tài liệu ôn thi tuyển sinh 10

Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
STT
Phần I: đại số
Số tiết
1
Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán
2
Chủ đề 2: Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho
tr ớc.
3
Chủ đề 3: Hàm số và đồ thị y = ax + b (a

0)
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa các đờng thẳng chùm đờng thẳng
4
Chủ đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy)
Dạng 2: Toán làm chung làn riêng (toán vòi n ớc)
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm
Dạng 4: Toán có nội dung hình học
Dạng 5: Toán về tìm số
5
Chủ đề 5: Hàm số và đồ thị y = ax

2
(a

0)
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax
2
(a

0)
Dạng 2: Caực baứi toaựn lieõn quan ủeỏn haứm soỏ y = ax
2

Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol
6
Chủ đề 6: Phơng trình bậc hai và định lí Viét
Dạng 1: Giải phơng trình bậc ha
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ
nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép,
vô nghiệm
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả
mãn điều kiện cho trớc
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không
phụ thuộc tham số
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc ha
7

Chủ đề 7: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai.
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu
Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng.
Dạng 5: Phơng trình bậc cao
stt Phần II: Hình học Số tiết
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
1
Tµi liƯu phơ ®¹o líp 9 n¨m häc 2012 - 2013
1
Chđ ®Ị 1: HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng
D¹ng 1: Áp dơng hƯ thøc vỊ c¹nh vµ ®êng cao ®Ĩ t×m c¸c u tè trong tam gi¸c
vu«ng.
D¹ng 2: TÝnh ®ỵc tØ sè lỵng gi¸c cđa gãc nhän vµ rót gän biĨu thøc lỵng gi¸c
®¬n gi¶n.
D¹ng 3: Tõ mét tØ sè lỵng gi¸c bÊt kú t×m c¸c tØ sè lỵng gi¸c cßn l¹i.
D¹ng 4: Gi¶i tam gi¸c vu«ng bÊt kú khi cho c¸c u tè liªn quan
2
Chđ ®Ị 2: §ng trßn
D¹ng 1: Chøng minh c¸c ®iĨm cïng thng mét ®êng trßn
D¹ng 2: Gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y.
D¹ng 3: Gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn vÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a ®êng th¼ng vµ ®êng
trßn gi÷a ®– êng trßn víi ®êng trßn.
D¹ng 4: C¸c bµi to¸n vỊ tiÕp tun.
3
Chđ ®Ị 3: Gãc víi ®êng trßn
D¹ng 1: C¸c bµi to¸n vỊ gãc cđa ®êng trßn.
D¹ng 2: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp, chøng minh nhiỊu ®iĨm cïng n»m trªn
mét ®êng trßn.

D¹ng 3: C¸c bµi to¸n vỊ ®é dµi ®êng trßn, cung trßn DiƯn tÝch h×nh trßn, –
h×nh qu¹t trßn.
D¹ng 4: C¸c bµi to¸n vỊ ®êng trßn néi tiÕp, ngo¹i tiÕp tam gi¸c
4
Chđ ®Ị 4: H×nh häc kh«ng gian
D¹ng 1: C¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn diƯn tÝch sung quanh vµ thĨ tÝch h×nh trơ.
D¹ng 2: C¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn diƯn tÝch sung quanh vµ thĨ tÝch h×nh nãn,
h×nh nãn cơt
D¹ng 3: C¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn diƯn tÝch sung quanh vµ thĨ tÝch h×nh cÇu
Đông Thanh, ngày tháng năm 2012
GVBM
Phạm Ngọc Huyến
PhÇn I: ®¹i sè
Chđ ®Ị 1: C¨n thøc – BiÕn ®ỉi c¨n thøc.
D¹ng 1: T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ biĨu thøc cã chøa c¨n thøc cã nghÜa.
§iỊu kiƯn ®Ĩ
A
x¸c ®Þnh lµ
0≥A
Bµi 1: T×m x ®Ĩ c¸c biĨu thøc sau cã nghÜa.( T×m §KX§ cđa c¸c biĨu thøc sau).
Trêng THCS §«ng Thanh – GV: Ph¹m Ngäc Hun
2
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013


2 2
1) 3x 1 2) x 3 3) 5 2x 4) x 2
1 3 x
2
5) 6) x 3x 7 7) 2x 1 8)

7x 14 7x 2
+

+
+

Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Công thức biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
BA
BAC
B
B
BA
BA
BAB

=

=
=
=
)(
.4
.3
.2
.1
2

A
C

căn lấy thức biểucủa mẫu Khử
B
A
mẫu ở thức căn Trục
BA căn dấu trong vàosốthừa Đ a
A căn dấu ra ngoài sốthừa Đ a
2
Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn.
22
x
7
x e) ;
x25
x
5)(x d) ;
5
2
x c)
0);x (với
x
2
x b) ;
3
5
5
3
a)


>

Bài 2: Thực hiện phép tính.
33
3;
3
33
3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)
+++
++
++
++++
Bài 3: Thực hiện phép tính.
1027
1528625
c)
57
1
:)
31
515
21
714
b)
6
1
)
3
216

28
632
( a)
+
+


+





BBài 4: Thực hiện phép tính.
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )
+++
+++
++++a
Dạng 5: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức
21x
3x
P


=
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -

3
).
Bài 2: Xét biểu thức
1.
a
a2a
1aa
aa
A
2
+
+

+
+
=
a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
A
.
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 3: Cho biểu thức
x1
x
2x2
1
2x2
1
C

+
+


=
a) Rút gọn biểu thức C.
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
3
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
b) Tính giá trị của C với
9
4
x =
.
Bài 4: Cho biểu thức
222222
baa
b
:
ba
a
1
ba
a
M

+

=
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu
.
2
3
b
a
=
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 5: Xét biểu thức
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2

++
+



=
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
Q

+

+

+

=
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
Bài 7: Xét biểu thức
( )
yx
xyyx
:
yx
yx
yx
yx
H
2
33
+
+

=
a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H 0.
Bài 8: Xét biểu thức
.
1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A








+

+
+=
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
Bài 9: Xét biểu thức
.
x1
2x
2x
1x
2xx
39x3x
M


+
+
+

+
+
=
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên.

Bài 10: Xét biểu thức
.
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
P
+
+



+
+

=
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho
.
2
1
P =
Bài 11 :Cho biểu thức :
x
x
xx
xx
xx

xx
P
111 +
+
+
+



=
1/ Rút gọn biểu thức P :
2/ Tìm x để
2
9
=P
:
Bài tập về nhà:
Bài 1: So sánh (Chú ý:
BABA 0
a) 4 và
32
b) -
5
và -2 c)
6
2
1
và 6
2
1

Bài 2: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a)
53
; 2
6
;
29
; 4
2
b) 6
2
;
38
; 3
7
; 2
14
Bài 3: Rút gọn các biểu thức
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
4
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
a)
baab
abba

+ 1
:
b)

+
+
+
1
1
1
1
a
aa
a
aa
c)
12

1
:
1
11
+
+







+
aa
a
aaa
Bài 4: Xét biểu thức A =
2
2
:
11

+

+
+



a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Bài 5: Xét biểu thức B =
222222
:1
baa
b
ba
a
ba
a

+

với a > b >0
a) Rút gọn B b) Tìm giá trị của B khi a = 3b
Chủ đề 2 Hệ phơng trình.
A - Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
áp dụng phơng pháp cộng đại số hoặc phơng pháp thế sao cho phù hợp
Dạng 1: Giải hệ ph ơng trình cơ bản và đ a đ ợc về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phơng trình

=
=
=
=+
=+
=+
=+
=+
=
=
=+
=
1815y10x
96y4x
6) ;
142y3x
35y2x
5) ;
142y5x
024y3x
4)
106y4x
53y2x
3) ;
53y6x
32y4x
2) ;
5y2x
42y3x
1)

Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )




















=
+
+
=
+

+

=+
+

+
=+
+=+
+=+
=+
=+
5
6y5x
103y-6x
8
3yx
2-5y7x
4) ;
7
5x6y
y
3
1x
2x
4
27y
5
3
5x-2y
3)

;
121x3y33y1x
543y4x42y3-2x
2) ;
4xy5y54x
6xy32y23x
1)
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ: Giải các hệ phơng trình sau
2 1 3x 2 x 1 3y
3 4 7
x 2y y 2x x 1 y 4 x 1 y 2
1) ; 2) ; 3) ;
4 3 2x 5 2 5
1 9 4
x 2y y 2x x 1 y 4 x 1 y 2
+
+ = = + =
+ + + + +
= = =
+ + + + +







Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr ớc
Bài 1: a) Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
( )

( )



