MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (294.17 KB, 24 trang )
DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau
a. 3, 8, 15, 24, 35,
b. 3, 24, 63, 120, 195,
c. 1, 3, 6, 10, 15,
d. 2, 5, 10, 17, 26,
e. 6, 14, 24, 36, 50,
f. 4, 28, 70, 130, 208,
g. 2, 5, 9, 14, 20,
h. 3, 6, 10, 15, 21,
i. 2, 8, 20, 40, 70,
Đáp số:
a. n(n + 2)
b. 3n(3n – 2)
c. n(n + 1)/2
d. 1 + n²
e. n(n + 5)
f. (3n – 2)(3n + 1)
g. n(n + 3)/2
h. (n + 1)(n + 2)/2
i. n(n + 1)(n + 3)/3
Bài 2: Tính
a. A = 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n
b. A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100
Đáp số:
a. n(n + 1)/2
b. 3A = 1.2.3 + 2.3(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + + 99.100.(101 – 98)
3A = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + 99.100.101 – 98.99.100
3A = 99.100.101
A = 333300
Tổng quát:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.… + (n – 1)n = (n – 1)n(n + 1)/3
Bài 3: Tính
A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101
Hướng dẫn:
A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1)
A = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + + 99.100 + 99
A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + 2 + 3 + + 99)
A = 333300 + 4950 = 338250
Tổng quát: A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + (n – 1)(n + 1) = (n – 1)n(2n + 1)/6
Bài 4: Tính
A = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + 99.102
Bài 5: Tính:
A = 4 + 12 + 24 + 40 + + 19800
Hướng dẫn:
(1/2)A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100
A= 666600
Bài 6: Tính
A = 1 + 3 + 6 + 10 + + 4851 + 4950
Hướng dẫn: 2A = 333300
Bài 7: Tính
A = 6 + 16 + 30 + 48 + + 19998
Bài 8: Tính
A = 2 + 5 + 9 + 14 + + 4949 + 5049
Bài 9: Tính
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100
Hướng dẫn:
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + + 98.99.100.(101 – 97)
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 – 97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
A = 2449755
Tổng quát:
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n – 2)(n – 1)n
A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)/4
Bài 10: Tính
A = 1² + 2² + 3² + + 99² + 100²
Hướng dẫn:
A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + + 99(98 + 1) + 100(99 + 1)
A = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + + 98.99 + 99 + 99.100 + 100
A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + 2 + 3 + + 99 + 100)
A = 333300 + 5050
A = 338050
Tổng quát:
A = 1² + 2² + 3² + + (n – 1)² + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
Bài 11: Tính
A = 2² + 4² + 6² + + 98² + 100²
Hướng dẫn:
A = 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²)
Bài 12: Tính
A = 1² + 3² + 5² + + 97² + 99²
Hướng dẫn:
A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²)
A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²)
Bài 13: Tính
A = 1² – 2² + 3² – 4² + + 99² – 100²
Hướng dẫn:
A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2(2² + 4² + 6² + + 98² + 100²)
Bài 14: Tính
A = 1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99²
Hướng dẫn:
A = 1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1)
A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99
A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99)
Bài 15: Tính
A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 + 99.101
Hướng dẫn:
A = 1(1 + 2) + 3(3 + 2) + 5(5 + 2) + + 97(97 + 2) + 99(99 + 2)
A = (1² + 3² + 5² + + 97² + 99²) + 2(1 + 3 + 5 + + 97 + 99)
Bài 16: Tính
A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 + 100.102
Hướng dẫn:
A = 2(2 + 2) + 4(4 + 2) + 6(6 + 2) + + 98(98 + 2) + 100(100 + 2)
A = (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) + 4(1 + 2 + 3 + + 49 + 50)
Bài 17: Tính
A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 99
3
+ 100
3
Hướng dẫn:
A = 1²(1 + 0) + 2²(1 + 1) + 3²(2 + 1) + + 99²(98 + 1) + 100²(99 + 1)
A = (1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99² + 99.100²) + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)
A = [1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1)] + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)
A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99 + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)
A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)
Bài 18: Tính
A = 2
3
+ 4
3
+ 6
3
+ + 98
3
+ 100
3
Bài 19: Tính:
A = 1
3
+ 3
3
+ 5
3
+ + 97
3
+ 99
3
Bài 20: Tính:
A = 1
3
– 2
3
+ 3
3
– 4
3
+ + 99
3
– 100
3
Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC – TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số
a c
b d
.
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các
số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu
a c
b d
thì ad = bc
Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d
≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau
a c
b d
,
a b
c d
,
d c
b a
,
d b
c a
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
– Tính chất:
a c a c a c
b d b d b d
– Tính chất trên còn mở rộng:
a c e a b c a b c
b d f b d f b d f
(với giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
Chú ý: Khi có dãy tỉ số
a b c
2 3 5
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. Có thể viết a: b: c = 2: 3: 5.
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết
x y
2 3
và x + y = 20.
Cách 1: Đặt ẩn phụ
Đặt
x y
k
2 3
, suy ra: x = 2k, y = 3k
Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = 4
Do đó: x = 8 và y = 12
Cách 2: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
x y x y 20
4
2 3 2 3 5
Do đó: x = 8 và y = 12
Cách 3: Phương pháp thế
x y 2y
x
2 3 3
mà x + y = 20 suy ra 5y/3 = 20 nên y = 12
Do đó: x = 8
Ví dụ 2: Tìm ba số x, y, z biết
x y
3 4
,
y z
3 5
và 2x – 3y + z = 6
x y x y
3 4 9 12
(1) và
y z y z
3 5 12 20
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
x y z
9 12 20
(*)
Ta có:
x y z 2x 3y z 2x 3y z 6
3
9 12 20 18 36 20 18 36 20 2
Do đó: x = 27, y = 36, z = 60
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng
x y
2 5
và xy = 40.
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt
x y
k
2 5
, suy ra x = 2k, y = 3k
Theo giả thiết: xy = 40 suy ra 10k² = 40 hay k² = 4 suy ra k = 2 hoặc k = –2
+ Với k = 2 ta có: x = 4, y = 10
+ Với k = –2 ta có: x = –4, y = –10
Cách 2:
Hiển nhiên x ≠ 0
Nhân cả hai vế của
x y
2 5
với x ta được:
2
x xy 40
8
2 5 5
Suy ra x² = 16 nên x = 2 hoặc x = –2
+ Với x = 4 ta có y = 10
+ Với x = –4 ta có y = –10
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng
a.
x y z
10 6 21
và 5x + y – 2z = 28 b.
x y
3 4
,
y z
5 7
và 2x + 3y – z = 124
c.
2x 3y 4z
3 4 5
và x + y + z = 49 d.
x y
2 3
và xy = 54
e.
x y
5 3
và x² – y² = 4 f.
x y z
x y z
y z 1 z x 1 x y 2
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng
a. 3x = 2y, 7y = 5z, x – y + z = 32. b.
x 1 y 2 z 3
2 3 4
và 2x + 3y – z = 50
c. 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95 d.
x y z
2 3 5
và xyz = 810
e.
y z 1 z x 2 x y 3 1
x y z x y z
f. 10x = 6y và 2x² – y² = –28
Bài 3: Tìm x, y biết rằng
1 2y 1 4y 1 6y
18 24 6x
Bài 4: Cho a + b + c + d
≠ 0 và
a b c d
b c d a c d a b d a b c
. Tìm giá trị của
a b b c c d d a
A
c d a d a b b c
Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng
a.
x 7
y 3
và 5x – 2y = 87; b.
x y
19 21
và 2x – y = 34
c.
3 3 3
x y z
8 64 216
và x² + y² + z² = 14. d.
