day cac dang toan ve phan so cho hoc sinh gioi lop 4

Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 1

DẠY CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở
LỚP 4

A. Phần mở đầu:
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tôi được BGH nhà trường phân công dạy khối lớp 4 được 3 năm liền. Qua
nhiều lần trăn trở về chất lượng của học sinh ở môn Toán cùng với việc kết hợp
rút kinh nghiệm trong các tiết học và tình hình học tập trên lớp của học sinh qua
các năm học, phần mà học sinh khối lớp 4 vướng phải nhiều nhất ở môn toán là
mạch kiến thức về phân số. Vì thế tôi cần nghiên cứu tìm giải pháp giúp học
sinh học tốt mạch kiến thức này nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh
về môn toán.
- Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 4, hơn thế nữa trong các kì thi
học sinh giỏi hiện nay thì các bài toán về phân số luôn xuất hiện . Vì thế , việc
giải thành thạo các bài toán về phân số là một yêu cầu khó đối với tất cả các em
học sinh, đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi .
Chính vì vậy tôi đã đi sâu tìm tòi và nghiên cứu cách dạy các bài toán về phân số
để bồi dưỡng cho những học sinh khá và giỏi toán ở lớp 4, nhằm giúp các em có
kiến thức một cách hệ thống các dạng toán về phân số, giúp các em tháo gỡ khó
khăn khi gặp các bài toán về phân số trong các đề thi học sinh giỏi. Tôi xin trình
bày một số kinh nghiệm hướng dẫn, bồi dưỡng học sinh, đặc biệt là học sinh
giỏi giải các dạng bài toán về phân số nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu về “ Dạy các dạng toán về phân số cho học sinh giỏi toán lớp 4”
từ đó đưa ra những kiến nghị cụ thể nhằm giúp việc giảng dạy đội tuyển đạt kết
quả cao.

III. KẾT QUẢ CẦN ĐẠT ĐƯỢC

- Nâng cao chất lượng học sinh giỏi ở lớp 4 tạo nền tảng cho các em học
tốt toán ở lớp 5 và các lớp trên.

IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Đội tuyển học sinh giỏi toán 4

V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Chương phân số – toán 4
1. Mục đích nghiên cứu.
Tôi chọn đề tài nghiên cứu này để giúp cho việc dạy học phần phân số của lớp 4
được tốt hơn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở Tiểu học.
2. Khách thể và đối tượng nghiên cứu.
3.1 Khách thể nghiên cứu.
Ngi Thc hin: Bựi Vn Quyn 2

Phng phỏp dy hc mụn Toỏn Tiu hc.

3.2 i tng nghiờn cu.
Dy hc phõn s lp 4
3. Gi thuyt khoa hc
Cht lng dy hc phn phõn s lp 4 s c nõng cao nu nh trong quỏ
trỡnh dy hc giỏo viờn bit cỏch dy mt cỏch hp lý.
4. Nhim v nghiờn cu.
4.1. Tỡm c s lý lun ca vn nghiờn cu.
4.2. iu tra thc trng dy hc phn phõn s ca m s giỏo viờn v hc
sinh mt s trng Tiu hc
4.3. xut cỏch dy phõn s lp 4
5. Gii hn phm vi nghiờn cu.
Phn phõn s ca mụn Toỏn lp 4
6. Phng phỏp nghiờn cu.

hon thnh sỏng kin ny tụi ó s dng cỏc phng phỏp:
+ Phng phỏp nghiờn cu ti liu.
+ Phng phỏp iu tra kho sỏt.
+ Phng phỏp th nghim.
+ Phng phỏp kim tra ỏnh giỏ.
+ Phng phỏp phõn tớch tng hp.

PHN 2. NI DUNG
I. C S L LUN
Phân số và các phép tính liên quan đến phân số thực chất là quá trình mở
rộng và nâng cao của các phép tính số tự nhiên. Trong quá trình dạy học việc xây
dựng các khái niệm về phân số là rất quan trọng trong việc dạy học về phân số.
Khái niệm phân số:
+ Dựa trên các khái niệm các phân số bằng nhau của một đơn vị trên cơ sở
hoạt dộng đối với việc đo một đại l-ợng nào đó.
+ Hình thành khái niệm nh- là một loại số để ghi lại kết quả của một phép
chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác không và có d
Nh- vậy: Phân số là một cách biểu diện của một phép đo , phép chia có d- của
hai số tự nhiên.
+ Phân số bằng nhau: Các phân số đ-ợc biểu diễn cùng một điểm trên tia số
là các nhân số bằng nhau.
+ Phân số đặc biệt: Trong quá trình hình thành các phân số sự mở rộng tập
số tự nhiên đều đ-ợc coi là một phân số ( Hay mỗi số tự nhiên có thể coi là phân
số đặc biệt mà mẫu số là 1)
+ Rút gọn phân số: Là cách đ-a về một phân số đại diện.
+ Quy đồng các phân số: là cách tìm phân số mới bằng phân số đại diện.
Việc quy đồng, rút gọn phân số thực chất là tiền đề để đ-a về cách so sánh các
phân số ( hay thứ tự sắp xếp các phân số )
Ngi Thc hin: Bựi Vn Quyn 3

