SKKN "Sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khác phục"

Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
MỤC LỤC
Trang
A. Phần mở đầu 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Phạm vi nghiên cứu 2
3. Đối tượng nghiên cứu 2
4. Mục tiêu nghiên cứu 2
B. Phần nội dung 3
1. Cơ sở khoa học đề xuất SKKN 3
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 4
3. Giải pháp thực hiện 5
4. Nội dung cụ thể 6
4.1. Những kiến thức liên quan 6
4.1.1. Nguyên hàm 6
4.1.2. Phương pháp tính nguyên hàm 7
4.2. Tích phân 8
4.2.1. Định nghĩa tích phân 8
4.2.2. Tính chất của tích phân 8
4.2.3. Phương pháp tính tích phân 8
4.3. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc
phục 9
4.3.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm 9
4.3.2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản 10
4.4. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục 10
4.4.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải 10
4.4.1.1. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm 10
4.4.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 11
4.4.1.3. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân 12
4.4.1.4. Sai lầm khi đổi biến số 13
4.4.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải 14

4.4.2.1. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số 14
4.4.2.2. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số 15
5. Kết quả 17
C. Kết luận và kiến nghị 18
1. Kết luận 18
2. Đề xuất và kiến nghị 19
Tài liệu tham khảo 20
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 1
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
Đề tài:
“CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC”
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và
các phép biến đổi. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có
phân môn: Giải tích toán học hay còn gọi là Giải tích. Giải tích là ngành toán
học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân
Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên
cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như
trong Đại số.
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng và của
Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của
giải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, lý
thuyết về hàm số. Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các
ngành khoa học khác như Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Nó như là một giải
pháp hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể. Học sinh lớp 12 khi ôn thi tốt
nghiệp, đại học, cao đẳng thường gặp khó khăn khi giải các bài tập trong chuyên
đề này. Những người mới học và làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư
tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý

thuyết vào việc giải các bài toán cụ thể.
Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó
là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của
tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần
mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên
hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong
phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương
đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những
sai lầm dẫn đến lời giải sai. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 2
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ đó giúp
học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyên
hàm – tích phân nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói
chung. Tôi vui lòng giới thiệu đến các đồng nghiệp và những người yêu Toán
sáng kiến kinh nghiệm: “Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích
phân và cách khắc phục”.
2. Phạm vi nghiên cứu
Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm
trong quá trình tính toán trong chương III – Giải tích 12.
3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 12A2 và 12A8 – Trường THPT Kiên Lương
4. Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt
được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong
quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối
ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương
trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc
giải các bài toán Tích phân. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến

thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
Mặc dù đã tham khảo một lượng lớn các tài liệu tham khảo hiện nay để
vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm nhưng vì năng lực và thời
gian có hạn rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để sáng kiến kinh
nghiệm này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường, góp phần nâng cao hơn
nữa chất lượng bộ môn Toán của trường phổ thông. Giúp các em tránh những
sai lằm thường gặp trong giải toán nguyên hàm – tích phân trong các kỳ thi tốt
nghiệp, đại học – cao đẳng.
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 3
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
B. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở khoa học đề xuất SKKN
Chương trình toán Trung học phổ thông đã cung cấp cho học sinh
tương đối đầy đủ những kiến thức căn bản về tích phân và các ứng dụng
của tích phân. Tuy nhiên phần thời gian luyện tập tích phân theo phân phối
chương trình quá ngắn do đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều,
mặt khác theo chủ chương giảm tải SGK và SBT chỉ cung cấp một số lượng
ít các ví dụ, bài tập về nguyên hàm và tích phân trong khi các đề thi vào Đại
học, CĐ lại rất phong phú, đa dạng và hóc búa. Do vậy học sinh trung bình,
yếu, kém thì hoang mang khi gặp bài toán tính Tích phân dù là cơ bản, học
sinh khá, giỏi thì lo lắng khi gặp bài Tích phân nâng cao, tâm lí đó dẫn tới
các em bế tắc hoặc mắc sai lầm khi giải toán.
Năm học 2012 – 2013, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12A2 và 12A8
của trường THPT Kiên Lương, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc
mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính nguyên hàm – tích phân.
Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn
ở các lớp khác của đồng nghiệp.
G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những
thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận
ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri

thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự;
bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và
tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình
thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào
các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa
phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Các kiến thức căn
bản về biến đổi đại số, học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em
có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù
các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng
sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 4
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải,
tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy
kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân
tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai
sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi
sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất
khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động
tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời
giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em
hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh
nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh
dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận
dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho
các em tìm kiếm lời giải.
Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó
là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Ở lớp 12A2 tôi nhận
nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộ phận học
sinh trung bình, yếu nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải

phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em
diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với
tính chất hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt,
môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội
dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề
tài này.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”
2.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như:
- Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân;
- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;
- Đổi biến số nhưng không đổi cận;
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 5
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
- Khi đổi biến không tính vi phân;
- Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục.
2.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như:
- Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Newtơn-
Leibnitz;
- Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và
có đạo hàm liên tục trên [a; b];
- Không nắm vững phương pháp đổi biến số;
- Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm
được giá trị chính xác)…;
- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần.
3. Giải pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực
hiện một số giải pháp như sau:
3.1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được

bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó;
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa,
định lí;
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống
và khác nhau giữa chúng;
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
3.2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ;
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề;
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3.3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế;
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh;
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 6
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng
sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn
sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử
kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp
tới bài giảng. (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang
cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay).
3.4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng
– phân tích – tổng hợp – đánh giá;
- Giáo viên đánh giá học sinh;
- Học sinh đánh giá học sinh.
3.5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với
từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải
khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học,
tự làm bài tập.

3.6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản;
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải;
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao;
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết
quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
4. Nội dung cụ thể
4.1. Những kiến thức liên quan
4.1.1. Nguyên hàm
4.1.1.1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn
hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên
K nếu
( ) ( )
F' x f x=
với mọi x thuộc K.
4.1.1.2. Định lí:
* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi
hằng số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 7
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
* Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì
mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số.
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là
( )
f x dx
∫
.
Khi đó:
( ) ( )
f x dx F x C

= +
∫
(C: hằng số)
4.1.1.3. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
( ) ( )
f ' x dx f x C= +
∫
Tính chất 2:
( ) ( )
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
(k là hằng số khác 0)
Tính chất 3:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
 
± = ±
 
∫ ∫ ∫
4.1.1.4. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
4.1.1.5. Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp
1
x
x dx C
1
α+
α
= +

α +
∫
1
1 (ax b)
(ax b) dx C
a 1
α+
α
+
+ = +
α +
∫
1
dx ln x C
x
= +
∫
1 1
dx ln ax b C
ax b a
= + +
+
∫
x x
e dx e C
= +
∫
ax b ax b
1
e dx e C

a
+ +
= +
∫
x
x
a
a dx C
lna
= +
∫
mx n
mx n
1 a
a dx C
m lna
+
+
= +
∫
cosx.dx sinx C= +
∫
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
+ = + +
∫
sinx.dx cosx C= − +
∫
1

sin(ax b)dx cos(ax b) C
a
+ = − + +
∫
2
2
1
.dx (1 tan x)dx tanx C
cos x
= + = +
∫ ∫
2
1 1
dx tan(ax b) C
cos (ax b) a
= + +
+
∫
2
2
1
.dx (1 cot x)dx cot x C
sin x
= + = − +
∫ ∫
2
1 1
dx cot x C
sin (ax b) a
= − +

