pt lượng giác ôn thi đại học

Từng ngày cuộc sống đi qua
Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng

1

Công thức lợng giác

Công thức cộng
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin
sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos
tan tan tan tan
tan tan
1 tan tan 1 tan tan
x y x y x y x y x y x y
x y x y y x x y x y y x
x y x y
x y x y
x y x y
+ = = +
+ = + =
+
+ = =
+

Công thức nhân đôi
2 2 2 2
2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
sin 2 2sin cos tan 2
1 tan
x x x x x
x
x x x x
x
= = =
= =



Công thức nhân ba
(
)
(
)
3
3
sin3 sin 1 2cos2 3sin 4sin
cos3 cos 2cos2 1 4 cos 3cos
x x x x x
x x x x x
= + =
= =

Công thức hạ bậc
2
cos2 1
cos
2
x
x

=

2
1 cos2
sin
2
x
x
+
=


Một số công thức khác
2 2 2 2
2 2
2
2 2
1 1
sin cos 1 tan 1 cot 1
cos sin
2tan 1 tan

sin 2 cos2
1 tan 1 tan
x x
x x
x x
x x
x x
+ = + = + =

= =
+ +


Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos sin sin 2sin cos
2 2 2 2
cos cos 2sin sin sin sin 2cos sin
2 2 2 2
x y x y x y x y
x y x y
x y x y x y x y
x y x y
+ +
+ = + =
+ +
= =


Nhận xét: Ta thấy các công thức nhân đôi
sin 2

x
,
cos2
x
,
tan 2
x
. Khá dễ nhớ, nhớ đợc
chúng ta có thể suy ra đợc các công thức:
(
)
sin
x y
+
,
(
)
cos
x y
+
và
(
)
tan
x y
+
từ đó ta suy
ra các công thức cộng còn lại.
Vậy làm thế nào để nhớ đợc
sin3

x
và
cos3
x
? Ta chỉ cần nhớ
(
)
sin3 sin 1 2cos2
x x x
= +
, từ đó suy ra
3
sin3 3sin 4sin
x x x
=
và
3
cos3 4 cos 3cos
x x x
=

Và cuối cùng là công thức biến đổi tổng thành tích. Ta nhớ nh sau: "cos cộng cos
ra hai cos cos, cos trừ cos ra trừ hai sin sin, sin cộng sin ra hai sin cos, sin trừ sin ra hai
cos sin".
Từng ngày cuộc sống đi qua
Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng

2

Đờng tròn lợng giác và quan hệ giữa các cung



Nhận xét: Nhìn vào đờng tròn lợng giác ta suy ra đợc
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
sin cos , cos sin , tan cot , cot tan
2 2 2 2
sin sin , cos cos , tan tan , cot cot
sin 2 sin , cos 2 cos , tan 2 tan , cot 2 cot
x x x x x x x x
x x x x x x x x
k x x k x x k x x k x x






= = = =






= = = =
+ = + = + = + =
(

)
(
)
(
)
(
)
sin sin , cos cos , tan tan , cot cot
x x x x x x x x
= = = =


Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng
2
4 4
sin 2
1. sin cos 1
2
x
x x+ =

2
6 6
3sin 2
2. sin cos 1
4
x
x x+ =

3. sin cos 2 sin
4
x x x




+ = +







4. sin cos 2 sin
4
x x x




=

3
5. sin3 3sin 4sin
x x x
=

(
)
(
)
2 2
6. sin sin sin sin
x y x y x y
= +

cos3
7. cos cos cos
3 3 4
x
x x x




+ =

sin3
8. sin sin sin
3 3 4
x
x x x




+ =







Từng ngày cuộc sống đi qua
Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng

3

9. tan tan tan tan3
3 3
x x x x

+ =







1 sin 2 cos2
10. tan
1 sin 2 cos2
x x
x
x x
+
=
+ +

(
)
(
)
sin
tan tan
11.
tan tan sin
x y
x y
x y x y
+

+
=


3
12. sin 20 sin 40 sin60 sin80
16
o o o o
=

sin sin3 sin(2 1)
13. tan
cos cos3 cos(2 1)
a a n a
na
a a n a
+ + +
=
+ + +

1
( 1)
sin sin
2 2
14. sin
sin
2
n
k
na n a

ka
a
=
+
=


( 1)
sin cos
2 2
15. cos cos2 cos3 cos
sin
2
na n a
a a a na
a
+
+ + + + =

Các dạng phơng trình lợng giác



Phơng trình lợng giác cơ bản


Phơng trình bậc nhất của
sin
x
và

cos
x



Phơng trình đẳng cấp của
sin
x
và
cos
x



Phơng trình đối xứng của
sin
x
và
cos
x


Hàm số lợng giác

Tập xác định Tập giá trị Tính chẵn - lẻ

sin
x

[
]
1;1


lẻ
cos
x



[
]
1;1


chẵn
tan
x

\
2
k k





+

Z



lẻ
cot
x

{
}
\ k k



Z



lẻ

Phơng trình lợng giác cơ bản
1.
2
sin
2

x k
x m
x k



= +

=

= +

(
)
k


trong đó
; : sin
2 2
m




=

2.
2
cos
2
x k
x m
x k



= +

=

= +

(
)
k


trong đó
[
]
0; : cos
m

=

(Phơng trình 1 và 2 cần điều kiện

1
m

)

3.
tan
x m x k

= = +
(
)
k


trong đó
[ ]
0; \ : tan
2
m





=

Từng ngày cuộc sống đi qua
Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng

4

4.
cot
x m x k

= = +
(
)
k


trong đó
{ }
; \ 0 : cot
2 2
m




=

Phơng trình bậc nhất của
cos
x
và
sin
x

` Dạng:
sin cos
a x b x c
+ =
(*) với
2 2
0
a b
+

Cách giải:
Ta có
( )
2 2 2 2 2 2
* sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
(1)
Vì

2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b





+ =






+ +
nên
[ ]
2 2
2 2
cos
0; :
sin
a
a b
b
a b

=


+






=



+


.
Khi đó (1) trở thành
( )
2 2 2 2
cos sin sin cos sin
c c
x x x
a b a b

+ = + =
+ +
(2).

Câu hỏi: Giải tiếp phơng trình trên a) nếu
2 2
1
c
a b
>
+
b) Nếu
2 2
1
c
a b

+


Phơng trình đẳng cấp của
cos
x
và
sin
x

Một số dạng thờng gặp
Dạng 1:
2 2

sin sin cos cos 0
a x b x x c x d
+ + + =

Dạng 2:
3 2 2
sin sin cos cos sin sin cos 0
a x b x x c x x d x e x
+ + + + =




Cách giải:
Bớc 1: Kiểm tra xem
2
2
x k


= +
(ứng với
cos 0
x
=
) có là nghiệm của phơng
trình
(
)
sin ,cos 0

P x x
=
hay không.
Bớc 2: Chia hai vế của phơng trình
(
)
sin ,cos 0
P x x
=
cho
cos
k
x
với
deg
k P
=
, đặt
sin
cos
x
t
x
=
ta đợc một phơng trình đại số, giải phơng trình đó để tìm
t
rồi tìm
x
.

Phơng trình đối xứng của
cos
x
và
sin
x

Dạng thờng gặp:
(
)
sin cos sin cos
a x x b x x c
+ + =
(1)
Cách giải

Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x




= + = +

(
)
2
t suy ra
2
1
sin cos
2
t
x x

= , khi đó (1) trở
thành
(
)
2
1
0
2
b t
at c

+ =
, giải phơng trình này tìm tìm
t
rồi tìm
x
.

Từng ngày cuộc sống đi qua
Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng

5

Một số phơng pháp giải



Đa về phơng trình cơ bản


Đặt ẩn phụ


Đặt thừa số chung đa về phơng trình tích

Đa về phơng trình cơ bản
Lu ý:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin 3 cos 2sin 2cos
3 6
3 sin cos 2sin 2cos
6 3
x x x x
x x x x
x x x x

+ = + =









+ = + =









+ = + =

và một số công thức lợng giác đã học nh công thức cộng, biến đổi tổng thành tích,

VD1: Giải phơng trình
sin3 3 cos3 2sin2
x x x
=
(1)
Giải: Ta có
( )
1 3
1 sin3 cos3 sin2 sin 3 sin 2
2 2 3
x x x x x