+ So sánh các phân số: So sánh phân số với 1, cùng mẫu số, khác mẫu số. Hình
thành các b-ớc cần thực hiện để so sánh các yếu tố, ngoài ra từ cách đó có thể
coi cách so sánh bằng việc chuyển về các phân số có các tử số bằng nhau ( gọi là
quy đồng tử số ) đ-ợc coi là hệ quả của quy tắc quy đồng mẫu số. Ngoài ra còn
có cách khác có thể sử dụng một phân số khác ( phân số trung gian ). Sử dụng
phân số trung gian (ngầm công nhận tính chất bắc cầu). Cách sử dụng phần bù:
dựa trên nhận xét nếu số bị trừ không thay đổi mà số trừ tăng lên hay giảm đi thì
hiệu số giảm đi hoặc tăng lên. Nhận xét này cũng đ-ợc sử dụng nh- là mở rộng
trong phép trừ.
VD: So sánh:
2005
2
và
2007
2
suy ra
2005
2
>
2007
2

Suy ra : 1-
2005
2
< 1-
2007
2

Việc biểu diễn các phân số trên tia số ( mẫu số nhỏ) . Việc so sánh các phân

số một mặt bảo toàn đ-ợc tính chất thứ tự của các số tự nhiên. Dựa hai số tự
nhiên liên tiếp không có một số tự nhiên nào cả. Tính chất rời rạc của số tự nhiên
đã đ-ợc xoá sổ giữa các phân số có tính tru mật ( tính dày đặc) giữa hai phân số
bao giờ cũng có ít nhất một phân số xen giữa bằng cách chỉ ra rằng phân số:
b
a
<
d
c
thì
b
a
<
db
ca


<
d
c
Điều này cũng có thể thấy đ-ợc thông qua hình ảnh trên tia
số .

II. THC TRNG VIC DY V HC
V hc sinh
Qua cỏc nm tụi ó trc tip ging dy hc sinh khi 4, 5, nhỡn chung vic
gii toỏn cú li vn ca hc sinh cũn cú nhiu vng mc trong cỏch lp lun v
gii c bit l gii toỏn v phõn s. Nht l i vi hc sinh lp 4 mi tip xỳc,
lm quen vi kin thc phn phõn s cỏc em cũn b ng. Qua kho sỏt nhng
nm trc cỏc em ch bit gii nhng bi toỏn cng, tr, nhõn, chia phõn s n

gin, khi gp nhng bi toỏn v phõn s phc tp hn thỡ cỏc em cũn lung tỳng,
khụng bit tỡm phng phỏp gii quyt vn . T ú chỳng tụi nhn thy
kh nng t duy, lp lun ca hc sinh cha cao, cha thc s bit phõn tớch,
khỏi quỏt, tng hp bi toỏn. Nguyờn nhõn dn n tớnh trng trờn l hc sinh
cha bit phng phỏp vn dng kin thc c bn ỏp dng vo gii nhng bi
toỏn nõng cao, phõn tớch, tng hp, phỏt hin cỏc em cũn hn ch.
- Vic vn dng cỏc tớnh cht ca phõn s, cỏc qui tc tớnh chm.
- Cỏc tớnh cht ca cỏc phộp tớnh v phõn s tru tng nhiu hc sinh
khú nhn bit, mi quan h gia cỏc thnh phn trong cỏc phộp tớnh v phõn s
nhiu hc sinh khụng phỏt hin c do kh nng quan sỏt cha nhanh.
Thc t s em gii c v ỳng bi tp ny rt ớt, phn nhiu gii sai
hoc b giy trng, nhiu em gii di dũng cha nhanh. Tỡm hiu nguyờn nhõn
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 4

thấy rằng các em không biết quan sát, so sánh, các phân số trong tổng, không
phân tích được qui luật có trong dãy phân số đó để tính nhanh.

Từ thực trạng, tôi rất băn khoăn và trăn trở, làm thế nào để học sinh giái bài
toán về phân số tốt hơn. Chúng tôi đã nghiên cứu, tìm tòi và áp dụng một số
phương pháp hướng dẫn học sinh khá giỏi giải các bài toán về phân số
2. Về giáo viên
- Phương pháp dạy các bài toán về phân số còn chưa phù hợp với nhận
thức và trình độ của học sinh, không gây được hứng thú và sự say mê học toán
của các em.
3. Kết quả
Với 20 học sinh lớp 4 năm học trước và đề kiểm tra chất lượng học sinh
giỏi của trường năm học này.
Bài toán về phân số được học sinh giải quyết với kết quả như sau :
G : 1 em =5% TB : 8 em =40%
K : 5 em = 25% y : 6 em = 30%

III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Trong quá trình bồi dưỡng nội dung về phân số cho học sinh giỏi toán ở
lớp 4, tôi chia làm các dạng bài như sau:
a. Bài toán cấu tạo số
b. so sánh phân số
c. dạng bài tập viết thêm các phân số ở giữa 2 phân số cho sẵn
d .dạng bài tập viết phân số dưới dạng tổng các phân số
e . dạng bài tập tính nhanh
g. toán đố về phân số
Trong mỗi phần đều có tóm tắt lí thuyết , các bài toán mẫu – các
thủ thuật tính toán – cách nhận dạng bài và các bài tập vận dụng để rèn
kĩ năng tính toán .
Các bài toán về phân số có thể phân ra thành mấy dạng cơ bản:
– Các bài toán về cấu tạo phân số (tìm một phân số khi biết mối quan
hệ giữa tử số và mẫu số của phân số đó).
– Các bài toán về so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp
xếp các phân số theo thứ tự cho trước).
Các bài toán về rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về phân số (tính giá trị biểu
thức bằng cách hợp lí nhất, tìm thành phần chưa biết của phép tính,
– Giải toán có văn về phân số (bao gồm các bài toán có lời văn với
các số liệu cho trong đề bài là phân số).
DẠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ CẤU TẠO PHÂN SỐ
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 5

