CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
Chủ đề . TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A – Lý thuyết :

B – Bài tập :
I- Dạng 1 : Bài tập tính tích phân bằng cách áp dụng trực tiếp định nghĩa và các tính chất
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
1,
4
3
xdx
∫
;
1
2
0
2, ;x dx
∫

2
2
1
3, ;
dx
x
∫

( )
3
1
4, 4 ;x dx+

∫

2
2
2
1
2
5, ;
2
x
dx
x
+
∫
3
3
3
1
4
6, ;
x x
dx
x
+
∫
5
3
1
1
7, ;

x
dx
x
+
∫
Giải
4
4
2 2 2
3
3
4 3 5
1, = = - = ;
2 2 2 2
x
xdx
∫
1
1
3
2
0
0
1
2, = ;
3 3
x
x dx =
∫
2

2 2
2
2
1
1 1
1 1 1 1
3, = = - = ;
2 1 2
dx
x dx
x
x
−
− − −
 
=
 ÷
 
∫ ∫
( )
3
3
2
1
1
9 1
4, 4 4 = 12 - 4 =12 ;
2 2 2
x
x dx x

 
   
+ = + + +
 ÷
 ÷  ÷
   
 
∫
( )
2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
1
1
1 1 1 1 1
2 2 1 1 1 1 1 1
5, + = + = - = 2 1 - 1 =1;
2 2 2 2 2 2 2
x x
dx dx dx dx dx x
x x x x x
+
 
= − −
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )

( )
3
3 3
3
2
3
1 1
1
4 4 4 14
6, 1 4 = = 3 - 1 4 = ;
3 3
x x
dx x dx x
x
x
−
+
   
= + − − −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
( )
5
5 5 5 5
2 3
3 3 3 2 3 2
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 32

7, = =
25
2
x x
dx dx dx x x dx
x
x x x x x x
− −
+ −
     
+ + = + = − =
 ÷  ÷  ÷
     
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 2 : Tính các tích phân sau :

( )
1, 2sin 3cos ;x x dx
π
π
−
−
∫

( )
0
2, sinx ;x dx
π
+
∫

( )
3, sinx cos dx x
π
π
−
+
∫

2
0
4, sin . ;xdx
π
∫


4
2 2
4
1
5, ;
sin . os
dx
x c x
π
π
−
∫

0

6, os
4
c x dx
π
π
−
 
+
 ÷
 
∫

2
4
4
7, ;
sin
dx
x
π
π
∫
Giải
( ) ( )
1, 2sin 3cos = 2cos 3sinx x dx x x
π
π
π
π
−

−
− − −
∫
( ) ( )
2cos 3sin 2cos( ) 3sin( ) 0
π π π π
= − − − − − − − =
( )
2
0
0
2, sinx = cos
2
x
x dx x
π
π
 
+ −
 ÷
 
∫
( )
2 2
cos 0 os0 2
2 2
c
π π
π
 

= − − − = +
 ÷
 
2
0 0
1 os2
4, sin .
2
c x
xdx dx
π π
−
=
∫ ∫
( )
0
1 1 1
sin 2 0
2 2 2 2
x x
π
π
π
 
= − = − =
 ÷
 
GV: Đào Thị Thương Hoài
1
b

a
b
f (x)dx F(b) F(a) F(x)
a
= − =
∫
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
4 4 4
4 4
2 2 2 2
4 4
4 4 4
1 1 1
5, = tan otx 0
sin . os os sin
dx dx dx x c
x c x c x x
π π π
π π
π π
π π π
− −
− − −
+ = − =
∫ ∫ ∫
0
0
3
6, os sin sin sin 2
4 4 4 4

c x dx x
π
π
π π π π
−
−
       
+ = + = − − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
∫
( )
3
2 2 2
2
2
4 2 2 2
4
4 4 4
1 1 1 cot 1 4
7, 1 cot 1
3 3 3
sin sin sin sin
dx x
dx x dx x
x x x x
π π π
π
π
π π π

 
= = + = + = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 3: Tính các tích phân sau :
1,
4
2
xdx
∫
; 2,
1
2
0
x dx
∫
; 3,
3
1
(x 4)dx+
∫
; 4,
4
3
2
2
x 1
dx
x

+
∫
; 5,
4
2
3
1
dx
x 3x 2− +
∫
; 6,
5
2
1 x
dx
1 x
+
−
∫
;
7,
e
3
2
1
x 2x 1
dx
x
− +
∫

Giải :
1,
4
2
xdx 6=
∫
;
2,
1
2
0
1
x dx
3
=
∫
;
3,
3
1
(x 4)dx 12+ =
∫
4,
4 4
3
2 2
2 2
x 1 1 25
dx (x )dx
x x 4

+
= + =
∫ ∫
;
5,
4
2
3
1
dx
x 3x 2− +
∫
;
6,
5
2
1 x
dx
1 x
+
−
∫
;
7,
e
3
2
1
x 2x 1
dx

x
− +
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau :
1,
8
3
1
xd
x
∫
; 2,
2
2
1
1
1 x
x
x d
 
+
 ÷
 
∫
; 3,
1
2
2
2
2

1
xd
x
∫
; 4,
3
1
2
1
x
x
d
∫
; 5
6
0
os3 ;c xdx
π
∫

2
2
0
6, 4 . dx ;x x−
∫

( ) ( ) ( )
2
2
1

1 2 3
2, dx ;
x x x
x
+ + +
∫

2
2
0
1
3, dx ;
2 3x x− −
∫

( )
2
2
0
4, os sin ;c d
π
ϕ ϕ ϕ
+
∫

( )
2
0
5, sinx ;x dx
π

+
∫

GV: Đào Thị Thương Hoài
2
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
Giải
II- Dạng 2: Bài tập tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
* Đổi biến dạng 1 : Phương pháp : Cần tìm
( )
b
a
f x dx
∫
-Đặt u = u(x) , u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] , u(x) là một phần của f(x)
- Biểu thị f(x) dx theo u(x) và du ; giả sử f(x) dx = g(u)du
- Tìm một nguyên hàm G(u) của g(u), đổi cận
-Tính
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
u b
u b
u a
u a
g u du G u=
∫
và kết luận

Bài 1: Tính các tích phân sau
1,
6
0
cos3xdx
π
∫
; 2,
2
5
1
(2x 1) dx−
∫
; 3,
2
2
0
4 x .xdx−
∫
; 4,
4
0
tan xdx
π
∫
; 5,
2
2
3
1

x
dx
x 2+
∫

6,
2
3
0
sin xdx
π
∫
; 7,
2
2
0
cosxdx
7 5sin x cos x
π
− −
∫
; 8,
2
3 2
0
sin xcos xdx
π
∫
; 9,
2

2
0
sin 2xdx
4 cos x
π
−
∫
Lời giải:
1, Đặt u =3x
⇒
du = 3dx
⇒
dx=
3
du
, u(0) = 0; u(
6
π
) =
2
π
Ta có :
6
2
2
0 0 0
1 1 1
cos3xdx cosudu sin u
3 3 3
π

π
π
 
= = =
 ÷
 
∫ ∫
2, Đặt u =2x -1
⇒
du = 2dx
⇒
dx=
2
du
, u(1) = 1; u(2) = 3 Ta có:

3
2 3
6
5 5
1 1
1
1 1 u 182
(2x 1) dx u du
2 2 6 3
− = = =
∫ ∫
3, Đặt u =
2
4 x−

⇒
xdx= -
2
4 x−
du = -udu ,
⇒
u(0) = 2; u(2) = 0 Ta có:
2
2 0 2
3
2 2 2
0 2 0
0
8
4 .
3 3
u
x xdx u du u du− = − = = =
∫ ∫ ∫
4, Đặt u = cosx
⇒
du = - sinxdx
⇒
u(0) = 1; u(
4
π
) =
2
2
Ta có

2
1
4 2
1
2
2
0 1
2
2
2 2
tan ln 0 ln ln
2 2
du du
xdx u
u u
π
= − = = = − =
∫ ∫ ∫
GV: Đào Thị Thương Hoài
3
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
5, Đặt u =x
3
+2
⇒
du = 3x
2
dx
⇒
x