= =







( ) ( )

2 3 2 2
3 3
4 4 2
2 3 2
3 15 5
x x k x k
k k
k
x x k x






= + =




= + = +






VD2: Giải phơng trình
(
)

3
sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
+ + = +
(2)
Giải: Ta có
( ) ( )
1 3 1
2 sin sin sin 3 3 cos3 2cos4 sin sin3
2 2 2
x x x x x x x



+ + + = +







( )
4 3 2
1 3
6
sin3 cos3 cos4 cos 3 cos4
2 2 6
4 3 2
6

x x k
x x x x x k
x x k







= +




+ = =








= +

( )
2
2
6
2 ,
6 42 72
42 7
x k
k
k S k k
k
x







= +




= + +

= +






VD3: Giải phơng trình
1
cos cos2 cos4 cos8
16
x x x x =
(3)
Giải: Với
(
)
x k k

=

, ta có
1
cos cos2 cos4 cos8 1
16
x x x x =
nên
(
)
x k k

=

không là
nghiệm của (3)
Từng ngày cuộc sống đi qua
Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng

6

Với
(
)
x k k



hay
sin 0
x

ta có
(
)
3 16sin .cos cos2 cos4 cos8 sin
x x x x x x
=

8sin 2 cos2 cos4 cos8 sin 4sin 4 cos4 cos8 sin
x x x x x x x x x

= =

( )
( )
2
16 2
15
2sin8 cos8 sin sin16 sin
2 1
16 2
17
k
x
x x k
x x x x x k
k
x x k
x






=


= +

= =


+
= +


=




Đặt ẩn phụ
Đa về phơng trình chỉ chứa một hàm số lợng giác rồi đặt ẩn phụ
Lu ý:
2 2 4 4 2 6 6 2
2 2 3 3
2
2 2 2
1 3
sin cos 1, sin cos 1 sin 2 , sin cos 1 sin 2
2 4
cos2 1 2sin 2 cos 1, sin3 3sin 4sin , cos3 4 cos 3cos
2tan 1 tan 2tan 1
sin 2 , cos2 , tan 2 ,tan
4
1 tan 1 tan 1 tan
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x

x x x x
x x x

+ = + = + =
= = = =




= = = =






+ +
tan
1 tan
x
x
+

Ngoài ra đôi khi ta cần áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức biến
đổi tích thành tổng
Đặt ẩn phụ các biểu thức đối xứng, các biểu thức xuất hiện nhiều lần

VD1: Giải phơng trình:
6 6
2 2

sin cos 1
tan 2
4
cos sin
x x
x
x x
+
=

(1)
Giải:
( )
2
2
3
1 sin 2
sin2
4
1 3sin 2 sin 2 4 0
cos2 4cos2
x
x
x x
x x

= + =
(*)
Đặt
(

)
sin2 1
t x t
=
, ta đợc (*) trở thành
2
3 4 0 1
t t t
+ = =
(vì
1
t

)
Suy ra
( )
sin 2 1
4
x x k k

= = +



VD2: Giải phơng trình
sin tan 2
2
x
x
+ =

(2)
Giải: ĐKXĐ
cos 0
2
x

. Đặt
tan
2
x
t =
, khi đó
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
và (2) trở thành
(
)
(
)
2 2 3 2
2
2
2 2 1 2 1 2 3 2 0 1

1
t
t t t t t t t t t
t
+ = + + = + + = =
+

Do đó
( )
tan 1 2
2 2
x
x k k

= = +

(thỏa mãn ĐKXĐ)

VD3: Giải phơng trình
(
)
2
5sin 2 3 1 sin tan
x x x
=
(3)
Phân tích: Biến đổi
( )
(
)

(
)
(
)
(
)
2 2
2
2
2
1 sin sin 1 sin sin
sin
1 sin tan
1 sin 1 sin 1 sin
cos
x x x x
x
x x
x x x
x

= = =
+ +
khi
đó (3) trở thành phơng trình chỉ chứa
sin
x

Giải: ĐKXĐ
cos 0

x


Từng ngày cuộc sống đi qua
Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng

7

Ta có
( )
(
)
2
2
2
3 1 sin sin
3sin
3 5sin 2 5sin 2
1 sin
cos
x x
x
x x
x
x

= =
+

(
)
(
)
2 2
5sin 2 1 sin 3sin 2sin 3sin 2 0
x x x x x
+ = + =
(*)
Đặt
(
)
sin 1
t x t
=
, ta đợc (*) trở thành
2
1
2 3 2 0
2
t t t
+ = =
(vì
1
t

)
Suy ra
( )
2

1
6
sin
2 5
2
6
x k
x k
x k






= +

=


= +




(đều thỏa mãn ĐKXĐ)

VD4: Giải phơng trình
2 2
1 11 9

sin 2 .cos6 sin 3 .sin sin
2 2 2
x
x x x+ =
(4)
Giải: Hãy làm gọn phơng trình trớc !
Ta có
( ) ( ) ( )
11 9
4 2 1 cos4 cos6 2 1 cos6 2sin sin
2 2
x x
x x x + =


(
)
2 2cos4 cos6 cos cos10 2 cos2 cos10 cos cos10
x x x x x x x
= + =


2
cos2 cos 2 0 2cos cos 3 0
x x x x
+ = + =
(*)
Đặt
(
)

cos 1
t x t
=
ta đợc (*) trở thành
2
2 3 0 1
t t t
+ = =

Suy ra
(
)
cos 1 2x x k k

= =



đa về phơng trình tích


Có những bài toán đa về phơng trình tích vì ta phát hiện đợc nhân tử chung của các
hạng tử nhờ vào bảng sau

(
)
f x
Biểu thức chứa nhân tử
(
)

f x

sin
x

sin 2 ,sin3 ,cos2 ,tan ,tan2 ,tan3 ,
x x x x x x

cos
x

sin 2 ,sin3 ,cos2 ,cos3 ,tan2 ,cot ,cot3 ,
x x x x x x x

1 cos
x
+

2 2 2 2
cos ,cot ,sin ,tan
2 2
x x
x x

1 cos
x


2 2 2 2
sin ,tan ,sin ,tan

2 2
x x
x x

1 sin
x
+

2 2 2 2 2
cos ,cot ,sin ,cos ,tan
4 2 4 2
x x
x x x




+







1 sin
x


2 2 2 2 2

cos ,cot ,sin ,cos ,tan
4 2 4 2
x x
x x x




+







sin cos
x x
+

cos2 ,cot 2 ,1 sin2 ,1 tan ,1 cot ,tan cot
x x x x x x x
+ + +

sin cos
x x


cos2 ,cot 2 ,1 sin2 ,1 tan ,1 cot ,tan cot
x x x x x x x

Bạn đọc tự lí giải bảng trên để hiểu rõ hơn!

Từng ngày cuộc sống đi qua
Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng

8

VD1: Giải phơng trình
1 tan
1 sin 2
1 tan
x
x
x
+
= +

(1)
Giải: ĐKXĐ
tan 1
cos 0
x
x

Ta có
sin sin cos
1 tan 1
cos cos
x x x
x
x x
+
+ = + =
và
(
)
2
1 sin 2 sin cos
x x x
+ = +
. Do đó
( )
(
)
( ) ( )
(
)
2
sin cos 1

1 sin cos sin cos sin cos 0
cos 1 tan cos 1 tan
x x
x x x x x x
x x x x

+

= + + =





( )
1
sin cos sin cos 0
cos sin
x x x x
x x



+ =

2 2
sin cos 0
2 sin 0
2 sin 0
4
4
1
sin cos
cos2 1
cos sin 1cos sin
x x
x
x
x x
x
x xx x







+ =

+ =
+ =

















= +



=
=

( )
4
x k
k
x k





= +



=


. (Đều thỏa mãn ĐKXĐ)

VD2: Giải phơng trình
2
1 cos
tan
1 sin
x
x
x

+
=

(2)
Giải: ĐKXĐ
sin 1
cos 0
cos 0
x
x
x











Ta có
(
)
(
)
(
)
(

)
2 2
2
2 2
1 cos 1 cos
sin 1 cos
tan
1 sin 1 sin
cos 1 sin
x x
x x
x
x x
x x
+

= = =
+

nên
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1 cos 1 cos

1 cos 1 cos 1 cos
2 0 1 0
1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
x x
x
x x x x x
+

