một số chuyên đề toán 8

Page 9
Một số chuyên đề toán 8
Chuyên đề 1: Phép nhân đa thức và các
hằng đẳng thức đáng nhớ
I. Nhân đa thức
1. Khái niệm nhân đơn thức với đa thức
2. Khái niệm nhân đa thức với đa thức
3. Khái niệm về đa thức đồng nhât P(x) và Q(x)
P(x) và Q(x) gọi là đồng nhất nếu P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x, Kí hiệu
P(x)

Q(x)
Ví dụ: P(x) = (x+5)(ax
2
+bx+25) và Q(x)=x
3
+125
a) Viết đa thức P(x) dới dạng một đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần của x
b) với giá trị nào của a và b thì P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x.
Giải
a)P(x)=(x+5)(ax
2
+bx+25) = ax
3
+ bx
2
+ 25x + 5ax
2
+ 5bx + 125
= ax
3

+ (b+5a)x
2
+ (25 + 5b)x + 125
b) P = Q với mọi x <=> ax
3
+ (b+5a)x
2
+ (25 + 5b)x + 125 = x
3
+125 với mọi x
<=>
1
5 0
5 25 0
a
b a
b
=


+ =


+ =

<=>
1
5
a
b

=


=

Phơng pháp: Hai đa thức P(x) và Q(x) đồng nhất nếu khi và chỉ khi mọi hệ số của
các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức bằng nhau
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
A = x
4
- 17x
3
+ 17x
2
17x + 20 tại x = 16.
Giải: Cách 1: A= x
3
(x 16) x
2
(x-16) +x(x-16) (x 16) + 4
= 4 ( vì x = 16 nên x 16 = 0)
Cách 2: thay 16 = x vào A ta có: A = x
4
(x+1)x
3
+ (x + 1)x
2
( x + 1)x + x + 4
= x
4

x
4
x
3
+ x
3
+ x
2
x
2
- x + x + 4
= 4
Bài tập
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức hợp lí.
Bài 1.
Dạng 2: Tìm các hệ số của đồng nhất thất thức
Page 9
Một số chuyên đề toán 8
II. Các Hằng đẳng thức đáng nhớ
1. ( a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
2. ( a b)
2
= a
2
2ab + b

2
3. (a + b)(a b) = a
2
b
2
4. (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
5. (a b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3

= a
3
- b
3
- 3ab(a - b)
6. a
3
b
3
= (a b)(a
2
+ ab + b
2
)
7. a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
)
Nâng cao:
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2

+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b)(b + c)(c + a)
a
n
b
n
= (a b)(a
n-1
+ a
n-2
b + .+ b
n-1
)
a
n
+ b
n
= (a + b)(a
n-1
a

n 2
b + a
n-3
b
2
- ...- ab
n-2
+ b
n-1
) ( với n lẻ)
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 1. Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca thì a = b = c
Lời Giải
a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca < = > 2a
2
+ 2b
2
+ 2c

2
- 2ab - 2bc - 2ca = 0

(a
2
- 2ab + b
2
) + (a
2
- 2ac + c
2
) + (b
2
- 2bc + c
2
) = 0

(a b)
2
+ (a c)
2
+ (b c)
2
= 0
=> a = b = c (đpcm)
Ví dụ 2: cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a
3
+ b
3
+ c

3
= 3abc
Lời giải:
Ta có: (a + b)
3
= (- c)
3

a
3
+ 3ab(a + b) + b
3
= -c
3

a
3
- 3abc + b
3
+ c
3
= 0 < = > a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc (đpcm)
Bài tập
Bài 1. Chứng minh rằng (a

2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
với x, y khác 0 thì
a b
=
x y
Bài 2. cho a
2
b
2
= 4c
2
. Chứng minh rằng:
(5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b)
2
Bài 2. Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2

+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2
với x, y, z khác
0 thì
a b c
= =
x y z
.
Bài 3. Chứng minh rằng:
a) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
b)a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = (a + b +c)(a
2

+ b
2
+ c
2
ab ac bc)
Lời giải
a) Ta có (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= a
3
+ (b + c)
3
+ 3a(b + c)(a + b + c) - a
3
b
3

c
3
=
3bc(b + c) + 3a(b + c)(a + b + c) = 3(b + c)(bc + a
2
+ ab + ac) = 3(a + b)(b + c)(c
+ a).

b) Ta có a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = (a + b)
3
+ c
3
3ab(a + b) 3abc = (a + b + c)
3
3(a
+ b)c(a + b + c) 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab ac bc)
Page 9
Một số chuyên đề toán 8
Bài 4. Cho ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0; với x, y, z 0
Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc

Giải
Từ ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0 ta có:
(a + b + c)(x + y + z) = 0 => a + b + c = 0 => a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Bài 5. Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Thì a + b +c = 0 hoặc a = b =c.
Giải
Ta có: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc

(a + b + c)[(a b)
2
+ (b c)
2
+ (c a)

2
] = 0.
= > a + b + c = 0 hoặc a = b =c
Bài 6. Cho
1 1 1 1
+ + =
a b c a+ b+ c
. Chứng minh rằng có ít nhất một cặp số đối nhau.
Giải
=> a = -b hoặc b = -c hoặc c = -a.
Bài 7. Cho
1 1 1 1
+ + =
a b c a+ b+ c
. Chứng minh rằng
n n n n n n
1 1 1 1
+ + =
a b c a + b + c
Với n lẻ.
Bài 8. Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= (a + b + c)
3
(hoặc
3 3 3 3

a b c a b c+ + = + +
hoặc
3
3 3 3
1 1 1 1 1 1
+ + = + +
a b c a b c

ữ

). Chứng minh rằng a
n
+ b
n
+ c
n
= (a + b + c)
n
vơid n lẻ.
Bài 9. Cho x + y + z = a + b + c; x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
+ b
2
+ c

2
; x
3
+ y
3
+ z
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
.
Chứng minh rằng: x
n
+ y
n
+ z
n
= a
n
+ b
n
+ c
n
;
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Vi dụ. Cho x + y = a và xy = b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b.
a) x

2
+ y
2
b) x
3
+ y
3

Lời giải
a) x
2
+ y
2
= (x + y)
2
2xy = a
2
2b
b) x
3
+ y
3
= (x + y)
3
3xy(x + y) = a
3
3ab
Bài 1. Cho a
3
+ b

3
+ c
3
= 3abc. Tính
a b c
A = 1+ 1+ 1+
b c a

ữ ữ ữ

Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của x
2
+ 2x + 3
Lời giải:
x
2
+ 2x + 3 = x
2
+ 2x + 1 + 2 = (x + 1)
2
+ 2 2 dấu = xảy ra khi x = -2
Vậy giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = - 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x
2
5x + 5
Lời giải:
x
2
5x + 5 = - (x

2
+ 5x 5) = -(x
2
+ 2.
5
2
x +
25
4
-
25
4
- 5) =
Dạng 4: Tìm x
Ví dụ: Tìm x biết: x
2
3x 4 = 0
Lời giải:
Page 9
Một số chuyên đề toán 8
x
2
2.
3
2
x +
9
4
-
9

4
- 4 = 0 (x -
3
2
)
2
-
25
4
= 0 (x 4)(x + 1) = 0
=> x = 4 hoặc x = -1;
Chuyên đề 2. Phân tích đa thức thành
nhân tử
Phơng pháp:
1. Đặt nhân tử chung.
Sử dụng phơng pháp này khi các hạng tử có nhân tử chung
2. Sử dụng hằng đẳng thức:
Khi biểu thức có dạng trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
3. Nhóm các hạng tử thích hợp làm xuất hiện nhân tử chung hoặc
hằng đẳng thức
4. Thêm bớt một hạng tử
Ví dụ 1:Phân tích đa thức 4x
4
+ 81 thành nhân tử
Giải: 4x
4
+ 81 = 4x
4
+36x
2

+ 81 - 36x
2
= (2x
2
+ 9)
2
(6x)
2
= (2x
2
+ 9 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
64x
4
+ y
4
Giải: 64x
4
+ 16x
2
y
2
+ y
4
- 16x
2
y
2

= (8x
2
+ y)
2
(4xy)
2

= (8x
2
+ y -4xy)(8x
2
+ y +4xy)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x
4
+ x
2
+ 1 thành nhân tử
x
4
+ x
2
+ 1 = x
4
+ x
3
+ x
2
x
3
+ 1

= x
2
(x
2
+ x +1) (x 1)(x
2
+ x + 1)
=(x
2
+ x + 1)(x
2
x + 1)

Bài Tập
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Bài 1. a) x
4
+ 5x
3
+ 10x 4
Thêm bớt 2x
2
vào biểu thức
x
4
+ 2x
2
+ 5x
3
+ 10x - 4 - 2x

2

=x
2
(x
2
+ 2) + 5x(x
2
+ 2) 2(x
2
+ 2)
=(x
2
+ 2)(x
2
+ 5x 2)
b) x
3
+ y
3
+ z
3
3xyz
Thêm bớt 3xy(x + y)
x
3
+ y
3
+ z
3

3xyz
= x
3
+ y
3
+ 3xy(x + y)+ z
3
3xyz - 3xy(x + y)
= (x + y)
3
+ z
3
3xy( x + y + z)
= (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy - xz - yz)
3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - xz yz)
Page 9
Mét sè chuyªn ®Ò to¸n 8

