tính sai số của phép xấp xỉ và tính thứ nguyên chỉnh hóa trong phương pháp chặt cụt của đa thức lagrange

L云I CAM AOAN



Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cu ca tôi, các s liu, các kt
qu ca lun án là trung thc và cha tng đc ai công b trong bt k công
trình nào khác.



Tác gi lun án



Trn Ngc Liên

L云I CAM AOAN



Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cu ca tôi, các s liu, các kt
qu ca lun án là trung thc và cha tng đc ai công b trong bt k công
trình nào khác.



Tác gi lun án





PH井N M雲 A井U


Vic kho sát bài toán khôi phc hàm gii tích bt ngun t thc t, trong các
lnh vc điu khin hc, vt lý, nhn dng Trong quá trình gii bài toán khôi phc,
các kt qu thu đc đã có nhiu ng dng rng rãi trong nhiu lnh vc nh Phng
trình đo hàm riêng, x lý tín hiu, lý thuyt h thng và gn đây là nhn dng trong
tình hung xu nht
Bài toán khôi phc mà chúng tôi quan tâm đ
c phát biu nh sau:
Cho

U
là đa đn v m trong mt phng phc, ngha là


1|z|:CzU



(1)
K
là mt tp con ca
U
. Cho

là mt hàm s xác đnh trên
K
.
Hãy khôi phc hàm f gii tích trong U khi bit trc giá tr ca f trên
K

là

.
Trong lun án chúng tôi gii hn  trng hp


n
zK

là mt dãy vô hn đm

đc các đim trong
U
. Khi hàm s f thuc không gian Hardy )U(H
p
, không gian
các hàm gii tích trên
)1p(U  , hoc đi s đa )U(A (ngha là hàm f liên tc trên
đa đn v đóng

1|z|:CzU  và gii tích trên U ) thì bài toán khôi phc chính
là bài toán moment. Lun án ca chúng tôi nghiêng v mt ng dng nên các bài toán
khôi phc hàm gii tích đc rút ra t các ng dng trong vt lý (chng 3: bài toán
nhit ngc và chng 5: bài toán Cauchy không gian cho phng trình Parabolic),
trong gii tích thc (chng 4: bài toán bin đi Laplace ngc).
ây là bài toán ngc và không chnh theo ngha Hadamard, ngha là bài toán
có th vô nghim; bài toán có nghim nhng nghim không duy nht; nghim ca bài
toán tn ti nhng không n đnh. Bài toán ni suy hàm gii tích có mt th mc rt
ln (xem [20, 63]). Tuy vy, tht đáng ngc nhiên là các bài báo li không kho sát tính
không chnh ca bài toán và tính n đnh ca thut toán khi có sai s ca d liu.
Thc vy, xét bài toán: xác đnh mt hàm gii tích
f trong không gian
)U(H
2
sao cho

, 3,2,1n)z(f
nn




(2)
vi

1nn
)z( là mt dãy vô hn các đim trong
U
, )(
n

là dãy s phc b chn, tc là

l)(
n

.
Vi
)z(
n
và )(
n

bt k thì bài toán có th vô nghim. Chng hn dãy )z(
n
xác
đnh bi
1n
n
1
z,0z
n1

 và
)
n
1
()(
n


. Khi đó 1)z(f)0(f
11



.
Mt khác ta có
0lim)
n
1
(flim)0(f
n
nn



(vô lý). Vy bài toán vô nghim.
Trong “ Lecture on Complex Approximation” , D.Gaier đã chng minh rng
tính duy nht ca bài toán (2) ch có khi và ch khi




1
k
k
)|z|1( (điu kin
Blaschke).
Nu điu kin này không tho, bài toán có nghim tng quát là
Bgf  vi f
là mt nghim đc bit ca (2),
B
là tích Blaschke vi các không đim )z(
k
và
g
là
mt hàm tùy ý trong
)U(H
2
. Vy bài toán có nghim không duy nht.
Xét bài toán (2). Cho

1nn
)z( tu ý trên đng tròn







4

1
|z|:Cz
và dãy



m
n

xác đnh bi

, 3,2,1n)z2(
m
n
m
n


vi m là s t nhiên .
Khi đó ta có

0
2
1
|)z2(|||
m
m
n
m
n










khi m .

