Đề và đáp án lần 2 - THPT Gia Lộc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.43 MB, 6 trang )
1
SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT GIA LỘC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không tính thời gian giao đề)
Câu I (2.0 điểm). Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Gọi M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận của (C) tại
A và B. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại
tiếp
IAB
có diện tích nhỏ nhất.
Câu II (2.0 điểm)
1) Giải phương trình:
3
2 2 cos2 sin 2 cos 4sin 0
4 4
x x x x
2) Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 3 1 0
3 7
4
4
x y x
x y xy
x y
Câu III (1.0 điểm). Tính tích phân:
1
3
2
0
1
1
x x
I dx
x
x x
Câu IV (1.0 điểm)
Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AD=2a; AB=BC=a, và
hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng 60
0
.
Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa CD và SB.
Câu V (1.0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 và abc=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
1 1 1
P
a b c
Câu VI (2.0 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2 2
C : x y 2x 2my m 24 0
và
đường thẳng
d : mx - 4y=0
. Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt
A; B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 10. (Với I là tâm đường tròn (C) và m là tham số)
2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng:
x 2 y 1 z
d :
1 2 1
và mặt phẳng
P : x + 2y + 1 = 0
. Gọi A là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
a. Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên (P)
b. Viết phương trình đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc với đường thẳng d đồng thời
cách A một khoảng bằng 3.
Câu VII (1.0 điểm)
Cho số phức z
1
biết
1
z 3
. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
1
1 2
z z i
.
_______ HÕt _______
Hä vµ tªn thÝ sinh: – Sè b¸o danh :
C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
2
HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN
Câu Ý
Nội dung Điểm
1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 1,00
TXD:
\ 2
D . Ta có
2
1
' 0 x D
2
y
x
Suy ra hàm số đồng biến trên
;2 và 2;
và không có cực trị
0,25
x
lim y 2 y 2
là tiệm cận ngang
x 2
lim y x 2
là tiệm cận đứng
0,25
BBT
x
y'
y
2
2
+
-
2 +
-
0,25
1
Đồ thị
Cho x=0 thì y=3/2; cho y=0 thì x=3/2; đồ thị nhận điểm I(2;2) là giao điểm của hai
đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
4
2
5
y
3
2
I
0
3/2
2 x
0,25
Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp
IAB
có diện tích nhỏ nhất.
1.00
Gọi
2a 3
M a; C pttt
a 2
tại M có dạng:
2
1 2a 3
y x a d
a 2
a 2
a 2
Tiệm cận đứng : x=2; tiệm cận ngang y=2; giao điểm của hai đường tiệm cận là
I(2;2)
0,25
I
2
Gọi A là giao điểm của (d) và tiệm cận đứng suy ra tọa độ A là nghiệm của hpt
2
x 2
2a 2
1 2a 3
A 2;
y x a
a 2
a 2
a 2
Gọi B là giao điểm của (d) và tiệm cận ngang suy ra tọa độ B là nghiệm của hpt
2
y 2
1 2a 3
B 2a 2;2
y x a
a 2
a 2
0,25
3
ta có tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhận AB là
đường kính suy ra diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB là
2
AB
S
2
diện
tích này nhỏ nhất khi chỉ khi AB
2
nhỏ nhất
2
2 2
2
2
2a 2 4
AB 2a 4 2 4 a 2 8
a 2
a 2
2
AB
nhỏ nhất bằng 8 khi chỉ khi
2
2
a 3 M 1;1
1
a 2 t / m
a 1 M 3;3
a 2
0,50
Giải phương trình:
3
2 2 cos2 sin 2 cos 4sin 0
4 4
x x x x
1,00
2 2 2 2
2 2
2 2 cos sin 2 sin cos 2 sin cos 2 2 sin cos 0
2 2 cos sin 2 sin cos sin cos 2 2 sin cos 0
sin cos 2cos 2sin sin cos 2 0
sin cos 0
2cos 2sin sin cos 2 0
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
0,50
*
sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k k
0,25
1
* 2 cos sin sin cos 2 0
x x x x (2)
đặt:
2
1 t
t cos x sin x 2 cos x 2 t 2 cosxsin x
4 2
(2) trở thành:
2
2
t 1
1 t
2t 2 0 t 4t 5 0
t 5 loai
2
với t=1 suy ra
x 2k
x 2k
1
4 4
2 cos x 1 cos x k
4 4
x 2k
2
x 2k
2
4 4
0,25
Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 3 1 0
3 7
4
4
x y x
x y xy
x y
1.00
Ðk:
x y 0
2 2
2 2
2
2
1
2 3 1 0
3
( )
3 7
3
3 7
4
4
( )
x y x
x y x y
x y
x y xy
x y x y
x y
x y
0,50
II
2
đặt
1
a x y a 2
x y
b x y
. Khi đó hpt trở thành
2 2 2
b 3 a
a b 3 b 3 a
a 2
a 2
b 1
3a b 13 2a 3a 2 0
1
a loai
2
0,25
4
với
1 x 1 y
x y 2
a 2 1 2y 1 x 1
x y
t / m
1
1 2y 2
b 1 x 1 y y 0
x y 1 1 2y
0,25
Tính tích phân:
1
3
2
0
1
1
x x
I dx
x
x x
1.00
1 1 1
3 3
2 2
0 0 0
1 1
1 1
x x x x
I dx dx dx A B
x x
x x x x
1 1 1 1
3
3 2 4 3 2
2
0 0 0 0
1 1
5
1 3 2 3 2
0
0 0
*) 1 1
1
1
1 1
5 5
x
A dx x x x dx x dx x x dx
x x
x
x x dx x x dx
0,25
1
3 2
0
1
x x dx
đặt
2
t x 1 tdt xdx
với x=1 thì
t 2
; x=0 thì t=1
1 2
5 3
3 2 2 2 2
1
0 1
2 2 2 2 2 1
1 1
5 3 15 15
t t
x x dx t t dt I
0,25
1
0
1
x
B dx
x
đặt
t x 2tdt dx
với x=0 thì t=0 ; x=1 thì t=1
khi đó
1 1
2
2
0 0
2
1 1
x t
B dx dx
x t
0,25
III
đặt
2
x tan t t ; dx 1 tan t dt
2 2
với
x 0 t 0; x=1 t=
4
khi đó
4 4
2
4
0
2
0 0
1
B 2 tan tdt 2 1 dt 2 tan t t 2
cos t 2
Vậy I=
2 2 29
I
15 2
0,25
Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa CD và SB.