Khi giải các bài toán có dạng này, ta có thể đưa về dạng toán có văn điển
hình (tìm hai số khi biết tổng và tỉ, hiệu và tỉ, tổng và hiệu) hoặc dùng
phương pháp thử chọn. Ngoài ra, có thể bổ sung thêm một số tính chất
sau:

Tính chất 1: Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng
một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi.
Tính chất 2: Khi bớt đi ở tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự
nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi.
Tính chất 3: Khi thêm vào (hoặc bớt đi) ở tử số, đồng thời bớt đi (hoặc
thêm vào) mẫu số của một phân số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử
số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
Ví dụ :
Tổng của tử số và mẫu số của một phân số nhỏ hơn 1 bằng 10. Nếu chia
cả tử và mẫu cho 2 ta được phân số tối giản. Tìm phân số đó.
Giải: Ta có bảng phân tích 10 thành tổng của các cặp số sau:

Các phân số nhỏ hơn 1 có tổng của tử và mẫu bằng 10 là:

Bằng phương pháp thử chọn, ta nhận được hai phân số cần tìm là và
. :
VD : Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 315. Tử
số lớn hơn mẫu số 6 đơn vị. Tìm phân số đó.
Giải: Ta có bảng phân tích số 315 thành tích của các cặp số sau

Cá
c
phâ
n
số lớn hơn 1 có tích của tử và mẫu bằng 315 là:
315
1
3
5
7

9
15

315
105
63
45
35
21
3


5

4

0

1

2
10

10

9

8

7

6

5

Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 6


Bằng phương pháp thử chọn, ta nhận được phân số cần tìm là .
Ví dụ 4.3:
Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156. Sau khi rút gọn ta
được phân số . Tìm phân số đó.
Giải: Theo đề bài ta có sơ đồ:

?

Tử số 156 Mẫu số
Tử số của phân số cần tìm
là 156 : (5 + 7) ×
5 = 65.
Mẫu số của phân số
cần tìm là 156 –
65 = 91.
Cách giải tổng quát dạng: Bớt tử và thêm vào mẫu cùng một sô tự nhiên.
Bước 1: Tìm tổng tử sô và mẫu số phân số đã cho.
Bước 2: Nêu lưu ý: Khi bớt ở tử số và thêm vào mẫu số cùng một số tự nhiên thì
tổng trên không thay đổi.
Bước 3: Vẽ sơ đồ tìm tổng số phần bằng nhau.
Bước 4: Tìm tử số của phân số mới ( hoặc mẫu số của phân số mới)
Bước 5: Tìm số cần tìm.

VD Cho phân số
19
7
Hỏi phải thêm vào tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên là
bao nhiêu để được phân số bằng phân số
3
2
.
Hướng dẫn học sinh giải
Khi thêm váo tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa mẫu số và tử
số có thay đổi không? ( Không thay đổi).
- Để được phân số bằng phân số
3
2
, vậy tử số có mấy phần bằng nhau và mẫu số
có mấy phần như thế? ( Tử số có 2 phần bằng nhau và mẫu số có 3 phần như
thế)
Bài giải:
Hiệu mẫu số và tử số của phân số
19
7
là:

12719 

?
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 7

Khi thêm vào tử số và mẫu số của phân số cùng một sô tự nhiên thì hiệu trên

không thay đổi.
Ta có sơ đồ: ?
Tử số phân số mới: 12
Mẫu số phân số mới:
Hiệu số phần bằng nhau là:

123 
(phần)
Tử số phân số mới:

2421:12 

Số phải thêm vào tử số và mẫu số là:

17724 

Đáp số: 17
Cách giải tổng quát dạng:
Thêm vào tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên.
Bước1: Tìm hiệu của mẫu số và tử số cảu ohân số đã cho.
Bước 2: Nêu ý: Khi thêm vào mẫu số và tử sô cùng một số tự nhiên thì hiệu gứi
tử số và mẫu số khong thay đổi.
Bước 3: Vẽ sơ đồ, tìm hiệu số phần bằng nhau.
Bước 4: Tìm tử số của phân số mới , hoặc mẫu số của phân số mới.
Bước 5: Tìm số cần tìm.


VD Cho phân số
24
19

. Hỏi phải bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên là bao
nhiêu để được phân số bằng phân số
2
1
.
Hướng dẫn học sinh giải cách 1: -
Khi bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hoiêụ giữa tử số và mẫu số
có thay đổi không? ( không thay đổi)
- Để được phân số bằng phân số
2
1
, vậy tử số có mấy phần bằng nhau, mẫu số
mấy phần như thế? ( tử số 1 phần thì mẫu số 2 phần như thế)
Bài giải ( cách1)
Hiệu giữa mẫu số và tử sô của phân số
24
19
là:

51924 

Khi bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hiệu trên không thay đổi.
Ta có sơ đồ: ?
Tử số phân số mới: 5
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 8

Mẫu số phân số mới:
Hiệu số phần bằng nhau là:

112 

( phần)
Tử số phân số mới là:

511:5 

Số cần bớt ở tử số và mẫu số là:

14519 

Đáp số: 14
Cách giải tổng quát dạng:
Bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên.
Bước1: Tìm hiệu giữa mẫu số và tử số đã cho.
Bước2: Lưu ý: Khi bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hiệu trên
không thay đổi.
Bước3: Vẽ sơ đồ, tìm hiệu số phần bằng nhau.
Bước4: Tìm tử số phân số mới hoặc mẫu số phân số mới
Bước5: Tìm số cần tìm.
Hướng dẫn học sinh giải (cách2)
Giả sử gọi số cần tìm là a thì ta được phân số có dạng như thế nào?
(có dạng
a
a


24
19
)
Phân số này bằng phân số nào? ( Bằng phân số
2

1
)
Bài giải:
Gọi số cần bớt ở tử số và mẫu số là a
Theo đề bài ta có:
2
1
24
19



a
a


 
   
a
a
a
a





242
24
224

219
( Quy đồng mẫu số hai phân số)

 
aa  24219
( hai phân số bằng nhau có tử số bằng nhau

aa  24238
=> tử số bằng nhau

aa  22438


a14

Vậy số cần tìm là 14
* Sau khi hướng dẫn HS giải 4 dạng toán trên, giáo viên nên củng cố lại cho học
sinh lưu ý sau:
+ Dạng thêm vào tử số và bớt ở mẫu số cùng một số tự nhiên hoặc hoăch dạng
toán bớt ở tử số và thêm vào mẫu số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và
mu số không thay đổi.
+ Dạng toán cùng thêm vào tử số và mẫu số một số tự nhiên hoặc dạng toán
cùng bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa mẫu số và tử số
không thay đổi.
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 9

55
41
57
40


VD Cho phân số
37
25
. Tìm một số tự nhiên c sao cho đêm mẫu số của phân số
đã cho trừ đi c và giữ nguyên tử số thì được phân số bằng phân số
6
5

Hướng dẫn học sinh giải cách 1:
- Đem mẫu số của phân số trừ đi c và giữ nguyên tử số ta được phân số có dạng t
như thế nào? ( Có dạng
c37
25
)
- Phân số trên bằng phân số nào? (9 Bằng phân số
6
5
)
Bài giải:
Đem mẫu số của phân số trừ đi c và giứ nguyên tử số ta được phân số có dạng
c37
25
;
 
37c
. Theo bài ra ta có:

6
5

37
25

 c


30
25
37
25

 c
( Tìm phân số bằng nhau)

3037  c


7c
Vậy số cần tìm là:7

B . DẠNG SO SÁNH PHÂN SỐ
1.Quy đồng tử số hoặc mẫu số
2. So sánh với 1
3. So sánh qua phân số trung gian
+ Dấu hiệu: TS1 > TS2, MS1 < MS2 và ngược lại ( PSTG
)

Ví dụ: và

+) Ta có:

Vậy


4. So sánh qua phần bù ( dấu hiệu: MS1 – TS1 = MS2 – TS2 hoặc hai hiệu này
gấp nhau một số lần)
Ví dụ 1: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
2001
2000
và
2002
2001

HD: - So sánh phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị của phân số
- Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ
hơn và ngược lại.
Giải
12
,
21
TS TS
MS MS
57
40
55
41
40 40 40 41
,
57 55 55 55


Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 10

Bước 1: (Tìm phần bù)
Ta có : 1
2001
1
2001
2000

1-
2002
1
2002
2001


Bước 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh)
Vì
2002
1
2001
1

nên
2002
2001
2001
2000


* Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1
B = mẫu 2 - tử 2
Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trường hợp A

B
ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới
có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau:

Ví dụ 2: So sánh:
2000
2001
và
2001
2002

HD: - So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của phân số:
- Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn
hơn.
Giải
Bước 1: Tìm phần hơn
Ta có:
2000
1
1
2000
2001


2001

1
1
2001
2002


Bươc 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.
Vì
2001
1
2000
1

nên
2001
2002
2000
2001


Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1
D = tử 2 - mẫu 2
Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C

D ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân
số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau.

5.So sánh qua phần hơn ( Dấu hiệu: TS1 – MS1 = TS2 – MS2 hoặc hai hiệu gấp
nhau một số lần)
VD1

6. Đưa về hỗn số để so sánh phần nguyên hoặc phần phân số
7. Đảo ngược các phân số để so sánh
Vd:
17 15
15 13
àv
17 2 15 2
ó 1 ; 1
15 15 13 13
Tac    
2 2 17 15
ìê
15 13 15 13
v n n
7 13
2 : à
3 11
VD v
7 4 13 2
ó 1 ; 1
3 3 11 11
tac    
4 4 7 13
ìê

3 22 3 11
V n n
11 17
à
52 76
v
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 11

à
ac
v
bd
42
à
93
v
24
36

4 4 4 16 4 4 4 16
à
9 9 4 36 6 6 4 24
xx
v
xx
   
16 16 16 16 16
36 35 29 25 24
   
4 16 16 16 2

9 35 29 25 3
   
16 16 16
,,
35 29 25
7
12
4
17
7 1 2 4 1 2 4 1 1 1
12 12 12 12 12 12 6 3

      
7 3 4 3 4 1 1
12 12 12 12 4 3

    