+ +


= =






+ +

(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
1 cos cos sin

cos 1 0
0 1 cos cos sin 0
1 sin 1 sin
cos sin 0
x x
x x
x x x x

+ +
+ =

= + + =

+
+ =


(
)
( )
cos 1
2 1
2 sin 0
4
4
x
x k
k
x
x k

=
= +








+ =


= +









(Đều thỏa mãn ĐKXĐ)

VD3: Giải phơng trình
9
cos2 3sin 2 5 2sin 3
4
x x x




+ + =






(3)
Giải: Do
( )
2
9
2 sin 2 sin sin cos , 1 sin 2 sin cos
4 4
x x x x x x x




+ = + = + + = +

và
(
)
(
)
2 2
cos2 cos sin cos sin cos sin
x x x x x x x
= = +
nên ta có
( ) ( )
3 cos2 3 sin 2 1 5 2 sin 0
4
x x x




+ + =

(do
9
sin sin
4 4
x x




+ = +






)
Từng ngày cuộc sống đi qua
Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng

9

(
)
(
)
(
)
(

)
2
sin cos cos sin 3 sin cos 5 sin cos 0
x x x x x x x x
+ + + + =

(
)
(
)
(
)
sin cos cos sin 3 sin cos 5 0
x x x x x x

+ + + =


(
)
(
)
sin cos 5 2cos 4sin 0
x x x x
+ =

( )
sin cos 0 2 sin 0
4 4
x x x x k k

+ = + = = +








(bạn đọc tự chúng minh phơng trình
5 2cos 4sin 0
x x
=
vô nghiệm)


Có những bài đa về phơng trình tích đợc nhờ các công thức lợng giác
VD4: Giải phơng trình
2
2sin 2 sin7 1 sin
x x x
+ =
(4)
Giải: Ta có
(

)
(
)
2
4 sin 2 1 sin7 sin 0
x x x
+ =


(
)
cos4 2cos4 .sin3 0 cos4 2sin3 1 0
x x x x x
+ = =


cos4 0
x
=
hoặc
1
sin3
2
x
=


(
)
2 1

8
k
x

+
=
hoặc
2
18 3
k
x

= +
hoặc
5 2
18 3
k
x

= +
.

Bài tập
Bài 1: Đa về phơng trình cơ bản
1. 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0
x x x x
=

sin 2 cos2
2. tan cot

cos sin
x x
x x
x x
+ =

2
3. sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x



+ + =







4. sin 4 sin 7 cos3 cos6
x x x x
=

(
)
(
)

(
)
1 2sin cos
5. 3
1 2sin 1 sin
x x
x x

=
+

2
6. 1 tan 2tan tan2
x x x
=

7. tan cot 2(sin 2 cos2 )
x x x x
+ = +

2
8. 3 sin 2 2cos 2 2 2cos2
x x x
= +

(
)
2
1
9. 1 4sin sin3

2
x x
=

( )
1 sin cos2 sin
1
4
10. cos
1 tan
2
x x x
x
x




+ + +





=
+



Bài 2: Phơng pháp đặt ẩn phụ.

3sin 2 2sin
1. 2
sin 2 cos
x x
x x

=

2. cos3 cos2 cos 1 0
x x x
+ =

3. sin3 2cos2 2 0
x x
+ =

4. cot 3 tan 2cot 2 3
x x x
+ + + =

3 3
3
5. 1 sin 2 cos 2 sin4
2
x x x
+ + =

2
6. cot tan 4sin 2
sin 2

x x x
x
+ =

6 6 4 4
5
7. sin cos (sin cos )
6
x x x x
+ = +

1
8. cot 2 tan 2 2tan 2
x x x
+
= +

Tõng ngµy cuéc sèng ®i qua
Xin c©y ®¹o ®øc në hoa trong lßng

10
(
)
2 2 3
9. sin cos2 cos tan 1 2sin 0
x x x x x
+ − + =
4 4
4
sin 2 cos 2

10. cos 4
tan tan
4 4
x x
x
x x
π π
+
=
   
 
 
− +
 
 
 
 
   

4 4
3
11. cos sin cos sin 3
4 4 2
x x x x
π π
   
 
 
+ + − − =
 

 
 
 
 
   

