De cuong on tap hoc ki 2 Toan 9

đề cơng ôn tập cuối học kì II
đề cơng ôn tập học kì 2 toán 9
A. Phần Đại số
I. Lý thuyết
1. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
- Giải hệ bằng PP thế: nắm vững quy tắc thế
Ví dụ: Giải hệ



=+
=+
538
24
yx
yx
Giải:
1
y 1
y 2 4
4x y 2 y 2 x y 2 4x
4
1
8x 37 5 8x 3(2 4x) 5 4x 1 1
x
x
4
4

=
=

+ = = =




+ = + = =
=


=



- Giải hệ bằng PP cộng đại số: nắm vững quy tắc cộng đại số
Ví dụ: Giải hệ





=
=




=+
=

=+
=+




=+
=+
4
1
1
24
1
538
428
538
24
x
y
yx
y
yx
yx
yx
yx
- Giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải hệ







=



=

+

1
1
3
2
2
2
1
1
2
1
yx
yx
HD: Đặt

=

=
1
1
2
1
y
v
x
u
2. Giải bài toán bằng cách lập hệ PT
- Toán tìm số
Ví dụ: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phơng trình:
Tháng trớc mẹ bạn Linh đi chợ mua một quả trứng gà và một quả trứng vịt chỉ hết 5000 đồng. Thời
điểm này mỗi quả trứng gà tăng thêm 1000 đồng còn mỗi quả trứng vịt tăng thêm 500 đồng nên mẹ
bạn Linh mua 3 quả trứng gà và 4 quả trứng vịt hết 22000 đồng. Hỏi số tiền mua mỗi quả trứng gà và
mỗi quả trứng vịt trớc khi tăng giá là bao nhiêu?
Giải: Gọi x (đồng) là số tiền mua một quả trứng gà, y (đồng) là số tiền mua một quả trứng vịt trớc khi
tăng giá. ĐK: x > 0, y > 0
Trớc khi tăng giá: x + y = 5000
Sau khi tăng giá: 3(x+1000) + 4(y+500) = 22000
Hay 3x + 4y = 17000

Theo bài ra ta có hệ phơng trình



=+
=+
1700043
5000
yx
yx
Giải hệ ta đợc



=
=
2000
3000
y
x
Vậy số tiền mua một quả trứng gà trớc khi tăng giá là 3000 đồng, số tiền mua một quả trứng vịt trớc
khi tăng giá là 2000 đồng
Chú ý hai dạng toán cơ bản:
- Toán chuyển động
- Toán năng suất, làm chung-làm riêng
3. Hàm số y = ax
2
(a

0)

- Tính chất
- Vẽ đồ thị số y = ax
2
(a

0)
Ví dụ: Đồ thị hàm số y = -
1
2
x
2
Giáo viên: Trần Hữu Duật 1
đề cơng ôn tập cuối học kì II
4. Phơng trình bậc hai một ẩn
- Dạng tổng quát, dạng khuyết của PT, xác định các hệ số a, b, c của PT
- Giải PT dạng ax
2
+ bx = 0; PT dạng ax
2
+ b = 0
5. Công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn
Cho PT bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (1) (a

0)
Công thức nghiệm tổng quát Công thức nghiệm thu gọn
Đặt (Delta)

= b

2
4ac
+ Nếu

> 0, PT (1) có hai nghiệm p.b :
x
1
=
2
b
a
+
; x
2
=
2
b
a

+ Nếu


= 0, PT (1) có nghiệm kép :
x
1
= x
2
=
2
b

a

+Nếu

< 0, PT (1) vô nghiệm
Đặt b = 2b

'
= b
2
ac.
*Nếu
'
> 0, PT (1) có hai nghiệm p.b: x
1
=
' 'b
a
+
; x
2

=
' 'b
a

*Nếu
'
= 0, PT (1) có nghiệm kép :
x

1
= x
2
=
'b
a

*Nếu
'
< 0 thì phơng trình vô nghiệm
6. Hệ thức Vi-et. ứng dụng
a. Nếu PT bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có hai nghiệm x
1
và x
2
thì







=

=+

a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
Nhẩm nghiệm PT bậc hai theo hệ thức Vi-et
Ví dụ: Cho PT x
2
- 7x + 10 = 0 có hai nghiệm



=
=+
10.
7
21
21
xx
xx
nên x
1
= 5; x
2
= 2
b. Cho PT ax

2
+ bx + c = 0 (a

0)
+ Nếu a + b + c = 0 thì x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
+ Nếu a - b + c = 0 thì x
1
= -1; x
2
= -
c
a
.
Ví dụ: 1. PT 2x
2
- 7x + 5 = 0 có 2 + (-7) + 5 = 0 nên có x
1
= 1; x
2
=
2
5
.

2. PT x
2
- 3x - 4 = 0 có 1 - (-3) - 4 = 0 nên có x
1
= -1; x
2
= 4.
c. Tìm hai số khi biết tổng và tích của nó
Nếu hai số u và v cần tìm có tổng u + v = S và tích u.v = P (với S
2
- 4P 0)
thì chúng là nghiệm của PT x
2
- Sx + P = 0
Ví dụ: Tìm hai số u và v biết u + v = -8 và tích u.v = 15
Giáo viên: Trần Hữu Duật 2
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Giải: Hai số u và v là nghiệm của PT: x
2
- (-8)x + 15 = 0
hay x
2
+ 8x + 15 = 0. Giải ra ta có x
1
= -3, x
2
= -5
7. Giải PT quy về PT bậc hai
a. PT trùng phơng ax
4

+ bx
2
+ c = 0 (a

0)
PP giải: Đặt x
2
= t (t

0) đa PT về ẩn t: at
2
+ bt + c = 0
Ví dụ: Giải pt: x
4
- 13x
2
+ 36 = 0
Đặt x
2
= t (t

0). Ta đợc pt: t
2
13t + 36 = 0

= (-13)
2
4.1.36 = 25 nên

= 5

t
1
=
13 5
2
+
= 9 (TMĐK); t
2
=
13 5
2

= 4 (TMĐK)
+) Với t
1
= 9

x
2


= 9

x =

3
+) Với t
2
= 4

x
2
= 4

x =

2
Vậy pt đã cho có 4 nghiệm: x
1
= - 2; x
2
= 2; x
3
= - 3; x
4
= 3
8. Giải bài toán bằng cách lập PT
Nêu các bớc giải bài toán bằng cách lập PT?
Ví dụ: Chuẩn bị cho ôn tập học kì 2, bạn Nga lập kế hoạch làm 70 btập trong một số ngày nhất định.
Để hoàn thành sớm hơn dự kiến, mỗi ngày bạn Nga làm thêm 2 btập nữa so với dự định nên trớc khi
đến hạn 2 ngày bạn đã làm đợc 60 btập. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày bạn Nga làm đợc bao nhiêu btập.
Giải: Gọi số btập bạn Nga làm trong một ngày theo kế hoạch là x (đk x > 0)
Thời gian để bạn Nga làm xong hết số btập theo kế hoạch là
x
70
(ngày)
Trên thực tế mỗi ngày bạn Nga làm đợc x + 2 (btập)
Nên thời gian để bạn Nga làm xong 60 bài tập là
2
60

+x
(ngày)
Thời gian để bạn Nga làm xong 60 b.tập trớc thời gian đến hạn 2 ngày nên ta có PT
x
70
-
2
60
+x
= 2

x
2
- 3x - 70 = 0
x
1
= -7 (loại); x
2
= 10 (TMĐK)
Vậy số btập bạn Nga làm trong một ngày theo kế hoạch là 10 bài.
II. Bài tập
Bài 1 : Giải các hệ PT sau :
a.



=+
=
42
32

yx
yx
Ta có:



=+
=




=+
=
4)32(2
32
42
32
xx
xy
yx
yx



=
=

=
=

2
32
465
32
x
xy
x
xy



=
=

1
2
y
x
b.
2
5 2 4
3

6 3 7 11
3
x

x y
x y
y

=

+ =




=


=


c.
2( ) 3( ) 4
( ) 2( ) 5
x y x y
x y x y
+ + =


+ + =

d.
1 1 1
4

9 1
1
4
x y
x

+ =




+ =


HD : Đặt







=
=
y
v
x
u
1
1

Giáo viên: Trần Hữu Duật 3
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Bài 2: Một ngời đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An. Nếu đi với vận tốc 45 km /h thì đến nơi
sớm hơn dự định 13phút 20giây . Nếu đi với vận tốc 35km/h thì đến nơi chậm hơn so với dự định là 2/7
h. Tính quảng đờng Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ?
HD giải: Thông thờng các bài toán giải bằng cách lập hệ PT có hai điều kiện; mỗi đk giúp ta lập đợc
một PT. Trong các bài toán về chuyển động cần nhớ công thức liên hệ giữa quảng đờng, vận tốc và
thời gian là: s = v.t; chú ý đến đơn vị của mỗi đại lợng (thông thờng s tính bằng km, v là km/h còn t là
giờ(h); ta cần phải đổi đơn vị cho phù hợp với bài toán).
Gọi x (km) là quảng đờng Chu Lai - Hội An (đk: x > 0)
y (km/h) là thời gian dự định (đk: y > 0)
Chú ý: Đổi 13phút 20giây =
9
2
3600
2060.13
=
+
h
Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phơng trình
Điều kiện
Quảng đờng Vận tốc Thời gian Quan hệ
Dự định
x x/y y
Điều kiện 1
x 45
45
x
9
2

45
=
x
y
(Do đến sớm hơn)
Điều kiện 2
x 35
35
x
7
2
35
=
x
y
(Do đến muộn hơn)
Ta có hệ PT :







=
=
7
2
35
9

2
45
x
y
x
y

Giải hệ ra ta đợc : y = 2 ; x = 80 (TMĐK)
Vậy quảng đờng Chu Lai - Hội An là 80 km; và thời gian dự định là 2 giờ .
Bài 3: Nếu hai đội công nhân cùng làm chung sẽ hoàn hành công việc trong 8h; nếu đội thứ nhất chỉ
làm trong 3 h rồi đội thứ hai cùng làm tiếp trong 4 h nữa thì chỉ xong đợc
5
4
công việc. Hỏi nếu mỗi
đội làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc ?
HD giải: GV hớng dẫn HS làm nh sau :
Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong việc là x(h);
thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y (h) (đk: x, y > 8 )
Mỗi giờ đội 1 làm đợc 1/x (công việc).
Mỗi giờ đội 2 làm đợc 1/y (công việc).
Mổi giờ cả hai đội làm đợc 1/8 (công việc). Ta có PT:
8
111
=+
yx
Mặt khác đội 1 làm trong 3h; đội 2 đến cùng làm trong 4h nữa thì chỉ xong 0,8 (=4/5) công việc nên
ta có PT:
5
447
5

4443
=+=








++
yxyxx
Ta có hệ PT:







=+
=+
5
447
8
111
yx
yx
Đặt

=
=
y
b
x
a
1
1
Ta có hệ mới :







=+
=+
8,0
2
1
3
8
1

a
ba

Giải ra ta có : a= 1/10; b= 1/40. Suy ra : x = 10; y = 40 (thoã mãn bài toán)
Vậy nếu đội 1 làm một mình thì sau 10 h mới xong công việc, đội 2 làm một mình thì sau 40 h mới
xong công việc.
Bài 4: Cho hai ham sụ y = 2x + 4 va y = 2x
2
a) Ve ụ thi cua hai ham sụ nay trong cung mụt mt phng toa ụ.
b) Tim toa ụ giao iờm cua hai ụ thi.
c) Goi A va B la giao iờm cua hai ụ thi. Tinh S
AOB
?
Giáo viên: Trần Hữu Duật 4
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Bài 5: Giai phng trinh sau:
a. x
2
- x - 6 = 0
b. 3x
2
+ 2x - 8 = 0
c.
2
2 2 0x x + =

d. 3x
2
- 4x - 4 = 0
e. 2x

2
- x - 6 = 0
f. x
2
- 2x - 8 = 0
Bài 6: Giai phng trinh sau:
a. -3x
2
+ 14x 8 = 0 b. -7x
2
+ 4x = 3 c. 9x
2
+ 6x +1 = 0
d. 2x
2
8 = 0 e. 3x
2
7x = 0
Bài 7: Nhõm nghiờm cua cac phng trinh sau:
Bài 7.1
a. 2x
2
- 5x + 3 = 0
b. x
2
+ 7x + 6 = 0
c. 2x
2
- 5x + 3 = 0
d. x

2
+ 4x + 3 = 0
e. x
2
- 3x - 4 = 0
Bài 7.2
a. 23x
2
9x 32 = 0
b. 4x
2
11x + 7 = 0
c. x
2
3x 10 = 0
d. x
2
+ 6x + 8 = 0
e. x
2
6x + 8 = 0
Bài 8: Tìm hai số u và v trong các trờng hợp sau:
a. u + v = 8; u.v = 15
b. u + v = -7; u.v = -18
c. u + v = 5; u.v = -24
d. u - v = 10; u.v = -21
Bài 9: Giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai sau đây
Bài 9.1: PT trùng phơng
a. x
4

9x
2
+ 8 = 0 b. x
4
- 29x
2
+ 100 = 0 c. x
4
- 7x
2
- 18 = 0
Bài 9.2: PT chứa ẩn ở mẫu
a.
( ) ( )
2
4 2
1 1 2
x x
x x x
+
=
+ + +
b.
)4)(2(
88
42
2
+
+
=

+

xx
x
x
x
x
x
Bài 9.3: PT tích
a. 3x
3
+ 6x
2
- 4x = 0 b.
3 2
3 2 6 0x x x+ =
c. x
3
7x
2
+ 6 = 0 d. (4x-5)
2
6(4x-5) + 8 = 0
Bài 10: Các bài toán có liên quan đến tham số m
Bài 10.1 Cho phơng trình
0)1(2
22
=++ mxmx
với m là tham số.
a. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn
9
21
=+ xx
Bài 10.2 Cho phng trỡnh: x
2
2x m
2
4 = 0
a. Gii phng trỡnh trờn khi m = 2
b. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh trờn cú nghim kộp, vụ nghim.
c. Tỡm m sao cho phng trỡnh cú hai nghim x
1
, x
2
tha món:
x
1
2
+ x
2
2
= 20
x
1
- x

2
=10
Bài 10.3 Cho phng trỡnh: (m -1)x
2
2m
2
x 3(m+1) = 0
a. Tỡm m bit phng tỡnh cú nghim x = -1
b. Khi ú hóy tỡm nghim cũn li ca phng trỡnh
Bài tập tơng tự
BT1: Cho phng trỡnh: 5x
2
+ 2x 2m 1 = 0
1. Gii phng trỡnh khi m = 1
2. Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tớnh nghim kộp ú?
BT 2: Cho phng trỡnh: x
2
+ mx + 3 = 0
1. Tỡm m phng trỡnh cú nghim?
2. Tỡm m phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li?
Giáo viên: Trần Hữu Duật 5
đề cơng ôn tập cuối học kì II
BT 3: Cho phng trỡnh: x
2
2(k 1)x + k 3 = 0
1. Gii phng trỡnh khi k = 2
2. Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k.
BT 4: Cho phng trỡnh: x
2
2x + m = 0

Tỡm m bit rng phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li.
BT 5: Cho phng trỡnh: x
2
+ (m 1)x 2m 3 = 0
1.Gii phng trỡnh khi m = - 3
2.Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.
BT 6: Cho phơng trình : x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
1. Giải phơng trình với m = -2
2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
3. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn
4
2
2
2
1
=+ xx
BT 7: Cho phơng trình : 2x
2
- 6x + (m +7) = 0
1. Giải phơng trình với m = -3
2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4
3. Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
BT 8: Cho phơng trình : x
2

- 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
1. Giải phơng trình với m = - 4
2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
BT 9: Biết rằng phơng trình : x
2
- 2(m + 1 )x + m
2
+ 5m - 2 = 0 (với m là tham số ) có một nghiệm x
= 1. Tìm nghiệm còn lại
BT 10: Biết rằng phơng trình : x
2
- 2(3m + 1 )x + 2m
2
- 2m - 5 = 0 (với m là tham số) có một nghiệm
x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
BT 11: Cho phơng trình: x
2
- mx + 2m - 3 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
BT 12: Cho phơng trình: x
2
- 2(m- 1)x + m
2
- 3m = 0
Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
BT 13: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2

b) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài 11. Giải các Bài toán sau bằng cách lập PT
Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình
B1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
B2: Lập phơng trình
B3: Giải phơng trình
B4: Kết luận: đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với đk ban đầu rồi rút ra kết luận
Bài 11.0 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m, diện tích hình chữ nhật
300m
2
. Tính chiều dài và chiều rộng.
ĐS: 15m và 20m
Bài 11.1 Lp 9A c phõn cụng trng 120 cõy xanh. Lp d nh chia u cho s hc sinh, nhng
khi lao ng cú 6 bn vng nờn mi bn cú mt phi trng thờm mt cõy mi xong. Tớnh s hc sinh
lp 9A?
Hớng dẫn: PT
1
6
120120
+

=
xx
Giải PT ta đợc x = -24 (loại) và x = 30 (TMĐK)
Bài 11.2 Tớch ca hai s t nhiờn liờn tip ln hn tng ca chỳng l 89. Tỡm 2 s ú.
Hớng dẫn: PT x(x+1) (x+x+1) = 89
ĐS: 10 và 11
Bài 11.3 Mt tam giỏc vuụng cú chu vi 30cm, cnh huyn 13cm. Tớnh mi cnh gúc vuụng.
Hớng dẫn: áp dụng đlí Pitago cho tam giác vuông
ĐS: 5cm, 12cm, 13cm

Giáo viên: Trần Hữu Duật 6
OI

CD

IC = ID
CD không đi qua tâm
(CD không là đờng kính)
IC = ID

OI

CD
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Bài 11.4 Mt khu vn hỡnh ch nht cú din tớch 54m
2
, nu tng chiu di 2m v gim chiu rng i
2m thỡ din tớch gim 10m
2
. Tớnh chiu di v chiu rng ca khu vn.
Hớng dẫn: Bài này quá dễ, tự làm đi nhé.
Bài 11.5 Hai i cụng nhõn cựng lm mt quóng ng thỡ 12 ngy xong vic. Nu i th nht lm
mt mỡnh ht na cụng vic, ri i th hai lm nt phn vic cũn li thỡ ht tt c 25 ngy. Hi mi
i lm mt mỡnh thỡ bao lõu xong cụng vic.
Hớng dẫn : Bài này có thể giải bằng cách lập hệ PT hoặc lập PT bậc hai đều đợc
Gọi thời gian để đội I làm một mình xong việc là x (ngày), 12 < x < 50.
Đội I làm một mình hết nữa công việc trong x/2 ngày, đội II làm một mình hết nữa công việc trong 25 -
x/2 ngày => cả công việc là 2(50-x/2)
Mỗi ngày đội I làm đợc
x

1
công việc còn đội II làm đợc
)
2
25(2
1
x

công việc
Vì hai đội cùng làm trong 12 ngày thì xong việc nên trong một ngày hai đội làm đợc 1/12 công việc.
Ta có pt:
x
1
+
)
2
25(2
1
x

=
12
1

12
1
50
11
=

+
xx
06050
)50(12)50(12:
2
=+
=+
xx
xxxxraSuy

Giải ra ta có: x = 20, x = 30 (TMĐK)
Bài 11.6: Khong cỏch gia hai bn sụng A v B l 30km. Mt ca nụ i t bn A n bn B, ngh 40
phỳt bn B ri quay li bn A. K t lỳc khi hnh n khi v ti bn A ht tt c 6 gi. Tỡm vn tc
ca ca nụ lỳc nc yờn lng, bit vn tc dũng nc l 3km/h.
Lập PT:
6
3
2
3
30
3
30
=+

+
+ xx
Giải ra đợc vận tốc v = 12 km/h
B. Phần Hình học
I. Lý thuyết
1. Đờng kính vuông góc với dây

I
I
O
A
A
O
C
D
C
D
2. Tiếp tuyến của đờng tròn
x
O
A
I
O
A
B
C
Ax là tiếp tuyến

Ax

OA tại A Các t/c của hai tiếp tuyến cắt nhau
Giáo viên: Trần Hữu Duật 7
O
O'
O
O'
đề cơng ôn tập cuối học kì II

AB và AC là hai tiếp tuyến của (O)
+ AB = AC
+

OAB =

OAC
+

AOB =

AOC
+ OA là đờng trung trực của BC
3. Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O; R)
a. Hai đtròn cắt nhau
+ OO là đờng trung trực của
AB
+ R R < OO < R + R
B
A
O
O'
B
A
O
O'
b. Hai đtròn tiếp xúc nhau
+ OO đi qua A
+ Tiếp xúc trong

OO = R R
+ Tiếp xúc ngoài
OO = R + R
O
O'
A

A
O
O'
c. Hai đtròn không giao nhau

Giáo viên: Trần Hữu Duật 8
+ N: L gúc cú nh trựng vi tõm ca ng trũn
+ TC: S o cung nh bng s o gúc tõm chn cung ú
S o cung ln bng 360
0
tr i s o cung nh
(cú chung hai im mỳt)
O
C
A
B
x
O
A
B
đề cơng ôn tập cuối học kì II
4. Góc ở tâm
5. Gúc ni tip:

+ N: L gúc cú nh nm trờn .trũn v hai cnh cha hai dõy cung ca .trũn ú.
+ TC: Trong mt .trũn, s o ca gúc ni tip bng na s o ca cung b chn
+ H qu: Trong mt ng trũn
- Cỏc gúc ni tip bng nhau chn cỏc cung bng nhau
- Cỏc gúc ni tip cựng chn mt cung
hoc hai cung bng nhau thỡ bng nhau
- Cỏc gúc ni tip khụng quỏ 90
0
cú s o bng
na s o ca gúc tõm cựng chn mt cung.
- Gúc ni tip chn na ng trũn l gúc vuụng.
6. Gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung:
+ TC: S o ca gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung
bng na s o ca cung b chn.
+ H qu: Trong mt ng trũn,
gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung v gúc ni tip
cựng chn mt cung thỡ bng nhau.
7. Gúc cú nh trong v ngoi ng trũn:
+ S o ca gúc cú nh bờn trong .trũn bng na tng s o ca hai cung b chn.
+ S o ca gúc cú nh bờn ngoi .trũn bng na hiu s o ca hai cung b chn.
8. T giỏc ni tip
+ nh ngha: Mt t giỏc cú bn nh nm trờn mt .trũn thỡ c gi l t giỏc ni tip ng
trũn (ng trũn ú gi l ng trũn ngoi tip t giỏc).

T giỏc ABCD ni tip (O)
A + C =180
0
(B + D =180
0
)

+ nh lý: Trong mt t giỏc ni tip, tng s o hai gỳc i din bng 180
0
.
+ nh lý o: Nu mt t giỏc cú tng s o hai gúc i din bng 180
0
thỡ t giỏc ú ni tip c
mt ng trũn.
+ Cỏc cỏch chng minh t giỏc ABCD ni tip:
- Cỏch1: Chng minh 4 im A, B, C, D cỏch u mt im O no ú.
Giáo viên: Trần Hữu Duật 9
đề cơng ôn tập cuối học kì II
OA = OB = OC = OD
- Cỏch 2: * Chng minh tng hai gúc i din ca t giỏc bng 180
0


0
180

=+ CA
hoc
0
180

=+ DB
* Chng minh gúc trong bng gúc ngoi ca nh i din.
- Cỏch 3: Chng minh 2 nh liờn tip ca t giỏc cựng nhỡn mt cnh di hai gúc bng nhau.
(Trng hp c bit: hai nh liờn tip cựng nhỡn mt cnh di mt gúc vuụng thỡ cnh ú
chớnh l ng kớnh ca ng trũn).
9. di ng trũn, cung trũn. Din tớch hỡnh trũn, hỡnh qut trũn

a) Cụng thc tớnh di ng trũn: C = 2R (R: bỏn kớnh ng trũn)
Cụng thc tớnh din tớch hỡnh trũn: S = R
2
b) Cụng thc tớnh di cung trũn n
0
:
180
nR
l

=
(R: bỏn kớnh ng trũn)
Cụng thc tớnh din tớch qut trũn n
0
:
2
.

360


RlnR
S
q
==


c) Cụng thc tớnh din tớch hỡnh viờn phõn: S
VP
= S

quat
- S

10. Hỡnh khụng gian
a) Hỡnh tr:
+ Din tớch: S
xq
= 2rh S
tp
= S
xq
+ 2 S
d
= 2rh + 2r
2
+ Th tớch hỡnh tr : V = S

.h = r
2
h
(Trong ú: r l bỏn kớnh ỏy; h l chiu cao hỡnh tr; S

l din tớch ỏy)
b) Hỡnh nún:
+ Din tớch: S
xq
=

rl S
tp

= S
xq
+ S
d
=

rl + r
2
+ Th tớch hỡnh nún : V =
3
1
S

.h =
3
1
r
2
h
(Trong ú: r l bỏn kớnh ỏy; h l chiu cao hỡnh nún; l l di ng sinh)
c) Hỡnh cu:
+ Din tớch mt cu: S = d
2
= 4R
2

+ Th tớch hỡnh cu : V=
3
3
4

R

(Trong ú: R l bỏn kớnh; d l ng kớnh hỡnh cu)
11. Mt s cụng thc liờn quan n tam giỏc v ng trũn.
a) Bỏn kớnh ng trũn ni tip v ngoi tip tam giỏc u cnh a
+ ng cao ca tam giỏc u h
3
3a
=
+ Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip: R =
3
a
+ Bỏn kớnh ng trũn ni tip: r =
32
a
b) di cnh ca cỏc a giỏc u ni tip ng trũn (cú bỏn kớnh R):
+ Cnh tam giỏc u: a = R
3
+ Cnh hỡnh vuụng: a = R
2

+ Cnh lc giỏc u: a = R
c) Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc:
+ Din tớch tam giỏc thng : S =(a.h):2( a l di cnh, h l chiu cao tng ng).
+ Din tớch tam giỏc vuụng: S = a.b (a, b l di 2 cnh gúc vuụng)
+ Din tớch tam giỏc u : S =
4
3
2
a

(a l di cnh tam giỏc u)
Giáo viên: Trần Hữu Duật 10
đề cơng ôn tập cuối học kì II
II. Bi tp
Phn bi tp Trc nghim - cng c kin thc
CHNG II. NG TRềN
1.Cho tam giỏc MNP v hai ng cao MH, NK. Gi (O) l ng trũn nhn MN lm ng kớnh.
Khng nh no sau õy khụng ỳng ?
A.Ba im M, N, H cựng nm trờn ng trũn (O).
B.Ba im M, N, K cựng nm trờn ng trũn (O).
C.Bn im M, N, H, K khụng cỡng nm trờn ng trũn (O).
D.Bn im M, N, H, K cựng nm trờn ng trũn (O).
2. ng trũn l hỡnh:
A.khụng cú trc i xng. B.cú mt trc i xng.
C.cú hai trc i xng. D.cú vụ s trc i xng.
3.Khi no khụng xỏc nh duy nht mt ng trũn ?
A.Bit ba im khụng thng hng. B.Bit mt on thng l ng kớnh.
C.Bit ba im thng hng. D.Bit tõm v bỏn kớnh.
4.Cho ng thng a v im O cỏch a mt khong 2,5 cm. V ng trũn tõm O, ng kớnh 5 cm.
Khi ú ng thng a
A.khụng ct ng trũn (O). B.tip xỳc vi ng trũn (O).
C.ct ng trũn (O). D.kt qu khỏc.
5.Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc vuụng nm
A.nh gúc vuụng. B.trong tam giỏc. C.trung im cnh huyn. D.ngoi tam giỏc.
6.Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AB = 18; AC = 24. Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ú
bng
A. 30. B. 20. C. 15.
D. 15
2
.

7.Cho (O; 1 cm) v dõy AB = 1 cm. Khong cỏch t tõm O n AB bng
A.
1
2
cm.
B.
3
cm.
C.
3
2
cm. D.
1
3
cm.
8.Cho ng trũn (O; 5). Dõy cung MN cỏch tõm O mt khong bng 3. Khi ú:
A. MN = 8. B. MN = 4. C. MN = 3. D.kt qu khỏc.
9.Nu hai ng trũn (O); (O) cú bỏn kớnh ln lt l 5 cm v 3 cm v khong cỏch hai tõm l 7 cm
thỡ hai ng trũn
A.tip xỳc ngoi. B.tip xỳc trong.
C.khụng cú im chung. D.ct nhau ti hai im.
10.Trong cỏc cõu sau, cõu no sai ?
A.Tõm ca ng trũn l tõm i xng ca nú.
B.ng thng a l tip tuyn ca (O) khi v ch khi ng thng a i qua O.
C.ng kớnh vuụng gúc vi dõy cung thỡ chia dõy cung y thnh hai phn bng nhau.
D.Bt k ng kớnh no cng l trc i xng ca ng trũn.
11.Cho ABC cõn ti A ni tip ng trũn (O). Phỏt biu no sau õy ỳng ?
Tip tuyn vi ng trũn ti A l ng thng
A.i qua A v vuụng gúc vi AB. B.i qua A v vuụng gúc vi AC.
C.i qua A v song song vi BC. D.c A, B, C u sai.

12.Cho (O; 6 cm), M l mt im cỏch im O mt khong 10 cm. Qua M k tip tuyn vi (O). Khi ú
khong cỏch t M n tip im l:
A. 4 cm. B. 8 cm.
C. 2
34
cm.
D. 18 cm.
13.Cho hỡnh vuụng MNPQ cú cnh bng 4 cm. Khi ú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip hỡnh vuụng ú
bng
Giáo viên: Trần Hữu Duật 11
đề cơng ôn tập cuối học kì II
A. 2 cm.
B.
2 2
cm. C.
2 3
cm. D.
4 2
cm.
14.ng trũn l hỡnh cú
A.vụ s tõm i xng. B.cú hai tõm i xng.
C.mt tõm i xng. D.khụng cú tõm i xng.
15.Cho tam giỏc ABC cõn ti A ni tip ng trũn (O). Trung tuyn AM ct ng trũn ti D. Trong
cỏc khng nh sau khng nh no sai ?
A.

ACD = 90
0
. B.AD l ng kớnh ca (O).
C. AD

BC.
D. CD BD.
16.Cho (O; 25cm). Hai dõy MN v PQ song song vi nhau v cú di theo th t bng 40 cm, 48
cm. Khi ú:
16.1.Khong cỏch t tõm O n dõy MN l:
A. 15 cm. B. 7 cm. C. 20 cm. D. 24 cm.
16.2.Khong cỏch t tõm O n dõy PQ bng:
A. 17 cm. B. 10 cm. C. 7 cm. D. 24 cm.
16.3.Khong cỏch gia hai dõy MN v PQ l:
A. 22 cm. B. 8 cm. C. 22 cm hoc 8 cm. D. kt qu khỏc.
17.Cho (O; 6 cm) v dõy MN. Khi ú khong cỏch t tõm O n dõy MN cú th l:
A. 8 cm. B. 7 cm. C. 6 cm. D. 5 cm.
18.Cho tam giỏc MNP, O l giao im cỏc ng trung trc ca tam giỏc. H, I, K theo th t l trung
im ca cỏc cnh NP, PM, MN. Bit OH < OI = OK. Khi ú:
A.im O nm trong tam giỏc MNP. B.im O nm trờn cnh ca tam giỏc MNP.
C.im O nm ngoi tam giỏc MNP. D.C A, B, C u sai.
19.Trờn mt phng ta Oxy, cho im M(2; 5). Khi ú ng trũn (M; 5)
A.ct hai trc Ox, Oy. B.ct trc Ox v tip xỳc vi trc Oy.
C.tip xỳc vi trc Ox v ct trc Oy. D.khụng ct c hai trc.
20.Cho tam giỏc DEF cú DE = 3; DF = 4; EF = 5. Khi ú
A.DE l tip tuyn ca (F; 3). B.DF l tip tuyn ca (E; 3).
C.DE l tip tuyn ca (E; 4). D.DF l tip tuyn ca (F; 4).
21.Hóy ni mi ý ct A vi mt ý ct B c khng nh ỳng.
Bng 1.
A B
1.Nu ng thng a v ng trũn (O; R) ct nhau A.thỡ d

R.
2.Nu ng thng a v ng trũn (O; R) tip xỳc nhau B.thỡ d < R.

3.Nu ng thng a v ng trũn (O; R) khụng giao nhau C.thỡ d = R.
D.thỡ d > R.
Bng 2.
A B
1.Tõm ca ng trũn ni tip tam giỏc A.l giao im ca cỏc ng trung tuyn.
2.Tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc B.l giao im ca hai ng phõn giỏc cỏc gúc
ngoi ti B v C.
3.Tõm ca ng trũn bng tip tam giỏc trong
gúc A
C.l giao im ca cỏc ng phõn giỏc trong ca
tam giỏc.
4.Tõm ca ng trũn bng tip tam giỏc trong
gúc B
D.l giao im ca ng phõn giỏc trong gúc B
v ng phõn giỏc ngoi ti C.
E.l giao im cỏc ng trung trc ca tam giỏc.
Bng 3.
A B
1.Nu hai ng trũn ngoi nhau A.thỡ cú hai tip tuyn chung.
2.Nu hai ng trũn tip xỳc ngoi B.thỡ khụng cú tip tuyn chung.
3.Nu hai ng trũn ct nhau C.thỡ cú mt tip tuyn chung.
4.Nu hai ng trũn tip xỳc trong D.thỡ cú bn tip tuyn chung.
5.Nu hai ng trũn ng nhau E.thỡ cú ba tip tuyn chung.
22. Hóy in t (cm t) hoc biu thc vo ụ trng sao cho ỳng.
Giáo viên: Trần Hữu Duật 12
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Bng 1.Xột (O; R) v ng thng a, d l khong cỏch t O n a.
V trớ tng i d R
Tip xỳc nhau 3 cm
4 cm 5 cm

Khụng giao nhau 6 cm
Bng 2.Xột (O; R); (O; r); d = OO v R > r.
V trớ tng i S im chung H thc
Ct nhau
d = R + r
1
ng nhau
d = 0
0
CHNG III. GểC VI NG TRềN
Cho các hình vẽ sau:
(h.4)
O
D
A
B
C
(h.3)
O
A
C
B
(h.2)
O
M
Q
P
N
(h.1)
O

C
D
B
A
1. Trong hỡnh 1, bit AC l ng kớnh, gúc BDC = 60
0
. S o gúc ACB bng
A. 40
0
. B. 45
0
. C. 35
0
. D. 30
0
.
2. Trong hỡnh 2, gúc QMN bng 60
0
, s o gúc NPQ bng
A. 20
0
. B. 25
0
. C. 30
0
. D. 40
0
.
3. Trong h.3, bit AB l ng kớnh ca .trũn, gúc ABC = 60
0

.
khi ú s o cung BmC =?
A. 30
0
. B. 40
0
. C. 50
0
. D. 60
0
.
4. Trong h.4, bit AC l ng kớnh ca .trũn, gúc ACB = 30
0
.
Khi ú s o gúc CDB =?
A. 40
0
. B. 50
0
. C. 60
0
. D. 70
0
.
Cho các hình vẽ sau:
I
(h.8)
O
P
M

Q
N
x
(h.7)
O
B
M
A
(h.6)
O
D
C
B
A
(h.5)
O
M
C
D
B
A
5. Trờn h.5, bit s o cung AmD = 80
0
, s o cung BnC = 30
0
. S o ca gúc AED =?
A. 25
0
. B. 50
0

. C. 55
0
. D. 40
0
.
6. Trong h.6, s o gúc BIA = 60
0
, s o cung nh AB = 55
0
. S o cung nh CD l
Giáo viên: Trần Hữu Duật 13
đề cơng ôn tập cuối học kì II
A. 75
0
. B. 65
0
. C. 60
0
. D. 55
0
.
7. Trờn hỡnh 7, cú MA, MB l cỏc tip tuyn ti A v B ca (O). S o gúc AMB bng 58
0
. Khi ú s
o gúc OAB l
A. 28
0
. B. 29
0
. C. 30

0
. D. 31
0
.
8.Trờn hỡnh 8, s o gúc QMN = 20
0
, s o gúc PNM = 10
0
. S o ca gúc x bng
A. 15
0
. B. 20
0
. C. 25
0
. D. 30
0
Cho các hình vẽ sau:
(h.12
(h.11)
(h.10)
(h.9)
O
A
D
B
C
O
B
D

C
A
E
F
O
M
A
C
B
O
A
M
D
9.Trờn hỡnh 9, s o cung nh AD = 80
0
. S o gúc MDA bng
A. 40
0
. B. 50
0
. C. 60
0
. D. 70
0
.
10.Trong hỡnh 10, MA, MB l tip tuyn ca (O), BC l ng kớnh, gúc BCA = 70
0
. S o gúc AMB
bng
A. 70

0
. B. 60
0
. C. 50
0
. D. 40
0
.
11. Trong h.11, cú gúc BAC = 20
0
, gúc ACE = 10
0
, gúc CED = 15
0
. S o gúc BFD bng
A. 55
0
. B. 45
0
. C. 35
0
. D. 25
0
.
12.Trong hỡnh 12, cú AD//BC, gúc BAD = 80
0
, gúc ABD = 60
0
. S o gúc BDC bng
A. 40

0
. B. 60
0
. C. 45
0
. D. 65
0
.
13.Hóy chn ra t giỏc ni tp c ng trũn trong cỏc t giỏc sau
j
(D)
80

70

130

D
C
B
A
(C)
75

60

D
C
B
A

(B)
65

65

D
C
B
A
(A)
60

90

D
A
C
B
14.Cho hỡnh 14. Trong cỏc khng nh sau, hóy chn khng nh sai:
A. Bn im MQNC nm trờn mt ng trũn.
(h.14)
M
B
C
Q
N
A
B. Bn im ANMB nm trờn mt ng trũn.
C. ng trũn qua ANB cú tõm l trung im on AB.
D. Bn im ABMC nm trờn mt ng trũn.

15.T giỏc no sau õy khụng ni tip c ng trũn ?
(D)
(C)
(B)
(A)
90

90

55

55

50

130

90

90

16.T giỏc no sau õy ni tip c ng trũn ?
A. Hỡnh bỡnh hnh. B. Hỡnh thoi. C. Hỡnh ch nht. D. Hỡnh thang.
17.Hóy chn khng nh sai. Mt t giỏc ni tip c nu:
A. T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc trong ca nh i din.
B. T giỏc cú tng hai gúc i din bng 180
0
.
Giáo viên: Trần Hữu Duật 14
đề cơng ôn tập cuối học kì II

C. T giỏc cú hai nh k nhau cựng nhỡn cnh cha hai nh cũn li di mt gúc .
D. T giỏc cú tng hai gúc bng 180
0
.
18. di cung 60
0
ca ng trũn cú bỏn kớnh 2cm l:
A.
1
3

cm. B.
2
3

cm.
C.
3
2

cm. D.
1
2

cm.
19. di cung trũn 120
0
ca ng trũn cú bỏn kớnh 3 cm l:
A.

cm.
B.
2

cm. C.
3

cm.
D. Kt qu khỏc.
20.Nu chu vi ng trũn tng thờm 10cm thỡ bỏn kớnh ng trũn tng thờm:
A.
5

cm. B.
5

cm. C.
5

cm. D.
1
5

cm.
21.Nu bỏn kớnh ng trũn tng thờm
1

cm thỡ chu vi ng trũn tng thờm:
A.
1

2
cm. B.

cm. C. 2cm. D.
1

cm.
22.Din tớch hỡnh trũn cú ng kớnh 5 cm bng:
A.
25

cm
2
. B.
25
2

cm
2
. C.
5
2

cm
2
. D.
25
4

cm

2
.
23.Din tớch hỡnh qut trũn cung 60
0
ca ng trũn cú bỏn kớnh bng 2 cm l:
A.
2
3

cm
2
. B.
2
3

cm
2
. C.
3

cm
2
. D.
3

cm
2
.
23.Mt cung trũn ca ng trũn bỏn kớnh R cú di l l (m). Khi ú din tớch hỡnh qut trũn ng
vi cung ú l:

A.
.
4
l R
m
2
. B.
.
2
l R
m
2
.
C.
2
.
4
l R
m
2
. D.
2
.
2
l R
m
2
.
24.Cho hai ng trũn ng tõm O cú bỏn kớnh ln lt l R v r (R > r). Din tớch phn nm gia
hai ng trũn ny hỡnh vnh khn c tớnh nh th no ?

A.
( )
2 2
r R


. B.
( )
2 2
R r

+
. C.
( )
2 2
R r


. D. Kt qu khỏc.
25.Cho hỡnh vuụng cnh bng a, v vo phớa trong hỡnh vuụng cỏc cung trũn 90
0
cú tõm ln lt l
cỏc nh ca hỡnh vuụng. Hóy cho bit din tớch ca phn to bi 4 cung trũn ú v hỡnh vuụng ?
A.
2
1
2
a

ữ

. B.
2
1
4
a



ữ

. C.
( )
2
1a


. D.
2
4
a


.
CHNG IV. HèNH KHễNG GIAN
1. Trong bng sau, gi h l ng cao, l l ng sinh, R l bỏn kớnh ỏy ca hỡnh nún. Hóy ni mi ý
ct A vi mt ý ct B c khng nh ỳng.
A B

1.Cụng thc tớnh th tớch hỡnh nún ct l
2.Cụng thc tớnh din tớch xung quanh hỡnh nún ct l
3.Cụng thc tớnh th tớch hỡnh nún l
4.Cụng thc tớnh din tớch ton phn hỡnh nún l
5.Cụng thc tớnh din tớch xung quanh hỡnh nún l
6.Cụng thc tớnh di ng sinh hỡnh nún l
A)
Rl
.
B)
2
Rl R +
.
C)
2 2
R h+
.
D)
2
1
R h
3

.
E)
( )
1 2
R R l +
.
D)

( )
2 2
1 2 1 2
1
h R R R R
3
+ +
2. Trong bng sau, gi R l bỏn kớnh, d l ng kớnh ca hỡnh cu.
Giáo viên: Trần Hữu Duật 15
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Hóy vit mi h thc ct B vo v trớ tng ng phự hp ct B.
A B
1.Cụng thc tiớnh din tớch mt cu l
2.Cụng thc tớnh th tớch hỡnh cu l
A)
3
4
R
3

.
B)
2
1
R
3

.
C)
2

4 R
.
D)
2
d
.
3. Hóy ni mi ý ct A vi mt ý ct B c mt khng nh ỳng.
A B
1.Khi quay hỡnh ch nht mt vũng quanh cnh c nh ca nú ta
c
2.Khi quay tam giỏc mt vũng quanh mt cnh gúc vuụng c nh
ca nú ta c
3.Khi quay na hỡnh trũn mt vũng quanh ng kớnh c nh ca
nú ta c
4.Khi quay mt hỡnh thang vuụng mt vũng quanh cnh bờn c nh
vuụng gúc vi hai ỏy ca nú ta c
A) mt hỡnh nún.
B) mt hỡnh cu.
C) mt hỡnh nún ct.
D) hai hỡnh nún.
E) mt hỡnh tr.
4. Gi R l bỏn kớnh ca ng trũn ỏy hỡnh tr, h l chiu cao ca hỡnh tr. Hóy ni mi ý ct A
vi mt ya ct B sao cho ỳng.
A B
1.Cụng thc tớnh din tớch xung quanh ca hỡnh tr l
2.Cụng thc tớnh din tớch hai ỏy ca hỡnh tr l
3.Cụng thc tớnh din tớch ton phn ca hỡnh tr l
4.Cụng thc tớnh th tớch hỡnh tr l
A)
2

R h
.
B)
2
4 R
.
C)
2
2 R
.
D)
2
2 Rh 2 R +
.
E)
2 Rh
.
Phn bi tp T lun
1) Cho hai ng trũn (O; 4cm); (O; 3cm), bit OO = 7cm. Cho bit v trớ tng i ca hai ng
trũn ú.
2) Cho ng trũn (O; 13). Bit khong cỏch t tõm O n dõy AB bng 5.
Tớnh di dõy AB
3) Cho MNP u cú cnh bng
5 3
cm.Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc
4) Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng 2cm. Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip, ng trũn ni tip
ca nú.
5) Trờn (O), ly cỏc im A, B, C, D liờn tip sao cho cung AB = 40
0
, cung BC = 100