Hai phân số được đảo ngược là


Ta có

Thương lớn hơn 1 thì PS1 > PS2
Thương bé hơn 1 thì PS1 < PS2
8. Tìm thương của 2 PS và so sánh thương với 1
9. Kết hợp các cách so sánh trên để so sánh 2 phân số

C. DẠNG BÀI TẬP VIẾT THÊM CÁC PHÂN SỐ Ở GIỮA 2 PHÂN SỐ CHO SẴN

Tìm n phân số nằm giữa hai PS :
Hướng giải:
Đưa 2 phân số về 2 phân số có cùng Tử số (hoặc mẫu số.)
Tìm các phân số bằng cách lấy tử số và Mẫu số của 2 PS có cùng tử số ( hoặc
mẫu số) vừa tìm nhân với ( n+1).
VD1: Tìm 3 phân số nằm giữa 2 phân số
Ta có




Vì



Nên

Vậy 3 phân số cần tìm là:

D. DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHÂN SỐ DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC PHÂN SỐ

VD1; Phân tích PS , thành tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số
khác nhau.
a.




52 76

à
11 17
v
52 8 76 8
4 ; 4
11 11 17 17

8 8 52 76 11 17
ìê
11 17 11 17 52 76
v n n   
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 12

1
5
4 1 3
17 5 85

1
29
4 1 1 1 1
17 5 29 1233 3039345
   
b.
+ Lấy MS chia TS: 17 : 4 = 4(dư 1)
Ta tìm số hạng đầu tiên là 1 : ( 4+1)=
(TS là 1, MS = Thương + 1)
+ Thực hiện phép trừ:

+ Lấy 85 : 3 = 28 (dư 1)

Ta tìm được số hạng thứ 2 là: 1: (28+1)=

Tương tự như vậy ta sẽ có:


E. DẠNG BÀI TẬP TÍNH NHANH
Ví dụ 1.Tính giá trị của các biểu thức sau đây bằng cách nhanh nhất:
a.
5
3
+
11
6
+
13
7
+
5
2
+
11
16
+
13
19
; b.
1997
1995
x

1993
1990
x
1994
1997
x
1995
1993
x
995
997

HD : Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng , phép nhân phân
số .
Giải.
a.
5
3
+
11
6
+
13
7
+
5
2
+
11
16

+
13
19
=







5
2
5
3
+







11
16
11
6
+








13
19
13
7

=
5
5
+
11
22
+
13
26
= 1 + 2 + 2= 5
b.
1997
1995
x
1993
1990
x
1994
1997
x

1995
1993
x
995
997
=












1994
1997
1997
1995
x
x
995
997
1995
1993
1993
1990

xx







=
1
19952997
19972995
995
997
1994
1990
995
997
1995
1990
1994
1995







xx

xx
xxx

Dạng: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau
gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần.
Cách giải:
Cách 1:
Bước 1: Đặt A =
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1


Bước 2: Ta thấy:
2
1
1
2
1


4
1
2
1
4
1



8
1
4
1
8
1


Bước 3: Vậy A =





























64
1
32
1

8
1
4
1
4
1
2
1

2
1
1

Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 13

A =
64
1
32
1

8
1
4
1
4
1
2
1
2
1
1 

A = 1 -
64
1

A =
64

63
64
1
64
64


Đáp số:
64
63
.

Ví dụ 2: A =
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1


Dạng : Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số
liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần. (n > 1)
Cách giải:

Bước 1: Tính A x n (n = 2)
Ta có: A x 2 = 2 x







64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1

=
64
2
32
2
16
2
8

2
4
2
2
2


=
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1 

Bước 2: Tính A x n - A = A x (n - 1)
A x 2 - A =









32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1







64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1

A x (2 - 1) =
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1 
-
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1


A = 1 -
64

1

A =
64
63
64
1
64
64


Dạng : Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2
thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là
thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:
Giải
A =
65
56
54
45
43
34
32
23
xxxx









=
65
5
65
6
54
4
54
5
43
3
43
4
32
2
32
3
xxxxxxxx


=
6
1
5
1
5
1

4
1
4
1
3
1
3
1
2
1


=
3
1
6
2
6
1
6
3
6
1
2
1


Ví dụ 3 :
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 14

a
b
a
b
a
b
a
b
1
3
2
5
B =
1411
3
118
3
85
3
52
3
xxxx



Giải
B =
.
1411
1114

118
811
85
58
52
25
xxxx








B =
1411
11
1411
14
118
8
118
11
85
5
85
8
52
2

52
5
xxxxxxxx


=
14
1
11
1
11
1
8
1
8
1
5
1
5
1
2
1


=
7
3
14
6
14

1
14
7
14
1
2
1



Ví dụ 4:
997
995
1993
1994
1992
1993
1991
1992
1990
1991


Dạng : Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có quan hệ
về tỉ số với mẫu số của phân số kia.
Giải

=
997
995

1993
1994
1992
1993
1991
1992
1990
1991
















=
997
995
1992
1994
1990

1992









=
997
995
1990
1994


=
997
995

995
997

= 1
G. TOÁN ĐỐ VỀ PHÂN SỐ
Nắm chắc kiến thức về:
Tìm một số biết giá trị một phân số của nó;

Tìm số M , biết của nó bằng c. Vậy M = c :

-Tìm giá trị phân số của một số cho trước.

của số M = M x
VD: Nam đọc quyển sách trong ba ngày. Ngày thứ nhất đọc số

trang. Ngày thứ hai đọc số trang còn lại. Ngày thứ ba đọc nốt 36 trang
còn lại. Hỏi quyển sách dày bao nhiêu trang?
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 15