12. cot sin 1 tan .tan 4
2
x
x x x
 


+ + =





 



Bµi 3: §−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch
1) 1 sin cos sin 2 cos2 0
x x x x
+ + + + =

3 2
2) 4sin 4sin 3sin 2 6cos 0

x x x x
+ + + =

2 2 3 3
3) tan tan sin cos 1 0
x x x x
− + − =

1 2(cos sin )
4)
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −

3sin 3tan
5) 2 2cos
tan sin
x x
x
x x
+
= +
−

2 2
7
6) sin cos4 sin 2 4sin

4 2 2
x
x x x
π
 


− = − −





 

7) 2sin cot 2sin 2 1
x x x
+ = +

2
1
8) sin sin2 1 cos cos
2
x x x x
+ = + +

6 6 2
13
9) cos sin cos 2
8

x x x
− =

3
10) 8cos cos3
3
x x
π
 


+ =





 

1 tan
11) 1 sin 2
1 tan
x
x
x
−
= +
+

1 1

12) sin 2 sin 2cot 2
2sin sin2
x x x
x x
+ − − =

2
13) cos2 sin 1 2cos
2
x
x x+ + =

3 3 5 5
14) sin cos 2(sin cos )
x x x x
+ = +

2
1 cos
15) tan
cos
x
x
x
+
=

2 2 2
3
16) sin sin 2 sin 3

2
x x x
+ + =

8 8
10 10
sin cos 5
17) sin cos cos2
2 8
x x
x x x
+
= + +

18) tan tan 2 sin3 cos
x x x x
+ =

2 2 2
19) sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 


− − =






 

(
)
( )
2
cos cos 1
20) 2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+

3 3 2
21) cos sin 2sin 1
x x x
+ + =

sin2 2 cos sin 1
22) 0
tan 3
x x x
x
+ − −

=
+

(
)
(
)
23) 1 tan 1 sin2 1 tan
x x x
− + = +

1 1
24) 2 2 cos
4 sin cos
x
x x
π
 


+ + =





 

(
)

sin 2 sin 4 cos 2
25) 0
2sin 3
x x x
x
− + −
=
+

2
1 sin 2 cos2
26) 2 sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+

2 2 2 2
27) sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
− = −

2
28) sin 2 sin
4 4 2
x x
π π

   
 
 
− = − +
 
 
 
 
 
   

(
)
29) 2sin 1 cos2 sin 2 1 cos2
x x x x
+ + = +

2
30) tan cot 4 cos 2
x x x
= +

(
)
4 4
31) 4 sin cos cos4 sin2 0
x x x x
+ + + =

1 1 7

32) 4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 


+ = −





 
 


−




 

(
)
(
)
2 2
33) 1 sin cos 1 cos sin 1 sin2
x x x x x
+ + + = +

Từng ngày cuộc sống đi qua
Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng

11
(
)
(
)
34) 2cos 1 2sin cos sin2 sin
x x x x x
+ =

2 2
35) 2cos2 sin cos sin cos 2(sin cos )
x x x x x x x
+ + = +

2 3 4 2 3 4
36) sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
+ + + = + + +

Phơng trình lợng giác với tham số
Bài 1: Tìm
m
để các phơng trình sau có nghiệm
(
)
1. sin cos sin cos 1 0
x x m x x
+ + =

(
)
4
4
2. sin 1 sin
x x m
+ =

6 6
sin cos
3.
tan tan
4 4
x x
m
x x

+

=



+






2
2
4 2
4. 9 cos 3cos 5
cos
cos
x m x
x
x



+ = +

2 2
5. 6sin sin .cos cos 2
x m x x x m
+ = +

6. cos .sin 2 .cos4
x x x m
=


Bài 2: Cho phơng trình
(
)
(
)
2
2sin 1 2cos2 2sin 3 4cos
x x x m x
+ + =
. Với m nào thì
phơng trình có đúng hai nghiệm thuộc
[
]
0;

.
Bài 3: Giải và biện luận phơng trình
2
cos 2 sin 0

6
x m x




+ =






trên
[
]
0;2


Bài 4: Cho phơng trình
( )
2sin cos 1
1
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
+

(
a
là tham số). Tìm
a
để phơng trình
(1) có nghiệm