giải hệ phương trình bằng phương pháp đồng bậc

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC
Các bài toán về hệ phương trình thường xuất hiện trong các kì thi Đại học, Cao đẳng. Để
giúp các bạn học sinh ôn tập tốt về phần này, bài viết này xin nêu ra một phương pháp
hiệu quả để giải quyết một lớp các hệ phương trình đó là phương pháp đồng bậc.
Thí dụ 1: Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
2 2
2 3 9 1
4 5 5 2
x xy y
x xy y

− + =


− + =


Giải: Lấy (1) nhân 5 và (2) nhân 9 ta được phương trình đồng bậc
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
5
5 2 3 9 4 5 4 26 30 0 5 2 3 0
2 3
x y
x xy y x xy y x xy y x y x y
x y
=


⇒ − + = − + ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔

=

Với
5x y=
thay vào (1) ta có
2 2
1 2
18 9
2 2
y y y= ⇔ = ⇔ = ±
tương ứng
5 2
2
x = ±
.
Với
3
2
y
x =
thay vào (1) ta có
2
4 2y y= ⇔ = ±
tương ứng
3x
= ±
.

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là
( ) ( )
5 2 2 5 2 2
; ; ; ; 3;2 ; 3; 2 .
2 2 2 2
   
− − − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Thí dụ 2: Giải hệ phương trình
( )
2 2
3 3
30 (1)
35 2
x y y x
x y

+ =


+ =


Phương trình này là phương trình đối xứng loại một tuy nhiên chúng ta cũng có thể giải
theo phương pháp đồng bậc.
Giải: Lấy (1) nhân 7 và (2) nhân 6 ta được phương trình đồng bậc
( ) ( )
( ) ( ) ( )

2 2 3 3 3 2 2 3
3
7 6 6 7 7 6 0 2 3 3 2 0
2
2
3
x y
x y y x x y x x y y x y x y x y x y x y
x y


= −


+ = + ⇔ − − − = ⇔ + − − = ⇔ =



=

Với
x y= −
thay vào (2) suy ra vô nghiệm.
Với
3
2
x y=
thay vào (2) ta có
3
8 2y y= ⇔ =

suy ra
3x
=
.
Với
2
3
x y=
thay vào (2) ta có
3
27 3y y= ⇔ =
suy ra
2x
=
.
Vậy hệ có nghiệm là
( ) ( )
3;2 , 2;3
.
Thí dụ 3: Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
3 3
2 1 1
2 2 2
y x
x y y x

− =



− = −


Giải: Từ (1) và (2) ta được phương trình đồng bậc
( )
( ) ( )
( )
( )
3 3 2 2 3 2 2 3 2 2
2 2
2 2 2 2 2 5 0 3 5 0

3 5 0 3
x y y x y x x x y xy y x y x xy y
x y
x xy y
− = − − ⇔ + + − = ⇔ − + + =
=

⇔

+ + =

Với
x y=
thay vào (1) ta được
2
1 1y y= ⇔ = ±

.
Ta có
2
2 2 2
3 11
3 5 0
2 4
x xy y x y y
 
+ + = + + ≥
 ÷
 
. Rõ ràng
0x y= =
không phải là nghiệm hệ
phương trình. Vậy (3) vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có nghiệm là
( ) ( )
1;1 , 1; 1− −
.
Thí dụ 4: Giải hệ phương trình
( )
( )
2 1
5 3 2
x y x y y
x y

+ + − =



+ =


Giải: Điều kiện của phương trình
0x y≥ ≥
Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc
( )
2 2 2 2
2
2 2
2
2 0
2 2x+2 4 2
2
2
2
0
5 4 0
5 4 0
y x
x y x y y x y y x y y x
x y y x
y x
y x
y
y xy
y x
− ≥



+ + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔

− = −


≥

≥


⇔ ⇔
=

 
− =



− =


Với
0y =
thay vào (2) ta suy ra
9x =
(loại)
Với
5 4 0y x− =
thay vào (2) ta có

4
1 1
5
x x y= ⇔ = ⇒ =
(thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
4
1;
5
 
 ÷
 
.
Thí dụ 5: Giải hệ phương trình
2 2
5 5
3 3
3
31
7
x xy y
x y
x y

+ + =


+
=


+

Giải: Điều kiện của phương trình
x y≠ −
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
5 5
5 5 3 3
3 3
3
3 1
31
7 31 2
7
x xy y
x xy y
x y
x y x y
x y