12
1
33

2 2 4
3 5 15
x 
1 4 2
1
3 15 5

  


2
36 : 90
5

1
5

14
1
55

12
15

31
1
44

12
48

23
1
55

12
20

PS chỉ số trang còn lại sau khi đọc ngày thứ nhất ( số trang sách)
Phân số chỉ số trang sách đọc ngày thứ hai: ( số trang sách)
Phân số chỉ 36 trang là: ( số trang sách)

Quyển sách dày số trang là ( trang)
VD: Một trang trại có 166 con dê, bò và trâu. Người ta bán số con trâu,
sốcon bò, số dê thì số con còn lại của mỗi loại bằng nhau. Lúc đầu mỗi loại
có bao nhiêu con.
Hướng giải: - Tìm PS chỉ số con còn lại của mỗi loại.

- Đưa các phân số đó về cùng tử số
- Mẫu số của các phân số chính là tỉ số của số con mỗi loại.
- Đưa bài toán về dạng tổng- tỉ.
c Phân số chỉ số trâu còn lại là ( số trâu )ỉ â u còn lại là
Phân số chỉ số bò còn lại là ( Số bò)
u) Phân số chỉ số dê còn lạ là
( số dê)

Tỉ số giữa số trâu, số bò, số dê lúc đầu lần lượt là: 15,48,20.
Hướng giải:
- Xác định đại lượng không đổi ( Số HS cả lớp)
- Lập tỉ số giữa các đại lượng đã cho với đại lượng không đổi.
VD3: Số học sinh khá của lớp 5A là số học sinh còn lại của lớp. Nếu tính cả 4
em học sinh giỏi thì số học sinh khá giỏi của lớp bằng số học sinh còn lại.
Tính số học sinh khá của lớp.
Hướng giải:
- Xác định đại lượng không đổi ( Số HS cả lớp)
- Lập tỉ số giữa các đại lượng đã cho với đại lượng không đổi.
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 16

Số học sinh khá bằng 2: ( 2 + 5 ) = ( HS cả lớp )
Số HS khá giỏi bằng 2 : ( 2+ 3 ) = ( HS cả lớp )
Tìm xem 4 học sinh giỏi tương ứng với bao nhiêu phần đại lượng không đổi.
+ 4 HS giỏi bằng: - = ( HS cả lớp )
+Tìm số HS cả lớp : 4 : = 35 ( Học sinh )
+ Tìm HS khá
VD4: Mẹ mang số gà trong chuồng đi bán. Sau khi bán được 4 con thì thấy
số con
mang bán còn lại bằng số gà còn lại trong chuồng. Hỏi lúc đầu trong
chuồng có bao nhiêu con?

HƯỚNG GIẢI:
Nhận xét: Tổng số gà thay đổi, số gà mang đi bán thay đổi. Số gà còn lại trong
chuồng không thay đổi.
- Lập tỉ số số gà mang đi bán với số gà còn lại trong chuồng: 3: ( 7- 3 ) =
Vì sau khi bán 4 con . Số gà mang đi bán còn lại bằng số gà trong chuồng,
nên 4 con gà tương ứng - = ( số gà còn lại trong chuồng )
- Tìm số gà còn lại trong chuồng
- Tìm số gà lúc đầu

MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐỐ VỀ PHÂN SỐ

1/ Các bước cơ bản cần thực hiện trong giải toán có lời văn:
Khi giảng dạy tôi hướng dẫn các em cụ thể qua các bước sau:
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 17

Bước 1: Đọc kĩ đề toán:
Ở bước đầu tiên này các em phải xác định cho đúng những cái đã cho, những
cái phải tìm và những mối quan hệ chính trong đề toán.
Bước 2: Tóm tắt bài toán
Sau khi đã phân tích đề, tôi hướng dẫn các em tóm tắt đề toán.
Từ những cái đã có và những thứ phải tìm tôi hướng dẫn các em dùng sơ
đồ, hình vẽ hay kí hiệu, lời văn ngắn gọn biểu diễn lại mối quan hệ này, sao cho
trực quan, sinh động.
Bước 3: Xác định dạng toán và giải toán
Từ những cái đã đọc, đã xem học sinh cần tìm ra được mối quan hệ và hướng
giải quyết bài toán.
Bước 4 : Thử lại
Đây là bước không thể thiếu trong giải toán, nhất là những bài toán được
sáng tạo từ bài toán gốc. Công việc này giúp các em có thể kiểm tra lại chắc
chắn bài làm của mình cũng như đánh giá được việc nhận dạng đề toán của bản

thân.
Dạng 1:Tìm một số khi biết tỉ số của số này với số cho trước.
Để giải quyết bài toán này chỉ cần nhớ: " Nếu số a bằng m/n số b thì a = m/n x
b". Xin minh họa bởi các ví dụ:
Ví dụ 1: Hãy cho biết 2/7 của 75 là bao nhiêu?
Giải : Ta có sơ đồ:

2/5 của 75 là : 75 : 5 x 2 = 30 hay 75 x 2/5 = 30.
Ví dụ 2 : Tìm 3/4 của 5/6
Giải : Ta có sơ đồ :

