Đáp án đề thi HSG vòng trường THPT Tràm Chim Năm học 2008 - 2009

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP KI THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Trường THPT Tràm Chim VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 2008 – 2009
ĐÁP ÁN:
Bài 1 Nôi dung lời giải Điểm
5
đ
a)
2
đ
Đk:
2
2
1 0
1 0
x
x x

− ≥


− − ≥


Đặt
4
2 2
1
1 1 ( 0)u x x x x u
u
= − − ⇒ + − = >

3 2
8
4
1
2
2 1 0
1
1 5
2
1 5
( )
2
* 1 1
1 5
1
2
1 5
*
2
1 5
2
2
PT u
u
u u
u
u
u L
u x
u x

⇒ + =
⇔ − + =


=

+

⇔ =


−

=


= ⇒ =
 
+
+
 ÷
 ÷
+
 
= ⇒ =
 
+
 ÷
 ÷
 

b)
3
đ
(1) ⇔ (3x – 2y)
2
+ (x – 2z)
2
+ (y – 3z)
2
= 0

3 2
2
3
x y
x z
y z
=


⇔ =


=

Thế x = 2z, y = 3z vào (2): 36z
3
= 288 hay z = 2 suy ra x = 4, y = 6 là nghiệm
nguyên của hệ đa cho
Baøi 2

5
ñ
a)
3
ñ
2
1
1 1 1 1
1
2 1 2
2
3 2 3
1 1
1 2
2 3 1 1 1 1
1 1
: 2008 2008
. .
1 1
2008
1 1
2008
1 1
2008
1 1 1
2008 2008 1
n n n n
n n n n n n n
n
n n n

n
n n n
u u u u
Ta co
u u u u u u u
u
u u u
u
u u u
u
u u u
u u u
u u u u u u
+
+ + + +
+ +
+ + +
   
−
= = = −
 ÷  ÷
   
 
= −
 ÷
 
 
= −
 ÷
 

 
= −
 ÷
 
   
⇒ + + + = − = −
 ÷  ÷
   
M
M
L
* Caàn CM:
1
1
0
n
khi n
u
+
→ → +∞
Ta coù: u
1
< u
2
< u
3
<.....< u
n
< u
n+1

<... neân
{ }
n
u
laø dãy tăng
Nếu
{ }
n
u
bị chặn trên thì
{ }
n
u
tồn tại một giới hạn hữu hạn giả sử giới hạn đó là L
(L > 1)
⇒ limu
n
= L hay limu
n+1
= L
Mà :
2
1
2
lim lim
2008
0
2008
n
n n

n n
u
u u
L
L L L
+
→+∞ →+∞
 
= +
 ÷
 
⇒ = + ⇔ =
L = 0 vôlí (vì u
1
= 1 nên L >1)
Vậy
{ }
n
u
không bị chặn trên tức là
0
1
lim 0
n
n
n
u khi n
hay
u
→+∞

→ → +∞
=
Suy ra :
1
1
lim 2008 1 2008
n
n
u
→+∞
+
 
 
− =
 
 ÷
 
 
 
b)
2đ
A = sin20
0
.sin(60
0
– 20
0
).sin(60
0
+ 20

0
).sin60
0
= sin20
0
.
1
2
( )
0 0
cos 40 cos120−
.sin60
0
=
0 2 0 0
1 1
sin 20 1 2 sin 20 .sin 60
2 2
 
− +
 ÷
 
=
0 3 0
0
3sin 20 4 sin 20
.sin 60
4
−
=

0 0
1 3
sin 3(20 ).sin 60
4 16
=
Bài 3
5
đ
a)
3đ
( )
( )
( )
2 2 2
1 (*)
a b c
VT a b c a b c
b c a c a b
a b c a b c a b c
a b c a b c
b c a c a b
a b c
a b c
b c a c a b
     
= + + + + + − + +
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
+ + + + + +

     
= + + − + +
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
 
= + + + + −
 ÷
+ + +
 
Xét:
( )
[ ]
3
3
1 1 1 3
1 1 1
3
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 3
2
1 1 1 1
3 ( )( )( ).3 . . 3
2
1 3
9 3
2 2
a b c
b c a c a b
a b c

b c a c a b
b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
     
+ + + + + − =
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
 
= + + + + −
 ÷
+ + +
 
 
= + + + + + + + −
 
+ + +
 
≥ + + + −
+ + +
≥ − =
Từ (*) suy ra:
3
( ) 1
2 2
a b c
VT a b c
+ +

 
≥ + + − =
 ÷
 
b)
2đ Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a, b (a, b > 0)
Ta có: P = 2(a+b), S = ab
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
32
2( )
2 2( ) 2
ab
a b
ab a b
+ ≥
+ + +