=++
=+
32m3nyx2m
nmy1n2mx
b) Định a và b biết phơng trình: ax
2
- 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x y = m ; x = y = 2m ; mx (m 1)y = 2m 1
b) mx + y = m
2
+ 1 ; (m + 2)x (3m + 5)y = m 5 ; (2 - m)x 2y = - m
2
+ 2m 2.
Bài 3: Cho hệ phơng trình
)
số thamlà (m
4myx
m104ymx



=+
=+
a) Giải hệ phơng trình khi m =
2

.
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
5
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x
2
y
2
đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tơng
tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đờng
thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 4: Cho hệ phơng trình:
( )



+=
=
5my2x
13mmyx1m
a) Giải và biện luận hệ theo m.
b) Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x
2
+ y
2

đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x
2
+ 2y = 0. (Hoặc: sao cho M (x ; y)
nằm trên parabol y = - 0,5x
2
).
e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên một đ-
ờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 5: Cho hệ phơng trình:



=
=+
12ymx
2myx
a) Giải hệ phơng trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x y đạt giá trị lớn nhất.
Chủ đề 3: Hàm số và đồ thị. y = ax + b
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: (Hớng dẫn:Hàm số bậc nhất y=ax+b. Xác định giao điểm với trục
tung, giao điểm với trục hoành)
a) y = 2x 5 ; b) y = - 0,5x + 3
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax
2
khi: ( Hớng dãn: Hàm số bậc hai y =ax
2

. Lập bảng giá trị tơng ứng
giữa x và y )
a) a = 2 ; b) a = - 1.
Dạng 2: Viết ph ơng trình đ ờng thẳng (Hớng dẫn:Giả sử đờng thẳng cần viết có phơng trình
y=ax+b. Thay x, y vào điều kiện đề bài cho tìm ra a vag b)
Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x 1/5.
c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d): y = -1/2x + 3.
d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dơng trục Ox một góc 30
0
.
e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng
f) (): y = 2x 3; (): y = 7 3x tại một điểm.
g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài).
Bài 2: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k 1)x + k 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y 5 = 0.
c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0.
d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1).
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Chủ đề 4: Giải bài toán bằng cách lập hệ ph ơng trình.
ph ơng trình
Ôn tập lại phơng pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Dạng 1: Chuyển động (trên đ ờng bộ, trên đ ờng sông có tính đến dòng n ớc chảy)
Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến
chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và thời
gian dự định đi lúc đầu.
Bài 2: Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc. Sau khi đợc
3

1

quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại. Tìm vận tốc dự định và
thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B trở về A.
Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng
vận tốc dòng nớc là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngợc bằng nhau.
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
6
Tµi liƯu phơ ®¹o líp 9 n¨m häc 2012 - 2013
Bµi 4: Mét can« xu«i mét khóc s«ng dµi 90 km råi ngỵc vỊ 36 km. BiÕt thêi gian xu«i dßng s«ng
nhiỊu h¬n thêi gian ngỵc dßng lµ 2 giê vµ vËn tèc khi xu«i dßng h¬n vËn tèc khi ngỵc dßng lµ 6 km/h.
Hái vËn tèc can« lóc xu«i vµ lóc ngỵc dßng.
D¹ng 2: To¸n lµm chung – lµn riªng (to¸n vßi n íc)
Bµi 1: Hai ngêi thỵ cïng lµm chung mét c«ng viƯc trong 7 giê 12 phót th× xong. NÕu ngêi thø nhÊt
lµm trong 5 giê vµ ngêi thø hai lµm trong 6 giê th× c¶ hai ngêi chØ lµm ®ỵc
4
3
c«ng viƯc. Hái mét ngêi
lµm c«ng viƯc ®ã trong mÊy giê th× xong?
Bµi 2: NÕu vßi A ch¶y 2 giê vµ vßi B ch¶y trong 3 giê th× ®ỵc
5
4
hå. NÕu vßi A ch¶y trong 3 giê vµ vßi
B ch¶y trong 1 giê 30 phót th× ®ỵc
2
1
hå. Hái nÕu ch¶y mét m×nh mçi vßi ch¶y trong bao l©u míi ®Çy
hå.
Bµi 3: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bĨ th× sau 6 giê ®Çy bĨ. NÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh cho ®Çy bĨ

th× vßi II cÇn nhiỊu thêi gian h¬n vßi I lµ 5 giê. TÝnh thêi gian mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bĨ?
D¹ng 3: To¸n liªn quan ®Õn tØ lƯ phÇn tr¨m.
Bµi 1: Trong th¸ng giªng hai tỉ s¶n xt ®ỵc 720 chi tiÕt m¸y. Trong th¸ng hai, tỉ I vỵt møc 15%, tỉ II
vỵt møc 12% nªn s¶n xt ®ỵc 819 chi tiÕt m¸y. TÝnh xem trong th¸ng giªng mçi tỉ s¶n xt ®ỵc bao
nhiªu chi tiÕt m¸y?.
Bµi 2: N¨m ngo¸i tỉng sè d©n cđa hai tØnh A vµ B lµ 4 triƯu ngêi. D©n sè tØnh A n¨m nay t¨ng 1,2%,
cßn tØnh B t¨ng 1,1%. Tỉng sè d©n cđa c¶ hai tØnh n¨m nay lµ 4 045 000 ngêi. TÝnh sè d©n cđa mçi tØnh
n¨m ngo¸i vµ n¨m nay?
D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc.
Bµi 1: Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 280 m. Ngêi ta lµm lèi ®i xung quanh vên (thc ®Êt
trong vên) réng 2 m. TÝnh kÝch thíc cđa vên, biÕt r»ng ®Êt cßn l¹i trong vên ®Ĩ trång trät lµ 4256 m
2
.
Bµi 2: Cho mét h×nh ch÷ nhËt. NÕu t¨ng chiỊu dµi lªn 10 m, t¨ng chiỊu réng lªn 5 m th× diƯn tÝch t¨ng
500 m
2
. NÕu gi¶m chiỊu dµi 15 m vµ gi¶m chiỊu réng 9 m th× diƯn tÝch gi¶m 600 m
2
. TÝnh chiỊu dµi,
chiỊu réng ban ®Çu.
Bµi 3: Cho mét tam gi¸c vu«ng. NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn 2 cm vµ 3 cm th× diƯn tÝch tam gi¸c
t¨ng 50 cm
2
. NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i 2 cm th× diƯn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm
2
. TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng.
D¹ng 5: To¸n vỊ t×m sè.
Bµi 1: T×m mét sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, tỉng c¸c ch÷ sè b»ng 11, nÕu ®ỉi chç hai ch÷ sè hµng chơc
vµ hµng ®¬n vÞ cho nhau th× sè ®ã t¨ng thªm 27 ®¬n vÞ.
Bµi 2: T×m mét sè cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã gÊp 7 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cđa nã vµ nÕu sè cÇn t×m

chia cho tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã th× ®ỵc th¬ng lµ 4 vµ sè d lµ 3.
Bµi 3: NÕu tư sè cđa mét ph©n sè ®ỵc t¨ng gÊp ®«i vµ mÉu sè thªm 8 th× gi¸ trÞ cđa ph©n sè b»ng
4
1
. NÕu
tư sè thªm 7 vµ mÉu sè t¨ng gÊp 3 th× gi¸ trÞ ph©n sè b»ng
24
5
. T×m ph©n sè ®ã.
Bµi 4: NÕu thªm 4 vµo tư vµ mÉu cđa mét ph©n sè th× gi¸ trÞ cđa ph©n sè gi¶m 1. NÕu bít 1 vµo c¶ tư vµ
mÉu, ph©n sè t¨ng
2
3
. T×m ph©n sè ®ã.
Bµi tËp vỊ nhµ
Bµi 1: Mét thun khëi hµnh tõ bÕn A. Sau 5
h
20 phót mét ca n« ch¹y tõ A ®i theo vµ kÞp thun t¹i
mét ®Þa ®iĨm c¸ch A 20 km. TÝnh vËn tèc cđa ca n«, biÕt r»ng ca n« ®i nhanh h¬n thun 12km/h.( coi
vËn tèc dßng níc lµ kh«ng ®¸ng kĨ).
Bµi 2: Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc trung b×nh 40km/h. Lóc ®Çu « t« ®i víi vËn tèc ®ã,
khi cßn 60 km n÷a th× ®ỵc mét nưa qu·ng ®êng AB, ngêi l¸i xe t¨ng thªm vËn 10 km/h trªn qu·ng ®êng
cßn l¹i, do ®ã « t« ®Õn B sím h¬n 1 giê so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®êng AB.
Bµi 3: Hai vËt chun ®éng trªn mét ®êng trßn cã ®êng kÝnh 20m, xt ph¸t cïng mét lóc tõ cïng mét
®iĨm. NÕu nã chun ®éng ngỵc chiỊu th× hai gi©y gỈp nhau. NÕu nã chun ®éng cïng chiỊu th× 10
gi©y l¹i gỈp nhau.TÝnh vËn tèc mçi vËt.
Bµi 4: Mét ca n« xu«i 42 km råi ngỵc dßng trë l¹i 20 km hÕt tỉng céng 5
h
. BiÕt vËn tèc dßng níc lµ 2
km/h. TÝnh vËn tèc ca n« khi níc yªn nỈng