3/4 của 5/6 là : 5/6 : 4 x 3 = 5/8 hay 5/6 x 3/4 = 5/8.
Dạng 2: Tìm một số khi biết tỉ số của số đã biết với số này.
Bài toán này ngược với bài toán trên. chỉ cần nhớ : "Nếu đã cho số a và tỉ số
giữa a và b là m/n thì b = a : m/n".
Ví dụ 1 : Biết 2/3 của một số là 20. Hãy tìm số đó.
Giải : Ta có sơ đồ :

Số cần tìm là :
20 : 2 x 3 = 30 hay 20 : 2/3 = 30.
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 18

Ví dụ 2 : Biết 8/9 của một số là 2/3. Tìm số đó.
Giải : Ta có sơ đồ :

Số cần tìm là :
2/3 : 8 x 9 = 3/4 hay 2/3 : 8/9 = 3/4.
Từ hai bài toán cơ bản các bạn có thể giải một lớp các bài toán có lời văn về
phân
Dạng 3: Tìm một số khi biết giá trị của một phân số của số ấy.

Giải
Phân số chỉ số tuổi của con trai so với tuổi mẹ là:
3 2 3
4 5 10

(tuổi mẹ)
Phân số chỉ số tuổi của cả ba mẹ con là:
2 3 17
1
5 10 10
  
(tuổi mẹ)
Tuổi mẹ là:
17
85 : 50
10

(tuổi)
Tuổi con gái là:
2
50 20
5

(tuổi)
Tuổi con trai là:
3
20 15
4

(tuổi)

Đáp số: Mẹ: 50 tuổi
Con gái: 20 tuổi
Con trai: 15 tuổi
Bài toán: Một giá sách có ba ngăn. Số sách ở ngăn thứ ba bằng
3
2
số sách ở
ngăn thứ nhất. Số sách ở ngăn thứ hai bằng
3
4
số sách ở ngăn thứ nhất. Biết
ngăn thứ ba có nhiều hơn ngăn thứ hai 45 cuốn. Hỏi số sách ở mỗi ngăn là bao
nhiêu ?
Giải
Theo bài ra ta có:
Phân số chỉ số sách 45 cuốn là:
3 3 3
2 4 4

(ngăn thứ nhất)
Số sách ở ngăn thứ nhất là:
3
45 : 60
4

(cuốn)
Số sách ở ngăn thứ hai là:
3
60 45
4


(cuốn)
Số sách ở ngăn thứ ba là:
45 45 90
(cuốn)
Đáp số: Ngăn I: 60 cuốn
Ngăn II: 45 cuốn
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 19

Ngăn III: 90 cuốn

Dạng 4: Tổng - tỉ; hiệu – tỉ

VD: Cô Linh bán cam và bưởi được 460 kg. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu
kg. Biết 2/3 số cam bằng 3/7 số bưởi.
Giáo viên hướng dẫn các em giải bài toán như sau:
Đề cho : Tổng là 460. 2/3 cam bằng 3/7 bưởi. Tìm số kg mỗi loại.
Đề cho tổng nhưng thiếu tỉ, cần tìm thêm tỉ số. ( 3/7 : 2/3 = 9/14 )
Tóm tắt :
Số cam là : ?
Số bưởi là : ?
Bài giải
Tỉ số giữa số cam và bưởi là : 3/7 : 2/3 = 9/14
Tổng số phần bằng nhau là: 9 + 14 = 23 (phần)
Giá trị một phần : 460 : 23 = 20 (kg)
Số cam là : 20 x 9 = 180 (kg)
Số bưởi là : 20 x 14 = 280 (kg)
Hay : 460 - 180 = 280
Đáp số: Cam là : 180 kg.
Bưởi là : 280 kg.

Thử lại : 180 + 280 = 460.
180 x 120
280 x 120.

Bài toán :
Cho phân số . Khi lấy mẫu số trừ đi một số tự nhiên và lấy tử số của
phân số đó cộng với chính số tự nhiên đó thì được phân số mới bằng với phân số
. Tìm số tự nhiên đó.
Giáo viên hướng dẫn các em giải bài toán như sau:
Đề cho : Phân số 75/195. Bớt mẫu thêm tử cùng 1 số ( tổng tử số và mẫu số
không đổi ). Tỉ số mới là 3/7. Tìm số đã thêm, bớt.
Đề cho phân số ( tổng ), tỉ, cần tìm tổng mới.
Tóm tắt :
Tử số mới : ?
Mẫu số mới : ?
Bài giải
Tổng tử số và mẫu số của phân số mới là : 75 + 195 = 270
Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 7 = 10 (phần)
Giá trị một phần : 270 : 10 = 27 .
460
75 + 195
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 20

Tử số của phân số mới là : 27 x 3 = 81.
Số thêm vào tử số là : 81 – 75 = 6.
( Hoặc ) Mẫu số của phân số mới là : 27 x 7 = 189.
Số bớt ở mẫu số là : 195 - 189 = 6.
Đáp số: Số thêm, bớt là : 6
Thử lại : 195 – 6 = 189 ; 75 + 6 = 81.
.