2x 1 3y 2 2x 3y 1
5 7 6x
Bài 6: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 7: Tìm các số x, y, z biết
a. x: y: z = 3: 4: 5 và 5z² – 3x² – 2y² = 594.
b. x + y = x: y = 3(x – y)
Đáp số: a. x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = – 9; y = – 12; z = – 15.
b. x = 4/3; y = 2/3.
Bài 8. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng?
DS: a = –2,25; b = 0,75.
Bài 9: Cho
a b c
b c c a a b
. Bi
ết a + b + c ≠ 0. Tìm giá trị mỗi tỉ số đó.
Bài 10. Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9; 10; 11; 8. Biết rằng số học sinh
khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó.
Bài 11: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [ab(ab – 2cd) + c²d²][ab(ab – 2) +
2(ab + 1)] = 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức:
A C
B D
ta thường dùng một số phương pháp sau
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số
A
B
và
C
D
có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
*
a na
b nb
(n
≠ 0)
*
n n
a c a c
b d b d
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức
a c
b d
. Chứng minh rằng:
a b c d
a b c d
Cách 1: (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd (1); (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd (2)
Từ giả thiết:
a c
ad bc
b d
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra (a + b)(c – d) = (a – b)(c + d)
Suy ra
a b c d
a b c d
Cách 2:
Đặt
a c
b d
= k suy ra a = bk, c = dk
a b kb b b(k 1) k 1
a b kb b b(k 1) k 1
(1)
c d kd d d(k 1) k 1
c d kd d d(k 1) k 1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
a b c d
a b c d
(đpcm)
Cách 3:
Từ
a c a b
b d c d
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a b a b a b
c d c d c d
Vậy
a b c d
a b c d
(đpcm)
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức
a c
b d
. Chứng minh rằng:
2 2
2 2
ab a b
cd c d
Từ giả thiết:
2 2 2 2
2 2 2 2
a c a b ab a b a b
b d c d cb c d c d
Vậy
2 2
2 2
ab a b
cd c d
(đpcm)
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho tỉ lệ thức:
a c
b d
. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau
a.
3a 5b 3c 5d
3a 5b 3c 5d
b.
2 2 2
2 2 2
(a b) a b
(c d) c d
c.
a b c d
a b c d
d.
2
2
a b
ab
cd
c d
e.
2a 5b 2c 5d
3a 4b 3c 4d
f.
2005a 2006b 2005c 2006d
2006c 2007d 2006a 2007b
g.
a c
a b c d
h.
2 2
2 2
7a 5ac 7b 5bd
7a 5ac 7b 5bd
Bài 2: Cho
a b c
b c d
. Chứng minh
3
a b c a
b c d d
Bài 3: Cho
a b c
2003 2004 2005
. Chứng minh 4(a – b)(b – c) = (c – a)²
Bài 4: Cho
3 2008
1 2
2 3 4 2009
a a
a a
a a a a
. Chứng minh
2008
1 2 3 2008
1
2009 2 3 4 2009
a a a aa
a a a a a
Bài 5: Cho
8 9
1 2
2 3 9 1
a a
a a
a a a a
và a
1
+ a
2
+ + a
9
≠ 0. Chứng minh a
1
= a
2
= = a
9
.
Bài 6: Chứng minh nếu
a b
b d
thì
2 2
2 2
a b a
b d d
Bài 7: Chứng minh nếu
a b c a
a b c a
thì a² = bc.
Bài 8: Cho tỉ lệ thức
2 2
2 2
a b ab
c d cd
. Chứng minh rằng:
a c
b d
.
Bài 9: Chứng minh rằng nếu
u 2 v 3
u 2 v 3
thì
u v
2 3
Bài 10: Chứng minh nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 thì ta có
y z z x x y
a(b c) b(c a) c(a b)
Bài 11: Cho
a c
b d
. Các số x, y, z, t thỏa mãn xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0. Chứng minh
xa yb xc yd
za tb zc td
Bài 12: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn b² = ac; c² = bd và b³ + c³ + d³
≠ 0. Chứng minh
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
Bài 13: Cho
2
2
1 1 1
ax bx c
P
a x b x c
. Chứng minh rằng nếu
1 1 1
a b c
a b c
thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.
Bài 14: Cho
a b'
1
a ' b
và
b c'
1
b ' c
. Chứng minh abc + a’b’c’ = 0.
Bài 15: Cho tỉ lệ thức
2a 13b 2c 13d
3a 7b 3c 7d
. Chứng minh rằng
a c
b d
.
Bài 16: Cho dãy tỉ số
bz cy cx az ay bx
a b c
. Chứng minh
x y z
a b c
.
Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
* Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số thực a.
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
Nếu a ≥ 0
a a
a 0 a a
Nếu x ≥ a =>
x a
= x – a; và x ≤ a =>
x a
= a – x
* Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
a
= 0 <=> a = 0
a 0
<=> a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối
bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
a b
a b
a b
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt
đối của nó.
a a a
và
a a a 0;a a a 0
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Nếu
a b 0 a b
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
Nếu
0 a b a b
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
a.b a . b
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
a
a
b b
* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
2
2
a a
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra
khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
a b a b
và
a b a b ab 0
Dạng 1:
A(x) k
trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước.
– Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức
– Nếu k = 0 thì A(x) = 0
– Nếu k > 0 thì
A(x) k
A(x) k
A(x) k
Bài 1: Tìm x, biết
a.
2x 5 4
b.
1 5 1
2x
3 4 4
c.
1 1 1
x
2 5 3
d.
3 7
2x 1
4 8
Bài 2: Tìm x, biết
a.
1
2 2x 3
2
b.
7,5 3 5 2x 4,5
c.
4
x 3,75 2,15
15
Bài 3: Tìm x, biết
a.
2 3x 1 1 5
b.
x
1 3
2
c.
2 1
x 3,5
5 2
Bài 4: Tìm x, biết
a.
3 1 5
2 x
2 4 4
b.
3 4 3 7
x
2 5 4 4
c.
3 1 5 5
4,5 x
4 2 3 6
Bài 5: Tìm x, biết
a.
9 1
6,5 : x 2
4 3
b.
11 3 1 7
: 4x
4 2 5 2
c.
15 3 1
2,5: x 3
4 4 2
d.
21 x 2
3: 6
5 4 3
Dạng 2:
A(x) B(x)
trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x
A(x) B(x)
A(x) B(x)
A(x) B(x)
Bài 1: Tìm x, biết
a.
5x 4 x 2
b.
2x 3 3x 2 0
c.
2 3x 4x 3
d.
7x 1 5x 6 0
Bài 2: Tìm x, biết
a.
3 1
x 4x 1
2 2
b.
5 7 5 3
x x 0
4 2 8 5
c.
7 5 1
x x 5 0
8 6 2
Dạng 3:
A(x) B(x)
trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều
không âm. Do vậy ta giải như sau:
A(x) B(x)
(1)
Điều kiện: B(x) ≥ 0 (*)
(1)
A(x) B(x)
A(x) B(x)
và đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện (*)
* Cách 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối
A(x) B(x)
(1)
Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành A(x) = B(x); đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện A(x) ≥ 0
Nếu A(x) < 0 thì (1) trở thành –A(x) = B(x); đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện A(x) < 0
Bài 1: Tìm x, biết
a.
1
x 3 2x
2
b.
x 1 3x 2
c.
7 x 5x 1
Bài 2: Tìm x, biết
a.
9 x 2x
b.
5x 3x 2
c.
x 6 9 2x
d.
2x 3 x 21
Bài 3: Tìm x, biết:
a.
3x 1 2 x
b.
3x 1 2 x
c.
x 15 1 3x
d.
2x 5 x 2
Bài 4: Tìm x, biết
a.
2x 5 x 1
b.
3x 2 1 x
c.
3x 7 2x 1
Bài 5: Tìm x, biết
a.
x 5 5 x
b.
x 7 x 7
c.
3x 4 4 3x
Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều giá trị tuyệt đối
Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối
A(x) B(x) C(x) m
Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán; đối chiếu điều kiện tương ứng
Ví dụ: Tìm x biết rằng
x 1 x 3 2x 1
(1)
Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không
chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ đó sẽ tìm được x.
x – 1 = 0 <=> x = 1
x – 3 = 0 <=> x = 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x – 1 và x – 3 dưới đây
x 1 3
x – 1 – 0 + | +
x – 3 – | – 0 +
Xét x < 1 ta có: (1 – x) + (3 – x) = 2x – 1
<=> x =
5
4
(giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Xét 1 ≤ x ≤ 3 ta có (x – 1) + (3 – x) = 2x – 1 <=> x =
3
2
(giá trị này thuộc khoảng đang xét)
Xét x > 3 ta có: (x – 1) + (x – 3) = 2x – 1
<=> –4 = –1
Vậy x =
3
2
.
Bài 1: Tìm x, biết
a.
4 3x 1 x 2 x 5 7 x 3 12
b.
3 x 4 2x 1 5 x 3 x 9 5
c.
1 1
2 x x 8 1
5 5
d.
1 1 1
2 x 3 x 3 2 x
2 2 5
Bài 2: Tìm x, biết
a.
x 5 x 3 9
b.
x 2 x 3 x 4 2
c.
x 1 x 2 x 3 6
d.
2 x 2 4 x 11
Bài 3: Tìm x, biết
a.
x 2 x 3 2x 8 9
b.
3x x 1 2x x 2 12
c.
x 1 3 x 3 2 x 2 4
d.
x 5 1 2x x
e.
x 2x 3 x 1
f.
x 1 x x x 3
Bài 4: Tìm x, biết
a.
x 2 x 5 3
b.
x 3 x 5 8
c.
2x 1 2x 5 4.
d.
x 3 3x 4 2x 1
Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt.
)
A(x) B(x) C(x) D(x
(1)
Điều kiện: D(x) ≥ 0 kéo theo A(x) ≥ 0; B(x) ≥ 0; C(x) ≥ 0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 1: Tìm x, biết
a.
x 1 x 2 x 3 4x 4
b.
x 1 x 2 x 3 x 4 5x 1
c.
3 2
x 2 x x 4x 3
5 5
d.
x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 5x 1
Bài 2: Tìm x, biết
a.
1 2 3 100
x x x x 101x
101 101 101 101
b.
1 1 1 1
x x x x 100x
1.2 2.3 3.4 99.100
c.
1 1 1 1
x x x x 50x
1.3 3.5 5.7 97.99
d.
1 1 1 1
x x x x 101x
1.5 5.9 9.13 397.401
Dạng 6: Dạng hỗn hợp
Bài 1: Tìm x, biết
a.
1 4
2x 1
2 5
b.
2 2
1
x 2 x x 2
2
c.
2 2
3
x x x
4
Bài 2: Tìm x, biết
a.
1 1
2x 1
2 5
b.
1 3 2
x 1
2 4 5
c.
2
3
x x x
4
Bài 3: Tìm x, biết
a.
2
3
x x x
4
b.
1 3 3
x 2x 2x
2 4 4
c.
1 3 3
x 2x 2x
2 4 4
Bài 4: Tìm x, biết
a.
2x 3 x 1 4x 1
b.
x 1 1 2
c.
3x 1 5 2
Dạng 7:
A B 0
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.
Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của
tổng đồng thời bằng 0.
Bước 1: Đánh giá
A 0
A B 0
B 0
Bước 2:
A 0
A B 0
B 0
Bài 1: Tìm x, y thỏa mãn
a.
3x 4 3y 5 0
b.
x y y 1 0
c.
3 2x 4y 5 0
Bài 2: Tìm x, y thỏa mãn
a.
2 1
5 x y 3 0
3 7
b.
2 1 1 7 5
x 1,5 y 0
3 2 3 5 6
c.
x 2012 y 2013 0
Chú ý: Bài toán có thể cho dưới dạng
A B 0
nhưng kết quả không thay đổi
Bài 3: Tìm x, y thỏa mãn
a.
5x 10 6y 9 0
b.
x 2y 2y 3 0
c.
x y 2 2y 4 0
Bài 4: Tìm x, y thỏa mãn
a.
12x 8 11y 5 0
b.
3x 2y 4y 1 0
c.
x y 7 xy 10 0
Chú ý: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn
nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.
Bài 5: Tìm x, y thỏa mãn
a.
11
12
x 3y (y 4) 0
b.
2013
(x y) 20012 y 1 0
c.
2012
x y 5 2013(y 3) 0
Bài 6: Tìm x, y thỏa mãn
a.
2 4
(x 1) (y 3) 0
b.
5
6
2(x 5) 5 2y 7 0
c.
2012
3 1
(x 2y) y 0
4 2
d.
2014
x 3y 1 (3y 2) 0
Bài 7: Tìm x, y thỏa mãn
a.
5 7
3 x y 10 y 2 0
b.
2014
3 1 12 4 6
x y 0
4 2 13 5 25
c.
2008 2007
2 2x y 3 y 4 0
Dạng 8:
A B A B
Sử dụng tính chất:
a b a b
Từ đó ta có:
a b a b ab 0
Bài 1: Tìm x, biết
a.
x 5 3 x 8
b.
x 2 x 5 3
c.
x 5 x 1 6
d.
2 x 3 2x 5 11
e.
x 1 2x 3 3x 2
f.
x 3 5 x 12 x 4 2
Bài 2: Tìm x, biết
a.
x 4 x 6 2
b.
x 1 x 5 4
c.
3x 7 3 2 x 13
d.
5x 1 3 2x 4 3x
e.
x 2 3x 1 x 1 3
f.
x 2 x 7 4
Tìm cặp giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1:
A B m
với m ≥ 0
* Nếu m = 0 thì
A 0
A B 0
B 0
* Nếu m > 0 thì do
A 0
nên
0 B m
từ đó tìm giá trị của
B
và
A
tương ứng.
Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a.
x y 2 y 3 0
b.
2
(x y) 2 y 1 0
Bài 2: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a.
5
x 3y y 4 0
b.
4
x y 5 (y 3) 0
c.
x 3y 1 3 y 2 0
Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a.
x 4 y 2 3
b.
2x 1 y 1 4
c.
3x y 5 5
d.
5x 2y 3 7
Bài 4: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a.
3 x 5 y 4 5
b.
x 6 4 2y 1 12
c.
2 3x y 3 10
d.
3 4x y 3 21
Bài 5: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a.
2
y 3 2x 3
b.
2
y 5 x 1
c.
2
2y 3 x 4
d.
2
3y 12 x 2
Dạng 2:
A B m
với m > 0.
Bài 6: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a.
x y 3
b.
x 5 y 2 4
c.
2x 1 y 4 3
d.
3x y 5 4
Bài 7: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a.
5 x 1 y 2 7
b.
4 2x 5 y 3 5
c.
3 x 5 2 y 1 3
d.
3 2x 1 4 2y 1 7
Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức:
a b a b
xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 8: Tìm số nguyên x thỏa mãn
a.
x 1 4 x 3
b.
x 2 x 3 5
c.
x 1 x 6 7
d.
2x 5 2x 3 8
Bài 9: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn các điều kiện sau
a. x + y = 4;
x 2 y 6
b. x + y = 4;
2x 1 y x 5
c. x – y = 3;
x y 3
d. x – 2y = 5 và
x 2y 1 6
Bài 10: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đồng thời
a. x + y = 5 và
x 1 y 2 4
b. x – y = 3 và
x 6 y 1 4
c. x – y = 2 và
2x 1 2y 1 4
d. 2x + y = 3 và
2x 3 y 2 8
Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích
Bài 11: Tìm số nguyên x thỏa mãn
a. (x + 2)(x – 3) < 0 b. 3(2x – 1)(2x – 3) < 0 c. 4(3x + 1)(5 – 2x) > 0
Bài 12: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. (2 – x)(x + 1) =
y 1
b. (x + 3)(1 – x) = 2
y
c. (x – 2)(5 – x) =
y 1 2
Bài 13: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. (x + 1)(3 – x) =
2 y 1
b.
(x 2)(5 x) y 1 1
c.
(x 3)(x 5) y 2 0
Dạng 5: Sử dụng phương pháp so sánh hai vế.
Nếu A ≥ m và B ≤ m thì
A m
A B
B m
Bài 14: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a.
2
x 2 x 1 3 2(y 2)
b.
12
x 5 1 x
y 1 3
c.
2
10
y 3 5
(2x 6) 2
d.
6
x 1 3 x
y 3 3
Bài 15: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a.
2
8
2x 3 2x 1
2(y 5) 2
b.
16
x 3 x 1
y 2 y 2
c.
2
12
3x 1 3x 5
(y 3) 2
d.
20
2x y 5
y 4 4
Bài 16: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a.
2
14
(x y 2) 7
y 1 y 3
b.
2
20
(x 2) 4
3 y 2 5
c.
6
2 x 2007 3
y 2008 2
d.
30
x y 2 5
y 5 6
Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1
a.
A x 3,5 4,1 x
b.
B x 3,5 x 4,1
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < –1,3
a.
A x 1,3 x 2,5
b.
B x 1,3 x 2,5
Bài 3: Rút gọn biểu thức
a.
A x 2,5 x 1,7
b.
B x 1 x 3
Bài 4: Rút gọn biểu thức khi
3 1
x
5 7
a.
1 3 4
A x x
7 5 5
b.
1 3 2
B x x
7 5 6
Bài 5: Rút gọn biểu thức
a.
A x 0,8 x 2,5 1,9
với x < –0,8 b.
2
B x 4,1 x 9
3
với
2
x 4,1
3
c.
1 1
C x 3 x 3
2 2
với x > 0
Tính giá trị biểu thức
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
a. A = 2x + 2xy – y với
3
x 2,5;y
4
b. B = 3a – 3ab – b với
1
a ; b 0,25
3
c.
5a 3
C
3 b
với
1
a ; b 0,25
3
d. D = 3x² – 2x + 1 với
1
x
2
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức
a. A = 6x³ – 3x² +
2 x
+ 4 với
2
x
3
b.
B 2 x 3 y
với
1
x ; y 3
2
c.
C 2 x 2 31 x
với x = 4 d.
2
5x 7x 1
D
3x 1
với
1
x
2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a.
A 0,5 x 3,5
b.
B 1,4 x 2
c.
3 x 2
C
4 x 5
d.
2 x 3
D
3 x 1
e.
E 5 2x 1,5
f.
F 10,2 3x 14
g.
G 4 5x 2 3y 12
h.
12
H 2
x 5 4
i.
I 2,5 x 5,8
k.
K 10 4 x 2
l.
L 5 2x 1
m.
1
M
x 2 3
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.
A 1,7 3,4 x
b.
B x 2,8 3,5
c.
C 3,7 4,3 x
d.
D 3x 8,4 14,2
e.
E 4x 3 5y 7 7
f.
F 2,5 x 5,8
g.
G 4,9 x 2,8
h.
H 5 1 4x 1
i.
I 2 3x 1 4
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a.
15
A 5
4 3x 7 3
b.
1 21
B
3 815x 21 7
c.
4 20
C
5 3x 5 4y 5 8
d.
24
D 6
2 x 2y 3 2x 1 6
e.
2
2 21
E
3 (x 3y) 5 x 5 14
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a.
2 7x 5 11
A
7x 5 4
b.
2y 7 13
B
2 2y 7 6
c.
15 x 1 32
C
6 x 1 8
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.
8
A 5
4 5x 7 24
b.
6 14
B
5 5 6y 8 35
c.
15 28
C
12 3 x 3y 2x 1 35
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.
9 4x 6 10
A
3 4x 6 5
b.
3 y 5 14
B
2 y 5 14
c.
6 x 7 30
C
x 7 4
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.
A x 5 2 x
b.
B 2x 1 2x 6.
c.
C 4x 3 4x 5.
d.
D 5x 6 3 5x.
e.
F 2x 7 5 2x.
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.
A 2 x 3 2x 5
b.
B 3 x 1 4 3x
c.
C 4 x 5 4x
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a.
A x 5 x 12
b.
B 2x 3 2x 4
c.
C 3x 1 7 3x
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a.
A 2 x 5 2x 6
b.
B 3 x 4 8 3x
c.
C 5 5 x 5x 7
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.
A x 1 x 5
b.
B x 2 x 6 5
c.
C 2x 4 2x 1
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.
A x 2 x 3
b.
B 2x 4 2x 5
c.
C 3 x 2 3x 1
Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.
A x 5 x 1 4
b.
B 3x 7 3x 2 8
c.
C 4 x 3 4x 5 12
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a.
A x 3 2x 5 x 7
b.
B x 1 3x 4 x 1 5
c.
C x 2 4 2x 5 x 3
d.
D x 3 5 6x 1 x 1 3
Bài 15: Cho x + y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A x 1 y 2
Bài 16: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức
B x 6 y 1
Bài 17: Cho x – y = 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C 2x 1 2y 1
Bài 18: Cho 2x + y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
D 2x 3 y 2 12
DÃY SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tính tổng S = 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … + 2012
Bài 2: Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 + + 99 – 100.
a. Tính A.
b. A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?
c. A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên?
Bài 3: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31
+
a. Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng?
b. Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n?
Bài 4: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +
a. Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.
b. Tìm số hạng thứ 2012 của A.
Bài 5: Tìm giá trị của x biết (x + 2) + (x + 7) + (x + 12) + + (x + 47) = 655
Bài 6:
a. Tìm x biết x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 2012) = 2012.2013
b. Tính M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2012. 2013
Bài 7: Tính tổng S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001
Bài 8: Cho A = 3 + 3² + 3³ + + 3
100
. Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3
n
.
Bài 9: Cho A = 3 + 3² + 3³ + + 3
2004
.
a. Tính tổng A.
b. Chứng minh A chia hết cho 130.
c. A có phải là số chính phương không? Vì sao?
Bài 10:
a. Cho A = 1 – 3 + 3² – 3³ + – 3
2003
+ 3
2004
. Chứng minh 4A – 1 là lũy thừa của 3.
b. Chứng minh rằng B là một luỹ thừa của 2 với B = 2² + 2³ + + 2
2004
.
Bài 11:
a. Cho A = 2 + 2² + 2³ + + 2
60
. Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.
b. Chứng minh rằng tổng 2 + 2² + 2
3
+ … + 2
2003
+ 2
2004
chia hết cho 42.
Bài 12: Cho A = 2 + 2² + 2
3
+ + 2
99
+ 2
100
. Chứng minh A chia hết cho 31.
Bài 13: Cho S = 5 + 5² + 5
3
+ + 5
96
.
a. Chứng minh S chia hết cho 126
b. Tìm chữ số tận cùng của tổng S
Bài 14: Cho A = 1.2.3 29.30 và B = 31.32.33 59.60
a. Chứng minh B chia hết cho 2
30
.
b. Chứng minh B – A chia hết cho 61.
Bài 15: Cho A = 3 + 2² + 2³ + + 2
2002
và B = 2
2003
. So sánh A và B.
Bài 16: Cho M = 3 + 3² + 3³ + + 3
100
.
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không? Vì sao?
b. Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M + 3 = 3ⁿ.
Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 + 3 + 3² + 3³ + + 3
119
.
a. Thu gọn biểu thức M.
b. Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết:
1 1 1 2 2003
3 6 10 n(n 1) 2004
Bài 19:
a. Tính A =
2 2 2 2
1.3 3.5 5.7 99.101
b. Cho
3 3 3 3
S
1.4 4.7 7.10 n(n 3)
với n là số tự nhiên. Chứng minh: S 1.
Bài 20: So sánh A =
2 2 2 2
60.63 63.66 117.120 2006
và B =
5 5 5 5
40.44 44.48 76.80 2006
Bài 21: Tính
a. A =
1 1 1 1 1 1
10 40 88 154 238 340
b. B =
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100
Bài 22: So sánh A =
2 3 100
1 1 1 1
1
2 2 2 2
và B = 2.
Bài 23: Tính
a. A =
2 2 2 2 2
.
15 35 63 99 143
b. B = 3 +
3 3 3 3
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 100
.
Bài 24: Tính giá trị các biểu thức A =
1 1 1
1
3 5 99
1 1 1 1
1.99 3.97 5.95 99.1
Bài 25: Tính B =
1 1 1 1
2 3 4 100
99 98 97 1
1 2 3 99
Bài 26: Chứng minh rằng: 100 –
1 1 1 1 2 3 99
1
2 3 100 2 3 4 100
Bài 27: Tính
A
B
biết: A =
1 1 1 1
2 3 4 200
và B =
1 2 3 198 199
199 198 197 2 1
Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy số
1 1 1 1 1
1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;
3 8 15 24 35
Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
1 1 1 1
; ; ; ;
6 66 176 336
Bài 30: Tính
A
B
biết A =
1 1 1 1 1
1.2 3.4 5.6 17.18 19.20
và B =
1 1 1 1 1
11 12 13 19 20
Bài 31: Tìm x, biết
1 1 1 1 1 1
x
1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110
Bài 32: Tính
a. S = 1 + a + a² + a³ + + aⁿ, với a ≥ 2, n là số nguyên dương
b. S
1
= 1 + a² + a
4
+ + a
2n
, với a ≥ 2, n là số nguyên dương
c. S
2
= a + a³ +a
5
+ + a
2n+1
, với a ≥ 2, n là số nguyên dương
Bài 33: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ + + 4
99
, B = 4
100
. Chứng minh rằng 3A < B.
Bài 34: Tính giá trị của biểu thức:
a.
50
A 9 99 999 999 9
ch÷ sè
b.
200
B 9 99 999 999 9
ch÷ sè
Bài Toán Liên Quan Giá Trị Tuyệt Đối
Dạng 1: Tính
x
biết
a. x + 25 = 0 b.
1 1 1 1
1.3 3.5 47.49 x
c.
1 1 1 x
1.4 4.7 97.100 2
d.
4 4 4 2x 5
1.5 5.9 97.101 101
e.
1 1 1 1 1
1 1 1 1 x 2
2 3 4 100 5
f.
1
1.2 2.3 3.4 99.100 2 x 1
5
g.
2 2 2
1
(1 2 49 )(2 x) 1
5
Dạng 2: Tìm x biết
a.
3
x 3
5
b.
5
5 x 0
23
c.
1 1
2x . 1
5 3
d.
1,75 2,5 x 1,25
e.
2x 5 3
f.
1 3 2
3 2x
3 7 3
g.
1 11
2 3x 7
5 10
h. (2x – 5)² = 9
Dạng 3: Tìm x, y, z biết
a.
x y z 0
b.
3x 5 2y 7 0
c.
1 5 1
x 1 2y 3 z 0
2 2 3
d.
2 2 2
1 1
(x 1) (y ) (z ) 0
2 3
e.
1 2x 2 3y 3 4y 0
f.
x 1 (x 1)(x 1) 0
Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau
a.
2
A x 2x 5
với
1
x
3
b.
2
B xy 2 5(x 3)(x y)
với x = y = 2.
c.
2
1
C x x 2 2x 1
4
với
1
x
2
d.
2
D 3x 6x 3
với
x 1
e. E = 2x – 5y + 7xy với
x y 2 0
f. F = 2x² – 3y² + 6xy với
x 1 y 2 0
Dạng 5: Rút gọn các biểu thức sau
a.
M x 5 2x 9 3x 12
với x ≥ 5 b. N =
x 1 x 2 x 3 3
với –2 ≤ x < –1
c. P =
2x 5 3x 7 5x 15
với x ≥ 3
Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
1
4 2x 0,5
4
b. Tìm giá trị lớn nhất của B =
3x 4,5 0,75
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của C =
x 2005 x 2004
d. Tìm giá trị nhỏ nhất của D = |3x – 8,4| – 14,2
e. Tìm giá trị nhỏ nhất của E = |4x – 3| + |5y + 7,5| + 17,5
f. Tìm giá trị lớn nhất của F = 4 – |5x – 2| – |3y + 12|
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI
Bài 1: Viết các số thập phân dưới dạng phân số tối giản
0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)
Bài 2: Tính
a. 10,(3) + 0,(4) – 8,(6) b. [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21) c. 0,(3) + 3,(3) – 0,4(2)
Bài 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ tối thiểu khi biểu diễn số
116
99
dưới dạng số thập phân vô hạn tuần
hoàn.
Bài 4: Tính tổng tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12)
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn đến hàng đơn vị
a.
(11,81 8,19).2,25
A
6,75
b.
(4,6 5: 6, 25).4
B
4.0,125 2,31
Bài 6: Rút gọn biểu thức
0,5 0,(3) 0,1(6)
M
2,5 1,(6) 0,8(3)
Bài 7: Chứng minh 0,(27) + 0,(72) = 1.
Bài 8: Tìm x biết
a.
0,1(6) 0,(3)
.x 0,(2)
0,(3) 1,1(6)
b.
3
0,(3) 0,(384615) x
50
13
0,0(3) 85
c. [0,(37) + 0,(62)]x = 10 d. 0,(12): 1,(6) = x: 0,(4)
Bài 9: Cho phân số
3 2
m 3m 2m 5
A
m(m 1)(m 2) 6
với m là số tự nhiên
a. Chứng minh rằng A là phân số tối giản.
b. Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?
Bài 10: So sánh các số sau
a.
4
0,5 100
25
và
1 9
1 :5
9 16
b.
25 9
và
25 9
c. Chứng minh với a, b > 0 thì
a b a b
Bài 11: Tìm x biết
a.
2
(2x 3) 3 2x
b.
2 2
(x 1) (2x 1) 0
Bài 12: Tìm x biết
a.
x 2 x 0
b.
x x
c.
2
9
(x 1)
16
Bài 13: Cho
x 1
A
x 1
. Chứng minh rằng với
16
x
9
hoặc
25
x
9
thì A có giá trị là một số nguyên
Bài 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên
a.
7
A
x
b.
3
B 1
x 1
c. C =
x 1
2
x 3
Bài 15: Cho
x 1
A
x 3
Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
Bài 16: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý
2
2
1 1 1
1
49
49 (7 7)
A
64 4 2 4
2 7 7 343
Bài 17: Tính bằng cách hợp lý
2
2
5 5 25 ( 5)
M 1
204 374
196 (2 21)
Bài 18: Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức
2 2
(x 2) (y 2) x y z 0
SỐ HỮU TỈ
Bài 1: Tính
a.
3 11 12
.31 0,75.8
4 23 23
b.
1 1 1 1 1
2 3 : 4 3 7
3 2 6 7 2
c.
5 5 4 5
4 : 5 :
9 7 9 7
d.
2 1 3
4
3 2 4
e.
1 1 1
B 1 1 1
2 3 n 1
với n là số nguyên dương.
f.
1 1 1
C 66. 124.( 37) 63.( 124)
2 3 11
g.
7 33 3333 333333 33333333
D
4 12 2020 303030 42424242
Bài 2: Tính
1 1 1
A 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 16)
2 3 16
Bài 3: Tìm x biết
a.
