Đề cương ôn tập toán 9 HKII

I. ĐẠI SỐ:
1. Lí thuyết:
Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn có
thể có bao nhiêu nghiệm?
Giải: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng
ax by c+ =
Trong đó a, b và c là các số đã biết (
0a ≠
hoặc
0b ≠
).
Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm.
Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số.
Giải: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =


+ =

trong đó a,b,c là các số đã
biết.
Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?
Giải: Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể vô nghiệm, có 1 nghiệm duy nhất
hoặc VSN.
Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương.
Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:
a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau.
(S)

b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. (Đ)
Câu 5: Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai .
Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình
− + + =
2
3 3 1 0x x
Giải: SGK trang 40 . Áp dụng :
2
3 3 1 0( 3; 3; 1)− + + = = − = =x x a b c
Câu 6: Cho phương trình ax
2
+ bx +c=0
( 0)a ≠
. Viết công thức tính nghiệm của pt trên .
Áp dụng : Giải phương trình
− + =
2
3 2 0x x
.
Giải : SGK trang44 . Áp dụng :
− + =
∆ = − − = −
∆ = − <
2
2
3 2 0
( 3) 4.1.2 5
5 0
x x
Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 7: Phát biểu hệ thức Viet
Áp dụng :
− + + =
2
5 4 3 0x x
.Tính x
1
+ x
2
và x
1
x
2
Gii : SGK trang 51. p dng :
2
5 4 3 0x x + + =
a = -5< 0 ; c = 3 > 0. Vỡ a v c trỏi du nờn phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
1 2
1 2
4
5
3
.
5

+ = =

= =


b
x x
a
c
x x
a
Cõu 8: Cho phng trỡnh :
+ + =
2
0ax bx c

( 0)a
cú hai nghim x
1
v x
2
.
Chng

minh :
1 2
1 2

= + =
= =
b
S x x
a
c
P x x
a
Gii : Ta cú :
1
2
1 2
2 2 2
1 2
2 2
x
2
2
2
2 2 2
( ) 4
. .
2 2 4 4
b
a
b
x
a

b b b a
x x
a a a b
b b b b b ac c
x x
a a a a a
ỡ
ù
- + D
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
- - D
ù
ù
=
ù
ù
ợ
- + - - -D D
+ = + = =ị
- + - - - - - +D D D
= = = =
Cõu 9: Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim cú tng l S v cú tớch l P (khụng cn cm)
p dng : Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim l:
2 2+

v
2 2
Gii : Phng trỡnh bc hai cú tng hai nghim l S v tớch hai nghờm l P cú dng :
X
2
- SX + P = 0
p dng :
2
S 2 2 2 2 4
P (2 2).(2 2) 4 2 2
Vaọy 2+ 2 vaứ 2- 2 laứ hai nghieọm cuỷa phửụng trỡnh
X 4X 2 0
= + + - =
= + - = - =
- + =
Cõu 10: Nờu tớnh cht ca hm s
2
( 0)y ax a=
Gii : SGK trang 29
2. Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a/
3 2 1
3
x y
x y
− =


+ = −


b/
3 5 1
2 4
x y
x y
+ =


+ = −

c/
4 3 15
3 2 10
x y
x y
+ =


+ =

d/
3 5
2 3 18
x y
x y

− =



+ =


e/
1 1 5
8
1 1 3
8
x y
x y

+ =




− =


f/
2 1
1
2
1 5
6
2
x y x y
x y x y

− =


+ −



+ =

− +

h/
5( 2 ) 3 1
2 4 3( 5 ) 12
x y x
x x y
+ = −


+ = − −

Bài 2:
Câu 1: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình
2 12
2 6
ax by
ax by
+ =


− = −


Có nghiệm là
( 2; 1)x y= − =
Câu 2: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình
3 1
2
mx y
x ny
+ =


+ = −

nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm.
Bài 3:
Câu 1: Cho hệ phương trình:
3 5
4 6 9
mx y
x y
+ =


+ =

Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình
2 5
3
x y
ax y a

+ =


+ =

a/ Có một nghiệm duy nhất
b/ Vô nghiệm.
Câu 3: Cho hệ phương trình
3
2 6 8
x y m
x y
− =


− =

Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm.
Bài 4:
Câu 1: Xác định hàm số
y ax b= +
biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm
a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4)
b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)
Câu 2: Xác định đường thẳng
y ax b= +
biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm
A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng
y x= −
và

2 1y x= − +
Bài 5: Cho hàm số y = -x
2
có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)
a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hồnh độ bằng 1.
b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao
điểm của chúng .
c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) khơng cắt (P)
Bài 6: Giải phương trình :
2
2
2 2
/ 3 75 0
2
/ 384 0
3
/ ( 15) 3(27 5 )
/ (2 7) 12 4(3 )
/(3 2) 2( 1) 2
+ =
− =
− = −
− − = − −
− − − =
a x
b x
c x x x
d x x x
e x x
Bài 7: Giải phương trình sau (dùng thức nghiệm hoặc cơng thức nghiệm thu gọn )

2
2
2
1/ 5 14
2 / 3 10 80 0
3/ 25 20 4 0
− = −
+ = =
− + =
x x
x x
x x
Bài 8:Định m để phương trình :
− + =
+ − =
2
2 2
2
a/3x 2x m 0 vô nghiệm
b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt
c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép
Bài 9:Cho phương trình :x
2
+ (m+1)x + m = 0 (1)
1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m .
2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm còn lại .
3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau
5/ Tìm m sao cho x
1

- x
2
= 2
6/ Tìm m để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất
7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương
8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1;
x
2
khơng phụ thuộc vào m.
9/ Tính
3 3
1 2
x x+
Bài 10: Giải phương trình :
15
/ 2− =a x
x

1 1
/ 1
1 1
− =
+ −
b
x x

4 2
/ 2 7 4 0− − =c x x

5 3 2
/ 1 0− − + =d x x x
II. HÌNH HỌC :
1. Lí thuyết:
Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn
bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau”

O
A
B
C
D
GT
Cho đường tròn (O)

»
»
AB CD=

KL

AB = CD
Ta có:
»
»
AB CD=

( GT)
⇒

·
·
AOB COD=
( 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)
Nên :
AOB C OD
=
V V
( c.g.c)
⇒
AB = CD (đpcm)
Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường tròn. Áp dụng:Cho đường tròn (O),
đường kính AB. Vẽ dây AM sao cho
·
0
40AMO =
. Tính số đo cung BM ?