+
∫
4.1.2. Phương pháp tính nguyên hàm
4.1.2.1. Phương pháp đổi biến số
Định lí: Nếu
( ) ( )
f t dt F t C= +
∫
và
( )
t u x=
là hàm số có đạo hàm liên
tục thì
( )
( )
( ) ( )
( )
f u x .u' x dx F u x C
= +
∫
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 8
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
4.1.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí: Nếu hai hàm số
( )
u u x=
và
( )
v v x=
có đạo hàm liên tục trên K

thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x .v' x dx u x .v x u' x .v x dx= −
∫ ∫
Hay viết gọn là
udv uv vdu
= −
∫ ∫
4.2. Tích phân
4.2.1. Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích
phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x),
kí hiệu là
( )
b
a
f x dx
∫
Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
(Công thức Newton – Leibnitz)
4.2.2. Tính chất của tích phân

Tính chất 1:
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
(k là hằng số)
Tính chất 2:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
 
± = ±
 ∫ ∫ ∫
Tính chất 3:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
với
a c b
< <
4.2.3. Phương pháp tính tích phân
4.2.3.1. Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số
( )
f x
liên tục trên

[ ]
a; b
. Giả sử hàm số
( )
x t= ϕ
có đạm hàm
liên tục trên
[ ]
;α β
sao cho
( )
a = ϕ α
,
( )
b = ϕ β
và
( )
a t b≤ ϕ ≤
với mọi
[ ]
t ;∈ α β
Khi đó:
( ) ( )
( )
( )
b
a
f x dx f t . ' t .dt
β
α

= ϕ ϕ
∫ ∫
4.2.3.2. Phương pháp tích phân từng phần
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 9
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây
Định lý: Nếu
( )
u u x=
và
( )
v v x=
là hai hàm số có đạo hàm liên tục
trên
[ ]
a; b
thì
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
b b
b
a
a a
u x .v' x .dx u x .v x u' x .v x .dx= −
∫ ∫
Hay viết gọn là
b b
b
a

a a
u.dv uv vdu
= −
∫ ∫
4.3. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục
4.3.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
( ) (1 )
−
= − +
x
F x x e
là một nguyên hàm của hàm
( )
−
=
x
f x xe
trên R. Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm
( ) ( 1) .
−
= −
x
g x x e
* Lời giải có sai lầm:
F’(x) = -e
- x
+ (1+x)e
- x
=f(x) với mọi x =>F(x) là một nguyên hàm của

hàm f(x) trên R.
( ) ( ) ( )
1 1
(1 ) .
− − − − −
− − −
   
= − = − = − + + − − +
   
= − + + = −
∫ ∫ ∫ ∫
x x x x x
x x x
g x dx x e dx xe dx e dx x e C e C
x e e xe
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng:
( ) ( ) ( )
1 2
1 1
− − − − −
   
= − = − = − + + − − +
   
∫ ∫ ∫ ∫
x x x x x
g x dx x e dx xe dx e dx x e C e C
−
= − +
x

xe C
với C = C
1
– C
2
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
tan
∫
xdx
* Lời giải có sai lầm:
sin
tan
cos
= =
∫ ∫
x
I xdx dx
x
.
Đặt
2
1 sin
cos cos
sin cos
 
= =
 
⇒
 

 
= =
 
x
u du dx
x x
dv xdx v x
2
1 cos sinx
.cos 1 0 1
cos cos
⇒ = + = + ⇒ =
∫
x
I x dx I
x x
(Vô lý)
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 10
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
* Lời giải đúng:
( )
cos
sinx
tan ln cos
cosx cosx
= = = − = − +
∫ ∫ ∫
d x
I xdx dx x C

Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 11
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
4.3.2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 3. Tính tích phân
( )
5
I 2x 1 dx
= +
∫
* Lời giải có sai lầm:
( )
( )
6
5
2x 1
I 2x 1 dx C
6
+
= + = +
∫
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Học sinh vận dụng công thức
n 1
n
x
x dx c
n 1
+
= +
+