3
(2x 3) x 1 0
4
b.
2 5 3
x
3 7 10
c.
21 1 2
x
13 3 3
d.
3 3 2
x 2 1
7 8 5
e.
1
(5x 1) 2x 0
3
f.
3 1 3
: x
7 7 14
Bài 4: Cho
1 1 1
A 1 1 1
2 3 10
. So sánh A với
1
9
Bài 5: Cho
1 1 1
B 1 1 1
4 9 100
. So sánh B với
11
21
Bài 6: Tính
2 3 193 33 7 11 1931 9
. : .
193 386 17 34 1931 3862 25 2
Bài 7: Cho
1,11 0,19 13.2 1 1
A : 2
2,06 0,54 2 4
và
7 1 23
B 5 2 0,5 : 2
8 4 26
a. Rút gọn A, B.
b. Tìm số nguyên x để A < x < B
Bài 8: Tính giá trị các biểu thức
a.
1 1 1 3 3 3 3
5
3 7 13 4 16 64 256
A .
2 2 2 1 1 1
8
1
3 7 13 4 16 64
b.
1 1 1 1
0,125 0,2
5 7 2 3
3 3 3 3
0,375 0,5
5 7 4 10
Bài 9: Tìm x biết
20 4141 6363
x 128 4 5 : 1 : 1
21 4242 6464
Bài 10: Tìm x biết
a.
13 3
x x
14 7
b.
2
x 3x (x 1)(x 3) 0
Bài 11. Tìm x, biết
a.
3x 1 5
b.
10x 7 37
Bài 12. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện
a.
x y 4
b.
x y 4
Bài 13. Tìm x thỏa mãn
2x 1
0
3 x
Chuyên đề: CHỨNG MINH TAM GIÁC
Bài 1. Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360°.
Bài 2: Cho ΔABC có AC > AB. Vẽ phân giác AD, D thuộc BC. Chứng minh góc ADC – góc ADB = góc B
– góc C.
Bài 3. Cho ΔABC có góc A = 60°. Vẽ tia phân giác BD và CE (D tuộc AC; E thuộc AB) cắt nhau tại O.
a. Tính góc BOC.
b. Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I. Tính góc BIC.
Bài 4: Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC. Biết góc A – góc B = góc B – góc C = 20°.
Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A = 80°, góc B = 60°. Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Vẽ
tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D. Chứng minh rằng góc BDC = góc ACB.
Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A gấp 2 lần góc B và góc B gấp 2 lần góc C.
a. Tính góc A; B; C.
b. Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C. Tính góc AEC?
Bài 7: Cho ΔABC có các góc A; B; C lần lượt tỷ lệ với 3; 2; 1. Hỏi ΔABC là tam giác như thế nào?
Bài 8: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm. Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA. Tìm
độ dài 3 cạnh của tam giác ABC.
Bài 9: Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy A, B và trên Oy lấy C, D sao cho OA = OC; AB = CD. Chứng minh
rằng
a. ΔABC = ΔCDA
b. ΔABD = ΔCDB
Bài 10: Cho tam giác ABC. Biết AB = 3 cm, BC = 5 cm và CA = 4 cm. Gọi đường thẳng qua A và song
song với BC là a. Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c. Gọi
M, N, P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c; a và c; a và b. Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP.
Bài 11: Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC, kẻ BH vuông góc với AM và CK vuông góc với
AM. Chứng minh
a. BH // CK
b. M là trung điểm của HK
c. HC // BK ?
Bài 12: Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn. Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA;
MNB và NLC. Chứng minh LB = MC = NA.
Bài 13: Cho tam giác ABC có góc  = 90°; góc B = 60°. Phân giác góc B và phân giác góc C cắt nhau tại I
và AI cắt BC tại M.
a. Chứng minh góc BIC là góc tù.
b. Tính góc BIC.
Bài 14: Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20°. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính số đo các góc
ADC và góc ADB.
Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB (D và C khác phía
đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC (E và B khác phía đối với AC). Chứng minh
a. DC = BE
b. DC vuông góc với BE.
Bài 16: Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Trên tia đối BD lấy
điểm E sao cho BE = AC. Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AE = AK.
Bài 17: Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC. Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao
cho KM = KC. Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh A là trung điểm của MN.
Bài 18: Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ΔADB; ΔACE. Kẻ
AH vuông góc BC; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH. Chứng minh
a. DM = AH
b. MN đi qua trung điểm của DE.
Bài 19: Cho tam giác ABC. Gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm
của DF. Chứng minh rằng
a. DB = CF
b. ΔDBC = ΔFCD
c. 2DE = BC.
Bài 20: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D; E sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ các đường song
song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh DM + EN = BC.
Bài 21: Cho tam giác ABC có góc A = 60°. Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại I và cắt AC; AB theo
thứ tự D; E. Chứng minh ID = IE
Bài 22: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Các tia phân giác góc ACE và DBE cắt nhau ở K.
Chứng minh rằng góc BKC = (góc BAC + góc BDC)/2.
Bài 23: Cho tam giác ABC với M trung điểm BC. Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông
góc AB và lấy D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy
AE = AC. Chứng minh
a. AM = ED / 2.
b. AM vuông góc với DE
Bài 24: Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho góc xOz = (1/2)yÔz. Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông
góc Ox cắt Oz ở B. Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA. Chứng minh rằng tam giác AOD cân.
Bài 25: Cho góc xÔz = 120°. Oy là tia phân giác xÔz; Ot là tia phân giác của góc xÔy. M là điểm miền
trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc Ox, vẽ MB vuông góc Oy, vẽ MC vuông góc Ot. Chứng minh rằng OC =
MA – MB.
Bài 26: Cho tam giác cân ABC có Â = 100°. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Chứng minh BC = BD + AD.
Bài 27: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD, CE. Trên tia đối BD lấy điểm I. Trên tia đối CE lấy
điểm K sao cho BI = AC, CK = AB. Chứng minh rằng ΔAIK vuông cân
Bài 28: Cho góc xÔy = 90°. Lấy điểm A trên Ox và điểm B trên Oy. Lấy điểm E trên tia đối Ox và điểm F
trên tia Oy sao cho OE = OB và OF = OA.
a. Chứng minh AB = EF và AB vuông góc với EF.
b. Gọi M, N là trung điểm AB, EF. Chứng minh tam giác OMN vuông cân.
Bài 29: Cho tam giác đều ABC. Trên 2 cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM = CN. Gọi O
là giao điểm CM và BN. Chứng ninh rằng:
a. CM = BN
b. Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên AB, AC thỏa mãn điều kiện AM = CN.
Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45°. Vẽ phân giác AD. Trên tia đối AD lấy AE = BC.
Trên tia đối CA lấy CF = AB. Chứng minh
a. BE = CF
b. BE = BF.
Bài 31: Cho tam giác ABC có BC = 2AB. M trung điểm BC; D trung điểm BM. Chứng minh AC = 2AD.
Bài 32: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B = 60°. Vẽ tia Cx vuông góc với BC và lấy CE = CA (CE
và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA. Chứng minh
a. ΔACE đều
b. Ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 33: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường song
song BC, cắt AB tại D và cắt AC tại E. Chứng minh rằng
a. Góc BOC không đổi.
b. DE = DB + EC
Bài 34: Cho tam giác ABC có góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Trên tia đối BA lấy
BE = BH. Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh: FH = FA = FC.
Bài 35: Cho tam giác ABC có góc A = 90°. Ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD tại B,
ACF tại C.
a. Chứng minh rằng D, A, F thẳng hàng.
b. Từ D và F kẻ các đường DD’, FF’ vuông góc xuống BC. Chứng minh DD’ + FF’ = BC.