GT
Cho đường tròn (O)
AB: Đường kính
Dây AM sao cho:
·
0
40AMO =
KL
Tính

·
BOM
?
Ta có: OA = OB ( bán kính)

⇒

AOMV
cân tại O

⇒

·
BOM
= 2
·
0
2.40AMO =
=
0
80
( định lí góc ngoài của tam giác AOM)
Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì
bằng nhau. (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có một dây đi
qua tâm cuả đường tròn)

GT
Cho đường tròn (O)
CD: dây cung , AB: đường kính
AB // CD

KL

»
»
AC BD=

Ta có:
·
·
AOC OCD=
( So le trong)
O
A
B
M
O
A
B
C
D

·
·
BOD ODC=
( So le trong)
Mà
·
·
OCD ODC=
(

OCDV
cân tại O)

⇒

·
·
AOC BOD=

⇒

»
»
AC BD=
( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau)
Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một
đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM,
ON sao cho:
·
·
0 0
40 , 80AOM BON= =
. So sánh: AM, MN và NB ?

GT
. Cho đường tròn (O), M,N
∈
(O):
.
·

·
0 0
40 , 80AOM BON= =
KL So sánh: AM, MN, BN?
Ta có:

·
·
·
·
0
0 0 0
180
180 40 80
MON AOM BON
MON
= − −
= − −
( vì
·
0
180AOB =
)

⇒

·
·
·
AOM MON NOB< <

⇒

¼
¼
»
AM MN NB< <
( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn)

⇒
AM < MN < NB ( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn)
Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
”.

GT
. Cho đường tròn (O)
. ABCD nội tiếp (O)
KL

µ
µ
µ
µ
0
0
180
180
A C
B D

+ =
+ =
Ta có:
µ
A =
1
2
sđ
¼
BCD
( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

µ
C =
1
2
sđ
¼
BAD
( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

⇒

µ
µ
1
2
A C+ =
sđ(
¼

¼
BCD BAD+
) =
1
2
.
0
360
=
0
180
Tương tự:
µ
µ
0
180B D+ =
( hoặc
µ
µ
0 0 0
360 180 180B D+ = − =
: tính chất tổng 4 góc của
tứ giác)
Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của
cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm ).
O
D
C
A
B

O
A
M
B
N
Học sinh xem SGK trang 74
Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo
của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường tròn nằm ở ngoài của
góc).
Học sinh xem SGK trang 78
Câu 8: Chứng minh định lí: “ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số
đo hai cung bị chắn”.

n
E
O
D
C
A
B
m

GT
Cho đường tròn (O)
·
BEC
: góc có đỉnh bên trong (O)
KL
·
BEC

=
1
2
sđ(
¼
¼
BnC AmD+
)
Xét tam giác BDE, ta có:

·
BEC
=
µ
µ
B D+
( định lí góc ngoài của tam giác BDE)
Mà
µ
1
2
B =
sđ
¼
AmD
( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

µ
1
2

D =
sđ
¼
BnC
( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)
Nên:
·
BEC
=
1
2
sđ(
¼
AmD
+
¼
BnC
)
Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung
0
n
của hình quạt tròn bán kính R. Áp dụng: Cho đường tròn (
O; R = 3 cm). Tính độ dài cung AB có số đo bằng 60
0
?
O
A
B
GT
Cho đường tròn (O; R = 3cm)

Sđ
»
0
60AB =
KL
Tính độ dài
»
AB
Ta có:
»
180
AB
Rn
l
π
=
Với : R = 3cm và n = sđ
»
0
60AB =
( giả thiết)
Vậy:
»
.3.60
( )
180
AB
l cm
π
π

= =
Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O). Chứng minh:
AB + CD = AD + BC.

O
A
D
B
C
M
N
P
Q
GT
Cho đường tròn (O)
ABCD ngoại tiếp đường tròn (O)
KL AB+CD = AD+BC
Ta có: AM = AQ ( Tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau)
BM = BN (…nt…)
DP = DQ (…nt…)
CP = CN (…nt…)
Cộng từng vế, ta có: AM+BM+DP+CP = AQ+BN+DQ+CN
Hay: AB + CD = AD + BC ( đpcm)
2. Bài tập:
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên
đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là
N. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P.
Chứng minh :
a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.
b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành.

c/. Tích CM.CN không đổi.
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường
tròn ấy sao cho BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia
CM tại D.
a/. Chứng minh: DI
⊥
BC.
b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
c/. Giả sử
·
0
45AMB =
.Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM.
Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao
cho CA > CB. Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt
đường tròn tại điểm F ( khác điểm C).
a/. Chứng minh : OF
⊥
AB.
b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F.
c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M
thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M
∈

cạnh BC ). Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q.
a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
b/. Chứng minh: MA
⊥
PQ.

c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn.
Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE
đi qua trung điểm P của OC, ED cắt CB tại Q.
a/. Chứng minh tứ giác CPQE nội tiếp được một đường tròn.
b/. Chứng minh : PQ // AB.
c/. So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC.