mot so chuen de ve DBT CAN can phai xem

A ) Các công thức cơ bản:
I)Các hằng đẳng thức:
(a b)
2
=a
2
2ab +b
2
( a b)
2
= a
2
3a
2
b +3ab
2
b
2
(a+b)(a-b) = a
2
- b
2
( a+ b )( a
2
- ab + b
2
) = a
3
+ b
3

( a - b ) (a
2
+ ab +b
2
) = a
3
- b
3
(a b)
4
=a4a
3
+ 6a
3
b
3


4ab
3
+b
4
II) Các bất đẳng thức:
(a b)
2
0 với a ,b
a
2
0 với a .
B)Các ví dụ minh hoạ :

I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a
4
+ b
4
162
Giải
Do a + b = 6 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma
3
3
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (3 + m)
4
+ (3 - m)
4
=

432234432234

34363433436343 mm.m.m.mm.m.m
.
+++++++=

=
1622108162
42
++ mm
Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0
Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM
Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a
4
+ b
4
32
Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma
2
2
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b

4
= (2 + m )
4
+ (2- m)
4
= 32 + 48m
2
+2m
4
32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM.
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng ứng nh trên với
3








=
+=
m
c
b
m
c
a
2

2
Với m tuỳ ý
Bài 3: Cho x + y + z = 3
Chứng mỉnh rằng: x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx 6
Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt





=
+=
+=
baz
by
ax
1
1
1
Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
x
2
+ y

2
+ z
2
+xy +yz +zx = (1 + a)
2
+ (1 + b )
2
+ (1 - a - b)
2
+
+ (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a
2
+ ab + b
2


6
4
3
2
6
2
2
+

++
bb
a
Với mọi a , b . Dấu = xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM .
Nhận xét 2 : Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt:









=
+=
+=
nm
k
z
n
k
y
m
k
x
3
3
3
Hoặc

+=
+=
+=
c
k
z
b
k
y
a
k
x
3
3
3
với a +b +c = 0
Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên .
Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd
2
1

Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt :
zyd;zyc;zxb;zxa =+=+=++=
4
1
4
1
4
1
4
1
Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
(a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd =













++

+






+++













++= zyzxzyzxyxyx
4
1
4
1
2
4

1
4
1
2
2
1
2
1
4
( )
2
1
4
2
1
2
2
= zyx
Vớii mọi x , y . z .
Dấu = xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM.
Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k .
Ta có thể đặt theo 2 cách :

=
+=
+=
++=
zy
k
d
zy
k
c
zx
k
b
zx
k
a
4
4
4
4
Hoặc

+=
+=
+=
+=
q
k
d
p
k
c
n
k
b
m
k
a
4
4
4
4
với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng.

a
2
+ d
2
+ cd 3ab
a
2
+ b
2
+ ab 3cd
Giải
Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt




=
+=
xbd
xac
Với x tuỳ ý
Ta có
( ) ( ) ( )( )
=++++=++ xbxaxbxacddc
22
22
abab
xx
ba 33

4
3
2
2
2
++






+=
a,b,x
Dấu = xảy ra khi x = a - b +
2
x
= 0 hay a = b = c = d
Với c
2
+ d
2
+cd 3ab với a, b thoả mãn a + b = c + d
Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a
2
+ b
2
+ c
2
+ d

2
1
Vì a + b + c + d = 2 nên đặt
td;yb
zc;xa
+=+=
+=+=
2
1
2
1
2
1
2
1

Với : x + y + z + t = 0
Ta có:
=+++
2222
dcba
5
2222
4
2
4
2
4
2
4

2






++






++






++






+= tzyx
ttzzyyxx +++++++++++

2222
4
1
4
1
4
1
4
1
( )
( )
tzyxtzyx ++++++++






+++=
2222
4
1
4
1
4
1
4
1
01
2222

++++= tzyx
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t Khi đó a = b = c = d =
2
1
Nhận xét 4 :
Nếu cho điều kiện là
ka aaaa
n
=+++++
4321
CMR:
n
k
a aaaa
n
2
22
4
2
3
2
2
2
1
+++++
Ta nên đặt
,x
n
k
a

11
+=
,x
n
k
a
22
+=
,x
n
k
a
33
+=

,x
n
k
a
nn
+=
II. Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất
đẳng thức .
Bài 7: Cho x + y =3 và y 2 .Chứng minh rằng:
a) x
3
+ y
3
9
b) 2x

4
+ y
4
18
Giải: Do y 2 nên đặt y =2 + t 0 với t 0
Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t Thay x = 1 -
t và y = 2 + t vào vế trái ta có:
x
3
+ y
3
= (1 -t )
3
+ ( t + 2)
3
= 9 +9 t +9t
2
9 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM
b) 2x
4
+ y
4
=2 (1 - t)
4
+ ( 2 + t)
4
=18 +24t + 36 t
2
+ 3t

4
18 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM
6
Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y l (hay x n) thì nên đặt
y = 1 + m với m 0 ( hay x = n - m với m 0)
Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m)
suy ra:



+=
=
mly
mlkx
Hay



=
=
mnky
mnx
Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 8: Cho x < 2 và x + y > 5 . Chứng minh rằng: 5x
2
+ 2y
2
+ 8y > 62
Giải

