Bài soạn một số chuyên đề toan học

Nguyễn Đức Nghị Trường THCS Lương Phú – Phú bình Thái Nguyên
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng
minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng
thức Bu-nhi-a-cốp-ski
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện
theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.
1.
abba 2
22
≥+
(a,b>0). (BĐT Cô-si)
2.
( )
abba 4
2
≥+
3.
( )
( )
2
22
2 baba
+≥+
4.
0,;2
>≥+
ba
a
b
b
a

5.
0,;
411
>
+
≥+
ba
baba
6.
cabcabcba
++≥++
222
7.
( )
( )( )
2222
2
yxbabyax
++≤+
( Bu nhi a cop xki)
8.
( )
yx
ba
y
b
x
a
+
+

≥+
2
22
9.
( )
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++
≥++
2
222
Ví dụ 9:Chứng minh
cba
b
ca
a
bc
c
ab
++≥++
(Với a,b,c > 0)
Giải:2A - 2B =
cba

b
ca
a
bc
c
ab
222222
−−−++
=






−++






−++






−+

222
b
a
a
b
c
a
c
c
a
b
b
c
c
b
a

Áp dụng bất đẳng thức
0,;2
>≥+
ba
a
b
b
a
.Ta có:2A - 2B
( ) ( ) ( )
0222222
≥−+−+−≥
cba

.Vậy A
≥
B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1.
Chứng minh rằng :
8
21
22
≥
+
+
yx
xy
.
Giải:
22222222
2
4
2
1
2
1
2
2
2
221
yxyxyx
xy
yx
xy

yx
xy
++
≥








+
+=
+
+=
+
+
( )
8
8
2
=
+
=
yx
.Đẳng thức xảy ra khi
2
1
==

yx
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
2
2
2
2
2
2
Giải:
c
a
c
b
b
a
c
b

b
a
.2.2
2
2
2
2
=≥+
;
a
b
a
c
c
b
a
c
c
b
.2..2
2
2
2
2
=≥+
;
b
c
b
a

a
c
b
a
a
c
.2..2
2
2
2
2
=≥+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c

a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒






++≥








++
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
22
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c..
Tiết 21-24
Ví dụ 12:Cho a > 0 và b > 0.
Năm học 2009 - 2010
Nguyễn Đức Nghị Trường THCS Lương Phú – Phú bình Thái Nguyên
Chứng minh rằng
cbabaaccb
++
>
+
+
+
+
+
3111
.
Giải:
cbacbabacacbbaaccb
++
=
++
+
++

+
++
>
+
+
+
+
+
3111111
Ví dụ 13: Chứng minh:
4
11
...
4
1
3
1
2
1
3333
<++++=
n
A
.Với n là số tự nhiên và
2
≥
n
Giải:
( )
( ) ( )

11
1
1
111
233
+−
=
−
=
−
<
kkk
kkkkk
.
Và :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
11
2
11
11
1
1
1
1
+−
=
+−
−−+

=
+
−
−
kkkkkk
nn
kkkk
Suy ra:
( )
( ) ( )
11
1
1
111
233
+−
=
−
=
−
<
kkk
kkkkk
=
( ) ( )







+
−
−
kkkk 1
1
1
1
2
1
Suy ra: A <
( ) ( )






+
−
−
++−+−
1
1
1
1
...
4.3
1
3.2

1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
( )
4
1
1
1
2
1
2
1
<






+
−=
nn
==========o0o==========
Bài tập áp dụng:
38. Chứng minh:B =

2
12
1
...
3
1
2
1
1
n
n
>
−
++++
Với n là số tự nhiên và
2
≥
n
39. Bài 29:Cho C
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
++
+
++

+
++
+
++
=

(a,b,c,d >0) .Chứng minh rằng :
21
<<
C
40. Chứng minh
2
3
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
=
xzyzxy
P
. Trong đó x , y , z là 3 số dương và
3

222
≤++
zyx
HƯỚNG DẪN:
47. Chứng minh:B =
2
12
1
...
3
1
2
1
1
n
n
>
−
++++
Với n là số tự nhiên
nnn
B
2
1
2
1
...
12
1
8

1
...
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
−






++
+
+






+++







+++=
−

nnn
2
1
2
1
...
2
1
8
1
...
8
1
4
1
4
1
2
1
1
−







+++






+++






+++<
2
2
1
2
1
2
1
2
1
.

2
2
...
2
1
2
1
2
1
1
nn
nnn
n
>−+=−+++++=
48.
cbad
d
badc
c
adcb
b
dcba
a
C
+++
+
+++
+
+++
+

+++
>

cbad
cd
badc
bc
adcb
ab
dcba
da
C
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
<
49. Áp dụng BĐT 9 ta có
( )
222
3
9
zyx

P
+++
≥
===========o0o===========
Năm học 2009 - 2010
Nguyễn Đức Nghị Trường THCS Lương Phú – Phú bình Thái Nguyên
Tiết 25-28
* Với a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác ta cần nhớ các tính chất sau:
• a,b,c là các số dương
• Tổng 2 cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại
• Tỉ số giữa 1 cạnh với 2 cạnh còn lại bé hơn 1
Ví dụ 14:Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .Chứng minh rằng :
cbabcaacbcba
111111
++≥
−+
+
−+
+
−+
Giải:
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0;
a + c - b > 0; b + c - a > 0
Áp dụng BĐT
0,;
411
>
+
≥+
ba

baba
ta được:
bbacbcba
2
2
411
=≥
−+
+
−+
,tươngtự:
cbacacb
211
≥
−+
+
−+
;
abaccba
211
≥
−+
+
−+
. Suy ra