Bµi 5: Mét vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 280 m. Ngêi ta lµm mét lèi ®i quanh vên (thc ®Êt cđa vên)
réng 2m, diƯn tÝch cßn l¹i ®Ĩ trång trät lµ 4256 m
2
. TÝnh kÝch thíc cđa vên.
Chđ ®Ị 5: Hµm sè vµ ®å thÞ. y = ax
2
D¹ng 1: VÏ ®å thÞ hµm sè y = ax
2
(a
≠
0)
Hãy vẽ đồ thò của các hàm số sau trên mặt pẳng tọa độ Oxy:
Trêng THCS §«ng Thanh – GV: Ph¹m Ngäc Hun
7
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
a/ y = x
2
b/ y = x
2
c/
2
1
2
y x=
d/
2
1
2
y x=
Dạng 2: Caực baứi toaựn lieõn quan ủeỏn haứm soỏ y = ax

2

Dạng 3: Vị trí t ơng đối giữa đ ờng thẳng và parabol
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm, có nghiệm kép của phơng trình hoành độ
Bài 1: a. Biết đồ thị hàm số y = ax
2
đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó.
b. Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B từ đó
suy ra phơng trình đờng thẳng AB.
Bài 2: Cho hàm số
2
x
2
1
y =
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 3: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
x
4
1
y =
và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 4: Cho hàm số
2
x

2
1
y =
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phơng trình đờng thẳng MN.
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và chỉ cắt (P)
tại một điểm.
Bài 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1).
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1).
3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2).
4) Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm






1;
2
3
C
và có hệ số góc m
a) Viết phơng trình của (d).
b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau.
Chủ đề 6: Phơng trình bậc hai và định lí Viét.
Dạng 1: Giải ph ơng trình bậc hai.
Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn sao cho phù hợp

Bài 1: Giải các phơng trình
1) x
2
6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x 7,5 = 0 ;
5) x
2
4x + 2 = 0 ; 6) x
2
2x 2 = 0 ;
7) x
2
+ 2
2
x + 4 = 3(x +
2
) ; 8) 2
3
x
2
+ x + 1 =
3
(x + 1) ;
Bài 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:

Sử dụng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0. Hoặc dùng tổng hai nghiệm, tích hai nghiệm
1) 3x
2
11x + 8 = 0 ; 2) 5x
2
17x + 12 = 0 ;
3) x
2
(1 +
3
)x +
3
= 0 ; 4) (1 -
2
)x
2
2(1 +
2
)x + 1 + 3
2
= 0 ;
5) 3x
2
19x 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) (
3
+ 1)x
2

+ 2
3
x +
3
- 1 = 0 ; 8) x
2
11x + 30 = 0 ;
9) x
2
12x + 27 = 0 ; 10) x
2
10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh ph ơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm của phơng trình bậc hai
Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x
2
2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;
3) x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x 4m 12 =
0 ;
5) x
2

(2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0 ; 6) x
2
2x (m 1)(m 3) = 0 ;
7) x
2
2mx m
2
1 = 0 ; 8) (m + 1)x
2
2(2m 1)x 3 + m = 0
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph ơng trình bậc hai nhờ nghiệm của ph ơng trình
bậc hai cho tr ớc.
áp dụng định lý Vi-et thuận về tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm
Sử dụng định lý Vi-et đảo về hai số có tổng là S và có tích là P
Bài 1: Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình: x
2
3x 7 = 0. Tính:
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
8
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
( )( )
4
2
4

1
3
2
3
1
1221
21
21
2
2
2
1
xxF xxE
x3xx3xD
1x
1
1x
1
C
xxB xxA
+=+=
++=

+

=
=+=
Bài 2: Gọi x
1
; x

2
là hai nghiệm của phơng trình: 5x
2
3x 1 = 0. Không giải phơng trình, tính giá
trị của các biểu thức sau:
2
x x x x
1 1
3 2 3 2
1 1 2 2
A 2x 3x x 2x 3x x B
1 1 2 2 1 2
x x 1 x x 1 x x
2 2 1 1 1 2
= + = + + +
+ +

ữ
ữ

Bài 3: Không giải phơng trình 3x
2
+ 5x 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
( )( )
2
x
2
2
x
1

x
2
1
x
D ;
2
x
1
xC
;
1
1
x
2
x
1
2
x
1
x
B ;
1
2x
2
3x
2
2x
1
3xA
+

+
+
==

+

==
Bài 4: Cho phơng trình 2x
2
4x 10 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải phơng trình hãy thiết lập
phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn: y
1
= 2x
1
x
2
; y
2
= 2x
2
x
1

Bài 5: Cho phơng trình 2x
2
3x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai
nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:












=
=
+=
+=
1
x

2
2
x
2
y
2
x
2
1
x
1
y
b)
2
2
x
2
y
2
1
x
1
y

a)
Bài 6: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x

2
. Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai
nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:












=+++
+=+
+=+
+=+
0.
2
5x
1
5x
2
2

y
2
1
y
2
2
x
2
1
x
2
y
1
y
b) ;
2
3x
1
3x
1
y
2
y
2
y
1
y
1
x
2

x
2
x
1
x
2
y
1
y
a)
Bài 7: Cho phơng trình 2x
2
+ 4ax a = 0 (a tham số, a 0) có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy lập phơng
trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
2
x
1
x
2
y
1
1

y
1
và
2
x
1
1
x
1
2
y
1
y
+=++=+
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.
Sử dụng điều kiện của đen ta khi phơng trình có 2 nghiệm, nghiệm kép và vô nghiệm
Bài 1: a) Cho phơng trình (m 1)x
2
+ 2(m 1)x m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phơng trình (2m 1)x
2
2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
a) Cho phơng trình: (m 1)x
2
2mx + m 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Cho phơng trình: (a 3)x

2
2(a 1)x + a 5 = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2: a. Cho phơng trình:
( )
06mm
1x
x12m2
12xx
4x
2
224
2
=+
+


++
.
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
b. Cho phơng trình: (m
2
+ m 2)(x
2
+ 4)
2
4(2m + 1)x(x
2
+ 4) + 16x
2

= 0.
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
9
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho tr ớc.
Sử dụng định lý Vi-et thuận kết hợp với điều kiệm bài cho
Bài 1: Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
x
2
= - 2.
7) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
sao cho A = 2x
1

2
+ 2x
2
2
x
1
x
2
nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x
2
2(m + 1)x + m 3 = 0 ; (4x
1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
b) mx
2
(m 4)x + 2m = 0 ; 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2
c) (m 1)x

2
2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
2
x
2
2
d) x
2
(2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 ; 3x
1
x
2
5(x
1
+ x
2
) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x
2
+ 2mx 3m 2 = 0 ; 2x

1
3x
2
= 1
b) x
2
4mx + 4m
2
m = 0 ; x
1
= 3x
2
c) mx
2
+ 2mx + m 4 = 0 ; 2x
1
+ x
2
+ 1 = 0
d) x
2
(3m 1)x + 2m
2
m = 0 ; x
1
= x
2
2
e) x
2

+ (2m 8)x + 8m
3
= 0 ; x
1
= x
2
2
f) x
2
4x + m
2
+ 3m = 0 ; x
1
2
+ x
2
= 6.
Bài 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x
2
(2m 1)x 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phơng trình
có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Ch phơng trình bậc hai: x
2
mx + m 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1

; x
2
sao
cho biểu thức
)xx2(1xx
3x2x
R
21
2
2
2
1
21
+++
+
=
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx
2
(m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi
nghiệm kia là 9ac = 2b
2
.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax
2

+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ph-
ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb
2
= (k + 1)
2
.ac
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph ơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Sử dụng định lý Vi-et thuận coi nh hệ phơng trình sau đó khử tham số (Bằng phơng pháp
thế hoặc phơng pháp cộng)
Bài 1: a. Cho phơng trình: x
2
mx + 2m 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng
trình không phụ thuộc vào tham số m.
b. Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x
2
2(m + 2)x + 2(m 1) = 0. Khi phơng trình có nghiệm,
hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
c. Cho phơng trình: 8x
2
4(m 2)x + m(m 4) = 0. Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
;
x
2
. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số 1 và 1.
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)
2
x
2