Bài 36: Cho ΔABC có góc BAC = 120°. Kẻ AD phân giác góc A. Từ D hạ DE vuông góc với AB tại E; DF
vuông góc với AC tại F.
a. Tam giác DEF là tam giác gì?
b. Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M, ACM là tam giác gì?
Bài 37: Tam giác ABC có AB > AC. Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác
góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh
a. BE = CF
b. AE =
AB AC
2
và
AB AC
BE
2
c.
ˆ
ˆ
ACB ABC
BME
2
Bài 38: Cho tam giác nhọn ABC có góc  = 60°. Đường cao BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB; AC.
a. Xác định dạng của tam giác BMD và tam giác AMD
b. Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AN. Chứng minh CE vuông góc AB.
Bài 39: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M, N sao cho BM = BA; CN = CA. Tính
góc MÂN.
Bài 40: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau.
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b. Tam giác ABM là tam giác đều.
Gợi ý: a. Vẽ MI vuông góc AC.
Bài 41: Cho tam giác ABC có góc B = 75°, góc C = 60°. Kéo dài BC một đoạn CD sao cho CD = (1/2)BC.
Tính góc ADB.
Gợi ý: Kẻ BH vuông góc với AC.
Bài 42: Cho tam giác ABC có AB = 24 cm; BC = 40 cm và AC = 32 cm. Trên cạnh AC lấy M sao cho AM
= 7 cm. Chứng minh rằng
a. Tam giác ABC vuông
b. góc AMB = 2 góc ACB
Bài 43: Cho tam giác ABC có AB = 25 cm; AC = 26 cm. Đường cao AH = 24 cm. Tính BC trong hai trường
hợp góc B là góc nhọn và góc B là góc tù.
Bài 44: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền 51 cm. Tính độ dài 2 cạnh
góc vuông.
Bài 45: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA lấy E sao cho
HE = AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh EB vuông góc EF
Bài 46: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cách gốc 3m. Hỏi điểm gãy cách gốc
bao nhiêu?
Bài 47: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5; 4); B(2; 3) và C(6; 1). Tính các góc ΔABC.
Bài 48: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác.
a. Chứng minh tam giác ABC cân.
b. Cho biết AB = 37 cm; AM = 35 cm. Tính độ dài BC.
Bài 49: Cho tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau.
a. Chứng minh tam giác đó đều.
b. Cho biết mỗi đường cao có độ dài
a 3
2
. Tính độ dài mỗi cạnh tam giác đó.
Bài 50: Cho tam giác ABC cân tại A và Â = 80°. Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho góc OBC =
30°; góc OCB = 10°. Chứng minh tam giác COA cân.
Gợi ý: Vẽ thêm tam giác đều BCM sao cho M, A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC.
Bài 51: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100°. Gọi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho
góc CBO = 30°. Tính góc CAO.
Gợi ý: Vẽ tam giác đều BCM sao cho M, A cùng nửa mặt phẳng bờ BC.
Bài 52: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC tại C. Hai
đường này cắt nhau tại D.
a. Chứng minh AD là phân giác góc A.
b. Hãy so sánh AD và CD.
Bài 53: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. D là một điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC sao cho
AD = AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứng minh BM = CN.
Bài 54: Cho góc xÔy trên Ox lấy điểm A. Trên Oy lấy điểm B. Gọi M trung điểm AB. Từ A, B hạ đường
thẳng AE; BF cùng vuông góc với tia OM. Chứng minh AE = BF
Bài 55: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE, OF, OG thứ tự vuông góc
với AC, AB, BC.
a. Chứng minh OE = OF = OG.
b. Tia AO cắt BC tại D. Chứng minh rằng góc BOD = góc COG
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
A = x² + 4xy – 3y³ với
x 5
và
y 1
Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức: B =
4x 9 4y 9
3x y 3y x
(x ≠ –3y; y ≠ –3x)
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. A =
2 2 2 4 4 8 8
16 16
x (x 2y)(x 2y)(x 2y )(x 2y )
x 2y
với x = 4; y = 8
b. B = 2m² – 3m + 5 với
m
= 1
c. C = 2a² – 3ab + b² với
a 1
và
b
= 2
Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa
a.
2
x 1
x 4
b.
2
x 1
x 1
c.
ax by
xy 3y
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức: N =
2
6x x 3
2x 1
với
1
x
2
Bài 6: Tìm các giá trị của biến để
a. A = (x + 1)(y² – 6) có giá trị bằng 0 b. B = x² – 12x + 7 có giá trị bằng 7
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức A =
2 2
2 2
5x 3y
10x 3y
với
x y
3 5
Bài 8: Cho x, y, z ≠ 0 và x – y – z = 0. Tính giá trị của biểu thức B =
z x y
1 1 1
x y z
Bài 9:
a. Tìm GTNN của biểu thức C = (x + 2)² + (y –
1
)
5
² – 10
b. Tìm GTLN của biểu thức D =
2
4
(2x 3) 5
Bài 10: Cho biểu thức E =
5 x
x 2
. Tìm các giá trị nguyên của x để E có
a. giá trị nguyên b. giá trị nhỏ nhất
Bài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau:
a. A = (x – 3)² + 2 b. B = (2x + 1)
4
– 1 c. C = (x² – 1)² +
y 3
– 2
Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức A =
x 2 x 10
Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x, để biểu thức A =
10x 15
5x 1
nhận giá trị nguyên
Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) =
71 và f(12) = 35.
Bài 15: Cho f(x) = ax² + bx + c. Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) = 1
khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000.
Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x
8
– x
5
+ x² – x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x.
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B =
x 1 x 3
với x ≤ 7/11
Bài 18: Rút gọn biểu thức đại số
a. A = (15x + 2y) – [(2x + 3) – (5x + y)]
b. B = –(12x + 3y) + (5x – 2y) – [13x + (2y – 5)]
Bài 19: Chứng tỏ
a. Biểu thức x² + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x.
b. Biểu thức – 2x² + 3x – 8 không dương với mọi giá trị của x.
Bài 20*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết
a.
1
x 1
x
b.
2
x 5
x
c.
x 3 3 y 3 x
d. (x – 2)
2
25n 5
+ y – 2 = 0 (n là số tự nhiên)
Bài 21: Tìm x, y là các số nguyên biết
a.
x 2
y
x 1
b.
2x 3
y
x 1
ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức
a. 3a² b + (–a²b) + 2a²b – (–6a²b) b. (–7y²) + (–y²) – (–8y²)
c. (–4,2p²) + (–0,3p²) + 0,5p² + 3p² d. 5a
n
+ (–2a
n
) + 6a
n
.
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau
a. A =
x x 3x
3 6 2
b. B = 3ab.
2
5
ac – 2a.abc –
1
3
a²bc
c. C =
2
2
ac
3
.c² –
2
5
a².(c.c)² +
2
3
ac².ac –
1
4
a²c²
Bài 3: Cho các đơn thức A = x²y và B = xy². Chứng tỏ rằng nếu x, y nguyên và x + y chia hết cho 13 thì A +
B chia hết cho 13.
Bài 4: Cho biểu thức P = 2a
2n+1
– 3a
2n
+ 5a
2n+1
– 7a
2n
+ 3a
2n+1
(n là số tự nhiên). Với giá trị nào của a thì P >
0.
Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5x
k+2
+ 3x
k
+ 2x
k+2
+ 4x
k
+ x
k+2
+ x
k
(k là số tự nhiên). Với giá trị nào của x và k
thì Q < 0.
Bài 6: Tìm x biết: x
n
– 2x
n+1
+ 5x
n
– 4x
n+1
= 0 (n là số nguyên dương)
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:
a. 10
n+1
– 66.10
n
. b. 2
n+3
+ 2
n+2
– 2
n+1
+ 2
n
. c. 90.10
k
– 10
k+2
+ 10
k+1
.
d. 2,5.5
n–3
.10 + 5
n
– 6.5
n–1
.