+ + =

+ + =
 
⇔
 
+

=
+ = +
 

+

Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc
( ) ( ) ( )
( )
5 5 2 2 3 3 5 4 3 2 4 4
21 31 10 31 31 31 10 0 3x y x xy y x y x x y x y xy y+ = + + + ⇔ + + + + =
.
Rõ ràng
0x y= =
không phải là nghiệm hệ phương trình. Đặt
x ty=
thay vào (3) ta được:
( )
( )
( )
5 5 4 3 5 4 3
4 3 2
4 3 2
10 31 31 31 10 0 10 31 31 31 10 0
1 0
1 10 21 10 21 10 0
10 21 10 21 10 0
y t t t t t t t t
t
t t t t t

t t t t
+ + + + = ⇔ + + + + =
+ =

⇔ + + + + + = ⇔

+ + + + =


Với
1 0 1t t+ = ⇔ = −
hay
0x y x y= − ⇔ + =
(loại).
Với
( )
4 3 2
10 21 10 21 10 0 3t t t t+ + + + =
. Vì
0t
=
không phải là nghiệm của phương trình (3)
chia hai vế phương trình cho
2
t
ta được:
2
2
1 1
10 21 10 0t t

t t
   
+ + + + =
 ÷  ÷
   
,
Đặt
2 2 2 2
2 2
1 1 1
2; u 2 2u t u t t u
t t t
= + ⇒ ≥ = + + ⇒ + = −
. Khi đó (3) trở thành
2
2
5
10 21 10 0
5
2
u
u u
u

=

+ − = ⇔


= −



Với
5
2
u = −
ta có
2
2
1 5
2 5 2 0
1
2
2
t
t t t
t
t
= −


+ = − ⇔ + + = ⇔

= −

Với
2t = −
ta có
2x y= −
thế vào (1) ta có

2 2
3 3 1 1y y y= ⇔ = ⇔ = ±
tương ứng
2x = m
.
Với
1
2
t = −
ta có
2y x= −
thế vào (1) ta có
2 2
3 3 1 1x x x= ⇔ = ⇔ = ±
tương ứng
2y = m
.
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là
( ) ( ) ( ) ( )
1; 2 , 1;2 , 2; 1 , 2;1 . − − − −
Thí dụ 6: Giải hệ phương trình
3 4
2 2 3
7
2 9
x y y
x y xy y

− =



+ + =


Giải:
( )
( )
( ) ( )
3 3
3 4
2 2 3
2
7 1
7
2 9
9 2
y x y
x y y
x y xy y
y x y

− =

− =
 
⇔
 
+ + =

+ =




Từ hệ suy ra
.y 0; y, y 0x x≠ ≠ ± >
.
Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn. Lấy hai phương trình
thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc:
( )
( )
3
3 3 3
3
8
4
4
7
9
y x y
y x y
−
=
+
. Đặt
x ty=

ta được phương trình:
( )
( )
( )

3
3
3
8
4
1
7
3
9
1
t
t
−
=
+
. Từ phương trình này suy ra
1t >
.
Xét
( )
( )
( )
3
3
8
1
; t 1.
1
t
f t

t
−
= ∀ >
+
(loại)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 3 2
8 7 7
2 3 3 3 3 2 3
8 8
2
7
3 3 2
8
9 1 1 8 1 1 1 1 9 9 8 8
f'
1 1
1 1 9 8

0 1
1
t t t t t t t t t t
t
t t
t t t t
t
t
− + − + − − + + − +
= =
+ +
− + + +
= > ∀ >
+
Vậy f(t) đồng biến với mọi
1t >
. Nhận thấy
2t =
là nghiệm của (3). Vậy
2t =
là nghiệm
duy nhất. Với
2t
=
ta có
2x y=
thế vào (1) ta được
4
1 1y y= ⇔ =
(vì

0y >
) suy ra
2x
=
.
Vậy hệ có nghiệm là
( )
2;1
.
Bài tập tự làm
Giải các hệ phương trình sau
Bài 1:
3 3 2
4 4
1
4 4
x y xy
x y x y

+ − =


+ = +


.
Bài 2:
( )
3 3
2 2

8 2
3 3 1
x x y y
x y

− = +


− = +


.
Bài 3:
2 0
1 4 1 2
x y xy
x y

− − =


− + − =


Bài 4:
3 2 2 3
6 9 4 0
2
x x y xy y
x y x y


− + − =


− + + =


Bài 5:
4 4
6 6
1
1
x y
x y

+ =


+ =


Bài 6:
5 5
9 9 4 4
1x y
x y x y

+ =



+ = +


Bài 7:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y

− + =


+ − =


Bài 8:
2 2
2 2 2
x xy y 3(x y)
x xy y 7(x y)

− + = −



+ + = −


Tác giả
Lê Xuân Thắng
GV THPT Triệu Sơn 4, Triệu Sơn, Thanh Hóa