đê va đap an hsg toan 8 2011-2012 rat hay

Phòng GD-ĐT việt yên
THI HC SINH GII CP HUYN
nĂM học 2011-2012
Mụn: TON 8
(Thời gian làm bài : 120 phút)
Bi 1 (4 im)
Cho biu thc: A =
)1)((1
)
3
1
(
4
3
)
4
1
)((
222
222
yyxyx
yyxyyx
++
+++++
a) Chng minh rng giỏ tr ca A khụng ph thuc vo x.
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca A?
Bi 2 (4 im)
a) Phõn tớch a thc thnh nhõn t
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 24x x x x+ + + +
b) Tỡm a v b a thc x

4
+ x
3
+ ax
2
+ 4x + b chia ht cho x
2
- 2x + 2
Bài 3 (6 điểm) Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy
bằng 60
0
quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần l-
ợt tại D và E. Chứng minh:
a) BD.CE=
4
2
BC
.
b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Bài 4 (4điểm)
1. Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh xy +y = x
3
+ x
2
+ 7
2. Gii phng trỡnh
( )
1 1 1 1 2.2011
1 1 1 1

1.3 2.4 3.5 2 2012x x


+ + + + =
ữ
ữ ữ ữ
ữ
+


Bài 5 (2 điểm)
Cho
4 4
1x y
a b a b
+ =
+
và x
2
+y
2
=1
Chứng minh rằng:
2012 2012
1006 1006 1006
2
( )
x y
a b a b
+ =

+
Phòng GD-ĐT việt yên
HNG DN CHM HC SINH GII CP HUYN
Nm hc 2011-2012
Mụn: TON 8
Bi 1 (4 im)
a. x
2
y
2
+ 1 + (x
2
y)(1 y) = x
2
y
2
+ 1 + x
2
x
2
y y + y
2
= x
2
(y
2
y + 1) +(y
2
y + 1) = (x
2

+ 1)(y
2
y + 1)
(x
2
+ 1)[
2
1 3
( )
2 4
y +
] > 0 vi mi x,y
2 2 2
1 3 1
( )( ) ( )
4 4 3
x y y x y y+ + + + +
= x
2
y +
2
4
x
+ y
2
+
4
y
+ x
2

y
2
+
3
4
y
+
4
1
= x
2
(y
2
+ y +
4
1
) + (y
2
+ y +
4
1
) = (x
2
+ 1)(y
2
+ y +
4
1
)
Rỳt gn c A =

1
4
1
2
2
+
++
yy
yy
. Chng t A khụng ph thuc v x
b) A =
0
4
3
)
2
1
(
)
2
1
(
2
2

+
+
y
y
, vi mi y.

Du = xy ra

y = -1/2
Võy GTNN ca A bng 0 khi y = -1/2
Bi 2 (4 im)
a) Phõn tớch a thc thnh nhõn t
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 24x x x x+ + + +
( ) ( )
2 2
5 4 5 6 24x x x x= + + + +
=
( ) ( )
2 2
5 5 1 5 5 1 24x x x x+ + + + +
( )
2
2 2
5 5 5x x= + +
=
( ) ( )
2 2
5 5 10x x x x+ + +
b. Bi 2 phn 1 Hin HN (2011-2012)
1
x
4
+ x
3
+ ax

2
+ 4x + b
Để x
4
+ x
3
+ ax
2
+ 4x + b chia hết cho x
2
2x+ 2 thì
(2a +6)x + b - 2(a +4) = 0 khi
2a 6 0 a 3 a 3
b 2(a 4) 0 b 2( 3 4) 0 b 2
+ = = =



+ = + = =

Vậy a = -3; b = 2 là giá trị cần tìm.
x
2
2x+ 2
x
2
+ 3x + a + 4
x
4
2x

3
+
2x
2
3x
3
+( a 2)x
2

+4x+b
3x
3
6x
2
+ 6x
( a +4)x
2
2x +
b


( a +4)x
2
2( a +4)x + 2( a +4)

(2a +6)x + b - 2( a +4)
Bµi 3 (6 ®iÓm)
Bµi 4 (4®iÓm)
a) xy +y = x
3

+ x
2
+ 7
 y(x+1) = x
2
(x+1) +7
(x+1)(y - x
2
) =7
Do x, y nguyên nên x+1 và y- x
2
là ước của 7 . Hay x+1 và y-x
2

∈
Ư(7) ={ 1;-1;7;-7}
Ta có bảng các giá trị tương ứng của x+1,y-x
2
với x , y như sau:
x+1 1 7 -1 -7
y-x
2
7 1 -7 -1
x 0 6 -2 -8
y 7 37 -3 63
Vậy các cặp số (x;y) thỏa mãn pt là (0;7); (6;37); (-2;-3); (-8;63)
b. Ta có:
( ) ( )
( )
( )

2
2
1
1 2 1
1
2 2 2
x
x x
x x x x x x
+
+ +
+ = =
+ + +
a. Trong tam gi¸c BDM ta cã :
1
0
1
ˆ
120
ˆ
MD −=
V×
2
ˆ
M
=60
0
nªn ta cã :
1
0

3
ˆ
120
ˆ
MM −=
Suy ra
31
ˆˆ
MD =

Chøng minh
BMD
∆

CEM∆
(1)
Suy ra
CE
CM
BM
BD
=
, tõ ®ã BD.CE=BM.CM
V× BM=CM=
2
BC
, nªn ta cã BD.CE=
4
2
BC

b. Tõ (1) suy ra
EM
MD
CM
BD
=
mµ BM=CM nªn ta cã

EM
MD
BM
BD
=

Chøng minh
BMD∆
MED∆
(c.g.c)
Tõ ®ã suy ra
21
ˆˆ
DD =
, do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE
Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED
c. KÎ MI, MK, MH theo thø tù vu«ng gãc víi AB, DE, AC. Suy ra AI, AH kh«ng ®æi.
Chøng minh DI = DK, EK = EH.
Chøng minh chu vi tam gi¸c ADE b»ng AI + AH kh«ng ®æi
H
K

I
E
D
M
B
C
A
3
2
1
2
1
x
y
E
D
M
C
B
A
Vy:
( )
1 1 1 1 2.2011
1 1 1 1
1.3 2.4 3.5 2 2012x x


+ + + + =
ữ
ữ ữ ữ

ữ
+



( )
( )
2
2 2 2
1
2 3 4 2.2011
. .
1.3 2.4 3.5 . 2 2012
x
x x
+
=
+

( )
( )
2 1
2.2011
2 2012
x
x
+
=
+

( )
( )
1
2011
2 2012
x
x
+
=
+
x= 2010
Bài 5: (2điểm)
Ta có:
4 4
1x y
a b a b
+ =
+



4 4 2 2 2
( )x y x y
a b a b
+
+ =
+
( vì x
2
+y

2
=1)

(a+b)(bx
4
+ ay
4
)=ab(x
2
+y
2
)
2
Nhân hai vế và thu gọn ta đợc

(ay
2
- bx
2
)
2
= 0

ay
2
= bx
2

2 2
x y
a b
=
áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có


2 2 2 2
1x y x y
a b a b a b
+
= = =
+ +



2 2
1x y
a b a b
= =
+



2012
1006 1006
1
( )
x
a a b

=
+
và
2012
1006 1006
1
( )
y
b a b
=
+

Vậy:
2012 2012
1006 1006 1006
2
( )
x y
a b a b
+ =
+