∫
với n ≠ – 1
* Lời giải đúng:
Đặt 2x + 1 = t
( )
( )
6
6
5
5
2x 1
dt dt t
dt 2dx dx 2x 1 dx t C C
2 2 12 12
+
⇒ = ⇒ = ⇒ + = = + = +
∫ ∫
4.4. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục
4.4.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải
4.4.1.1. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm
Ví dụ 4. Tính tích phân
3
0
I x 1dx
= +
∫
* Lời giải có sai lầm:
( )
3
3 3

0
0 0
1 1
I x 1dx x 1.d x 1
2
2 x 1
= + = + + = =
+
∫ ∫
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên
quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ
bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên
hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
* Lời giải đúng:
( ) ( ) ( )
1
3
3 3
3
2
2
0
0 0
2 14
I x 1dx x 1 .d x 1 x 1
3 3
= + = + + = + =
∫ ∫
Ví dụ 5. Tính tích phân

( )
4
1
0
I 2x 1 dx
= −
∫
* Lời giải có sai lầm:
( )
( )
1
4
5
1
0
0
2x 1
2
I 2x 1 dx
5 5
−
= − = =
∫
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 12
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm
của hàm hợp, đã dùng
1
x
x dx C

1
α+
α
= +
α +
∫
thay vì
1
1 (ax b)
(ax b) dx C
a 1
α+
α
+
+ = +
α +
∫
* Lời giải đúng:
( )
( )
1
4
5
1
0
0
2x 1
1
I 2x 1 dx
2.5 5

−
= − = =
∫
(Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt
t 2x 1= −
)
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ
bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợi
tưng ứng với
u ax b
= +
. Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy
đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
2
2
I x 4dx
−
= +
∫
b)
7
3
1
I dx
x 3
=
−
∫

c)
( )
1
3
0
I 2x 1 dx= +
∫
d)
( )
2
2
1
1
I dx
2x 1
=
−
∫
e)
4
1
dx
I
1 3x
=
−
∫
f)
12
6

I cos 4x dx
6
π
π
π
 
= −
 ÷
 
∫
4.4.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân
Ví dụ 6. Tính tích phân
( )
1
2
3
dx
I
x 1
−
=
+
∫
* Lời giải có sai lầm :
( )
1
1
2
3
3

dx 1 1 1
I 1
x 1 2 2
x 1
−
−
− −
= = = − = −
+
+
∫
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
( )
2
1
y
x 1
=
+
không xác định tại
[ ]
x 1 3;1= − ∈ −
* Lời giải đúng: Hàm số
( )
2
1
y
x 1
=
+

không xác định tại
[ ]
x 1 3;1
= − ∈ −
suy ra hàm
không liên tục trên
[ ]
3;1−
, nên không sử dụng được công thức Newton –
Leinbitz như cách giải trên
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 13
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân. Giúp các em tạo
thói quen: Khi tính
b
a
f (x)dx
∫
cần chú ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục
trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính
tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại.
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
5
4
0
dx
I
(x 4)
=

−
∫
b)
3
1
2
2
2
J x(x 1) dx
−
= −
∫

c)
2
4
0
1
K dx
cos x
π
=
∫
d)
1
3 x 2
3
1
x .e x
L dx

x
−
− +
=
∫
4.4.1.3. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân
Ví dụ 7. Tính tích phân
1
x
0
I xe dx
−
=
∫
* Lời giải có sai lầm :
( )
1
1 1 1
2
1
x x x
0
0 0 0
0
x 1 1 e 1
I xe dx xdx. e dx . e . 1
2 2 e 2e
− − −
− −
 

= = = − = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm
của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần
* Lời giải đúng:
( )
1
1
1
x x x
0
0
0
1 e 2
I xe e dx e
e 2
− − −
− −
= − + = − =
∫
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và
tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích
phân từng phần
Cách làm: Biểu diễn
( )
f x dx
về dạng
u.dv u.v'dx=

- Chọn u sao cho du dễ tính
- Chọn dv sao cho dễ tính
v dv=
∫
- Áp dụng công thức
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
( )
0
1
I x ln x 2 dx
−
= +
∫
b)
( )
2
0
I 2x 1 sin xdx
π
= −
∫
c)
( )
2
2
0
I x x cos xdx
π
= −