2
dx=
3
du
, u(1) = 3; u(2) = 10 Ta có :
2 10 10
1
2
10
2
3
3
1 3 3
1 1 1 2
.2 ( 10 3)
3 3 3 3
2
x du
dx u du u
u
x
= = = = −
+
∫ ∫ ∫
6, I =
2 2 2
3 2 2
0 0 0
sin sin .sin (1 cos ).sinxdx x xdx x xdx
π π π

= = −
∫ ∫ ∫
, Đặt u = cosx
⇒
du = - sinxdx
⇒
u(0) = 1; u(
2
π
) = 0
⇒
I =
1
0 1
3
2 2
1 0
0
2
(1 ) (1 ) ( )
3 3
u
u du u du u− − = − = − =
∫ ∫
7,
2 2 2
2 2 2
0 0 0
cosxdx cosxdx cosxdx
7 5sin x cos x 7 5sin x 1 sin x 6 5sin x sin x

π π π
= =
− − − − + − +
∫ ∫ ∫
= J
Đặt u = sinx
⇒
du = cosxdx
⇒
u(0) = 0; u(
2
π
) =1
⇒
J =
1 1 1 1
1 1
2
0 0
0 0 0 0
4
ln 3 ln 2 ln
5 6 ( 3)( 2) 3 2 3
du du du du
u u
u u u u u u
= = − = − − − =
− + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫

8,
2 2 2
3 2 2 2 2 2
0 0 0
sin xcos xdx sin x cos xsin xdx (1 cos x)cos xsin xdx
π π π
= = −
∫ ∫ ∫
= I
Đặt u = cosx
⇒
du = - sinxdx
⇒
u(0) = 1; u(
2
π
) = 0
Ta có I =
1
0 1 1
3 5
2 2 2 2 2 4
1 0 0
0
2
(1 ) (1 ) ( )
3 5 15
u u
u u du u u du u u du
 

− − = − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
9, Đặt u = 4 - cos
2
x
⇒
du = 2 sinxcosxdx = sin2xdx
⇒
u(0) =3; u(
2
π
) =4
Ta có
4
2
4
2
3
0 3
sin 2 4
ln ln 4 ln3 ln
4 cos 3
xdx du
u
x u
π
= = = − =
−

∫ ∫
Bài 2: Tính các tích phân sau :
1,
2
4
1
(3 1)x dx+
∫
; 2,
1
2 3
0
( 1)
xdx
x +
∫
; 3,
2
4
0
cos xdx
π
∫
; 4,
2
4
0
costdt
(1 sint)
π

+
∫
; 5,
9
4
1
xdx
x −
∫
; 6,
2
3
6
6
sin
cos
x
dx
x
π
π
∫
;
1, , Đặt u =3x+1
⇒
du = 3dx
⇒
dx=
3
du

, u(-1) = -2; u(2) = 7 Ta có :
2 7
7
4 4 5
2
1 2
1 1 16839
(3x 1) dx u du u
3 15 15
−
−
+ = = =
∫ ∫
2, Đặt u =x
2
+1
⇒
du = 2xdx
⇒
xdx =
2
du
, u(0) = 1; u(1) = 2 Ta có
GV: Đào Thị Thương Hoài
4
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
2
1 2 2
3
2 3 2

1
0 1 1
1 1 1 3
( 1) 2 3 2 4 16
xdx du
u du
x u
−
= = = =
+
∫ ∫ ∫
3,
2 2
4 2 2
0 0
cos (1 sin ) cosxdx x xdx
π π
= −
∫ ∫
Đặt u =sinx
⇒
du = cosxdx
⇒
, u(0) = ; u(
2
π
) = 1
Ta có
1
1 1

2
2 2 2 2 2 4 3 5
0
0 0 0
2 1 8
(1 sin ) cos (1 ) (1 2 ) ( )
3 5 15
x xdx u du u u du u u u
π
− = − = − − + = − + =
∫ ∫ ∫
4, Đặt u = 1+sinx
⇒
du = cosxdx
⇒
, u(0) =0 ; u(
2
π
) = 2 Ta có

2
2 2
2
4 3
4 4
0
0 0 0
costdt du 1 7
u du u
(1 sint) u 3 24

π
− −
= = = − =
+
∫ ∫ ∫
5, Đặt u =
x
⇒
u
2
= x
⇒
dx =2udu
⇒
, u(4) = 2; u(9) = 3 Ta có

9 3 3
2
3
2
2
2
4 2 2
1
2 2 ( 1 ) ( 2 2ln 1 7 2ln 2
1 1
1
xdx u
du u du u u u
u u

x
= = + + = + + − = +
− −
−
∫ ∫ ∫
6,
2 2
3 3 3
2 2
6 2 2 2 2
6 6 6
sin sin 1 1
. . tan .(1 tan ).
cos cos cos cos cos
x x dx
dx dx x x
x x x x x
π π π
π π π
= = +
∫ ∫ ∫
Đặt u = tanx
⇒
du =
2
cos
dx
x
⇒
, u(

6
π
) =
3
3
; u(
3
π
) =
3
Ta có
3
3
3 5
3
2 2 2 2
2
3
3
2
6
2
124 3
tan .(1 tan ). (1 )
cos 3 5 45
dx u u
x x u u du
x
π
π

 
+ = + = + =
 ÷
 
∫ ∫
Bài 3: Tính các tích phân sau :
1,
3
2
2 x
1
x e dx
∫
; 2,
3
2
1
1
(ln x) dx
x
∫
; 3,
3
2
0
x 1 x dx+
∫
; 4,
3
1

2 3x
0
x e dx
∫
; 5,
2
0
cosxdx
1 sin x
π
+
∫
Lời giải: 1, Đặt u =x
3

⇒
du = 3x
2
dx
⇒
x
2
dx=
3
du
, u(1) = 1; u(2) = 8
Ta có :
3
2 8
8

8
2 x u u
1
1 1
1 1 e e
x e dx e du e
3 3 3
−
= = =
∫ ∫
2, Đặt u =lnx
⇒
du =
dx
x
, u(1) = 0; u(3) = ln3;
Ta có :
ln3
3 ln 3
3 3
2 2
1 0
0
1 u (ln3)
(ln x) dx u du
x 3 3
= = =
∫ ∫
GV: Đào Thị Thương Hoài
5

GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
3, Đặt u =1+x
2

⇒
du = 2x dx
⇒
xdx=
2
du
, u(0) = 1; u(
3
) =4
Ta có :
4
3 4 4
1 3
2
2 2
0 1 1
1
1 1 1 2 7
x 1 x dx udu u du . u
2 2 2 3 3
+ = = = =
∫ ∫ ∫
4,Đặt u =3x
3

⇒

du = 9x
2
dx
⇒
x
2
dx=
9
du
, u(0) = 0; u(1) = 3
Ta có
3
1 3
3
3
2 3x u u
0
0 0
1 1 e 1
x e dx e du e
9 9 9
−
= = =
∫ ∫
5,Đặt u = 1+sinx
⇒
du = cosxdx
⇒
, u(0) =1 ; u(
2

π
) = 2
Ta có
2
2
2
1
0 1
cosxdx du
ln u ln2
1 sin t u
π
= = =
+
∫ ∫
Bài 4: Tính các tích phân sau :
1,
1
5
0
x(1 2x) dx−
∫
; 2,
2
1
x x 1dx−
∫
; 3,
2
2

1
dx
x 1 x+
∫
; 4,
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
;
Lời giải:
1, Đặt u = 1- 2x
⇒
du = -2dx
⇒
dx=-
2
du
,x= -
1
2
u −
; u(0) = 1; u(
2
π
) = 2
Ta có:
1
1 1

7 6
5 5
0 0
0
1 1 u u 1
x(1 2x) dx (u 1)u du
4 4 7 6 14
 
− = − − = − − = −
 ÷
 
∫ ∫
2, Đặt u =
1x −

⇒
u
2
= x- 1
⇒
2udu = dx , u(1) = 0; u(2) =1
Ta có:
1
2 1 1
5 3
2 4 2
1 0 0
0
u u 16
x x 1dx (u 1)u.2udu 2 (u u )du 2