(m 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phơng trình có nghiệm,
hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
2mx m
2
1 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:
2
5
x
x
x
x
1
2

2
1
=+
.
Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x
2
2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phơng trình theo m.
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
:
- Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x
1
x
2
| 2.
Bài 5: Cho phơng trình (m 4)x
2
2(m 2)x + m 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phơng trình có
hai nghiệm x
1
; x
2

thì: 4x
1
x
2
3(x
1
+ x
2
) + 2 = 0.
Dạng 7: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph ơng trình bậc hai. (Nâng cao)
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm bằng k (k 0) lần một nghiệm của ph-
ơng trình kia:
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
10
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
ax
2
+ bx + c = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a, b, c phụ thuộc vào tham số m.
Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k 0) lần một nghiệm của phơng trình (1),
ta có thể làm nh sau:
i) Giả sử x
0
là nghiệm của phơng trình (1) thì kx
0

là một nghiệm của phơng trình (2), suy ra hệ
phơng trình:
(*)
0c'kxb'xka'
0cbxax
0
2
0
2
0
2
0





=++
=++
Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (3)
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (4)
Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể

cả tập nghiệm là rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau ta xét hai tr-
ờng hợp sau:
i) Trờng hợp cả hai phơng trinhg cùng vô nghiệm, tức là:





<
<
0
0
)4(
)3(
Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số.
ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:







=
=


(4)(3)
(4)(3)

(4)
(3)
PP
SS
0
0
Chú ý: Bằng cách đặt y = x
2
hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn nh sau:



=+
=+
c'ya'xb'
caybx
Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.
- Tìm m thoả mãn y = x
2
.
- Kiểm tra lại kết quả.
-
Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x
2
(3m + 2)x + 12 = 0
4x
2
(9m 2)x + 36 = 0

Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x
2
+ (3m + 1)x 9 = 0; 6x
2
+ (7m 1)x 19 = 0.
b) 2x
2
+ mx 1 = 0; mx
2
x + 2 = 0.
c) x
2
mx + 2m + 1 = 0; mx
2
(2m + 1)x 1 = 0.
Bài 3: Xét các phơng trình sau:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
cx
2
+ bx + a = 0 (2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy
nhất.
Bài 4: Cho hai phơng trình:
x
2
2mx + 4m = 0 (1)
x

2
mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của ph-
ơng trình (1).
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x
2
+ x + a = 0
x
2
+ ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 6: Cho hai phơng trình:
x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
x
2
+ 2x + m = 0 (2)
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
11
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x
2
+ mx + 2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 7: Cho các phơng trình:
x
2
5x + k = 0 (1)
x
2
7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của
phơng trình (1).
Bài Tập về nhà
Bài 1: Xác định m và tìm nghiệm còn lại biết rằng
a) Phơng trình 2x
2
- (m+3)x- 5m = 0 có một nghiệm bằng 1
b) Phơng trình 4x
2
+ (2m+ 1)x- m
2
= 0 có một nghiệm bằng -1
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau không có nghiệm cho trớc đợc viết trong dấu ( )
a) 2x
2
+ (m- 2)x+ m- 1 = 0 ( x = 2)
b) mx
2
+ (5m- 2)x +1 = 0 (x = 1)
Bài 3: Không giải pt , xét dấu các nghiệm của phơng trình
a) 3x
2
- 7x+ 2 = 0 b)5x

2
+ 3x- 1 = 0 c)2x
2
+ 13x+ 8 = 0
d) 4x
2
- 8x +49 = 0 e) 4x
2
-11x+ 8 = 0
Bài 4: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu
a) x
2
- 5mx+ 2m- 1 = 0 b) x
2
- 6x+ (7- m
2
) = 0
Bài 5: Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
a) x
2
- 5x+ m = 0 b) mx
2
+ mx +3 = 0 c) x
2
- 2mx+ (5m- 4) = 0
Bài 6: Tìm m để phơng trình
a) x
2
- x+ 2(m- 1) = 0 có hai nghiệm dơng
b) 4x

2
+ 2x+ m- 1= 0 có hai nghiệm âm c) m
2
x
2
+ 2mx- 2 = 0 có hai nghiệm pb
Bài 7: Tìm m để phơng trình 2x
2
- 4x+5(m- 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
Bài 8: Cho pt ẩn x sau: x
2
- 2(m+ 4)x+ m
2
- 8 = 0. Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
sao cho
a) x
1
+ x
2
- 3x
1
x
2
đạt GTLN b) x
1
2
+ x

2
2
- x
1
x
2
đạt GTNN
Bài 9: Cho pt x
2
- (2m+ 5)x- m
2
= 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Tìm m để
a) x
1
và x
2
đều lớn hơn -5 b) x
1
< 2 < x
2

Bài 10: Cho pt: x
2
- 4x
3
+ 8 = 0 có hai nghiệm x

1
và x
2
. Không giải pt , hãy tính giá trị của biểu thức:
Q =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++
Bài 11: Tìm GTLN (nếu có) và GTNN(nếu có) của các biểu thức sau:
a) P =
32
1
2
2
+
+
xx
xx

b) Q =
1
34
2
+

x
x
c) E =
32
12
2
2
+
+
xx
xx
Bài 12: Cho phơng trình x
2
- 2(m+1)x+ m- 4 = 0 (1)
1) Giải pt khi m = 1
2) Chứng minh pt(1) luôn có nghiệm với mọi m
3) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm trái dấu
4) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm cùng dấu? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
5) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt sao cho x
1
2
+x
2
2

= 22
6) Tìm GTNN của x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2

7) Tìm m để p t (1) có hai nghiệm phân biệt và tích hai nghiệm này bằng 4
8) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 6
9) Tìm m để pt (1) có nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
10) Tìm m để pt (1) có nghiệm sao cho x
1
<1<x
2
11) Chứng minh biểu thức A = x
1
(1-x
2
)+ x
2
(1- x
1
) không phụ thuộc vào giá trị của m
Bài 13: Cho 3 phơng trình ax
2

+ 2bx+ c = 0 (1); bx
2
+ 2cx + a = 0 (2);
cx
2
+2ax+b = 0 (3)
Trong đó a,b,c khác 0. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các pt trên có nghiệm.
Bài 14 :a) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn pt 3x
2
- 6x+ y- 2 = 0 sao cho y đạt giá tị lớn nhất
b)Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =
2
2
1
)1(
x
x
+

c)Tìm GTNN của biểu thức Q =
2
2
)1(
1
+
++
x
xx
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
12

Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
Bài 15 Giải các pt sau
a) x
2
-
032)31(2 =++ x
b) (x
2
- 5x)
2
- 30(x
2
- 5x) + 216 = 0
c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d)
4
1
2
1
3
1

=

+
xxx

Bài 16 Cho hai pt: x
2
+ (m- 1)x +m
2

= 0 và -x
2
- 2mx + m = 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong
hai pt có nghiệm.
Bài 17: Tìm m để hai pt x
2
+ mx +1 = 0 và x
2
- (m+1)x- 2m = 0 có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 18: Cho pt x
2
- 2(m- 1)x- 2m + 5 = 0
a) Tìm điều kiện để pt có nghiệm x
1
và x
2

b) Tìm GTLN của biểu thức A =12- 10x
1
x
2
- (x
1
2
+ x
2
2
)
Bài 19 Cho pt: x
2

+ mx- 5 = 0. Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 11.
Bài 20 : Giải và biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau:
a)
0622
22
=++ mmmxx
b)
( ) ( )
02121
2
=++ mxmxm
c)
( ) ( )
02221
2
=+ mxmxm
d)
( )
05312
2
= mxmx
e)
( )
( )
012323
322
=++++ mxmmxm
f)
0222
2

=+ mxxx
Bài 21 : Giải và biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau:
a)
( )
0312
22
=+ mxmx
b)
( ) ( )
0121221
2
=+ mxmxm
c)
( )
0822
22
=+ mxmx
d)
( )
0512
22
=+++ mxmx
e)
( ) ( )
0211222
2
=+++ mxmxm
f)
( ) ( )
04222

2
=++ xmxm
Bài 22 : Giải và biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau:
a)
( ) ( )
0323221
2
=++ mxmxm
b)
( ) ( )
0121222
2
=+ mxmxm
c)
( )
0932
22
=++ mxmx
d)
( )
0112
22
=+ mxmx
e)
( )
014122
22
=+ mxmx
f)
( )