1.00
N
O
B
A
C
D
S
M
I
H
K
5
Ta có
S.ABCD ABCD
1
V d S; ABCD .S
3
.
2
ABCD
1 3a
S BC AD .AB
2 2
.Gọi
O AC BD
do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy nên
SO ABCD
tại O
d S; ABCD SO
. kẻ
OI BC I
suy ra góc giữa (SBC) và
(ABCD) bằng
0
SI0 60
.
0,25
Xét tam giác ABC vuông cân tại B ta có
OBC, ODA
là hai tam giác đồng dạng
nên
OC BC 1 OC 1
OA AD 2 CA 3
mà
OI OC 1 a
OI AB
AB CA 3 3
. Xét
SOI
vuông tại O có
2 3
0
SABCD
a a 3 1 a 3 3a a 3
SO OI.tanSIO .tan60 V . .
3 3 3 3 2 6
0,25
Gọi M là trung điểm của AD suy ra
SB SBM / /CD d CD;SB d C;(SBM)
. Gọi
BM AC N
. Ta có
BM AC
BM SAC SBM SAC SN
SO BM
Troang (SAC) kẻ
OH SN H OH SBM H
, kẻ CK song song với OH
và cắt SN tại H khi đó
CK (SBM) K d CD;SB CK
0,25
IV
Theo cách dựng suy ra O là trọng tâm tam giác BCM
NO 1
CK 3OH
NC 3
có
2 2
1 a 2
NC AC AB BC
2 2
a 2
ON
6
. Xét tam giác SON vuông tại O và có
đường cao OH nên
2 2 2 2 2
1 1 1 3 18 a 21 a 21
OH CK d SB;CD
OH OS ON a a 21 7
0,25
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
1 1 1
P
a b c
1. 00
Chứng minh:
1 1 2
1 a 1 b
1 ab
.
Thật vậy
2
b a ab 1
1 1 2 1 2 1
0 0
1 a 1 b 1 a 1 b
1 ab 1 ab
1 a 1 ab 1 b
(đúng) dấu bằng xảy ra khi a=b
0,25
do đó ta có
3
4
6
1 1 2
1 c
1 abc
1 abc
. Suy ra
3 3
4 4 4 4
6
12
1 1 1 1 2 2 4 4
1 a 1 b 1 c
1 abc 1 ab 1 abc
1 abc 1 a b c
0,5
V
Vậy:
3
3
P 1
1 abc
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2
Vậy P nhỏ nhất bằng 1 khi a=b=c=2
0,25
1
Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao
cho diện tích tam giác IAB bằng 10
1.00
6
d
B
A
I
H
2 2
2 2 2
C : x y 2x 2my m 24 0 x 1 y m 25
suy ra (C) có tâm I(1;-m) và bán kính R=5;
2
m 4m
d I;d 5 m
m 16
suy ra
đường thẳng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B
0,25
Gọi H là trung điểm của AB thì IH=
2
5m
d I;d
m 16
2 2
2
20
HA R IH
m 16
0,25
2
IAB
2 2
m 8
m 8
5m
20
S AH.IH . 10 m 10 m 16 0 t / m
m 2
m 2
m 16 m 16
0,50
a) Viết phương trình đường thẳng d’
1.00
x 2 t
pt d: y 1 2t A 2 t;1 2t; t d A P 2 t 2 1 2t 1 0
z t
t 1 A 1; 1; 1
Gọi M(2;1;0) thuộc d; mp(P) có
: 1;2;0
vtpt n
, đường thẳng b đi qua M và vuông
góc với (P) có pt:
2
1 2
0
x t
y t
z
0,25
Gọi
N b P
tìm được N(1;-1;0)
0;0;1
AN
suy ra pt d’
1
1
x
y
z t
0,25
b. Viết phương trình đường thẳng a
Gọi
2
2
1; 1; 3 ( 1) 3
4
t
H t b AH t
t
0,25
VI
2
Với t=2 thì H(1;-1;2) khi đó a
1 2
:
: : 1
: , 2; 1;0
2
d
x t
qua H
a pt y t
vtcp a n u
z
Với t=-4 thì H(1;-1;-4) khi đó a
1 2
:
: : 1
: , 2; 1;0
4
d
x t
qua H
a pt y t
vtcp a n u
z
0,25
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z
1.00
Gọi
z a bi a,b M a;b
là điểm biểu diễn cho số phức z
và z a bi
0,25
ta có
1 1 1
z z 1 2i z 1 2i z z 1 a b 2 i
0,25
VII
2 2
1
z 3 a 1 b 2 9
.
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z là đường tròn
2 2
x 1 y 2 9
có tâm I(1;2), bán kính R=3
0,50
__________Hết_________
