Đề thi HSG vòng 3 năm 12-13

TRƯƠNG THCS HỢP THỊNH ĐỀ THI CHỌN HSG VONG 3 NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1:
a.Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số 0 vào giữa các
chữ số rồi cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được
một số lớn gấp 9 lần số phải tìm.
b. Chứng minh rằng nếu p và p
2
+ 2 là hai số nguyên tố thì p
3
+ 2 cũng là số nguyên
tố.
Câu 2:
a. Tìm x, biết:
2 4 6 8 10 12
17 15 13 11 9 7
x x x x x x+ + + + + +
+ + = + +
b. Chứng minh rằng nếu (a,b) = 1 thì UCLN của 11a + 2b và 18a + 5b bằng 1 hoặc
bằng 19.
Câu 3:
a. Cho A=
2 3 2010 2011
1 2 2 2 2 2+ + + + + +
. Hỏi số
8A
+
có phải là số chính phương
không?
b, Hai số

2011
2
và
2011
5
viết liền nhau tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ
số?
Câu 4: Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Vẽ các tia Oa, Ob thuộc hai nửa mặt phẳng
đối nhau bờ là đường thẳng xy. Cho biết góc aOy bằng nửa góc bOy. Tính số đo góc aOy để
cho góc aOx bằng ba lần góc bOx.
Hết
TRƯƠNG THCS HỢP THỊNH

ĐÁP ÁN CHỌN HSG VONG 3 NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán lớp 6
Câu 1(3đ):
a. (1,5đ)Gọi số cần tìm là
( )
0 , 9ab a b< ≤
. Theo bài ra ta có:
3, 0 2 9ab a b a ab+ =M
hay:
( )
( )
( )
3
3
100 2 9 10
3 2
a b

a b
a b a a b
a b
+
+
 
⇔
 
+ + = +
=




M
M
Từ 3a = 2b suy ra 2b
M
3 mà
( )
2,3 1=

3b⇒ M
do
( )
3 3a b a+ ⇒M M
mà
3 2 2a a⇒M M
.
Ta có: a

M
3, a
M
2, (2,3) = 1
⇒
a
M
6,
1 9a≤ ≤ ⇒
a = 6, b = 9.
KL: Vậy
ab
= 69
b.(1,5đ)Ta có: p
2
+ 2 = p
2
– 1 + 3 = (p - 1)(p + 1) + 3.
Trong ba số tự nhiên liên tiếp: p – 1, p , p + 1 có một số chia hết cho 3. Số đó không thể
là p – 1, p + 1 vì nếu một trong hai số đó chia hết cho 3 thì p
2
+ 2 chia hết cho 3 và
p
2
+ 2 > 3, vô lí vì p
2
+2 là số nguyên tố. Do đó p phải chia hết cho 3, mà p là số nguyên
tố, do đó p = 3. Khi p = 3 thì p
3
+ 2 = 29, là số nguyên tố.

Câu 2(2):
a(1đ).
2 4 6 8 10 12
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
17 15 13 11 9 7
x x x x x x+ + + + + +
+ + + + + = + + + + +
x = -19.
b(1đ). Gọi d = (11a + 2b, 18a + 5b). Khi đó 11 ( 18a + 5b) – 18(11a + 2b)
M
d, suy ra
19b
M
d nên 19
M
d hoặc b
M
d.
- Nếu b
M
d thì từ 5(11a + 2b) – 3(18a + 5b)
M
d hay a – 5b
M
d
⇒
a
M
d, d là ước của a và
b mà (a,b) = 1 nên d =1.

- Nếu 19
M
d thì d = 1 hoặc d = 19.
Câu 3(3đ):
a(1,5đ). Tính được
2012 4.503
8 2 1 8 2 7 6 7 3A + = − + = + = + =
Vì SCP không có tận cùng bằng 3, nên A+8 không phải là SCP.
b(1,5đ). Giả sử
2011
2
có m chữ số và
2011
5
có n chữ số. Ta có

1 2011 1 2011
10 2 10 ;10 5 10
m m n n− −
< < < <
. Suy ra
2 2011
10 10 10
m n m n+ − +
< <
Do đó : m+n-2<2011<m+n hay 2011<m+n<2013 suy ra m+n=2012
Vậy số tạo thành có 2012 chữ số.
Câu 4(2đ):
Hai góc xOa và aOy kề bù và góc xOa gấp ba lần xOb, khi đó ta có: góc aOy = 72
0