021
2
=+++ mxmx
g)
( ) ( )
0311322
2
=+ mxmxm
h)
( ) ( )
0233221
2
=+++ mxmxm
k )
( ) ( )
0121223
2
=++ mxmxm
l)
( )
012122
2
=+++ mxmmx
Bài 23 : Tìm các giá trị của m để các phơng trình sau :
a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có nghiệm kép d) Vô nghiệm
1/
( )
0412
2
=+ mxmmx

2/
( ) ( )
05221
2
=++++ mmxm
3/
( )
01222
2
=+ mxmx
4/
( )
0512
22
=++ mxmx
5/
( )
0822
22
=+++ mxmx
6/
( ) ( )
0233221
2
=+ mxmxm
7/
( ) ( )
0121222
2
=++ mxmxm

8/
( )
0332
22
=+ mxmx
9/
( )
034122
22
=++ mxmx
10/
( ) ( )
0211223
2
=+ mxmxm
11/
( ) ( )
02123
2
=++ xmxm
12/
( ) ( )
0121222
2
=+ mxmxm
Bài 24 : Biết x
1
= 2 là nghiệm của các phơng trình sau. Hãy tìm nghiệm còn lại của chúng,
a)
( )

04322
2
=++ mxmx
b)
084
2
=+ mmxx
c)
( )
012122
2
=+ mxmx
d)
( )
034323
2
=++ mxmx
Bài 25 : Biết
2
3
1
=x
là nghiệm của các phơng trình sau. Hãy tìm nghiệm còn lại của chúng.
a)
( )
02452
2
=+++ mxmx
b)
( )

0324
2
=++ mxmx
c)
( )
035122
2
=++ mxmx
Bài 26 : Cho phơng trình bậc hai: x
2
2(m + 1)x + m
2
+ 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12 (trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
Bài 27 : Cho phơng trình: x
2
2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2
2
(1 x
1
2
) = -8.
Bài 28 Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2

= 4.
Bài 29: Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2
= 4.
Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
13
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2
= 4.
Bài 5 : Gọi x
1
; x
2

là hai nghiệm của phơng trình x
2
- 2(m - 1)x - 4 = 0 (m là tham số). Tìm m để
1 2
x x 5+ =
.
Bài 30 Cho phơng trình: (m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 31 Cho pt: x
2
+ 3x - m
2
- 4 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1) khi m = 0
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m
3) Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình (1). Hãy tìm giá trị của m để:
Bài 32 Cho phơng trình:
x
2
- 2(m + 2)x + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = -
2
3

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để:
x
1
(1 - 2x
2
) + x
2
(1 - 2x
1
) = m
2

Bài 33 Cho pt bậc hai có ẩn x: x
2
- 2mx + 2m - 1 = 0
1/ CMR phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
với m.
2/ Đặt A = 2
( )
21
2
2

2
1
5 xxxx +
a) CM: A = 8m
2
- 18m + 9
b) Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia
Bài 34 Cho pt: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
.
Tìm giá trị của m để 10x
1
x
2
+
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 35 Cho phơng trình bậc hai:
x
2
-2(k-2)x - 2k - 5 = 0 (k - tham số)

a) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với k.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. tìm giá trị của k sao cho:
18
2
2
2
1
=+ xx

Bài 36 Cho pt: (2m - 1)x
2
- 4mx + 4 = 0
a) Giải phơng trình với m = 1
b) Giải phơng trình với m bất kỳ
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng m

Chủ đề 7: Ph ơng trình quy về ph ơng trình bậc hai.
Dạng 1: Ph ơng trình có ẩn số ở mẫu.
Bớc 1: Đặt điều kiện cho phơng trình
Bớc 2: Quy đồng mẫu
Bớc 3: Khử mẫu, giải phơng trình thu đợc.
Giải các phơng trình sau:
1t
5t
2
2t

t
1t
2
t
c)
12x
3x
3
x
12x
b) 6
1x
3x
2x
x
a)
+
+
=+

+
=+

=

+
+

Dạng 2: Ph ơng trình chứa căn thức.

= =
=
=






B 0
A 0 (hayB 0)
Loại A B Loại A B
2
A B
A B
Giải các phơng trình sau:
( )
( )( )
( )
3x
2
x1x e)
9x32x1x d) 1x53x
2
2x c)
145x
2
3x
2

2x b) 1
2
x113x
2
2x a)

=+=+
+=+=
Dạng 3: Ph ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.




<

=
0A nếu
0A nếu
A
A
A
Giải các phơng trình sau:
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
14
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
3x44xx1x d) 4x xxx22xx c)
32xx12x2x b) 3xx1x a)
224224
22
=++=++++

++=+++=+
Dạng 4: Ph ơng trình trùng ph ơng.
Giải các phơng trình sau:
a) 4x
4
+ 7x
2
2 = 0 ; b) x
4
13x
2
+ 36 = 0;
c) 2x
4
+ 5x
2
+ 2 = 0 ; d) (2x + 1)
4
8(2x + 1)
2
9 = 0.
Dạng 5: Ph ơng trình bậc cao.
Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:
Bài 1:
a) 2x
3
7x
2
+ 5x = 0 ; b) 2x
3

x
2
6x + 3 = 0 ;
c) x
4
+ x
3
2x
2
x + 1 = 0 ; d) x
4
= (2x
2
4x + 1)
2
.
Bài 2:
a) (x
2
2x)
2
2(x
2
2x) 3 = 0 c) (x
2
+ 4x + 2)
2
+4x
2
+ 16x + 11 = 0

1 1
2 2 2
c) x x 2 x x 3 0 d) 4 x 16 x 23 0
2
x
x
2
x x 5 3x 21
2
e) 4 0 f) x 4x 6 0
2 2
x
x x 5 x 4x 10
+ + = + + + =
+
+ + = + =
+ +

ữ ữ

Bài 3:
a) 6x
5
29x
4
+ 27x
3
+ 27x
2
29x +6 = 0

b) 10x
4
77x
3
+ 105x
2
77x + 10 = 0
c) (x 4,5)
4
+ (x 5,5)
4
= 1
d) (x
2
x +1)
4
10x
2
(x
2
x + 1)
2
+ 9x
4
= 0
Bài tập về nhà:
Giải các phơng trình sau:
( )
8
23x

2
x
2
2
2x
9
2
x
32x
2
x
d)
4x
2x
x
4
22x
c)
6
x
3x
1x
4x
b)
4
1
1
2
x
3

1x2
1
a) 1.
=
+

+

+


=
+
=
+
+
+
=

+

2.
a) x
4
34x
2
+ 225 = 0 b) x
4
7x
2

144 = 0
c) 9x
4
+ 8x
2
1 = 0 d) 9x
4
4(9m
2
+ 4)x
2
+ 64m
2
= 0
e) a
2
x
4
(m
2
a
2
+ b
2
)x
2
+ m
2
b
2

= 0 (a 0)
3.
a) (2x
2
5x + 1)
2
(x
2
5x + 6)
2
= 0
b) (4x 7)(x
2
5x + 4)(2x
2
7x + 3) = 0
c) (x
3
4x
2
+ 5)
2
= (x
3
6x
2
+ 12x 5)
2
d) (x
2

+ x 2)
2
+ (x 1)
4
= 0
e) (2x
2
x 1)
2
+ (x
2
3x + 2)
2
= 0
4.
a) x
4
4x
3
9(x
2
4x) = 0 b) x
4
6x
3
+ 9x
2
100 = 0
c) x
4

10x
3
+ 25x
2
36 = 0 d) x
4
25x
2
+ 60x 36 = 0
5.
a) x
3
x
2
4x + 4 = 0 b) 2x
3
5x
2
+ 5x 2 = 0
c) x
3
x
2
+ 2x 8 = 0 d) x
3
+ 2x
2
+ 3x 6 = 0
e) x
3

2x
2
4x 3 = 0
6.
a) (x
2
x)
2
8(x
2
x) + 12 = 0 b) (x
4
+ 4x
2
+ 4) 4(x
2
+ 2) 77 = 0
c) x
2
4x 10 - 3
( )( )
6x2x +
= 0 d)
03
2x
12x
4
2x
12x
2

=+






+








+

e)
( )
5x5xx5x =++
7.
a) (x + 1)(x + 4)(x
2
+ 5x + 6) = 24 b) (x + 2)
2
(x
2
+ 4x) = 5
c)

026
x
1
x16
x
1
x3
2
2
=+






+






+
d)
02
x
1
x7
x

1
x2
2
2
=+













+
9. Định a để các phơng trình sau có 4 nghiệm
a) x
4
4x
2
+ a = 0 b) 4y
4
2y
2
+ 1 2a = 0
c) 2t

4
2at
2
+ a
2
4 = 0.
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
15
Tµi liƯu phơ ®¹o líp 9 n¨m häc 2012 - 2013
PhÇn II: H×nh häc
Chđ ®Ị 1: HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng
D¹ng 1: Áp dơng hƯ thøc vỊ c¹nh vµ ®êng cao ®Ĩ t×m c¸c u tè trong tam gi¸c vu«ng.
Ví dụ 1 : Tính
x
,
y
trong mỗi hình vẽ sau :

a) b) c)

d) e) f)
Ví dụ 2: Tính
x
,
y
trong mỗi hình vẽ sau :
Ví dụ 3 : Trong tam giác vng có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy
tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Ví dụ 4 : Đường cao của một tam giác vng chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài là 3 và
4. Hãy tính các cạnh góc vng của tam giác này.