++≥






−+
+
−+
+
−+ cbabcaacbcba
111
2
111
2
hay
cbabcaacbcba
111111
++≥
−+
+
−+
+
−+
.(ĐPCM)
Ví dụ 15:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng :
2
<

+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
.
Giải:
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c
⇒

cba
ca
cb
a
cb
a
++
+
<
+
⇒<
+
1
tương tự

cba
a
cb
a
cb
a
++
<
+
⇒<
+
2
1
;
cba
b
ca
b
++
<
+
2
;
cba
c
ba
c
++
<
+

2
.
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM.
BÀI TẬP:
50. Chứng minh rằng :
(a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c)
≤
abc.Với a,b,c là 3 cạnh tam giác
51. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng
( )
cbacba
++<++
2
222
52. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng

3
≥
−+
+
−+
+
−+
cba
c
bca
b
acb
a
53. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác .

Chứng minh rằng
cacbba
+++
1
,
1
,
1
cũng là 3 cạnh của 1 tam giác
==========o0o==========
Năm học 2009 - 2010
Nguyễn Đức Nghị Trường THCS Lương Phú – Phú bình Thái Nguyên
HƯỚNG DẪN :
50. Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên (a + b -c) > 0. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ;
z = b + c - a. Áp dụng bài tập 28 ta có ĐPCM. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b =
c.Hay tam giác đã cho là tam giác đều.
51. Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c
⇒
acaba
+<
2
tương tự
abbcb
+<
2
;
acbcc
+<
2
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM

52. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a. Suy ra :
6
≥
+
+
+
+
+
y
zx
x
zy
z
yx
53. Ta cần chứng minh
bacbca
+
>
+
+
+
111
;
cbcaba
+
>
+
+
+
111

;
cacbba
+
>
+
+
+
111
.
Dựa vào tính chất tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còn lại ,chứng minh :
bacbca
+
>
+
+
+
111
bằng
cách làm trội 2 lần liên tiếp.Tương tự :
cbcaba
+
>
+
+
+
111
;
cacbba
+
>

+
+
+
111
=========o0o==========
Năm học 2009 - 2010
Nguyễn Đức Nghị Trường THCS Lương Phú – Phú bình Thái Nguyên
Tiết 29-32
Ví dụ 14:Cho
2
22
≤+
ba
. Chứng minh rằng
2
≤+
ba
Giải:
Giả sử :
2
>+
ba

( )
42
22
2
>++=+⇒
abbaba
mặt khác:

( ) ( )
24222
22222222
>+⇒>+⇒+≤++
bababaabba
.
Điều này trái với giả thiết
2
22
≤+
ba
.Vậy
2
≤+
ba
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Ví dụ 15: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các BĐT sau là
sai:
a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) > 1
Giải: Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có: a(2 - a). b(2 - b). c(2 - c) >
1.
Nhưng a(2 - a) = 1 - (a
2
- 2a + 1)
≤
1; tương tự:
b(2 - b)
≤
1: c(2 - c)

≤
1. Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ít nhất một trong ba BĐT
trên là sai.
Bài tập áp dụng
54. Cho a + b + c > 0. abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0
55. Cho 3 số dương a , b,c .Chứng minh một trong 3 BĐT sau là sai:

2
1
<+
b
a
.;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
56. Chứng minh không có các số dương a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau:
4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1
57. Chứng minh không có các số a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau:
;acb
>−

;bac
>−

;cba
>−
58. Cho ba số dương x,y,z và xyz = 1.Chứng minh nếu:
zyx
zyx
111
++>++
thì có một và chỉ một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.
59. Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh không thể đồng thời xảy ra các BĐT sau:
a + b < c + d ; (a + b)(c + d) < ab + cd; (a + b)cd < (c + d)ab
HƯỚNG DẪN :
54. Giả sử
0
≤
a
*Nếu a = 0 Suy ra abc = 0 vô lí
*Nếu a < 0 Suy ra b + c > 0. Do abc > 0
⇒
bc < 0

⇒
ab + bc + ca < 0.Chứng minh tương tự với b,c.
55. Giả sử
2
1
<+
b

a
.;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Thì
6
111
<+++++
a
c
c
b
b
a
.Điều này không đúng.
56. Giả sử: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1
Thì : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > 1 (*) và (1 - a) > 0; (1 - b) > 0:
(1 - c) > 0
Nhưng 4a(1 - a)
≤
1; 4b(1 - b)

≤
1; 4c(1 - c)
≤
1
Khi đó: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c)
≤
1(**)
(*) mâu thuẫn với (**)
57. Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Ta có từ
•
;acb
>−

( ) ( ) ( )( )
00
2
2
2
2
>−−+−⇔>−−⇔>−⇔
acbacbacbacb
•
;bac
>−
( ) ( ) ( )( )
00
2
2
2
2

>−−+−⇔>−−⇔>−⇔
bacbacbacbac
•
;cba
>−
( ) ( ) ( )( )
00
2
2
2
2
>−−+−⇔>−−⇔>−⇔
cbacbacbacba
Nhân theo vế 3 BĐT này ta suy điều vô lý
Năm học 2009 - 2010