Xét hàm
.)z2(z
CU:f
m
m



Ta có
2
m
Hf  và


m
nnm
)z(f

 ,

m
H
m
2||f||
2
 . Vy lim || ||
2
m
H
x
f

.
iu này chng t bài toán (2) không n đnh: t s sai lch nh ca d liu có
th dn đn kt qu cui cùng có sai lch ln.
Gi
0
f là nghim chính xác ca bài toán (2), ng vi giá tr chính xác



 l
0
n
0

, tc là

, 3,2,1n)z(f
0

nn0



và

 l)(
n

là mt d liu đo đc tho :

|| || sup
00
n
n





.
Tính không n đnh ca nghim  ch: tính toán vi nhiu d liu hn mt
lng cn thit nào đó thì có th làm cho sai s ln hn. Do đó cn xác đnh mt s t
nhiên
)(n

( vi mi 0

), mà ta gi là tham sぐ chえnh hóa đ ch ra s lng d liu
n


cn thit phi s dng và gii hn vic tính toán trên máy tính. Nói cách khác là
xác đnh tham s chnh hóa
)(n

sao cho t )(n

d liu
)(n21
, ,,




ta có th xác
đnh mt hàm f mà nó xp x n đnh nghim chính xác
0
f ca bài toán.
Mt s kt qu c th:
Nh chúng ta đã bit, trong bài toán ni suy hàm gii tích trên đa đn v các
nhà toán hc thng s dng đa thc (đc bit là đa thc Lagrange) hay hàm phân thc
đ xây dng các hàm xp x (xem [20, 63]) .Tính cht ca dãy các đim ni suy và tính
cht ca hàm cn xp x có nh hng nhiu đn s hi t ca hàm s xp x. Phép ni
suy Lagrange rt thun li cho vic s dng, nhng nó không n đnh. Các h s bc
cao ca đa thc La
grange tng nhanh khi s đim ni suy tng và dãy các đa thc
Lagrange không hi t trong
2
H
. Mt trong nhng cách gii quyt vn đ này là loi

b hay
chｐt cつt các s hng bc cao ca a thc Lagrange. ó là mt phng pháp
chnh hóa. Bài báo “Reconstruction of Analytic Functions on the Unit Disc from a
Sequence of Moments : Regularization and Error Estimates”, ca nhóm nghiên cu
ca G.s T.s ng ình Áng đã trình bày kt qu vi mt s đánh giá sai s. Trong
lun án này chúng tôi tip tc s dng ý tng đó đ chnh hoá các bài toán ni suy
hàm gii tích.
Cách chnh hóa bng hàm phân thc không đòi hi các điu kin cht ch nh
dùng đa thc Lagrange, chng hn bao đóng ca các dãy đim ni suy không cn nm
hn trong đa đn v. Trong “Recover
y of
p
H
-functions”, Totik dùng hàm phân thc
đ xp x hàm cn tìm, nhng không đa ra công thc c th. Và tác gi cng không
trình bày cách đánh giá sai s trong phép xp x.
Vn đ chúng tôi quan tâm là tính sai s ca phép xp x và tính th nguyên
chnh hóa trong phng pháp cht ct các đa thc Lagrange. Mt s kt qu bng s
cng đc thc hin đ minh ha cho phng pháp.
Ni dung ca lun án gm có phn m đu, chng kin thc chun b (chng
1), phn chính ca lun án đc t
rình bày trong bn chng (chng 2-5) tng ng
vi bn bài toán mà chúng tôi s ln lt gii thiu di đây, phn kt lun, danh mc
các công trình ca tác gi lun án và tài liu tham kho.
Phn m đu gii thiu tng quan v các bài toán đc trình bày trong lun án, các
kt qu trc đó và tóm tt ni dung chính ca các chng trong lun án.
Chng 1 gii thiu và nhc li mt s kin thc, các ký hiu, các không gian hàm
đc s dng trong lun án.
Chng 2 (Bài toán th nht) gii thiu bài toán Khôi phc hàm gii tích bng các đa
thc Lagrange b cht ct. Kt qu ca chng này ly t bài báo [60] ca chúng tôi.

Ni dung ca chng gm hai phn chính: thit lp các điu kin cn và đ cho s hi
t ca các đa thc Lagrange b cht ct và đa ra kt qu ca s chnh hóa.
Cho
U
là mt đa đn v trong mt phng phc. Chúng tôi s khôi phc mt
hàm
f
trong không gian Hardy
)U(H
2
t các giá tr


m
n
fz , vi



m
n
z(mN;1nm) là mt h thng đim trong
U
. Nh đã phân tích, đây là mt
bài toán không chnh. Hàm
f đc xp x bi các đa thc Lagrange b cht ct. C
th, ta xét bài toán khôi phc hàm
f trong không gian )(
2
UH sao cho




mm
nn
f(z )

 )mn1;Nm(



, (2.1)
vi


)(m
n

là mt tp các s phc b chn. Bài toán (2.1) đã đc đ cp trong nhiu
công trình mà bn đc có th tham kho trong các tài liu [20, 22, 39, 63]. Hàm
f cha
bit đã đc xp x bi các đa thc (đc bit là các đa thc Lagrange (xem [20, 63] ) và
bi các hàm hu t (xem [39, 57, 63] ). Nh đã phân tích, tính n đnh ca các thut
toán xp x này đã không đc đ cp trong các công trình y.
Mt cách vn tt, chúng tôi s trình bày mt cách chnh hóa bài toán (2.1) da
trên vic xp x (trong
)(
2
UH ) hàm f bi các đa thc