Bµi 2. a) x
7
+ x
2
+ 1
Thªm bít x vµo biÓu thøc
x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
– x + x
2
+ x + 1
= x(x
6
– 1) + (x
2
+ x + 1)
=x(x
3
+1)(x-1)(x
2
+ x + 1) +( x
2
+ x
+ 1)
=(x
2

+ x + 1)[x(x
3
+1)(x-1) + 1]
b) x
8
+ x + 1
Thªm bít x
2
vµo biÓu thøc
x
8
+ x + 1 = x
8
- x
2
+ x
2
+ x + 1
= x
2
(x
6
-1) + (x
2
+ x + 1)
=(x
2
+ x + 1)[x
2
(x

3
+1)(x-1) + 1]
Bµi 3. a) x
5
+ x
4
+ 1
Thªm bít x
3
vµo biÓu thøc
x
5
+ x
4
+ 1 = x
5
+ x
4
+ x
3
– x
3
+ 1
= x
3
(x
2
+ x + 1) – (x -1)(x
2
+ x + 1)

=(x
2
+ x + 1)(x
3
– x + 1)
b) x
10
+ x
5
+ 1
Thªm bít x
2
+ x vµo biÓu thøc
x
10
+ x
5
+ 1 = x
10
– x + x
5
– x
2
+ x
2
+ x +1
=x(x
3
+ 1)(x-1)(x
2

+ x +1) + x
2
(x – 1)( x
2
+ x
+1) + ( x
2
+ x + 1)
= ( x
2
+ x +1)[x(x
3
+ 1)(x-1) + x
2
(x – 1) + 1]
Bµi 4. chøng minh r»ng: x
200
+ x
100
+1
M
x
4
+ x
2
+ 1
Ta cã: x
200
+ x
100

+1 = (x
200
– x
2
) + (x
100
– x
4
)

+ (x
4


+x
2
+ 1)
= x
2
( x
198
-1) + x
4
(x
96
- 1) + (x
4


+x

2
+ 1)
= x
4
[(x
6
)
33
- 1] + x
2
[(x
6
)
16
- 1] + (x
4


+x
2
+ 1)
= x
4
(x
6
- 1)A(x) + x
2
(x
6
- 1)B(x) + (x

4


+x
2
+ 1)
= x
4
(x
2
– 1)(x
4
+ x
2
+ 1)A(x) + x
2
(x
2
– 1)(x
4
+ x
2
+ 1)B(x) + (x
4


+x
2
+ 1)
= (x

4
+ x
2
+ 1)[x
4
(x
2
– 1)A(x) + x
2
(x
2
– 1)B(x) + 1]
M
x
4
+ x
2
+ 1 ( ®pcm)
Bµi 5.a) 4x
4
+ 1 (Thªm bít 4x
2
)
b) x
4
+ 324 (Thªm bít 81x
2
)
c) x
5

+ x + 1 (Thªm bít x
2
)
d) x
8
+ x
7
+ 1 (Thªm bít x
2
+ x)
e) x
5
- x
4
– 1 (Thªm bít x
2
)
f) x
7
+ x
5
+ 1 (Thªm bít x
2
+ x)
g) x
8
+ x
4
+ 1 (Thªm bít x
2

)
g) x
3
+ 3xy + y
3
– 1 (Thªm bít 3xy(x + y))
Bµi 6. Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö
a) 1 + 2 + 3 + + n… b) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ +n…
2
c)1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ +n…
3
d) 1
4
+ 2
4
+ 3
4
+ +n…

4
e) 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ + (2n+1)…
2
e) 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ + (2n)…
2
g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n(n + 1) h) 1.2.3 + 2.3.4 + . + n(n+1)(n+2)…
Híng dÉn:b) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ +n…
2
Ta cã: (n + 1)
3
= n
3

+ 3n
2
+ 3n + 1
n
3
= (n-1)
3
+ 3(n-1)
2
+ 3(n-1) + 1
……………………………..
……………………………..
2
3
= 1
3
+ 3.1
2
+ 3.1 + 1
Ta cã : (n + 1)
3
+ n
3
+ + 2…
3
=(n
3
+ (n-1)
3
+ + 1…

3
) + 3(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ +n…
2
) +3(1 + 2
+ 3 + + n) + n…
3(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ +n…
2
) = (n + 1)
3
–(1 +n) – 3.
(n+1)n
2
=(n+1)(2n
2
+ n):2
= n(n + 1)(2n + 1):2
1
2

+ 2
2
+ 3
2
+ +n…
2
= n(n + 1)(2n + 1):6
Chó ý: C¸c ®a thøc d¹ng: x
3m + 1
+ x
3n + 2
+ 1 ®Òu chøa nh©n tö x
2
+ x + 1