5 3 15
 
− = − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
3, Đặt u =
2
1 x+

⇒
u
2
= 1 + x
2
⇒
udu = dx , u(1) =
2
; u(2) =
5
Ta có:
5
2 5 5
2
2
1 2
2 2
dx du du 1 u 1 ln( 5 1)( 2 1)
ln
u 1 (u 1)(u 1) 2 u 1 2

x 1 x
− − −
= = = =
− − + +
+
∫ ∫ ∫
4, Đặt u =
2
1 x−

⇒
u
2
= 1 - x
2
⇒
udu = xdx ,x
3
= x
2
.x , x
2
= 1-u
2
; u(0) =1; u(1) =0
Ta có:
1
1 1 1
3 5
3 2 2 2 4

0 0 0
0
2
1 (1 ). . ( )
3 5 15
u u
x x dx u u udu u u du
 
− = − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 5: Tính các tích phân sau :

( )
1
2
0
1, 1 ;y ydy−
∫

( )
( )
2
2
2
3
1
2, 1 1 dz ;z z+ −
∫

1
2
1
2
3
0
3, 1 dt ;t t
 
+
 ÷
 
∫

( )
2
5 5
0
4, os sin ;c d
π
ϕ ϕ ϕ
−
∫

3
0
5, os . os3 ;c c d
π
α α α
∫

GV: Đào Thị Thương Hoài
6
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
Giải:
( )
1
2
0
1, 1 ;y ydy−
∫

Đặt
2
t 2t y y tdt dy= ⇒ = ⇒ =
Đổi cận
y 0 1
t 0 1

( ) ( ) ( )
1
1 1 1
7 5 3
2
2 4 2 2 6 4 2
0 0 0
0
2
1, 1 .2 = 2 1 .2 2 2 2
7 5 3

1 2 1 15 42 35 16
2. 2.
7 5 3 105 105
t t t
t t tdt t t t dt t t t dt
 
− − + = − + = − +
 ÷
 
− +
 
= − + = =
 ÷
 
∫ ∫ ∫

( )
( )
2
2
2
3
1
2, 1 1 dz ;I z z= + −
∫
Đặt
3 3 2
3
1 1 1 3u z u z z u dz u du= − ⇒ = − ⇒ = + ⇒ =
Đổi biến

z 1 2
u 0 1
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
2
2 2 1
2
2
2 2 3 2 2
3
3
1 1 0
1 1 dz = 1 1 dz= 1 1 3I z z z z u u u du= + − + − + +
∫ ∫ ∫
( )
1
6 3 4
0
2 2 3u u u du= + +
∫
( )
1
1
11 8 5
10 7 4

0
0
2
3 2 2 3 2
11 8 5
u u u
u u u du
 
= + + = + +
 ÷
 
∫
1 1 2 20 55 88 3.163 489 49
3. 3 2
11 4 5 220 220 220 220
+ +
 
= + + = = = =
 ÷
 
Bài 6:Tính các tích phân sau :
1,
2
2
1
2 1
1
x
dx
x x

−
− +
∫
; 2,
1
2 2
0
(2 1)
x
dx
x +
∫
; 3,
2
1
1
0
.
x
x e dx
+
∫
; 4,
2
0
sin
;
1 8 os
x
dx

c x
π
+
∫

4
4
5, cot ;xdx
π
π
−
∫

2
0
sin
6, ;
1 3 os
x
dx
c x
π
+
∫

6
0
8, 1 4sin . os ;x c xdx
π
+

∫

2
sin
0
9, . os ;
x
e c xdx
π
∫
2
2
0
s
10, ;
(1 sin )
co x
dx
x
π
+
∫
Bài 7:Tính các tích phân sau :

2
1
0
1, ;
x
e xdx

−
∫

4
1
2, d ;
x
e
x
x
∫

1
2
0
3, 1. d ;x x x+
∫


1
2
3 3
1
4, ;
1
x dx
x−
∫

1

1 ln
5, d ;
e
x
x
x
+
∫

2
2
0
6, 4 ;x x dx−
∫

* Đổi biến dạng 2 : Phương pháp : Cần tìm
( )
b
a
f x dx
∫
- Đặt x = u(t), u(t) có đạo hàm liên tục trên [
α
;
β
], f[u(t)] xác định / [
α
;
β
] và a= u(

α
), b=u(
β
)
- Biểu thị f(x) dx =f[u(t)].u’(t).dt=g(t)dt
- Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t), đổi cận
GV: Đào Thị Thương Hoài
7
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
-Tính
( ) ( )g t dt G t
β
β
α
α
=
∫
và kết luận
Bài 1: Tính các tích phân sau :
1,
1
2
0
1 x dx−
∫
; 2,
2
2
0
4 x dx−

∫
; 3,
1
2
2
0
1 x dx−
∫
; 4,
1
2
0
1
dx
x+
∫
; 5,
1
2
2
1
1
dx
x−
∫
; 6,
1
2
0
1

dx
x x−
∫
Giải
1, Đặt x = sint
⇒
dx = costdt; x = 0
⇒
t =0; x = 1
⇒
t =
2
π
Ta có:
1
2 2 2
2
2 2 2
0 0 0 0 0
1 1 1
1 1 sin cos cos (1 cos2 ) sin 2
2 2 4 4
x dx t tdt tdt t dt t t
π π π
π
π
 
− = − = = + = + =
 ÷
 

∫ ∫ ∫ ∫
2, Đặt x = 2sint
⇒
dx = 2costdt; x = 0
⇒
t =0; x = 2
⇒
t =
2
π
Ta có:
( )
2
2 2 2
2 2 2
2
0
0 0 0 0
1
4 4 4sin 2cos 4 cos 4 (1 cos2 ) 2 sin2
2
x dx t tdt tdt t dt t t
π π π
π
π
− = − = = + = + =
∫ ∫ ∫ ∫
3, Đặt x = sint
⇒
dx = costdt; x = 0

⇒
t =0; x =
1
2
⇒
t =
6
π
1
6 6 6
2
6
2 2 2
0 0 0 0 0
1 1 1
1 1 sin cos cos (1 cos2 ) sin 2
2 2 4
x dx t tdt tdt t dt t t
π π π
π
 
− = − = = + = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
5, Đặt x = sint
⇒
dx = costdt; x = 0
⇒
t =0; x =

1
2
⇒
t =
6
π
Ta có:
1
6 6
2
6
0
2 2
1 0 0
cos cos
cos 6
1 1 sin
dx tdt tdt
t
t
x t
π π
π
π
= = = =
− −
∫ ∫ ∫
Bài 2: Tính các tích phân sau :
1,
1

2
2
0
x x dx−
∫
; 2,
1
2 2
0
x 1 x dx−
∫
; \3,
2
2 2
0
x 4 x dx−
∫
; 4,
2
3
2
0
4 9
dx
x−
∫
; 5,
4
2
2

4x
dx
x
−
∫
;
6,
0
1 sin
xdx
x
π
+
∫
; 7,
1
2
2 2
3
6
1 3
dx
x x−
∫
; 8,
1
2
2
2
3

4
1 4x
dx
x
−
∫
; 9,
2
2
0
2cos
3 4 sin
tdt
t
π
−
∫
;
Lời giải: 1,
2, Đặt x = tant
⇒
dx = (1+tan
2
t)dt; x = 0
⇒
t =0; x = 1
⇒
t =
4
π

Ta có:
1
2
4 4
4
2 2
0
0 0 0
dx (1 tan t)dt
dt t
1 x 1 tan t 4
π π
π
π
+
= = = =
+ +
∫ ∫ ∫

GV: Đào Thị Thương Hoài
8
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
3, Đặt x = sin
2
t
⇒
dx = 2sint.costdt; x = 0
⇒
t =0; x =
1

2
⇒
t =
4
π
Ta có:
1
2 4 4 4
2 2 2
0 0 0 0
4 4
0 0
1 1
x x dx 2 sin t(1 sin t) sin t.costdt sin 2t.sin 2tdt (1 cos4t)dt
2 4
1 1 1
t . sin 4t
4 4 4 16
π π π
π π
π
− = − = = −
= − =
∫ ∫ ∫ ∫
4, , Đặt x = cost
⇒
dx =-sintdt; x = 0
⇒
t =
2

π
; x = 1
⇒
t =0 Ta có:

1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2
2
0 0
1
x 1 x dx cos t 1 cos t.( sin t)dt cos tsin tdt sin 2tdt
4
1 1 cos4t 1 1 1
dt t sin 4t .0
4 2 8 32 16 32 16
π π π
π
π
π π
− = − − − = =
−
 
= = − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫

5, Đặt x = cost
⇒
dx =-sintdt; x = 0
⇒
t =
2
π
; x = 1
⇒
t =0 Ta có:
1
2
2
0 0
dx sin tdt
cost sin t
x 1 x
π
=
+
−
∫ ∫
. Đặt M =
2
0
sin tdt
cost sin t
π
+
∫

; N =
2
0
costdt
cost sin t
π
+
∫

Ta có: M+N=
2
2
0
0
2
dt t
π
π
π
= =
∫
;
M-N=
2
2
0
0
sin t cost
dt ln cos t sin t 0
cost sin t

π
π
−
= + =
+
∫
⇒
2
4
0
M N
M
M N
π
π

+ =

⇒ =


− =


6, Đặt x =
π
- t
⇒
dx =- dt; x = 0
⇒

t =
π
; x =
π
⇒
t =0 Ta có
0 0 0 0 0 0
1 sin 1 sin( ) 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
xdx t dt tdt dt xdx
dt
x t t t t x
π π π π π π
π
π π
π
−
= = − = −
+ + − + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2
0 0 0 0
0
2 cos 2
1 sin 1 sin 2 4
(sin cos )
2sin
2 2
2 4
xdx dt dt dt t

t t
t
x t
π
π π π π
π
π π π π π
π
 
⇒ = = = = − + =
 ÷
+ +
 
 
+
+
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
0
1 sin
xdx
x
π
π
⇒ =
+
∫
7, Đặt x =
1

3
sint
⇒
dx =
1
3
.costdt;
2 2
1
sin
3
x t=
; x =
3
6
⇒
t =
6
π
; x =
1
2
⇒
t =
3
π
Ta có
1
3 3
2

3
2
2 2
2
6
3
6 6
6
cos 3
3cos 2
1
sin
1 3
3. sin cos
3
dx tdt dt
t
t
x x
t t
π π
π
π
π π
= = = =
−
∫ ∫ ∫
GV: Đào Thị Thương Hoài
9
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12

8, Đặt x = 2sint
⇒
dx =2.costdt;
2 2
4sinx t=
; x =0
⇒
t =0; x = 2
⇒
t =
2
π
Ta có

2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2
2
0 0
x 4 x dx 4sin t 4 4sin t.2cos tdt 16.sin tcos tdt 4 sin 2tdt
1 cos4t 1
4 dt 2t sin 4t
2 2
π π π
π
π
π
− = − = =

−
 
= = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫
9, Đặt x =
1
2
sint
⇒
dx =
1
2
costdt;
2 2
1
sin
4
x t=
; x =
3
4
⇒
t =
3
π
; x =
1

2
⇒
t =
2
π


1
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
3
3 3 3 3
4
1 4 1 sin 1 cos 1
. cos 2 2 (1 cot 1) 2 ( 1)
1
2 sin sin
sin
4
x t t
dx tdt dt t dt dt
x t t
t
π π π π
π π π π
− −
= = = + − = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫


2
3
2 3
2(cot )
3 3
t t
π
π
π
= − − = −
10,
2
3
2
0
4 9
dx
x−
∫
, Đặt x =
3
2
sint
⇒
dx =
3
2

costdt; ; x = 0
⇒
t =0; x =
3
2

⇒
t =
2
π


2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
3 3 9 1 cos 2 9
9 4sin cos 3cos (1 cos 2 )
2 2 2 2 4
t
M t tdt tdt dt t dt
π π π π
+
 
= − = = = +
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫

2
0

9 1 9
sin 2
4 2 8
t t
π
π
 
= + =
 ÷
 
11,
2
2
0
2cos
3 4 sin
tdt
t
π
−
∫
12,
4
2
2
4x
dx
x
−
∫

Dang
2 2
b
a
x a dx−
∫
. Đặt x =
cos
a
t
⇒
Đặt x =
2
2 2
2 sin 4
2. ;
cos cos cos
t
dx dt x
t t t
⇒ = =
; x = 2
⇒
t =0; x =4
⇒
t =
3
π

2 2

3 3 3 3
2
2
2 2 2 2
0 0 0 0
3
2
0
4
4
sin 4(1 cos ) sin sin
cos
.2 2 .cos 2 (1 tan 1)
2
cos cos cos cos
cos
1
2 1 2( 3 )
sin 3
t t t t
t
P dt t dt dt t dt
t t t t
t
dt
t
π π π π
π
π
−

−
= = = = + −
 
= − = −
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫

III- Dạng 3: Bài tập tính tích phân bằng phương pháp tính tích phân từng phần
GV: Đào Thị Thương Hoài
10
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
Bài 1: Tính các tích phân sau :
1,
2
0
sinx xdx
π
∫
; 2,
2
0
osxc xdx
π
∫
; 3,
4
0
(2 1) osx c xdx

π
−
∫
; 4,
2
0
2 os2xc xdx
π
∫
; 5,
2
0
os2xc xdx
π
∫
; 6,
4
0
(2 1)s inx xdx
π
+
∫
Giải:
1, Đặt
u du d
dv sin d os
x x
x x v c x
= =
 

⇔
 
= = −
 
Ta có

[ ] [ ]
2 2
2 2
0 0
0 0
sin osx cosx -xcosx+sinx os sin ( 0 os 0+sin 0) 1
2 2 2
x xdx xc dx c c
π π
π π
π π π
= − + = = − + − − =
∫ ∫
2, Đặt
u du d
dv cos d sin
x x
x x v x
= =
 
⇔
 
= =
 

Ta có ;
[ ]
2 2
2
2
2
0
0
1 0
0
cos sinx sin x sinx +cosx 1
2
x xdx x dx x
π π
π
π
π
π
 
= − = = −
 
 
∫ ∫
3, Đặt
u 2 1 du 2d
dv cos d sin
x x
x x v x
= − =
 

⇔
 
= =
 
Ta có

( ) ( )
4 4
4 4
0 0
0 0
(2 1) os 2 1 sinx 2 sin x 2 1 sinx+2cosxx c xdx x dx x
π π
π π
− = − − = −   
   
∫ ∫
4,
2
0
2 os2xc xdx
π
∫
;
5,
2
0
os2xc xdx
π
∫

;
6,
4
0
(2 1)sinx xdx
π
+
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau :
1,
1
0

x
xe dx
∫
; 2,
1
ln ;
e
xdx
∫
3,
1
(ln 1)
e
x dx+
∫
; 4,
1

ln( 1)
e
x dx+
∫
; 5,
2
1
x
xe dx
∫
; 6,
3
1
3
x
xe dx
−
∫
;
Giải
1
0
1,

x
xe dx
∫
Đặt
{ {
x

x x
u x du dx
dv e d v e
= =
= =
⇒
( )
1 1
1
1
0
0
0 0
= . 1
x x x x
xe dx x e e dx e e
− = − =
∫ ∫
GV: Đào Thị Thương Hoài
11
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
2,
1
ln ;
e
xdx
∫

3,
1

(ln 1)
e
x dx+
∫
;
4,
1
ln( 1)
e
x dx+
∫
;
5,
2
1
x
xe dx
∫
;
6,
3
1
3
x
xe dx
−
∫
;
Bài 3: Tính các tích phân sau :
1,

1
ln
e
x xdx
∫
; 2,
2
1
ln( 1)
e
x x dx+
∫
; 3,
3
1
4 lnx xdx
∫
; 4,
1
( 1)ln
e
x xdx−
∫
; 5,
2
0
osxc xdx
π
∫
; 6,

ln 2
0

x
xe dx
∫
Giải
1,
1
ln
e
x xdx
∫
; Đặt
{
2
1
ln
x x 1
x
2
du dx
u x
x
dv d
v
=
=
=
=


⇒


2
2 2 2 2 2 2
1 1
1
1
1 1 1 1 1 1 1
ln = x ln x ln ( 1) ( 1)
2 2 2 4 2 4 4
e
e
e e
x
x xdx x dx e e e e e
x
 