Ví dụ 5 : Cho ∆ABC vng ở A,
( )
6,AB cm=
và
µ
B
α
=
. Biết
5
tan
12
α
=
, hãy tính
a) cạnh AC; b) cạnh BC.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vng ở A biết
6AB =
,
8AC =
. Tính tỷ số lượng giác của góc B,
từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc C.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vng ở A kẻ đường cao AH. Tính
sin B
,
sinC
trong mỗi trường
hợp sau ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư ):
a)
13AB

=
,
5BH
=
. b)
3HB
=
,
4HC
=
.
D¹ng 2: TÝnh ®ỵc tØ sè lỵng gi¸c cđa gãc nhän vµ rót gän biĨu thøc lỵng gi¸c ®¬n
gi¶n.
Ví dụ 1: Sắp xếp từ nhỏ đến lớn các tỉ số lượng giác sau đây:
a/ sin81
0
; cos18
0
; sin46
0
; cos85
0
b/ tg47
0
; cotg15
0
; tg32
0
; cotg40
0

c/ sin78
0
; cos14
0
; sin47
0
; cos87
0
d/ tg73
0
; cotg25
0
; tg62
0
; cotg38
0
Ví dụ 2:Tính a/
0
0
sin 25
cos65
b/ tg58
0
– cotg32
0
c/ sin
2
45
0
+ cos

2
45
0
+ 2sin45
0
cos45
0
d/ tg1
0
tg2
0
tg3
0
…tg89
0
e/ cotg
2
1
0
cotg
2
2
0
cotg
2
3
0
…cotg
2
89

0
f/ tg
2
45
0
+ co tg
2
45
0
g/ sin
2
10
0
+ sin
2
20
0
+…+ sin
2
70
0
+ sin
2
80
0
g/ cos
2
12
0
+ cos

2
78
0
+ cos
2
1
0
+ cos
2
89
0

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
Trêng THCS §«ng Thanh – GV: Ph¹m Ngäc Hun
16
Tµi liƯu phơ ®¹o líp 9 n¨m häc 2012 - 2013
sin
cot sin
1 cos
x
A gx x
x
= + −
+
4 2 4 2
sin (1 2cos ) cos (1 2sin )B x x x= + + +
( ) ( )
2 2
sin cos sin cosC
α α α α

= + + −
6 6 2 2
sin cos 3sin .cosD
α α α α
= + +
Ví dụ 4: Tìm góc nhọn x, biết:
a/ cosx = sin38
0
b/ sinx = cos65
0
c/ sin2x = cos25 d/ tg3x = cotg45
0
D¹ng 3: Tõ mét tØ sè lỵng gi¸c bÊt kú t×m c¸c tØ sè lỵng gi¸c cßn l¹i.
Ví dụ 1: Tìm các tỉ số lượng giác còn lại nếu biết ( làm tròn 2 chữ số thập phân ) nếu biết :
a/ sinα = 0,8 b/ cosα = o,6 c/
1
t
3
g
α
=
d/
3
cot
4
g
α
=
.
D¹ng 4: Gi¶i tam gi¸c vu«ng bÊt kú khi cho c¸c u tè liªn quan:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, hãy giải tam giác vuông ABC trong mỗi trường
hợp sau?
a/ AB = 21cm; AC = 18cm b/ AC = 10cm; góc C =30
0
c/ AB = 10cm; góc C = 45
0
d/ BC = 20cm; góc B = 35
0
e/ AB = 8cm; BC = 10cm f/ BC = 7cm; góc B = 41
0
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 24cm; AC = 32cm; BC = 40cm.
a/ Tính các góc B, C?
b/ Tính đường cao AH và các đoạn HB, HC?
BÀI TẬP L ÀM TH ÊM HÌNH CHƯƠNG 1
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm ; BC = 10cm .Kẻ đường cao
AH.
a) Tính : AC ; BH ; AH
b) Kẻ Phân giác AD . Tính BD ; AD
c) Kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh AM.AB =
AN.AC
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , cho AB = 5cm , BH = 3cm
a) Tính : BC ; AH
b) Kẻ trung tuyến CM . Tính CM
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH , phân giác AD , biết BD =
10cm,DC = 20cm . Tính AH , HD.
Bai 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3/5 BC. Đường cao AH = 12cm .Tính
Chu Vi tam giác ABC .
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 5cm ; BC = 10cm . Tính
BH,AB.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.Tính AC; AH biết AB=15cm

HC = 16 cm .
Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A , BC = 71cm ,góc B = 19
0
Trêng THCS §«ng Thanh – GV: Ph¹m Ngäc Hun
17
Tµi liƯu phơ ®¹o líp 9 n¨m häc 2012 - 2013
Bài 8 : Cho tam giác ABC vuông tại A,với đường cao AH , biết BH = 9cm , CH =
16cm.Tính
a. Độ dài BC , AH , AB ,AC.
b. Số đo góc B .
Bài 9 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC = 20cm và CosC =
5
3
a. Tính tgB và cotgB.
b. Gọi M là trung điểm của BC . Kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại M , cắt
AB tại E và cắt tia CA tại F . Tính CF và MF .
c. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D . Tính BD , DC .
Bài 10 : Cho Tam giác ABC có BC = 12cm , góc B = 60
0
, góc C = 40
0
. Tính
a. Tính chiều cao CH và AC .
b. Diện tích tam giác ABC .
Bài 11: Cho tam gáic ABC can .Biết AB=AC = 10cm , BC = 16cm .
a. Tính các góc của tam giác ABC .
b. Trên đường cao AH lấy điểm I sao cho AH = 3 AI . Vẽ Cx// AH , Cx cắt BI tại
D . Tính diện tích tứ giác ABCD .
Chđ ®Ị 2: §ng trßn
D¹ng 1: Chøng minh c¸c ®iĨm cïng thc mét ®êng trßn

Bµi 1: Cho tam gi¸c ®Ịu ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O. D vµ E lÇn lỵt lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa c¸c cung
AB vµ AC. DE c¾t AB ë I vµ c¾t AC ë L.
a) Chøng minh DI = IL = LE.
b) Chøng minh tø gi¸c BCED lµ h×nh ch÷ nhËt.
c) Chøng minh tø gi¸c ADOE lµ h×nh thoi vµ tÝnh c¸c gãc cđa h×nh nµy.
Bµi 2: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn cã c¸c ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i I.
a) Chøng minh r»ng nÕu tõ I ta h¹ ®êng vu«ng gãc xng mét c¹nh cđa tø gi¸c th× ®êng vu«ng gãc
nµy qua trung ®iĨm cđa c¹nh ®èi diƯn cđa c¹nh ®ã.
b) Gäi M, N, R, S lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh cđa tø gi¸c ®· cho. Chøng minh MNRS lµ h×nh ch÷
nhËt.
c) Chøng minh ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt nµy ®i qua ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc h¹ tõ I
xng c¸c c¹nh cđa tø gi¸c.
Bµi 3: Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( ∠A = 1v) cã AH lµ ®êng cao. Hai ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ AC cã
t©m lµ O
1
vµ O
2
. Mét c¸t tun biÕn ®ỉi ®i qua A c¾t ®êng trßn (O
1
) vµ (O
2
) lÇn lỵt t¹i M vµ N.
a) Chøng minh tam gi¸c MHN lµ tam gi¸c vu«ng.
b) Tø gi¸c MBCN lµ h×nh g×?
c) Gäi F, E, G lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa O
1
O
2
, MN, BC. Chøng minh F c¸ch ®Ịu 4 ®iĨm E, G, A, H.
d) Khi c¸t tun MAN quay xung quanh ®iĨm A th× E v¹ch mét ®êng nh thÕ nµo?