Dạng 5: Loại khử về phân số
Bài toán: Cả đàn trâu và bò có tất cả 50 con. Biết rằng nếu
2
5
số trâu
và
3
4
số bò gộp lại thì được 27 con. Tính số trâu? số bò?
Giải
Theo bài ra ta có: trâu + bò = 50 con (1)

2
5
trâu +
3
4
bò = 27 con (2)
Nhân cả hai vế của (1) với
3
4
ta có:

3
4
trâu +
3
4
bò =
75

2
(3)
Đem từng vế của (3) trừ đi từng vế của (2). Ta có:

3
4
trâu -
2
5
trâu =
75
27
2



7
20

trâu =
21
2

trâu =
21 20
30
72




(con)


Số bò là: 50 – 30 = 20 (con)
Đáp số: trâu: 30 con
bò: 20 con
IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
Sau một thời gian nghiên cứu và dạy cho học sinh khá giỏi các dạng toán liên
quan đến phân số, kết quả cho thấy:
- Củng cố cho học sinh vững chắc hơn các kiến thức về phân số. Khi các em
hiểu kiến thức về phân số một cách có hệ thống, từ đó vận dụng vào từng dạng
bài tập một cách dễ dàng. Giải được các bài tập khó mà không ngại, không sợ.
- Kĩ năng giải các bài toán được hình thành qua nhiều bài luyện tập như tìm hiểu
bài toán, phân tích các dữ kiện đầu bài, lập kế hoạch giải toán và trình bày lời
giải rất nhanh, rất khoa học.
- Khả năng lập luận, diễn đạt trong việc giải toán của các em chặt chẽ hơn, lô gíc
hơn.
- Ngoài ra các em còn rất hứng thú và yêu thích học toán, nhất là các bài toán về
phân số, nhiều em có kĩ năng, kĩ xảo giải toán tốt.
- Kết quả cụ thể như sau (lấy ở kết quả kiểm tra chất lượng học sinh giỏi)
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 21


Điểm
20 em được bồi dưỡng
20 em khụng được bồi dưỡng
1 → 4


0

6em = 30%
5 → 6


6 em = 20%
8 em = 40%
7 → 8


8 em = 80 %
5 em = 30%
9 → 10
6 em = 30 %
1 em = 10%

Với kết quả bài kiểm tra chất lượng học sinh giỏi của trường, lớp 4 do tôi trực
tiếp bồi dưỡng có 12 em đạt học sinh giỏi cấp trường, trong đó điểm môn toán
đều đạt khá và giỏi.
Qua kết quả trên tôi thấy việc dạy cho học sinh giỏi các bài toán về phân
số thực sự đã góp phần nâng cao chất lượng học môn toán của các em học sinh
giỏi.
Trong phạm vi kiến thức về phân số ở lớp 4 tôi chỉ đưa ra và dạy một số
dạng tiêu biểu, phù hợp với nhận thức và trình độ học sinh lớp 4.


PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
Muốn truyền đạt cho học sinh nắm được cách giải các bài toán về phân số,
người giáo viên phải nghiên cứu, đọc nhiều tài liệu, sách tham khảo để tìm ra
các dạng bài tập theo nội dung kiến thức khác nhau một cách cụ thể. Sau đó sắp
xếp các bài toán đó theo hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.

Dạy các bài tập về phân số đòi hỏi học sinh phải huy động phối hợp nhiều
nội dung kiến thức khác về môn toán như các dạng toán cơ bản, các tính chất
của phép tính…. Để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ giáo viên phải phối hợp nhiều
phương pháp trong giảng dạy đặc biệt coi trọng việc phát huy tính tích cực, chủ
động sáng tạo của học sinh. Người giáo viên chỉ là người gợi mở dẫn dắt để học
sinh tự tìm ra cách giải. Dạy cho học sinh cách quan sát, phân tích các dữ kiện
của đầu bài, tìm hiểu mối liên hệ giữa các dữ kiện, cách suy luận lô gic để bài
giải chặt chẽ.
Với đặc điểm nhân thức của học sinh tiểu học: dễ nhớ song lại dễ quên, tư
duy trực quan, do đó giáo viên cần cho học sinh được luyện tập nhiều, các bài
cần có hệ thống, bài trước làm cơ sở hướng giải cho bài sau, các bài tập cần
được nâng khó dần.
Trong quá trình dạy cần quan tâm đến chấm và chữa bài làm cho học sinh
để xem bài làm đã chính xác chưa, chỗ nào cần sửa hoặc bổ sung.
Hiện nay việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán đang là một việc khó đối
với giáo viên, nhất là về mặt phương pháp giảng dạy. Tôi tha thiết mong các cấp
lãnh đạo thường xuyên tổ chức các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi để tôi
Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 22

được giao lưu học hỏi với những sáng kiến hay, những kinh nghiệm quý báu của
đồng nghiệp giúp cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi tốt hơn, đáp ứng được sự kì
vọng của cha mẹ học sinh và nhà trường.
Trên đây là một vài biện pháp của tôi trong việc dạy bồi dưỡng học sinh
giỏi toán với nội dung về phân số ở lớp 4. Do còn ít kinh nghiệm giảng dạy nên
đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của các đồng nghiệp và các lãnh đạo để tôi giảng dạy được tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 3 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác.


Bùi Văn Quyền

Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán lớp 4
2. 1. Toán và phương pháp dạy học toán ở Tiểu học (dự án phát
triển GV Tiểu học).
3. 2. Các phương pháp giải toán ở Tiểu học.
4. 3. Các bài toán có phương pháp giải điển hình.
5. 9. Một số tạp chí giáo dục Tiểu học.
6. 10. Một số tạp chí nghiên cứu giáo dục
7. Phương pháp dạy học môn toán ở tiểu học.(Đỗ Trung Hiệu - Đỗ
Đình Hoan)