∫
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 14
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
d)
( )
cos x
0
I x e sin xdx
π
= +
∫
e)
x
0
I e sin xdx
π
=
∫
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 15
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
4.4.1.4. Sai lầm khi đổi biến số
Ví dụ 8. Tính tích phân
1
2
0
I 1 x dx
= −
∫
* Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint
⇒

dx = costdt
1
1 1 1
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin 2 1 1
1 sin .cos . os . . ( ) sin 2
2 2 4 2 4
+
⇒ = − = = = + = +
∫ ∫ ∫
c t t t
I t t dt c t dt dt
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận
* Lời giải đúng: Đặt x = sint
⇒
dx = cost.dt
Đổi cận:
x 0 t 0;x 1 t
2
π
= ⇒ = = ⇒ =
2 2 2
2
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin 2
1 sin .cos . os . . ( )

2 2 4 4
+
⇒ = − = = = + =
∫ ∫ ∫
c t t t
I t t dt c t dt dt
π π π
π
π
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bước tính tích phân
theo phương pháp đổi biến số (đổi biến và đổi cận). Khi gặp tích phân dạng
b
2 2
a
I c x dx
= −
∫
, nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách
đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t
Ví dụ 9. Tính tích phân
( )
1
5
0
dx
I
2x 1
=
+
∫

* Lời giải có sai lầm: Đặt x = 2x + 1
Đổi cận:
x 0 t 1;x 1 t 3
= ⇒ = = ⇒ =
3
3
4
5
1
1
20
4 81
−
⇒ = = =
−
∫
dt t
I
t
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: : Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên
không tính vi phân dt
* Lời giải đúng: Đặt
t 2x 1 dt 2dx= + ⇒ =
; Đổi cận:
x 0 t 1;x 1 t 3
= ⇒ = = ⇒ =
3
3
4
5

1
1
10
2 8 81
−
⇒ = = =
−
∫
dt t
I
t
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 16
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương
pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra
kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
2
2
0
I 4 x dx
= −
∫
b)
1
2
0
dx
I

1 x
=
+
∫
c)
2
5
0
I sin xdx
π
=
∫
d)
2
cos x
0
I sin x.e dx
π
=
∫
e)
( )
3
3
1
1
I . ln x dx
x
=
∫

f)
2
0
cosxdx
I
1 sin x
π
=
+
∫
Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi tính
tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường hợp những
em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học khá nhưng mắc
phải tính nóng vội, cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị
áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của
bản thân. Trong nhóm những sai lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về
tính toán và trình bày như tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong
biểu thức tích phân, viết cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phân…Để
khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo
viên cần giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên
trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài.
4.4.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải
4.4.2.1. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số
Ví dụ 10. Tính tích phân
2
2
0
I 4x 4x 1dx
= − +
∫

* Lời giải có sai lầm:
( ) ( )
( )
2
2
2 2 2
2
2
0 0 0
0
2x 1
I 4x 4x 1dx 2x 1 dx 2x 1 dx 2
4
−
= − + = − = − = =
∫ ∫ ∫
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử dụng phép biến đổi sai
( )
2
2x 1 2x 1− = −
với
[ ]
x 0; 4∈
thay vì dùng
( )
2
2x 1 2x 1− = −
với
[ ]
x 0; 4∈

* Lời giải đúng:
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 17
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
( ) ( ) ( )
1
2 2 2 2
2
2
2
1
0 0 0 0
2
1 9 5
I 4x 4x 1dx 2x 1 dx 2x 1dx 1 2x dx 2x 1 dx
4 4 2
= − + = − = − = − + − = + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ chứa
hàm số dạng:
( )
2n
2n
f x
 
 
thì dùng phép biến đổi
( ) ( )
2n
2n
f x f x

 
=
 
( n ≥ 1, n
nguyên).
Khi đó ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách
cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
0
I 1 sin 2xdx
π
= −
∫
b)
3
3 2
0
I x 2x xdx= − +
∫

c)
2
2
2
1
2
1
I x 2 dx
x

 
= + −
 ÷
 
∫
d)
3
2 2
6
I tg x cot g x 2dx
π
π
= + −
∫
4.4.2.2. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số
Ví dụ 11. Tính tích phân
1
3
4
2
0
x
I dx
1 x
=
−
∫
* Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint
⇒
dx = costdt .