− = − = − − = +
 ÷
 
∫ ∫
2,
2
1
ln( 1)
e
x x dx+
∫

;
4,
3
1
4 lnx xdx
∫
; Đặt
{
2
1
ln
4x x
2x
du dx
u x
x
dv d
v
=
=
=
=

⇒


( )
3
3 3
2

3
2 2
1
1 1
1
1
4 ln = 2x ln 2x 18ln3 2 18ln3 8
2
x
x xdx x dx
x
− = − = −
∫ ∫
4,
1
( 1)ln
e
x xdx−
∫
; Đặt
{
2
1
ln
(x-1) x 1
x
2
du dx
u x
x

dv d
v x
=
=
=
= −

⇒


2 2 2
1
1 1
1
1 1 1 1
( 1)ln = ( x )ln ( x-1) ( )ln ( )
2 2 2 4
e
e
e e
x xdx x x dx e e e x x
 
− − − = − − −
 ÷
 
∫ ∫

2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( 1) ( 3)

2 4 4 4
e e e e e
 
= − − − − − = −
 
 
5,
2
0
osxc xdx
π
∫
; Đặt
u du d
dv cos d sin
x x
x x v x
= =
 
⇔
 
= =
 
GV: Đào Thị Thương Hoài
12
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
Ta có ;
[ ]
3 3
3

3
2
0
0
1 0
0
3 1
cos sinx sin x sinx +cosx
6 2
x xdx x dx x
π π
π
π
π
π
 
= − = = −
 
 
∫ ∫
6,
ln 2
0

x
xe dx
∫
; Đặt
{ {
x

x x
u x du dx
dv e d v e
= =
= =
⇒
( )
ln 2 ln 2
ln 2
ln 2
ln 2 ln 2 0
0
0
0 0
= . ln 2 2ln 2 ( ) 2ln 2 1
x x x x
xe dx x e e dx e e e e
− = − = − − = −
∫ ∫
Bài 4: Tính các tích phân sau :
1,
ln 2
0
x
xe dx
−
∫
; 2,
2
1

ln xdx
∫
; 3,
1
(2 2)ln x
e
x dx
+
∫
; 4,
3
3x
1
xe dx
∫
;6,
1
4x
0
( 1)x e dx−
∫

Giải
1,
ln 2
0
x
xe dx
−
∫

; Đặt
{ {
x
x x
u x du dx
dv e d v e
− −
= =
= =−
⇒
( )
ln 2 ln 2
ln 2
0
0 0
= .
x x x
xe dx x e e dx
− − −
− +
∫ ∫
ln 2
ln 2 ln 2 0
0
1 1 1
ln 2 ln 2 ( ) ln 2
2 2 2
x
e e e e
− − −

= − − = − − − = − +
2,
2
1
ln xdx
∫
; Đặt
{
1
ln
x
du dx
u x
x
dv d v x
=
=
= =

⇒


( )
2 2
2
2
1
1
1 1
1

ln = ln 2ln 2 2ln 2 1xdx x x x dx x
x
− = − = −
∫ ∫
3,
1
(2 2)ln x
e
x dx
+
∫
; Đặt
{
2
1
ln
(2x+2) x
x 2
du dx
u x
x
dv d
v x
=
=
=
= +

⇒



( )
2 2 2
1
1
1 1
1
(2 2)ln = (x 2 ) ln (x+2) ( 2 )ln ( 2 )
2
e
e e
e
x xdx x x dx e e e x x
+ + − = + − +
∫ ∫

2 2 2
1 1 1
( 2 ) ( 2 ) ( 2) ( 3)
2 2 2
e e e e e
 
= + − + − + = +
 
 
4,
3
3x
1
xe dx

∫
; Đặt
{
3
3
1
x
3
x
x
u x du dx
dv e d
v e
= =
=
=

⇒


( )
3
3 3
3
3 3 3 9 3 3 9 3
1
1 1
1
1 1 1 1 8 26
= . 3

3 3 3 9 9 81
x x x x
xe dx x e e dx e e e e e
 
− = − − = −
 ÷
 
∫ ∫
5,
1
4x
0
( 1)x e dx−
∫
Đặt
{
4
4
1
x
4
x
x
u x du dx
dv e d
v e
= =
=
=


⇒


1
1 1
1
4 4 4 0 4 4
0
0 0
0
1 1 1 1 5 1
( 1) = ( 1).
4 4 4 16 16 16
x x x x
x e dx x e e dx e e e
 
− − − = − = −
 ÷
 
∫ ∫
Bài 5: Tính các tích phân sau :
GV: Đào Thị Thương Hoài
13
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
1,
1
0
(2 1)
x
x e dx

−
∫
; 2,
ln5
ln 2
2
x
xe dx
∫
; 3,
2
0
x
xe dx
∫
; 4,
1
0
(2 1)
x
x e dx
+
∫
; 5,
1
2x
0
xe dx
∫
;6,

3
2 2x
0
( 1)x e dx+
∫

Giải ;
1,
1
0
(2 1)
x
x e dx
−
∫
;
2,
ln5
ln 2
2
x
xe dx
∫
;
3,
2
0
x
xe dx
∫

;
4,
1
0
(2 1)
x
x e dx
+
∫
;
5,
1
2x
0
xe dx
∫
;
6,
3
2 2x
0
( 1)x e dx+
∫

Bài 6: Tính các tích phân sau:
1,
( )
0
2 1 cos ;x xdx
π

+
∫
2,
0
.sinxdx ;x
π
∫
3,
2
2
0
x cos ;xdx
π
∫
4,
2
x
0
. s ;e co xdx
π
∫

x
0
5, .sin ;e xdx
π
∫

Giải:
1,

( )
1
2 1 cos ;x xdx
π
+
∫
Đặt
u 2 1 du 2d
dv cos d sin
x x
x x v x
= + =
 
⇔
 
= =
 
Ta có

( ) ( ) ( )
0 0
1 0
2 1 cos 2 1 sinx 2 sin x 2 1 sinx+2cosx 2 2 4x xdx x dx x
π π
π π
+ = + − = + = − − = −   
   
∫ ∫
2,
0

.sinxdx ;x
π
∫

3,
2
2
0
x cos ;xdx
π
∫

4,
2
x
0
. s ;e co xdx
π
∫

x
0
5, .sin ;e xdx
π
∫


Bài 7
1,
3

1
4xln xdx
∫
; 2,
5
2
2
x ln(x 1)dx−
∫
( Đ95-96) ; 3,
( )
cos x
0
e x sin xdx
π
+
∫
( Đ98) ;
GV: Đào Thị Thương Hoài
14
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
4,
e
2
1
(1 x )ln xdx−
∫
( Đ 2000);

Lời giải: 1, Đặt

2
dx
du
u ln x
x
dv xdx
x
v
2

=

=


⇒
 
=


=


Ta có
3
3
3 3
2 2 2
2
1 1

1
1
x x dx x
4xln xdx 4 ln x 4 2x ln 3 4 18ln3 8
2 2 2 2
= − = − = −
∫ ∫
2, Đặt
2
3
dx
du
u ln(x 1)
x 1
dv x dx
x
v
3

=

= −

 −
⇒
 
=


=



Ta có
5
5 5 5
3 3 3
2
2 2 2
2
x x dx 125 8 1 x dx
x ln(x 1)dx ln(x 1) ln4 .0
3 3 x 1 3 3 3 3 x 1
− = − − = − −
− −
∫ ∫ ∫
5
5 5
3 2
5
2
2
2 2
2
250 1 d(x 1) 250 1 x x
ln2 (x x 1))dx ln 2 x ln x 1
3 3 x 1 3 3 3 2
 
 
 
−

 
= − + + + = − + + + −
 
 ÷
−
 
 
 
 
∫ ∫
250 1 125 25 8 248
ln2 5 2 2 ln 4 ln2 33
3 3 3 2 3 3
 
= − + + − − − + = −
 ÷
 
3,
( )
cos x cosx
0 0 0
e x sin xdx e sin xdx xsin xdx
π π π
+ = +
∫ ∫ ∫
cos x cosx cos x
1
0
0 0
1

I e sin xdx e d(cosx) e e
e
π π
π
= = = = −
∫ ∫
;
2
0
I xsin xdx
π
=
∫
Đặt
u x du dx
dv sin xdx v cosx
= =
 
⇒
 
= = −
 
Ta có
2
0 0 0
0
cos cos cos sinI x x xdx x x x
π
π π π
π

= − + = − + =
∫

4, Đặt
2
3
dx
du
u ln x
x
dv (1 x )dx
x
v x
3

=

=


⇒
 
= −


= −


Ta có
e

e e
3 3 3
2
1 1
1
x x dx 2e 8
(1 x )ln xdx x ln x (x )
3 3 x 9
 
− +
− = − − − =
 ÷
 
∫ ∫

Bài 8(VN): Tính các tích phân sau
1,
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
(ĐH 98) ; 2,
2
x
0
e sin3xdx
π

∫
(ĐH 98) ; 3,
1
2
0
xln(x 1)dx+
∫
(ĐH 2000)
GV: Đào Thị Thương Hoài
15
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
4,
2
0
cosln(1 cos x)xdx
π
+
∫
(ĐH 99) ; 5,
3
0
xcos xdx
π
∫
; 6,
2
2
0
x cosxdx
π

∫
; 7,
2
x
4
e sin3xdx
π
π
−
∫
Giải :
Bài 9: Tính các tích phân sau:
1
0
5, .arctan ;x xdx
∫
1
0
7, arctan ;xdx
∫
1
2
0
8, arcsin ;xdx
∫
x
0
9, .sin ;e xdx
π
∫

1
11, cos(ln ) ;
e
x dx
∫

3
1
12, sin(ln ) ;
e
x dx
π
∫
Giải
Bài 10:Tính các tích phân sau :
1,
4
2
3
xdx
sin x
π
π
∫
; 2,
2
x
0
e cos3xdx
π

−
∫
; 3,
2x 2
0
e sin xdx
π
∫
; 4,
e
0
cos(ln x)dx
π
∫
; 5,
ln 2
x
0
x.e dx
−
∫
6,
e
3
1
ln xdx
∫
; 7,
e
2

1
x.ln xdx
∫
; 8,
2
1
ln x
dx
x
∫
; 9
2
2
0
xcos xdx
π
∫
; 10,
e
0
(2x 2)ln xdx+
∫
11,
2
0
x sin xdx
π
∫
; 12,
2

3x
0
e sin5xdx
π
∫
; 13,
1
os(ln(1 cosx))
e
c xdx
π
+
∫
Bài 11:Tính các tích phân sau :

4
2
0
1, ;
os
xdx
c x
π
∫

3
2
2
2, dx ;
sin

xdx
x
π
π
∫

1
0
arcsin
3, dx ;
1
x
x+
∫

(
)
2
1
2
0
.ln 1
4, ;
1
x x x
dx
x
+ +
+
∫

IV- Vấn đề tích phân hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1: Tính các tích phân sau :
1,
2
2
x 1dx
−
+
∫
; 2,
3
2
3
x 1dx
−
−
∫
; 3,
4
1
x 2dx−
∫
; 4,
2
2
0
x 2x 3dx+ −
∫
Lời giải: 1, Xét dấu x+1 trên [-2; 2] Ta có x -2 -1 2

x+1 - 0 +
1 2
2 1 2
2 2
2 2 1
2 1
x x
x 1dx (x 1)dx (x 1)dx x x 5
2 2
−
− −
− −
   
⇒ + = − + + + = − + + + =
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
Tương tự ta có :2,
3
2
3
44
x 1dx
3
−
− =
∫
; 3,
4
1

5
x 2dx
2
− =
∫
;
2
2
0
x 2x 3dx 4+ − =
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau
GV: Đào Thị Thương Hoài
16
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
1,
( )
5
3
x 2 x 2 dx
−
+ − −
∫
; 2,
( )
1
2
1
2x 1 x dx
−

− −
∫
;
1
1
3, 2 2 ;
x x
dx
−
−
−
∫
Bảng xét dấu trên [-3; 5]
x -3 -2 2 5
x+2 - 0 + +
x-2 - - 0 +
( )
5 2 2 5
3 3 2 2
2 2 5
2
2 5
2
3 2
2
3 2 2
x 2 x 2 dx ( x 2 x 2)dx (x 2 x 2)dx (x 2 x 2)dx
4dx 2xdx 4dx 4x x x 8
−
− − −

−
−
−
−
− −
⇒ + − − = − − + − + + + − + + − +
− + + = + + =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Tương tự
( )
1
1 0 1
2
2
2 2 2
1
1 1 0
2
5
2x 1 x dx ( 2x 1 x) dx ( 2x 1 x) dx (2x 1 x) dx
2
− −
− − = − + + + − + − + − − =
∫ ∫ ∫ ∫
V- Vấn đề tích phân hàm lượng giác :
Bài 1: Tính các tích phân sau :
1,
(2sin x 3cosx)dx
π

π
−
−
∫
; 2,
0
(x sin x)dx
π
+
∫
; 3,
2
0
sin xdx
π
∫
; 4,
(sin x cosx)dx
π
π
−
+
∫
;
5,
0
cos(x )dx
4
π
π

−
+
∫
; 6,
2
4
4
dx
sin x
π
π
∫
; 7,
3
8
2 2
8
dx
sin xcos x
π
π
∫
Lời giải: 1,
(2sin x 3cosx)dx 2 sin xdx 3 cosxdx 2cosx 3sin x 0
π π π
π π
π π
π π π
− −
− − −

− = − = − − =
∫ ∫ ∫
2,
2 2 2
0
0
x
(x sin x)dx cosx 1 (0 1) 2
2 2 2
π
π
π π
   
+ = − = + − − = +
 ÷  ÷
   
∫
3,
2
0 0 0
1 cos2x 1 2x 1
sin xdx dx x sin ( 0)
2 2 2 2 2
π
π π
π
π
−
 
= = − = − =

 ÷
 
∫ ∫
4,
( )
(sin x cosx)dx cosx sin x 0
π
π
π
π
−
−
+ = − + =
∫
5,
0 0
0
2 2 2
cos(x )dx (cos x sin x)dx (sin x cosx) (0 1 0 1) 2
4 2 2 2
π
π π
π
−
− −
+ = − = + = + − + =
∫ ∫
6, I =
2 2 2
2

4 2 2 2
4 4 4
dx 1 dx dx
. (1 cot x)
sin x sin x sin x sin x
π π π
π π π
= = +
∫ ∫ ∫
Đặt :u =cotx
2
dx
du
sin x
⇒ =
Đổi biến : x
4
π

2
π

GV: Đào Thị Thương Hoài
17
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
u 1 0 Khi đó ta được I =
1
0
3
2

1
0
u 4
(1 u )du (u )
3 3
+ = − + = −
∫


3 3 3
3
2 2
8 8 8
8
2 2 2 2 2 2
8
8 8 8
dx (sin x cos x)dx 1 1
7, dx (tan x cot x)
sin x cos x sin xcos x sin x cos x
3 3 3 3 3
tan tan cot cot tan tan tan tan 2(tan tan )
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
2
sin
4 2
2 2
3 1
cos cos (cos co
8 8 2 2

π π π
π
π
π π π
π π π π π π π π π π
π
π π π
+
 
= = + = −
 ÷
 
= − − + = − − + = −
= =
+
∫ ∫ ∫
4
s )
4
π
=

Bài 2: Tính các tích phân sau :
1,
3
2
0
sin x tan xdx
π
∫

; 2,
6
0
(sin6xsin 2x 6)dx
π
−
∫
3,
2
2
0
cos 4xdx
π
∫
Lời giải:
3 3 3 3 3 3
2 2
0 0 0 0 0 0
3
3
0
0
sin x sin x d(cosx) 1
sin x tan xdx (1 cos x) dx dx sin xcosxdx sin 2xdx
cosx cosx cosx 2
1 1 1 1 1
ln cos x . cos2x ln ln2
2 2 2 4 4
π π π π π π
π

π
= − = − = −
= − = + = − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
6 6
6
0 0 0
1 1 1 3 3
2, (sin6xsin 2x 6)dx (cos4x cos8x) 6 dx sin 4x sin6x 6x
2 8 16 32
π π
π
π
   
