7 7
#". 7#".
7 7
B C A
C A B
-
<
-
<
Vậy
#". #". #". . . .A B C A B C+ + < + +
8
8
8
Câu5
Cho a, b, c là ba số thực dơng. Chứng minh rằng:
a b c
+ + 2
b + c a + c b + a
7
? C
a a a
b c a b c
a b c
= ³
+ + +
+
7
? C
b b b
a c a b c
b a c
= ³
+ + +
+
7
? C
c c c
b a a b c
c b a
= ³
+ + +
+
p
Céng 3 bÊt ®¼ng thøc trªn vÕ theo vÕ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
7
!!" #$%&'#"&
()*!+&,#-./
®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng
M«n : To¸n - líp 10
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkkkkkkk
Bài 1: ( 3 điểm)
C012!3)4%!56
8 W
W 7D 9
7D
7
x
x
− < − +
'
1C6&%;!5Mc2!#N&.<
7 7
8 8y x x x x= + + + − +
'
Bài 2:( 3 điểm)
P% & 5a% ,@ &d .< !=# )4% D> Q> ” ! #G
( )
V V
V
7B8B 7B8B
9
x y x y
x y z
z x y
+ + + +
≤
+ +
+ +
'
Bài 3: ( 3 điểm)
"!&%;#f#GJ)^%#">∈f';#JO&>m+)[!!5*%
JO&#N#;#J"Kf,'I!J)^%!Y% JI%*_."%."%,@#Kf
#e!#K!K,#Kf!K'
•6#–x!,@JO&>!*I##Kf'd—!h&#N6#–
x!'P%&>—>m!Y%%'
Bài 4:( 1 điểm)
(<
V 7BBS
n
+
>.<%*QR )4%>#G#g!#"8:9U_%˜iQ#P%&
JT*&1KUY%JM'
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
g!kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài Nội dung từng ý Điểm
1.a
E)12!3)4%!56,T K%
8 8
W 7 9
9D
7
x x
x
+ < + +
÷
÷
B>7WJ
EX!
8
> 7
7
t x t
x
= + ≥
>DqB,!nJ)[#
7
8
D 8
9D
t+ = −
B>WJ
Eg!J)[#12!3)4%!56!j"!!
7
−W!E7qB⇔?!q7
∨
!Ž
8
7
?"KCC
B>7WJ
Eg!J)[#12!3)4%!56 B>WJ
( )
7
V V
7 9 8 B 7 B 7
7 7
x x x x
− + > ⇔ > + ∨ < < −
÷
1.b ExDv!Q!\%#N1O*!P#x%;!5M )4%R#G
!O •%12!JY%!P##*#Q1gJ\!sf.%f'
B>7WJ
Eg!J)[#
( ) ( )
7 7 9 7
9
9
7 8 8 7 8 7y x x x x x x≥ + + − + = + + ≥
B>WJ
EY%!P#D0Q5U
7 7
9 7
8 8
B
8 8
x x x x
x
x x
+ + = − +
⇔ =
+ + =
B>WJ
E{*xJ)[#Q≥7> 2*™F™D0Q5UDFB'l"JG
& ?BC 7y y= =
¡
B>7WJ
2 E g! J)[# JO #P% & 12! JY% !P# #+ #P% &
( )
V V
V
9 x y x y+ ≥ +
'
B>WJ
Eg!J)[#
( )
( ) ( ) ( )
V 7
V V
9 V Bx y x y x y x y+ − + = + − ≥
8>WJ
E(*QJ)[#
( )
V V
V
9z x y z x y+ + ≥ + +
' B>WJ
Emg!*xJ)[#
( )
V V
V
7B8B 7B8B
9
x y x y
x y z
z x y
+ + + +
≤
+ +
+ +
B>WJ
3 EdH!5z#!dJI)61R,
,g!J)[#
!d JI #N ?BLBC> ?LBC> f?1LBC>
?BL#C
B>7WJ
E (*Q J)[# !d JI #;# JO&
LB > BL
7 7
a b c
I K
+
÷ ÷
B>7WJ
Eg!J)[#3)4%!56#N? CQF
&> BŽ & Ž#L 3)4% !56 J)^%
!Y%#DEQ#FB>3)4%
!56J)^%!Y%f#DE1Q1#F