Đổi cân:
1 1
x 0 t 0;x t arcsin
4 4
= ⇒ = = ⇒ =
1 1 1
arcsin arcsin arcsin
3 3
4 4 4
3
2
0 0 0
sin t sin t
I cost.dt cos t.dt sin t.dt
cos t
1 cos t
⇒ = = =
−
∫ ∫ ∫
Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì số lẻ, do đó các em không tìm
ra được đáp số.
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu
thức
2
1 x
−
thông thường ta đặt x = sint ( hoặc x = cost); nhưng đối với ví dụ 9,
nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận. Cụ thể khi x = 1/4 ta không
tìm chính xác được t
* Lời giải khác:

Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 18
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
Đặt t =
2 2 2
t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx xdx tdt
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
1 15
x 0 t 1;x t
4 4
= ⇒ = = ⇒ =
15 15
15
2 3
4 4
4
2
1 1
1
(1 t )( tdt) t 15 15 15 2 33 15 2
I (1 t )dt t
t 3 192 4 3 192 3
 
− − −
⇒ = = − − = − = − + = +
 ÷
 
∫ ∫
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức
2

1 x
−
, nếu cân của tích phân là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì ta mới
tính tích phân bằng cách đặt x =sint( hoặc x = cost) còn nếu không thì ta phải
tìm phương pháp khác
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
7
3
2
0
x
I dx
1 x
=
+
∫
b)
2
2
1
dx
I
x x 1
=
+
∫
Ví dụ 12. Tính tích phân I =
∫
+

π
0
sin1 x
dx
* Lời giải có sai lầm: Đặt t = tg
2
x
th× dx =
2
1
2
t
dt
+
;
xsin1
1
+
=
2
2
)1(
1
t
t
+
+
2
2
dx 2dt 2

2(t 1) dt C
1 sin x (1 t) t 1
−
⇒ = = + = − +
+ + +
∫ ∫ ∫

0
0
dx 2 2 2
I
x
1 sinx tg0 1
tg 1 tg 1
2 2
π
π
− −
⇒ = = = −
π
+ +
+ +
∫

do tg
2
π
không xác định nên tích phân trên không tồn tại
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Đạt t = tg
2

x
x
[ ]
π
;0∈
tại x =
π
thì tg
2
x
không
có nghĩa
* Lời giải đúng:
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 19
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
2
0 0 0
0
x
d
dx dx x
2 4
I tg tg tg 2
x
1 sinx 2 4 4 4
1 cos x cos
2 2 4
π
π π π
π

 
−
 ÷
π π −π
   
 
= = = = − = − =
 ÷  ÷
π π
+
   
   
+ − −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
0
dx
I
sinx
π
=
∫
b)
0
dx
I
1 cosx

π
=
+
∫
* Chú ý đối với học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt
( )
t u x=
phải
là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên
[ ]
ba;
.
Trên đây là một số sai lầm khá tinh vi mà học sinh mắc phải khi tính
tích phân, đó là những sai lầm khó phát hiện đối với các em học sinh.
Những sai lầm này phần lớn xuất phát từ sự thiếu chắc chắn về kiến thức
cộng với thói quen làm bài thường gặp những “tình huống thuận lợi” dẫn
tới tư tưởng chủ quan, nóng vội, cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình
huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm
soát nổi hành vi của bản thân. Để khắc phục những sai lầm đó, ngoài những
biện pháp đã nêu, người giáo viên vẫn cần phải giúp các em học sinh rèn
luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những
điểm yếu tâm lí khi làm bài. Giáo viên cũng nên tạo cho học sinh thói quen
“tự vấn”, “tự phản biện” khi làm bài để phát hiện và hạn chế tối đa các sai
lầm mắc phải.
5. Kết quả
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích
phân như đã nêu. Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải
những dạng toán tích phân. Trước kết quả thực tế của học sinh, bản thân tôi rất
trăn trở suy nghĩ: làm thế nào để học sinh đạt kết quả tốt khi giải loại toán này?
Tôi bắt đầu hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ

hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp
trên cơ sở tôi đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 20
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
trình suy luận, trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đến lời
giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài
tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề
thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm
trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải.
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012 – 2013. Đựơc phân tích kỹ,
chi tiết cho các đối tượng học sinh qua các tiết ôn tập, tự chọn, tăng tiết. Kết quả
bài kiểm tra 1 tiết chương III (nguyên hàm, tích phân, ứng dụng) trên các đối
tượng lớp 12A2 (42 học sinh) ; 12A8 (40 học sinh) như sau
Lớp Sĩ số
Xếp loại
Giỏi Khá Tbình Yếu
12A2 42 52,4% 9,5% 26,2% 11,9%
12A8 40 12,5% 10,0% 17,5% 60,0%
So sánh với kết quả kiểm tra của 3 lớp 12A3 (36 học sinh), 12D3 (38 học
sinh), 12D4 (40 học sinh) do tôi phụ trách trong năm học 2011 – 2012 như sau:
Lớp Sĩ số
Xếp loại
Giỏi Khá Tbình Yếu
12A3 36 13,9% 16,7% 33,3% 36,1%
12D3 38 7,9% 13,2% 15,8% 63,2%
12D4 40 12,5% 17,5% 35,0% 35,0%
Nhận thấy kết quả số học sinh khá, giỏi tăng lên nhiều và số học sinh đạt
điểm yếu, kém giảm đi rỏ rệt. Hy vọng các em sẽ có nhiều thành công hơn trong
các kỳ thi sắp tới.

Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc
biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu
bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó
là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
C. PHẦN KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây
- Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết
các vấn đề liên quan đến tính tích phân
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 21
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
- Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến Tích phân.
- Thiết kế cách thức dạy học các ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích
cực.
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi và hiệu quả
của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận
được.
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tại trường THPT với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán
Tích phân nói riêng Toán học nói chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất
hứng thú khi được giáo viên nêu và chỉ ra những sai lầm mà học sinh chưa hề
nghĩ đến.
Trong toán học, còn nhiều dạng toán mà học sinh rất hay mắc sai lầm
trong khi giải quyết nó. Tôi hy vọng có điều kiện để trình bày các vấn đề này
trong những năm học tiếp theo.
2. Đề xuất – Kiến nghị
Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một

sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường
cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh
được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh
được những sai lầm đó trong khi làm bài tập.
Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có
thể không tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng
nghiệp cũng bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.
Kiên Lương, ngày 10 tháng 4 năm 2013
Người viết sáng kiến
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 22
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
Hồ Tuấn Thoại
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 23
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuẩn kiến thức kỹ năng toán 12
(Nhà xuất bản giáo dục)
2. Sách giáo khoa Giải tích 12
(Nhà xuất bản giáo dục)
3. Sách Bài tập Giải tích 12
(Nhà xuất bản giáo dục)
4. Sách giáo khoa giải tích 12 Nâng cao
(Nhà xuất bản giáo dục)
5. Sách Bài tập Giải tích 12 Nâng cao
(Nhà xuất bản giáo dục)
6. Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp
( Nguyễn Cam – NXB Trẻ )
7. Phương pháp giải toán Tích phân
(Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005)
8. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán

(Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004)
9. Sai lầm phổ biến khi giải toán
(Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh Quang – NXB Giáo
dục)
10. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 24