− = − − = − − = −
 ÷
 
   
∫ ∫
3,
2
2
2
0 0
1 1 1 1
cos 4 sin8 .0
2 8 2 2 8 4
xdx x x
π
π

π π
   
= + = + =
 ÷  ÷
   
∫

VI- Vấn đề tích phân liên kết :
Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân I phức tạp, ta tìm cách xét thêm tích phân J (gọi là tích
phân liên kết, có quan hệ với I) sao cho ta tính được mI+nJ và nI-mJ (thường là I+J, I-J) tương đối dễ
dàng, từ đó suy ra I.
Vấn đề là lúc nào thì dùng tích phân liên kết và liên kết đến tích phân nào?
Tính các tích phân sau nhờ sử dụng tích phân liên kết:
1.
3
6
cos
sinx cos
xdx
I
x
π
π
=
+
∫
2.
4
4 4
0

cos
sin x cos
xdx
T
x
π
=
+
∫
3.
1
0
x
x x
e dx
M
e e
−
=
+
∫
4.
2
1
x
x x
e dx
G
e e
−

=
−
∫
5.
2
ax
0
osb ( ; 0)
b
R e c xdx a b
π
= ≠
∫
6.
2
2
0
os
x
U e c xdx
π
=
∫
GV: Đào Thị Thương Hoài
18
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
7.
4
2
0

os . os2A c x c xdx
π
=
∫
8.
2
4
0
os
x
E e c xdx
π
−
=
∫
9.
2
1
sin(ln )
e
P x dx
π
=
∫
10.
26
0
cos
cos2
x

W dx
x
π
=
∫
HD: Tích phân liên kết của các tích phân trên là: 1.
3
6
sin
sinx cos
xdx
J
x
π
π
=
+
∫
, I+J=pi/6 và I-J=0;
2.
4
4 4
0
sin
sin x cos
xdx
P
x
π
=

+
∫
,
T P
π
+ =
và
0T P
− =
; 3.
1
0
x
x x
e dx
M
e e
−
=
+
∫
, M+N=1 và
2
1
ln
2
e
M N
e
+

− =
;
4.
2
1
x
x x
e dx
H
e e
−
−
=
−
∫
,
2
ln( 1) 1; 1G H e G H+ = + − − =
;
5. Đặt
ax
cosu bx
dv e dx
=


=

rồi dẫn đến
2

ax
0
sinb
b
S e xdx
π
=
∫
, khi đó aI-bJ=-1, lại đặt
ax
sinu bx
dv e dx
=


=

lại có aJ+bI=
2
a
b
e
π
;
10.
26
0
sin
cos2
x

Z dx
x
π
=
∫
khi đó
1
¦W ln tan ;¦W
2 4 6
Z x Z
π π
 
+ = + − =
 ÷
 
11. Xét hai tích phân:
1
0 0
os .sin x ; os .cos .sin x ;
n n
I c x dx J c x nx dx n N
π π
−
= = ∀ ∈
∫ ∫
a. Chứng minh rằng: I + J = 0. b. Tính:
1
0
os .sin( 1)x
n

K c x n dx
π
−
= +
∫
12. (ĐH QG TP. HCM A01- 02): Đặt
2
6
sin
sin 3cos
0
xdx
I
x x
π
=
∫
+
và
2
6
cos
sin 3 cos
0
xdx
J
x x
π
=
∫

+
a. Tính I-3J và I+J. b. Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và: T =
5
3
cos2
cos 3 sin
3
2
xdx
x x
π
π
∫
−
13. (ĐH Cần Thơ A99- 00) a. Cho hàm số f liên tục trên (0 ; 1). CMR:
2 2
(sin ) (cos )
0 0
f x dx f x dx
π π
=
∫ ∫
b. Sử dụng kết quả trên để tính:
3
2
cos
sin cos
0
xdx
I

x x
π
=
∫
+
và
3
2
sin
sin cos
0
xdx
J
x x
π
=
∫
+
Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân I phức tạp, ta tìm cách xét thêm tích phân J (gọi là tích
phân liên kết, có quan hệ với I) sao cho ta tính được mI+nJ và nI-mJ (thường là I+J, I-J) tương đối dễ
dàng, từ đó suy ra I.
Vấn đề là lúc nào thì dùng tích phân liên kết và liên kết đến tích phân nào?
Tính các tích phân sau nhờ sử dụng tích phân liên kết:
Bài 1: Tính các tích phân sau :
GV: Đào Thị Thương Hoài
19
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
1.
3
6

cos
sinx cos
xdx
I
x
π
π
=
+
∫
2.
4
4 4
0
cos
sin x cos
xdx
T
x
π
=
+
∫
3.
1
0
x
x x
e dx
M

e e
−
=
+
∫
4.
2
1
x
x x
e dx
G
e e
−
=
−
∫
5.
2
ax
0
osb ( ; 0)
b
R e c xdx a b
π
= ≠
∫
6.
2
2

0
os
x
U e c xdx
π
=
∫
7.
4
2
0
os . os2A c x c xdx
π
=
∫
8.
2
4
0
os
x
E e c xdx
π
−
=
∫
9.
2
1
sin(ln )

e
P x dx
π
=
∫
10.
2
6
0
cos
cos2
x
W dx
x
π
=
∫
HD: Tích phân liên kết của các tích phân trên là:
1.
3
6
sin
sinx cos
xdx
J
x
π
π
=
+

∫
, I+J=pi/6 và I-J=0;
2.
4
4 4
0
sin
sin x cos
xdx
P
x
π
=
+
∫
,
T P
π
+ =
và
0T P
− =
;
3.
1
0
x
x x
e dx
M

e e
−
=
+
∫
, M+N=1 và
2
1
ln
2
e
M N
e
+
− =
;
4.
2
1
x
x x
e dx
H
e e
−
−
=
−
∫
,

2
ln( 1) 1; 1G H e G H+ = + − − =
;
5. Đặt
ax
cosu bx
dv e dx
=


=

rồi dẫn đến
2
ax
0
sinb
b
S e xdx
π
=
∫
, khi đó aI-bJ=-1, lại đặt
ax
sinu bx
dv e dx
=


=


lại có aJ+bI=
2
a
b
e
π
;
10.
2
6
0
sin
cos2
x
Z dx
x
π
=
∫
khi đó
1
¦W ln tan ;¦W
2 4 6
Z x Z
π π
 
+ = + − =
 ÷
 

11. Xét hai tích phân:
1
0 0
os .sin x ; os .cos .sin x ;
n n
I c x dx J c x nx dx n N
π π
−
= = ∀ ∈
∫ ∫
a. Chứng minh rằng: I + J = 0. b. Tính:
1
0
os .sin( 1)x
n
K c x n dx
π
−
= +
∫
12. (ĐH QG TP. HCM A01- 02):
Đặt
2
6
sin
sin 3cos
0
xdx
I
x x

π
=
∫
+
và
2
6
cos
sin 3 cos
0
xdx
J
x x
π
=
∫
+
a. Tính I-3J và I+J.
b. Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và: T =
5
3
cos2
cos 3 sin
3
2
xdx
x x
π
π
∫

−
13. (ĐH Cần Thơ A99- 00) a. Cho hàm số f liên tục trên (0 ; 1). CMR:
2 2
(sin ) (cos )
0 0
f x dx f x dx
π π
=
∫ ∫
GV: Đào Thị Thương Hoài
20
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
b. Sử dụng kết quả trên để tính:
3
2
cos
sin cos
0
xdx
I
x x
π
=
∫
+
và
3
2
sin
sin cos

0
xdx
J
x x
π
=
∫
+
14. (ĐH QG TP. HCM A01- 02): Đặt
2
2 2
0
os . os 2xdx
c
I
c x
π
=
∫
và
2
2 2
0
sin . os 2xdx
c
J
x
π
=
∫

a. Tính I + J và I - J. b. Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và:
Bài 9: Tính các diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2
1, -2x ; y = x ; y x=

2
3,y =2x - x ; x + y = 0

3
2, ; y+x=2 v à tr c hoànhy x u=

( )
2
4, ; y = x + sin 0y x x x
p
= ££

Giải
2
1, Ta có x 2x x x=0 và x=3 . - = Û
3
2
0
2S x x x dx= − −
∫
3
3
3
2 2

0
0
3 9
( 3 )
2 3 2
x
x x dx x
 
= − − = − =
 ÷
 
∫

Bài 10: Tính các diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2
1, -4x+4 ; y = 0 ; x=0 và x=3 y x=