8 8
( )
1 ( 1)( 1)
( )( 1)( 1) 8
ab ab
a b
ab a b a b
a b a b ab
⇔ + ≥ =
+ + + + +
⇔ + + + ≥
Ta có:
2

1 2 ( )( 1)( 1) 8
1 2
a b ab
a a a b a b ab
b b

+ ≥


+ ≥ ⇒ + + + ≥


+ ≥


Dấu đẳng thức xãy ra khi: a = b = 1
Bài 4
2 đ
Gọi
' ' '
;
A BC A B C
S S
là diện tích của ABC và A’B’C’
Ta có:
2
2
' ' '
2
2

2 sin .sin .sin
4
' ' '
2 sin '.sin '.sin '
4
2 sin .sin .sin
2 2 2
2 cos .cos .cos
2 2 2
A BC
A B C
abc
S R A B C
R
a b c
S R A B C
R
A B B C A C
R
A B C
R
= =
= =
+ + +
=
=
Do đó:
' ' '
2
2

2
8sin .sin .sin
2 2 2
4 cos cos .sin
2 2 2
4 cos .sin 4sin
2 2 2
2sin cos cos 1
2 2 2
A BC
A B C
S
A B C
S
A B A B C
A B C C
C A B A B
=
 
− +
   
= −
 ÷  ÷
 
   
 
−
 
= −
 ÷

 
− −
   
= − − + ≤
 ÷
 
   
Vậy:
' ' 'A BC A B C
S S≤
Dấu “=” xãy ra khi tam giác ABC đều.
Bài 5
⇒ =
1 2 3 1 2 3
Gọi , , là độ dài các cạnh của tam giác , , , là độ dài các đường cao xuống
cạnh tương ứng và S là diện tích của tam giác
1 2S
Ta có: S= = ( 1,2,3)
2
Theo đề bài
i i i
i
x x x y y y
x y y i
x
=
− + − =
     
− + − = ⇔ − + − =
 ÷  ÷  ÷

     
⇔ = − + − =
3 2
3 2
3 2
2
3
3 2
1 2 3
( 1,2,3) là nghiệm của phương trì nh
0
2 2 2
Ta có: 0 0
2 4 8
P( ) 0
, , là nghiệm của phư
i
i i i
i i i
i i i
y i
y ay by c
S S S
y ay by c a b c
x x x
bS aS S
x x x x
c c c
V ậy x x x
( )

= − + − =
+ +
 
= − − − = − − = =
 ÷
 
⇒ = − −
2
3
3 2
4
2 2 4 2
1 2 3
1 2 3
4
2 2 4 2
2 4 8
ơng trì nh P( ) 0
Theo công thức Heron
S ( )( )( ) P( )= P = 4 8 (với )
2
4 8
bS aS S
x x x x
c c c
x x x
bS bS S bS
p p x p x p x p p ab c b bc p
c c c c
S c ab c b bc

Bài 6
1 2 3 4 5 6
Ta có các cạnh của tứ diện ACB'D' là các đường chéo của hì nh lập phương
nên ACB'D' là tứ diện đều cạnh bằng 1
Gọi h ,h ,h ,h ,h ,h là chiều cao của các khối chóp P.ABCD, P.A'
1 2 3 4 5 6
B'C'D', P.AA'D'D,
P.BB'C'C, P,CDD'C', P.ABB'A'
Gọi V,V ,V ,V ,V ,V ,V là thể tích các khối chóp ABCD.A'B'C'D',P.ABCD, P.A'B'C'D',
P.AA'D'D, P.BB'C'C, P,CDD'C', P.ABB'A'
Vì ABCA.A'B'C'D' là hì nh
⇒ ⇔ =
⇒ =
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1
lập phương nên diện tích các mặt của nó bằng nhau và bằng
2
2 1
V=V +V +V +V +V +V (h +h +h +h +h +h )
4 6
3 2
h +h +h +h +h +h
2
Gọi d ,d ,d ,d ,d ,d là khoảng cách từ P đến các cạnh
⇒ ≥ =
⇒ ≥
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6

BD, A'C', A'D, BC', C'D, A'B
3 2
d +d +d +d +d +d h +h +h +h +h +h
2
3 2
d +d +d +d +d +d (dấu "=" xã y ra khi P là tâm của hì nh lập phương )(đpcm)
2