Bµi 4: Cho h×nh vu«ng ABCD. LÊy B lµm t©m, b¸n kÝnh AB, vÏ 1/4 ®êng trßn phÝa trong h×nh
vu«ng.LÊy AB lµm ®êng kÝnh , vÏ 1/2 ®êng trßn phÝa trong h×nh vu«ng. Gäi P lµ ®iĨm t ý trªn cung
AC ( kh«ng trïng víi A vµ C). H vµ K lÇn lỵt lµ h×nh chiÕu cđa P trªn AB vµ AD, PA vµ PB c¾t nưa ®-
êng trßn lÇn lỵt ë I vµ M.
a) Chøng minh I lµ trung ®iĨm cđa AP.
b) Chøng minh PH, BI, AM ®ång qui.
c) Chøng minh PM = PK = AH
d) Chøng minh tø gi¸c APMH lµ h×nh thang c©n.
®) T×m vÞ trÝ ®iĨm P trªn cung AC ®Ĩ tam gi¸c APB lµ ®Ịu.
D¹ng 2: Gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y.
Bµi 1: Cho hai ®êng trßn (O), (O') c¾t nhau t¹i A, B. C¸c tiÕp tun t¹i A cđa (O), (O') c¾t (O'), (O) lÇn
lỵt t¹i c¸c ®iĨm E, F. Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c EAF.
a) Chøng minh tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh vµ OO'//BI.
b) Chøng minh bèn ®iĨm O, B, I, O' cïng thc mét ®êng trßn.
Trêng THCS §«ng Thanh – GV: Ph¹m Ngäc Hun
18
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
c) Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB. Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Hai đờng cao BE và CF cắt nhau tại H.Gọi D là điểm đối xứng của H qua
trung điểm M của BC.
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc trong một đờng tròn.Xác định tâm O của đờng tròn đó.
b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, E
cùng nằm trên một đờng tròn.
Bài 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt đờng tròn (O') tại C, tia O'A cắt đ-
ờng tròn (O) tại D. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OO'CD nội tiếp.
b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy ra năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên một đờng tròn.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại
E. Vẽ EF vuông góc AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc.

b) Tia CA là tia phân giác của góc BCF.
c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc.
Bài 5: Từ một điểm M ở bên ngoài đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn. Trên
cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD AB, CE MA, CF MB.
Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc.
b) CD
2
= CE. CF
c)* IK // AB
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn. Vẽ hai đờng cao
BD và CE.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đó suy ra OA DE.
Bài 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M. Đờng thẳng
qua A song song với BM cắt CM tại N.
a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác đều.
b) Chứng minh rằng MA + MB = MC.
c)* Gọi D là giao điểm của AB và CM. Chứng minh rằng:
MD
1
MB
1
AM
1
=+
Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A và C. Một đờng tròn (O) thay đổi đi qua B và C.
Vẽ đờng kính MN vuông góc với BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại
một điểm thứ hai là F. Hai dây BC và MF cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc.

b) AD. AE = AF. AN
c) Đờng thẳng MF đi qua một điểm cố định.
Bài 9: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Gọi M là trung
điểm của AB. Tia CM cắt đờng tròn tại điểm N. Tia AN cắt đờng tròn tại điểm D.
a) Chứng minh rằng MB
2
= MC. MN
b) Chứng minh rằng AB// CD
c) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích cử hình thoi đó.
Bài 10:Cho đờng tròn (O) và một dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ đờng kính
MN Cắt AB tại I. Gọi D là một điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đờng tròn (O) tại C.
a) Chứng minh rằng tứ giác CDIN nội tiếp đợc
b) Chứng minh rằng tích MC. MD có giá trị không đổi khi D di động trên dây AB.
c) Gọi O' là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD.
Chứng minh rằng MAB =
2
1
AO'D.
d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ACD.
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho
HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD ( E AD).
a) Chứng minh rằng AHEC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC.
c) Chứng minh rằng CH là tia phân giác của góc ACE.
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA. CH và cung nhỏ AH của đờng tròn nói trên
biết AC= 6cm, ACB = 30
0
.
Bài 12:Cho đờng tròn tâm O có đờng kính BC. Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là

điểm thuộc bán kính OC. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.
a) Chứng minh rằng ADCF là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng AME = 2 ACB.
c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
19
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đờng tròn (O) biết
BC= 8cm, ABC = 60
0
.
Bài 13: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đờng tròn. Vẽ đờng tròn
tâm M tiếp xúc với AB ( H là tiếp điểm). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D là tiếp
điểm).
a) Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng
b) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
c) Tính tổng AC + BD theo R.
d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết AOM = 60
0
.
Bài 14:Cho tam giác vuông cân ABC (A = 90
0
), trung điểm I của cạnh BC. Xét một điểm D trên tia
AC. Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA tại các điểm tơng ứng M, N, P.
a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh rằng ba điểm N, I, P thẳng hàng.
c) Gọi giao điểm của tia BO với MN, NP lần lợt là H, K. Tam giác HNK là tam giác gì, tại sao?
d) Tìm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trí trên tia AC.
Dạng 3: Giải các bài toán liên quan đến vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và đờng
tròn giữa đ ờng tròn với đờng tròn.

Bài Tập 1: Cho hai đờng thẳng xy và x

y

cắt nhau tại M. Trên tia Mx lấy điểm A, trên tia Mx

lấy điểm
C , trên tia My lấy điểm B vá F ( B nằm giữa M và F), trên tia My

lấy điểm D và E ( D nằm giữa M và
E. Biết MA. MB = MC.MD và MD.ME = MB.MF . Chứng minh
a) 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đờng tròn
b) 4 điểm B, D, E, F cùng nằm trên một đờng tròn
c) AC song song EF
Bài Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm 0. Từ điểm M bất kì trên đờng tròn kẻ MP, MQ,
MK thứ tự vuông góc với BC, CA, AB . Chứng minh
a) Các tứ giác BPMK , PQCM nội tiếp
b) P, Q, K thẳng hàng
Bài tập 3: Cho đờng tròn tâm 0 và đờng thẳng xy nằm ngoài đờng tròn đó. Từ 0 kẻ OA vuông góc xy .
Qua A kẻ cát tuyến cắt đờng tròn tại B và C . Tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn tâm O cắt xy thứ tự tại
D và E . Chứng minh A là tung điểm của DE.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC
tại E. Các đờng thẳng CD, AE thứ tự cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh
a) tam giác ABC và tam giác EBD đồng dạng
b) Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp c) AC song song FG
d)Các đờng thẳng AC,DE,BF đồng qui.
Bài 5: Cho hình thang ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O. Các đờng chéo AC và BD cắt nhau ở E, các
cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau ở F. Chứng minh
a)Bốn điểm A,D,O,E cùng nằm trên một đờng tròn. b) Tứ giác AOCF nội tiếp.
Dạng 4: Các bài toán về tiếp tuyến.

Bài 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) và
(O') lần lợt tại C và C'. Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) và (O') lần lợt tại D và D'.
a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp
c) Đờng thẳng CD và đờng thẳng D'C' cắt nhau tại M. Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp.
Bài 2: Từ một điểm C ở ngoài đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ là đờng kính vuông góc với AB.
Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tại M, N.
a) Chứng minh rằng IN, JM và AB đồng quy tại một điểm D.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M, N đi qua trung điểm E của CD.
Bài 3:Cho hai đờng tròn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngoài tại A ( R> R' ). Đờng nối tâm OO' cắt đờng
tròn (O) và (O') theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A). EF là dây cung của đ ờng tròn (O) vuông góc
với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đờng tròn (O') tại D.
a) Tứ giác BEFC là hình gi?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng.
c) CF cắt đờng tròn (O) tại G. Chứng minh ba đờng EG, DF và CI đồng quy.
d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O).
Bài 4:Cho đờng tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại C. AC và BC là đờng kính của (O) và (O), DE là
tiếp tuyến chung ngoài (D (O), E (O)). AD cắt BE tại M.
a) Tam giác MAB là tam giác gì?
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến chung của (O) và (O).
c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB. Ex cắt By tại N. Chứng minh D, N, C thẳng hàng.
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
20
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB và OO. Đờng thẳng
qua C cắt hai nửa đờng tòn trên tại I, K. Chứng minh OI // AK.
Chủ đề 3: Góc với đờng tròn
Dạng 1: Các bài toán về góc của đờng tròn.
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a)Chứng minh các tứ giác BFEC ; DHEC nội tiếp

b)Chứng minh tam giác DBH và tam giác DAC đồng dạng
c)Chứng minh H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
d) Gọi I,K thứ tự là trung điểm của AH, BC . Chứng minh IK vuông góc EF
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi E là điểm
đối xứng với H qua BC; Gọi F là điểm đối xứng với H qua trung điểm I của BC.
a)Chứng minh BHCF là hình bình hành
b)Chứng minh E,F nằm trên đờng tròn tâm O c)C/m tứ giác BCFE là hình thang cân
d) Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đờng
tròn tại M.
a)Chứng minh OM vuông góc với BC. b)C/m MC
2
= MI. MA
a) Kẻ đờng kính MN. Các tia phân giác của góc B và C cắt đờng thẳng AN tại P và Q. Chứng minh
4 điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đờng tròn.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Các điểm M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và
BC. Gọi E là giao điểm của DN và CM.
a) C/m tứ giác DAME nội tiếp
b) Gọi P,O,S thứ tự là trung điểm của DC, CA, AD . Gọi Q là điểm bất kì trên tia đối của tia BC.
Gọi R là giao điểm của QM và AC. Gọi T là giao điểm của OS với PR. Chứng minh rằng MT //
PQ.
Bài 5: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O và P là một điểm trên cung nhỏ BC
a) Chứng minh PA = PB + PC
b) Qua điểm P dựng đờng thẳng d song song với BC cắt AB kéo dài ở D. Qua P dựng đờng thẳng e
song song với AC cắt BC ở E. Qua P dựng đờng thẳng song song với AB cắt AC ở F. Chứng
minh PCFE và BDPE là các tứ giác nội tiếp.
Dạng 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn.
Bài 1: Cho đờng tròn (O ; R). Đờng thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoài (O). Từ điểm chính
giữa P của cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ hai I, AB cắt IQ tại K.
a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp.