Do x < 2 và x + y > 5 nên ta đặt



+=+
=
kyx
tx
5
2
Với t ,k > 0
Suy ra



++=
=
kty
tx
3
2
Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có
5x
2
+2y
2
+8y = 5 (2 - t )
2
+ 2(3 + k + t )
2

+8 (3 + k + t) =
= 62 + 2 (k + t )
2
+5t
2
+20 k > 62 k , t Suy ra ĐPCM .
Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng:
27a
2
+10 b
3
> 945

Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt



+=+
+=
kba
tb
8
3
Với k,t > 0




+=
+=

tb
tka
3
5

Thay vào vế trái của BĐT ta có:
27a
2
+ 10b
3
=
( ) ( )
=+++=
32
310527 ttk
( )
945109027027945
32
2
++++= ttktk
Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM
Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là:
7




+
vx
uyx

Ta nên đặt



=
+=+
mvx
nuyx
Với m,n > 0 từ đó



=
++=
mvx
nuvmy
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Nếu điếu kiện cho là:




+
lb
kba
Thì ta đặt



+=

+=+
nlb
mkba
với n,m > 0



+=
+=
nlb
nlmka
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Bài10: Cho a + b + c 3 .Chứng minh rằng a
4
+b
4
+c
4
a
3
+ b
3
+ c
3
Giải:
Do a + b + c 3 nên ta đặt :

+=
+=
+=
zc
yb
xa
1
1
1
Thoả mãn x + y + z 0
Xét hiệu :
=++
333444
cbacba

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=++++++++=
333444
111111 zyxzyx
( )
0
4
333
2
3
2
3
2

3
222
2
2
22
2

++
+






++






++






++++

+
zyxz
z
y
y
x
xzyx
Vậy:
333444
cbacba ++++
Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Nhận xét 7
Đây là đề thi học viện bu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học
sinh vẫn có thể chứng minh đợc đối với học sinh THCS
III)các bài toán có điều kiện phức tạp:
Bài11: cho : a
3
+ b
3
< 2 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng.
Giả sử
2+ ba
ta đặt



+=
+=
yb

xa
1
1
với
0+ yx
8
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
3322
33
33
33211 yxyxyxyxba ++++++=+++=+
=
( )
( )
( )
( )
2332
2222
+++++++ yxyxyxyxyx
Vì
0+ yx
Suy ra
2
33
+ ba
Trái giả thiết.Vậy a + b < 2
Bài 12 Cho a
4

+ b
4
< a
3
+ b
3
Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng:
Giả sử
2+ ba
.Đặt



+=
+=
yb
xa
1
1
với
0+ yx
Xét hiệu:
( ) ( ) ( ) ( )
3344
3344
1111 yxyxbaba +++++=+

( )
( ) ( )

3322
33 yxyxyx +++++=
( )
( )
( )
( )
033
2222
++++++= yxyxyxyxyx
y;x
hay
+ 0
3344
baba
với a + b 2 Thì: a
4
+ b
4
a
3
+ b
3
Trái với giả thiết . Vậy a
+ b < 2
Bài toán 13
Cho a,b,c là 3 số dơng Chứng minh :
2
3

+

+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
Giải:
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó:
2
zyx
cba
++
=++


2
2
2
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+
=
+

=
++
=
Cho nên
9

( )
2
3
3222
2
1
3
2
1
111
2
1
222
=++

++






++








+=

++++++=
+
+
+
+
++
=
=
+
+
+
+
+
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
z
y
z
x

y
z
y
x
x
z
x
y
z
zyx
y
zyx
x
zyx
ba
c
ac
b
cb
a
(áp dụng BĐT CÔ SI ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Hay a = b = c
Bài toán 14
Cho u,v là các số dơng và u+v=1. chứng minh rằng
2
2511
22

++






+
v
v
u
u
Giải
Đặt a = u +
u
1
và
v
vb
1
+=
Ta có a > 0, b > 0
Và
2
2

+ ba
<
2
22
ba +
(1)
Vì
( )
44
222
22
2
222222
2
babababababa
=
++
=
+

+
< 0
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
4
25
2
41
2
1
1
2
11
2
11
11
2
1
2
2
2
22
22
22
=

+











+
=










+++
=

+++















++

+=
+
uv
vu
vu
v
v
u
u
v
v
u
u
ba
vì uv
2
1
2
2
=






+ vu
do đó
4
1

uv
)
Dấu đẳng thức xảy ra khi : u = v =
2
1
bài toán:15
Cho a.b
0

Chứng minh rằng:
10
043
2
2
2
2
+






++
a
b
b
a
a

b
b
a

Giải : Đặt x =
a
b
b
a
+
ta có :
2
2
2
2
2
2
++=
a
b
b
a
x

2
2
2
2
2
2

=+ x
a
b
b
a
Bất đẳng thức trở thành:

0432
2
+ xx
023
2
+ xx
( )( )
021 xx
Nếu ab< 0

Thì ta có
02
22
++ baba
abba 2
22
+
Chia cả hai vế cho ab ta đợc
2
22

+
ab

ba
Vậy x
2
Trong cả hai trờng hợp thì
( )( )
021 xx
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
11