(m) k (m) (m) (m)
mk 12m
0k (m1)
L ( v )( z ) l z ( 0 1; v ( , , , ))



 


(2.2)
vi
)m(
k
l
là h s ca
k
z trong khai trin ca đa thc Lagrange )v(L
m
có bc 1m


,
tha: )mk1()z)(v(L
)m(
k
)m(
km



.
a thc
)v(L
m

đc gi là mt đa thc Lagrange bお chｐt cつt. Ta chú ý rng
nu
1

thì )v(L
m

chính là đa thc Lagrange.
Theo s hiu bit ca chúng tôi thì cách tip cn trong chng này là mi.
Trong [8, 28], đa thc b cht ct
)v(L
2/1
m
đc dùng đ xp x hàm f .  đây, chúng
tôi s nghiên cu s hi t ca
)v(L
m

vi

nm trong mt khong m. C th chúng
tôi s chng t rng có mt
0

trong



1,0 sao cho f)v(L
m


trong )U(H
2
vi
0
0


 , và kt qu s không đúng nu
0
1



 .
Ch逢挨ng 3 (Bài toán th hai) trình bày vn đ chnh hóa mt bài toán nhit ngc ri
rc bng các h s ca đa thc Lagrange b cht ct. Chng này là m rng ca bài
báo [41].
Cho

t,xuu  biu din s phân phi nhit đ tha phng trình sau đây






t,x0uu
t

R


1,0

. (3.1)
Bài toán nhit ngc là tìm nhit đ ban đu


0,xu t nhit đ cui


T,xu . 
cho đn gin ta gi s
1
T
 . ây là bài toán không chnh (xem [10]) và đã đc
nghiên cu t lâu. Bài toán đã đc xem xét bi nhiu tác gi vi nhiu cách tip cn
khác nhau. Bài toán đã đc xem xét k lng bi phng pháp na nhóm kt hp vi
phng pháp quasi – reversibility và phng pháp quasi – boundary value (xem [6, 3,
14, 16, 37, 52, 53, 31, 40, 35, 21, 66]). Dùng hàm Green ta chuyn phng trình nhit
ti phng trình sau
 











de0,u
t2
1
t,xu
t4
x
2

x
R , t > 0.
Do đó







 1,x2ude0,2u
1
2
x




.
Vi dng này ta có th xem xét bài toán nhit ngc nh bài toán tích chp Gauss
ngc ( hoc phép bin đi Weierstrass) đ tìm


0,x2u t nh

1,x2u ca nó. Nhiu
công thc bin đi ngc ca phép bin đi Gauss đã đc cho trong [36, 48, 49].
Trong [49] , dùng lý thuyt
reproducing kernel các tác gi đã đa ra các công thc gii
tích ngc ti u trong trng hp c th. Trong các tài liu sau này thì các tác gi đã
nghiên cu trng hp d liu trong
2
L không chính xác và đa ra mt s c lng
sai s c th. Gn đây nht, trong [36] các tác gi đã s dng không gian Paley –
Wiener và xp x
sinc đ thit lp mt công thc gii tích ngc cho phép bin đi
Gauss mà nó rt hiu qu khi đc thc hin trên máy tính. Vi [17,67] thì phép bin
đi ngc Weierstrass cho các hàm tng quát đã đc nghiên cu.
Trong thc hành, ta ch ly nhit đ đc đo ti mt tp đim ri rc. Ngha là


jj
1,xu


. (3.2)

Do đó bài toán tìm nhit đ ti thi đim ban đu t nhng giá tr nhit đ cui, ri rc
là cn thit. Bài toán trong trng hp này là không chnh. Vì vy ta cn chnh hoá bài
toán. Theo hiu bit ca chúng tôi thì các tài liu v hng này là rt him. Trong [41],
chúng tôi dùng đa thc Legendre đc dch chuyn (shifted Legendre) đ chnh hoá
mt dng ri rc ca bài toán nhit ngc trên mt phng. Tuy nhiên gi thit rng
nhit đ

y,xu có bc




y,x
22
yx
e


(


,
lim ,
xy
xy



 ) là quá nghiêm ngt. 
chng này, điu kin trên đc loi b hoàn toàn.

Trong phn cui chng, mt s kt qu tính s cng đc trình bày.
Ch逢挨ng 4 (Bài toán th ba) chúng tôi xét bài toán khôi phc hàm



,0:f R.
tha phng trình
L


j
0
xp
j
dxxfepf
j






vi

,3,2,1j,,0p
j


Bài toán này đã đc trình bày trong bài báo [34].
Trong chng này chúng tôi s chuyn bài toán ti mt bài toán ni suy hàm

gii tích trong không gian Hardy ca đa đn v và đa ra mt kt qu v tính duy nht.
Sau đó dùng đa thc Laguerre và h s ca đa thc Lagrange đ xp x hàm
f . Chúng