b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD.
c) Chứng minh IC là phân giác ngoài của tam giác AIB.
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng vẫn luôn qua A, B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố
định.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trên AB. N di động trên tia đối của tia CA
sao cho BM = CN.
a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A và D. Chứng minh rằng D cố định.
b) Tính góc MDN.
c) MN cắt BC tại K. Chứng minh DK vuông góc với MN.
d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn nhất.
Bài 3: Cho (O ; R). Điểm M cố định ở ngoài (O). Cát tuyến qua M cắt (O) tại A và B. Tiếp tuyến của
(O) tại A và B cắt nhau tại C.
a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K.
b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H khi cát tuyến quay quanh M.
c) CH cắt AB tại N, I là trung điểm AB. Chứng minh MA.MB = MI.MN.
d) Chứng minh: IM.IN = IA
2
.
Bài 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB tâm O. C là điểm chính giữa cung AB. M di động trên cung
nhỏ AC. Lấy N thuộc BM sao cho AM = BN.
a) So sánh tam giác AMC và BCN.
b) Tam giác CMN là tam giác gì?
c) Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN là hình bình hành.
d) Đờng thẳng d đi qua N và vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định.
Bài 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp
tuyến MA, MB. I là trung điểm của CD.
a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đờng tròn.
b) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB, tứ giác OAHB là hình gì?
c) Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định.
d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt tại E và K. Chứng minh EC = EK.

Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
21
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
Dạng 3: Các bài toán về độ dài đờng tròn, cung tròn Diện tích hình tròn, hình quạt tròn.
Bài 1: Cho đờng tròn (O) và dây AB. M là điểm chính giữa cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C.
a) Chứng minh MA
2
= MC.MD.
b) Chứng minh MB.BD = BC.MD.
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B.
d) Gọi R
1
, R
2
là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD. Chứng minh R
1
+ R
2
không đổi khi C di động trên AB.
Bài 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R và một điểm M trên nửa đờng tròn (M khác A,
B). Tiếp tuyến tại M của nửa đờng tròn cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lợt ở C và E.
a) Chứng minh rằng CE = AC + BE.
b) Chứng minh AC.BE = R
2
.
c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE.
d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB và CE cắt nhau tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
trên AB.
+ Chứng minh rằng:
FB

FA
HB
HA
=
.
+ Chứng minh tích OH.OF không đổi khi M di động trên nửa đờng tròn.
Bài 3: Trên cung BC của đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P bất kì. Các đờng thẳng
AP và BC cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng:
PC
1
PB
1
PQ
1
+=
.
Bài 4: Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox tại A
và cắt Oy tại hai điểm B, C. Chứng minh các hệ thức:
a)
222
a
1
AC
1
AB
1
=+
.
b) AB
2

+ AC
2
= 4R
2
.
Dạng 4: Các bài toán về đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
Bài 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) và (O;1 cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B
(O); C (O)).
a) Chứng minh rằng góc OOB bằng 60
0
.
b) Tính độ dài BC.
c) Tính diện tích hình giới hạn bởi tiếp tuyến BC và các cung AB, AC của hai đờng tròn.
Bài 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ về một phía của AB các
nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đờng vuông
góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa
đờng tròn (I), (K).
a) Chứng ming rằng EC = MN.
b) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K).
c) Tính độ dài MN.
d) Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn.
Bài 3: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn. Từ một điểm
M trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q.
a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác APQ có giá
trị không đổi.
b) Cho biết BAC = 60
0
và bán kính của đờng tròn (O) bằng 6 cm. Tính độ dài của tiếp tuyến AB và
diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC.
Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp , K là tâm đờng tròn bàng tiếp

góc A, O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
c) Tính bán kính của đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.
Bài 5: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. E là một điểm trên đờng tròn mà AE > EB. M là một
điểm trên đoạn AE sao cho AM.AE = AO.AB.
a) Chứng minh AOM vuông tại O.
b) OM cắt đờng tròn ở C và D. Điểm C và điểm E ở cùng một phía đối với AB. Chứng minh
ACM đồng dạng với AEC.
c) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM.
d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm và AEC là
3
2
. Tính AC, AE, AM, CM theo R.
Chủ đề 4: Hình học không gian
Dạng 1: Các bài toán liên quan đến diện tích sung quanh và thể tích hình trụ.
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
22
Tài liệu phụ đạo lớp 9 năm học 2012 - 2013
Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp trong đờng tròn (O) và M là điểm di động trên đờng tròn
đó. Gọi D là hình chiếu của B trên AM và P là giao điểm của BD với CM.
a) Chứng minh BPM cân.
b) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di chuyển trên đờng tròn (O).
Bài 2: Đờng tròn (O ; R) cắt một đờng thẳng d tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên d và ở ngoài đ-
ờng tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ.
a) Chứng minh rằng góc QMO bằng góc QPO và đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua hai
điểm cố định khi M di động trên d.
b) Xác định vị trí của M để MQOP là hình vuông?
c) Tìm quỹ tích tâm các đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ khi M di động trên d.
Bài 3: Hai đờng tròn tâm O và tâm I cắt nhau tại hai điểm A và B. Đờng thẳng d đi qua A cắt các đờng

tròn (O) và (I) lần lợt tại P, Q. Gọi C là giao điểm của hai đờng thẳng PO và QI.
a) Chứng minh rằng các tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp.
b) Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AP, AQ, K là trung điểm của EF. Khi đờng thẳng d quay
quanh A thì K chuyển động trên đờng nào?
c) Tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất.
Dạng 2: Các bài toán liên quan đến diện tích sung quanh và thể tích hình nón, hình nón cụt
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD. Biết AB = 4 cm; AC = 5 cm và AC = 13 cm. Tính thể
tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó.
Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDABCD có diện tích mặt chéo ACCA bằng 25
2
cm
2
. Tính thể
tích và diện tích toàn phần của hình lập phơng đó.
Bài 3: Cho hình hộp chứ nhật ABCDABCD. Biết AB = 15 cm, AC = 20 cm và góc AAC bằng 60
0
.
Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó.
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCABC. Tính diện tích xung quanh và thể tích của nó biết
cạnh đáy dài 6 cm và góc AAB bằng 30
0
.
Bài 5: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G
của tam giác ABC. Trên đờng thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC.
a) Chứng minh rằng SA = SB = SC.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a.
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và đờng cao là
2
2a
.

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp.
Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a.
a) Tính diện tích toán phần của hình chóp.
b) Tính thể tích của hình chóp.
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm
3
.
a) Tính độ dài cạnh đáy.
b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến diện tích sung quanh và thể tích hình cầu
Bài 1: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm
2
, diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ và
chiều cao là 6 cm. Tính thể tích của hình chóp cụt đó.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD).
a) Tính thể tích hình chóp.
b) Chứng minh rằng bốn mặt bên là những tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
Bài 3: Một hình trụ có đờng cao bằng đờng kính đáy. Biết thể tích hình trụ là 128 cm
3
, tính diện tích
xung quanh của nó.
Bài 4: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng 65 cm
2
. Tính thể tích
của hình nón đó.
Bài 5: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đờng cao bằng 12 cm và đờng sinh bằng 13 cm.
a) Tính bán kính đáy nhỏ.

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt đó.
Bài 6: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm
2
. Tính thể tích của hình cầu đó.
HET
Trờng THCS Đông Thanh GV: Phạm Ngọc Huyến
23