B'
B>WJ
E{x3*x,!6&J)[#!dJI#N#;#
JO&
( )
L
a c m
m
c
−
÷
>
( )
>
b c m
m
c
−
÷
>
( )
LB
b c m
c
−
÷
>
—
( ) ( )
L
7 7
a b c m
m
c
+ −
÷
8J
E n J)[# !d JI #;# ,j#!4
( )
L > — L
7 7 7 7
m a b
a b c m
IK
c
+
+
= − = −
÷
÷
uur ur
B>WJ
Eg!J)[#
m '—
c
m
=
uur uur
R1JO&>—>m!Y%%' B>WJ
4 Eg!J)[#8:9F:'7V,
7
V 8
m
−
#g!#"V
7
8F:' B>7WJ
Eg!J)[#g*F7&?#šC>!6
7 7
V 7BBS V 8 7W8': 7
m m
+ = − + +
U_%
#g!#":
Eg* F7&E 8?›C> !6
( )
7 8 7
V 7BBS V V 8 7W8': 9
m m+
+ = − + +
#œ%
U_%#g!:'
Emg!*xJ)[#
n
+
∀ ∈¢
>V
E7BBSU_%#g!#"8:9'
B>bWJ
Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng căn cứ từng phần của biểu điểm để cho điểm.
!!" #$%&'#"&
()*!+&,#-./
®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng
M«n : To¸n - líp 10
Thêi gian : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bài 1:?7'BJO&C@>1>#qB!c&iJT*UH1#F8'P%&5a%
9
V
C8C?8?C8C?8?C8C?8?
VVV
≥
++
+
++
+
++ ba
c
ac
b
cb
a
Bài 2:?7'BJO&C
"!P %;#flI!g3!5"% J)^%!5‚!h&]';# J)^%!Y%
f>l>#e!*t•>l>f#e!*tž>>fl#e!*t';#J)^%
!5‚%"K!g3#N#;#!&%;#f•>lž#e!*t'P%&5a%]>>
!Y%%'
Bài 3 :?7'BJO&C6&!2!#0#;#%H&%*QR#N3)4%!56
D
V
E?DE8C
V
E'''E?DEbC
V
FQ
V
?8C
Bài 4:?7'BJO&CP%&5a%>5"%&d!&%;#!*_#G
+ + <
+ + +
sin sin sin
2
sin sin sin sin sin sin
A B C
B C C A A B
Bài 5: ?7'BJO&C0H3)4%!56
−=+−
−=+
yxyxyx
xyx
8b::
9SV
77
7V
ŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸ
ŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC
SINH GIỎI LỚP 10 (Đề 1)
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008-
2009
……………………………………………………………
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút không kể
thời gian giao đề
Câu 1?VJO&C
>0#;#3)4%!56.*
7
V
7
7
8
=
−
+
− xx
1>dD
8
>D
7
%H&3)4%!56D
7
E1DE#FB'X!(
F
xx
nn
78
+
>.<
%*QR'
P%&5a%'(
E1'(
k8
E#'(
k7
FB'
Câu 2?7JO&C
6&%;!5MU@2!JO12!3)4%!56.*J€%,@&dD
[ ]
8LB∈
8C8?
77
++≤−+ xxxxk
Câu 3 ?VJO&C5R#;##Kf>f>#N!&%;#f!)4%P%2Q#;#
JO&l>•>žU_%!5•%,@#;#J-!&%;#."#"#;#J"K!Y%•>fž>
lU_%J•%`*Q'd%"JO&#Nfž,l>%"JO&•,@fžL
%"JO&•,@l'0./9!&%;#l>f•>ž>#G H!n#
JT*1a%8'
>!&%;#fl,!&%;#fJ•% K%
1>#;#!P%;#lf>•>ž#G H!n#1a%*,!n H!n#
#N#€%'
Câu 4?7JO&C"V.< )4%>1>#!cE1E#F8'
?E1C?1E#C?#EC1#
b7S
:
≤
ŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸ
ŸŸŸŸŸŸŸŸŸ