3 2
2, -12x ; y=x và tr uc hoành

y x=

2
3,y =2x - x ; x + y = 0

( )
3 2
4, -1 ; và y = x + sin 0y x x x
p

= ££

Giải
2
1, Ta có x 4x 4 0 x=2. - + = Û

( )
( )
3
3 3
3
2 2 2
0 0
2
x
S= x 4x 4dx x 4x 4 dx= 2x 4x = 9 18 12 3
3
æ ö
÷
ç
÷
- + = - + - + - + =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
ò ò
3 2 3 2

2, ó : - 12x = x - x 12x = 0 x = 0 ; x = -3 ; x = 4 . Ta c x x⇔ − ⇔
4 0 4
3 2 3 2 3 2
3 3 0
-x 12x = -x 12x -x 12xS x dx x dx x dx
− −
= − − = −
∫ ∫ ∫
( ) ( )
0 4
0 4
4 3 4 3
3 2 3 2 2 2
3 0
3 0
1
= -x 12x -x 12x 6 6 78
4 3 4 3 12
x x x x
x dx x dx x x
−
−
   
− − − = − − − − − =
 ÷  ÷
   
∫ ∫
1/ Diện tích hình phẳng:
a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.
Công thức:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C)
:y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là :
( )
b
a
S f x dx
=
∫
b) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là :
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
Phương pháp giải toán:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
TH1:
GV: Đào Thị Thương Hoài
21
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
[ ( ) ( )]
b
a
S f x g x dx

= −
∫
TH2:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x
1
∈
(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
1
1
( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
x
b b
a a x
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
= − = − + −
∫ ∫ ∫
TH3:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x
1
; x
2
∈
(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm
là:
[ ] [ ] [ ]
1 1 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= − + − + −
∫ ∫ ∫

x x x
a x b
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.
* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2
π
] và Ox.
Giải:
Ta có :sinx = 0 có 1 nghiệm x=
( )
π π
∈ 0;2
vậy diện tích hình phẳng cần tìm là :
S =
2 2
0 0
sin sin sinx dx xdx xdx
π π π
π
= +
∫ ∫ ∫
=
2
0
cos cosx x
π π
π
+
= 4

Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các (P
1
): y = x
2
–2 x, (P
2
) y= x
2
+ 1 và các đường thẳng x
= -1 ; x =2 .
Giải:
Pthđgđ : x
2
–2 x = x
2
+ 1
Û
2x +1= 0
Û
x = -1/2 .
Do đó :S=
2 1/2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1/2
( 2 ) ( 1) [( 2 ) ( 1)] [( 2 ) ( 1)]x x x dx x x x dx x x x dx
-
- - -
- - + = - - + + - - +
ò ò ò
=

( ) ( )
1/ 2 2
1 1/ 2
2 1 2 1x dx x dx
-
- -
+ + +
ò ò
=
( ) ( )
1
2
2 2
2
1
1
2
x x x x
-
- -
+ + +
=
1 25 13
4 4 2
+ =
(dvdt)
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y
2
= 4 x ,và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0.
Giải:

Ta có (P): y
2
= 4 x
⇔
x =
2
4
y
và (d): 2x+y-4 = 0
⇔
x=
4
2
y−
.
Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là:
2
4
y
=
4
2
y−
⇔

2
4
y
y
=



= −

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=
2 2
2 2 2 3
2
4
4 4
4
( ) (2 ) (2 ) 9
2 4 2 4 4 12
y y y y y y
dy dy y
−
− −
−
− = − − = − − =
∫ ∫

2/ Thể tích của một vật thể tròn xoay
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y=
f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng xung quanh trục ox là:
2
( )
b
a
V f x dx
=Π

∫

Ví dụ 1: Tính thể tích của khối cầu sinh ra do quay hình tròn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục
Ox tạo ra
Giải
GV: Đào Thị Thương Hoài
22
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x
2
+ y
2
= R
2

⇒
y
2
= R
2
-x
2
Thể tích của khối cầu là ø : V=
( )
2 2
R
R
R x dx
π
−

−
∫
=
3
2
3
R
R
x
R x
π
−
 
−
 
 
=
3
3
2
2
3
R
R
π
 
−
 
 
=

3
4
3
R
π
(Đvtt)
Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi
nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x
2
–2x
Giải:
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là :
2 2
2 2 4 3 2
1 1
( 2 ) ( 4 4 )S x x dx x x x dx
π π
− −
= − = − +
∫ ∫

=
5
2
4 3
1
4
( )
5 3
x

x x
π
−
− +
=
18
5
π
(đvtt)
Bài tập về nhà :
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x
2
- 2x và trục hoành.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H):
+
=
1x
y
x
và các đường thẳng có phương
trình x=1, x=2 và y=0
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x
4
- 4x
2
+5 và đường thẳng (d): y=5.
4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x
3
–3 x , và y = x .
5/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó

quay xung quanh trục Ox:
a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x =
4
π

b/ y = sin
2
x ; y = 0 ; x = 0 ; x =
π

c/ y =
2
x
xe
; y = 0 ; x = 0 ; x = 1
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1,y = x
2
+ 1 , x + y = 3.
2
2, -1 ,
x
y e=
trục hoành, đường thẳng x = 1 và đường thẳng x=2 .
2
3, -1 ,
x
y e=
trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x=1 .
4, -e ,

x x
y e
−
=
trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x=1 .
5, +1 ,
x
y e=
trục hoành , trục tung , đường thẳng x = 1 .
Giải: Đặt : f
1
(x) = x
2
+ 1 , f
2
(x) = 3 - x.
Xét phương trình : f
1
(x) - f
2
(x) = 0 ⇔ x = -2 , x = 1.
Vậy diện tích cần tìm là: S=
1 1 1
2 2
1 2
2 2 2
9
f (x) - f (x) 2 ( 2) .
2
dx x x dx x x dx

− − −
= + − = + − =
∫ ∫ ∫
Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
y = x
2
+ 2, y = 3x.
Giai S =
6
1
23
2
1
2
=+−
∫
dxxx
Bài 13. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
GV: Đào Thị Thương Hoài
23
GIÁO ÁN TỰ CHỌN 12
y = 0, y =
xxsin
, x = 0, x =
2
π
.
Giai: V =
∫
2

0
sin
π
π
xdxx
§Æt :



=
=
xdxdv
xu
sin
⇒



−=
=
xv
dxdu
cos
⇒ V =
∫
2
0
sin
π
π

xdxx
=










−−
∫
2
0
2
0
cos)cos(
π
π
π
xdxxx
= ∏.
Bài 14. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Oy của hình giới hạn
bởi các đường y =
2
2
x
, y = 2, y = 4 và x = 0.

Giải: V =
=Π
∫
4
2
2ydy
(
4
2
2
)( yΠ
= 12.
Bài 13: Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi
các đường sau:

2
1, +4x ; y = 0 y x= −

2, ,

x
y e
=
trục hoành và hai đường thẳng x-0 và x-3
1
3,y= ,

x
trục hoành và hai đường thẳng x=1 và x=2 .
4,

y x
=
, trục hoành và hai đường thẳng x=0 và x=2 .
Bài 14: Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi
các đường sau:

2
1, y x=
, trục tung và hai đường thẳng y=0 và 4
3
2, ,

y x
=
trục tung và hai đường thẳng y=1 và y=2
3,y=lnx

,trục tung và hai đường thẳng y=0 và y=2 .
2
4, 3

y x
= −
, trục yung và đường thẳng y=1 .
Bài 15: Tínhthể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=3 biết rằng thiết diện của nó
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục 0x tại ddiemr có hoành độ x (
0 3

x

≤ ≤
) là một hình chữ nhật có
hai kích thước là x và
2
2 9

x
−

( )
3
3
2 2 2
0
0
2
Ta có V= 2x 9 x dx 9 x 9 x =18
3

- =- - -
ò

V.Rút kinh nghiệm sau giờ dạy.
GV: Đào Thị Thương Hoài
24