Bài 8: Cho biểu thức M = 3a²x² + 4b²x² – 2a²x² – 3b²x² + 19 (a ≠ 0; b ≠ 0). Tìm GTNN của M.
Bài 9: Cho A = 8x
5
y
3
; B = –2x
6
y
3
; C = –6x
7
y
3
. Chứng tỏ rằng: Ax² + Bx + C = 0
Bài 10: Chứng minh rằng với n nguyên dương
a. 8.2
n
+ 2
n+1
có tận cùng bằng 0.
b. 3
n+3
– 2.3
n
+ 2
n+5
– 7.2
n
chia hết cho 25.
c. 4
n+3
+ 4
n+2
– 4
n+1
– 4
n
chia hết cho 300.
Bài 11: Cho A = (– 3x
5
y
3
)
4
và B = (2x²z
4
)
5
. Tìm x, y, z biết A + B = 0
Bài 12: Rút gọn
a. M + N – P với M = 2a² – 3a + 1, N = 5a² + a, P = a² – 4
b. 2y – x – {2x – y – [y + 3x – (5y – x)]} với x = a² + 2ab + b², y = a² – 2ab + b²
Bài 13: Tìm x, biết
a. (0,4x – 2) – (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6
b. (
3
x 3
4
) –
2
x 4
3
–
1
x 1
6
=
1
x 4
3
–
1
x 3
3
Bài 14: Tìm số tự nhiên
abc
(a > b > c) sao cho:
abc bca cab
= 666
Bài 15: Có số tự nhiên
abc
mà tổng
abc bca cab
là một số chính phương không?
Bài 16: Rút gọn biểu thức
a. A = (3x + y – z) – (4x – 2y + 6z)
b. B = (x³ – 6x² + 5y³) – (2x³ – 5x² + 7y³)
c. C = 2x.(–3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x
d. D =
2x x 2 5x x 4
3x
3 6 9 2 5 5
Bài 17: Tìm x biết
a. x + 2x + 3x + 4x + … + 100x = –213 b.
1 1 1 1
x x
2 3 4 6
c.
x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11
7 8 9 10 11 12
d.
x 32 x 23 x 38 x 27
0
11 12 13 14
e.
3 x 2 4x 8 2
f.
x 2 x 2
= 3 g. (x – 1)³ = (x – 1)
h*. (x – 1)
x+2
= (x – 1)² i*. (x + 3)
y+1
= (2x – 1)
y+1
với y là một số tự nhiên
Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Định nghĩa: Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên
Ví dụ: 9 = 3²; 225 = 15² được gọi là các số chính phương
Một số tính chất
a. Số chính phương chỉ có thể tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi 2; 3; 7; 8.
b. Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục phải là 2.
Giả sử M = (10a + 5)² = 100a² + 100a + 25
Vì chữ số hàng chục của 100a² và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M là 2
c. Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ.
Giả sử số chính phương N = a² có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6.
Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự),
Khi đó (10b + 4)² = 100b² + 80b + 16.
Vì chữ số hàng chục của số 100b² và 80b là chẵn nên chữ số hàng chục của N là số lẻ.
d. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
Giả sử A = a
x
b
y
c
z
trong đó a, b, c, … là các số nguyên tố khác nhau, còn x, y, z, là các số nguyên dương
thế thì A² = (a
x
b
y
c
z
)² = a
2x
b
2y
c
2z
Từ tính chất này suy ra số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, số chính phương chia hết cho 3 thì
chia hết cho 9, số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25, số chính phương chia hết cho 8 thì chia
hết cho 64.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a. Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 với n nguyên.
b. Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n + 2 với n nguyên.
Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k, khi đó (2k)² = 4k² là số chia hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k + 1,
khi đó (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 là số chia cho 4 dư 1.
Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1.
Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k + 1, 3k – 1; khi đó bình phương của nó có dạng (3k)² =
9k² là số chia hết cho 3, hoặc có dạng (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1, (3k – 1)² = 9k² – 6k + 1 là số khi chia cho 3
thì dư 1.
Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.
Ví dụ 2: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6.
Chứng minh tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.
Cách 1. Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì
vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1, 3, 5, 7, 9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7
+ 9 = 25 = 5² là số chính phương.
Cách 2. Nếu một số chính phương có M = a² có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của số a là số
chẵn, do đó a chia hết cho 2 nên a² chia hết cho 4.
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96. Từ đó, ta có:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² là số chính phương.
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n + 1 và 3n + 1 đồng thời là 2 số chính phương
n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100, do đó 21 ≤ 2n + 1 < 201
Mặt khác 2n + 1 là số chính phương lẻ
nên 2n + 1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị: 25; 49; 81; 121; 169.
Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60, 84.
Khi đó số 3n + 1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị 37; 73; 121; 181; 253.
Trong các số trên chỉ có số 121 = 11² là một số chính phương.
Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n = 40.
Ví dụ 4: Chứng minh nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không thể là các số chính
phương.
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và p không chia hết cho 4.
Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m²
Vì p là số chẵn nên p + 1 là số lẻ, do đó m² là số lẻ, vì thế m là số lẻ.
Đặt m = 2k + 1.
Ta có m² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 suy ra p + 1= 4k² + 4k + 1
do đó p = 4k(k + 1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với giả thuyết trên
Vậy p + 1 không là số chính phương
Ta có p = 2.3.5… là số chia hết cho 3.
Do đó p – 1 = 3k + 2 không là số chính phương
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết rằng trong 3 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng và một mệnh đề sai
a. n có chữ số tận cùng là 2 b. n + 20 là một số chính phương c. n – 69 là một số chính phương
Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 có số tận cùng là 2; từ mệnh đề (3) suy ra n – 69 có chữ số tận
cùng là 3. Một số chính phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3. Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3)
đều sai, trái giả thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) và (3) đúng.
Đặt n + 20 = a²; n – 69 = b² (a, b là các số tự nhiên và a > b)
=> a² – b² = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1
Do đó: a + b = 89 và a – b = 1 suy ra a = 45. Vậy n = 45² – 20 = 2005
Bài 2: Cho N là tổng của 2 số chính phương. Chứng minh rằng
a. 2N cũng là tổng của 2 số chính phương.
b. N² cũng là tổng của 2 số chính phương.
Gợi ý: a. 2N = (a + b)² + (a – b)² là tổng của 2 số chính phương.
b. N² = (a² – b²)² + (2ab)²
Bài 3: Cho A, B, C, D là các số chính phương. Chứng minh rằng (A + B)(C + D) là tổng của 2 số chính
phương.
Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z sao cho x = y + z. Chứng minh rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng của 3 số chính
phương.
Gợi ý: Chứng minh 2(xy + xz – yz) = x² + y² + z²
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn: a – b = c + d. Chứng minh rằng: a² + b² + c² + d² luôn là
tổng 3 số chính phương.
Đáp số: a² + b²
+ c² + d² = (a – b)² + (a – c)² + (a – d)²
Bài 6: Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là một số
chính phương lẻ.
Đáp số: n² + (n + 1)² + n²(n + 1)² = (n² + n + 1)²
Bài 7: Cho a
n
= 1 + 2 + 3 + + n
a. Tính a
n
.
b. Chứng minh rằng a
n
+ a
n+1
là một số chính phương
Bài 8. Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1, số B chỉ gồm m chữ số 4. Chứng
minh rằng: A + B + 1 là số chính phương.
Bài 9. Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi hai chữ số
của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.
Bài 10. Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị là
4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
Bài 11. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập các số có 6 chữ số, mỗi số gồm các chữ số khác nhau. Hỏi
trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 không? Có số nào là số chính phương không?
Bài 12. Viết liên tiếp các số: 1, 2, 3,…, 2013 thành một hàng ngang theo một thứ tự tuỳ ý. Hỏi số tạo thành
theo cách viết trên có thể là số chính phương không?