0
, s cung CD =
120
0
. Tớnh s o gúc ABD
6) T im M nm ngoi ng trũn (O) k hai tip tuyn MA, MB vi ng trũn ú. Bit gúc MAB
= 70
0
. Tớnh s o gúc AOB.
7) Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn (O). Gi K l giao im ca AB v CD. Bit s cung AD =
150
0
, s cung BC = 70
0
. Tớnh s o gúc AKD.
8) Trong cỏc t giỏc sau, t giỏc no ni tip ng trũn : Hỡnh thang, hỡnh thang cõn, hỡnh bỡnh hnh,
hỡnh ch nht, hỡnh vuụng, hỡnh thoi. Gii thớch vỡ sao ?
9) Cho gúc ni tip AMB v gúc tõm AOB ca ng trũn (O). Bit gúc AOB = 120
0
, tớnh gúc
AMB.
Giáo viên: Trần Hữu Duật 16
đề cơng ôn tập cuối học kì II
10) Cho gúc ni tip BAC ca ng trũn (O). Bit s o cung BAC bng 280
0
. Tớnh s o gúc ni
tip BAC.
11) Cho hai ng trũn ng tõm O cú bỏn kớnh ln lt l 3cm v 5cm. Tớnh din tớch hỡnh vnh khn
to bi hai ng trũn ú.
12) Din tớch hỡnh trũn thay i nh th no khi bỏn kớnh

a) Tng gp 3 ln. b) Gim 2 ln
13) Cho ABC cú = 80
0
ni tip ng trũn (O; R).
Tớnh din tớch hỡnh qut trũn OBC theo R
14) Hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy bng 6cm v cú ng sinh bng 10cm.
Tớnh th tớch hỡnh nún
15) Cho ABC cú ba gúc nhn, ng cao AH. K HM AB ( M AB ), HN AC (N AC)
Chng minh rng :
a) T giỏc AMHN ni tip
b) AM.AB = AN.AC
c) AMN ACB.
d) T giỏc BMNC ni tip
16) Cho ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O), k ng cao BN v CM (NAC, MAB)
Chng minh rng :
a) T giỏc BMNC ni tip
b) AMN ACB
c) OA MN
d) Gi I l giao im ca BN v CM. Chng minh IN . IB = IM . IC
17) T mt im A bờn ngoi ng trũn (O; 3cm) v hai tip tuyn AB v AC vi ng trũn (O).
( B, C (O) ).
a) Chng minh t giỏc ABOC ni tip ng trũn
b) Qua A v cỏt tuyn AMN. Chng minh AB
2
= AM . AN
c) Tớnh din tớch hỡnh trũn v di ng trũn ngoi tip ABC, bit AB = 4cm
18) Cho ABC vuụng ti A ( AB > AC ), ng cao AH. ng trũn ng kớnh BH ct AB ti E,
ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F. Chng minh rng :
a) T giỏc AEHF l hỡnh ch nht
b) BH.HC = EF

2

c) EF l tip tuyn chung ca hai ng trũn
d) T giỏc BEFC ni tip
19) Cho hai ng trũn (O; 16cm) v (O; 9cm) tip xỳc ngoi ti A. Gi BC l tip tuyn chung ca
hai ng trũn ( B (O); C(O) ) .Tip tuyn ti A ct BC ti M
a)Chng minh ABC vuụng ti A b) Tớnh s o gúc OMO c) Tớnh di BC.
20)Cho ABC nhn ni tip ng trũn (O) ng kớnh AD. Cỏc ng cao BE, CF ct nhau ti H
a) Chng minh t giỏc AEHF ni tip
b) Chng minh AE.AC = AF.AB.
c) Chng minh t giỏc BDCH l hỡnh bỡnh hnh
d) Gi I l giao im ca AD v EF . Chng minh t giỏc BDIF ni tip.
21) Cho tam giỏc nhn ABC ni tip trong ng trũn (O) ng kớnh AD. ng cao ca tam giỏc
k t nh A ct cnh BC ti K v ct ng trũn (O) ti E.
a) Chng minh DE//BC
b) Chng minh AB. AC = AK.AD.
c) Gi H l trc tõm ca ABC. Chng minh t giỏcBHCD l hỡnh bỡnh hnh.
22) Ta giỏc ABC vuụng ti A. Trờn cnh AC ly im M, v ng trũn ng kớnh MC.K BM ct
ng trũn ti D. ng thng DA ct ng trũn ti S. CMR:
a) T giỏc ABCD ni tip.
b) CA l tia phõn giỏc ca gúc BCS.
c) Gi giao im ca ng trũn ng kớnh MC vi cnh BC l H.CMR 3 ng HM, BA, CD
ng quy.
d) Cho bit AC =12cm, AB = 9cm. Tớnh chu vi v din tớch .trũn ni tip t giỏc ABCD.
Giáo viên: Trần Hữu Duật 17
®Ò c¬ng «n tËp cuèi häc k× II
23) Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C
của đường tròn lần lượt cắt tia AC và AB ở D và E. CMR:
a) BD
2

=AD.CD.
b) Tứ giác BCDE nội tiếp.
c) BC // DE.
24) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tâm O. BD,CE là các đường cao của tam giác, chúng cắt
đường tròn tâm O lần lượt tại D’, E’. CMR:
a) Tứ giác BEDC nội tiếp
b) DE song song D’E’.
c) OA vuông góc DE.
25) Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc BC. Qua B kẻ đường vuông góc với DE, cắt DE tại H và cắt
DC tại K.
a) CMR: Tứ giác BHCD nội tiếp.
b) Tính góc CHK.
c) CM: KH.KB = KC.KD.
26) Cho (O), kẻ hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M khác
B và D), dây CM cắt AB tại N, tiếp tuyến của đ.tròn tại M cắt AB tại K, cắt CD tại F.
a) CMR: Tứ giác ONMD nội tiếp.
b) CM: MK
2
=KA.KB.
c) So sánh góc DNM và góc DMF.
27) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. P là điểm chính giữa của AB (phần không chứa
C và D). Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E, F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các
dây BC, PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR:
a) góc CID = góc CKD.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
c) IK song song AB.
d) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD.
28) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Từ B và C kẻ 2 tiếp tuyến với đ.tròn, chúng cắt nhau tại D.
Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đ.tròn tại E, F và cắt AC tại I.
a) CM: góc DOC = góc BAC.

b) CM: 4 điểm O, I, C, D nằm trên một đường tròn.
c) CM: IE =IF.
d) Cho B, C cố định, khi A chuyển động trên cung BC lớn thì I di chuyển trên đường nào?
Gi¸o viªn: TrÇn H÷u DuËt 18