bài toán khoảng cách trong câu hỏi phụ của đồ thị hàm số

Chuyờn luyn thi i hoc.
Giỏo viờn: on Minh K *** Trng THPT s 1 Qung Trch
BI TON KHONG CCH TRONG CU HI PH CA TH HM S.

Trong cỏc thi i hc-cao ng, cõu hi liờn quan ti th hm s luụn l bi
toỏn khú i vi a s hc sinh do phm vi ca ni dung cõu hi l khỏ rng, tớch hp
nhiu kin thc ca chng 1 gii tớch lp 12 v gii c n kt qu cui cựng thỡ
hc sinh cn thụng tho kin thc t lp di nh kh nng bin lun trng hp, gii
phng trỡnh, chng minh bt ng thc,dựng nh lý Viet, s dng kin thc hỡnh hc
phng lm tt cõu hi ny, cỏc em cn phõn dng cỏc bi tp, sau ú rốn luyn cỏc
bi tp mang tớnh tng hp ca chng v tt nhiờn cỏc kin thc liờn quan núi trờn
phi c mi gia mt cỏch thnh tho.Sau õy tụi xin cp n dng BI TON
KHONG CCH TRONG CU HI PH CA TH HM S.

I. Lí THUYT
1. Cho hai im
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1
; ; ;
A x y B x y AB x x y y
ị = - + -
.
2. Cho im
(
)
0 0
;
M x y
v ng thng d : Ax +By+C=0 , thỡ khong cỏch t M n d :
( )

0 0
2 2
Ax
;
By C
h M d
A B
+ +
=
+

3. Khong cỏch t
(
)
0 0
;
M x y
n tim cn ng : x=a l
0
h x a
= -

4. Khong cỏch t
(
)
0 0
;
M x y
n tim cn ngang : y=b l :
0

h y b
= -

5. Chỳ ý : Hai im A v B thng l hai im cc i , cc tiu hoc l giao ca mt
ng thng vi mt ng cong (C) no ú . Vỡ vy trc khi ỏp dng cụng thc , ta
nht thit phi tỡm ta ca chỳng ( Tỡm iu kin tn ti A v B )
- Nh iu kin tn ti hai im cc tr cho hm phõn thc v hm a thc
- Khi tỡm giao hai ng : Lp phng trỡnh honh im chung , sau ú tỡm iu
kin cho phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
II. VN DNG:
Dng 1: Cho hm s y=f(x) dng phõn thc cú th (C) . Hóy tỡm trờn (C) hai
im A v B thuc 2 nhỏnh khỏc nhau sao cho khong cỏch AB ngn nht .
CCH GII
- Gi s (C) cú tim cn ng : x=a . Do tớnh cht ca hm phõn thc , th nm v
hai phớa ca tim cn ng . Cho nờn gi hai s
,
a b
l hai s dng
- Nu A thuc nhỏnh trỏi
( )
A A
x a x a a C
a
< ị = - < ẻ , v
- B thuc nhỏnh phi
( )
B B
x a x a a C
b
> ị = + > ẻ

- Tớnh :
( ); ( )
A A B B
y f x y f x
= = ; Sau ú tớnh
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2
B A B A B A
AB x x y y b a y y
b a
= - + - = + - - + -ộ ự
ở ỷ

- Khi ú AB cú dng :
(
)
2
; ; .
AB g a b
a b a b
= + +
ộ ự
ở ỷ
. p dng bt ng thc Cụ-si , ta cú
kt qu cn tỡm .

Chuyờn luyn thi i hoc.
Giỏo viờn: on Minh K *** Trng THPT s 1 Qung Trch

Vớ d 1. Cho hm s
( )
3 6
1
3 3
x
y C
x x
+
= = +
- -

Tỡm trờn (C) hai im A,B thuc hai nhỏnh khỏc nhau sao cho AB ngn nht .
GII
Gi A thuc nhỏnh trỏi
3
A
x
< ị
vi s
0
a
>
, t
( )
6 6 6
3 3 1 1 1 1
3 3 3
A A
A

x y
x
a
a a
= - < = + = + = -
- - -

- Tng t B thuc nhỏnh phi x
B
> 3, vi s
b
>0 , t :
( )
6 6 6
3 ; 1 1 1 2
3 3 3
B B
B
x y
x
b
b b
= + ị = + = + = +
- + -

Vy :
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2

2
6 6
3 3 1 1
B A B A
AB x x y y
b a
b a
ộ ự
ổ ử
ổ ử
= - + - = + - - + + - -ộ ự
ờ ỳ
ỗ ữ
ỗ ữ
ở ỷ
ố ứ
ố ứ
ở ỷ

AB
2
= (
b
a
+
)
2
+ (
ba
66

+
)
2
= (
b
a
+
)
2
+ 36(
b
a
+
)
2
.
22
1
ba
= (
abba
2
22
++
) (1+
22
36
ba
)

(2
ab
ab
2
+
)(1+
22
36
ba
) = 4
ab
+
ab
144


48( theo bt cụsi)
- Du ng thc xy ra khi :

ù
ợ
ù
ớ
ỡ
=
=
ab
ab
ba
144

4



ợ
ớ
ỡ
=
=
36)(
2
ab
ba



6==
ba

Do ú ta tỡm c hai im : A(3-
6
; 1-
6
) ; B(3+
6
; 1+
6
).

2. DNG 2.

Cho ng cong (C) v ng thng d : Ax+By+C=0 . Tỡm im I trờn (C) sao
cho khong cỏch t I n d l ngn nht .
CCH GII
- Gi I thuc (C)
(
)
0 0 0
; ( )
I x y f x
ị =
- Tớnh khong cỏch t I n d :
( )
0 0
0
2 2
Ax
( ) ;
By C
g x h I d
A B
+ +
= =
+

- Kho sỏt hm s
0
( )
y g x
= , tỡm ra min.
Vớ d 2.Cho hm s

( )
2
4 5 1
2
2 2
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
+ +
Tỡm im M trờn (C) sao cho
khong cỏch t M n d : y+3x+6=0 l nh nht ?
GII Gi M l im bt k thuc (C) , thỡ :
( )
1
; 2
2
M x y y x
x
ổ ử
= = + +
ỗ ữ
+
ố ứ

- Khong cỏch t M n d l h(M;d) :
Chuyờn luyn thi i hoc.
Giỏo viờn: on Minh K *** Trng THPT s 1 Qung Trch
( )

3 6
1 1 1 1
( ; ) ( ) 3 6 2 4 2
2 2
10 10 10
x y
h M d g x x x x
x x
+ +
= = = + + + + = + +
+ +
.
+) Khi x>-2 ,x+2>0
( )
2
5
2
1 1 1
2
4( 2) 4 4( 2) ; 2
3
2 2 4
2
2
x
x x x
x x
x
ộ
= - < -

ờ
ị + + + = + = ị
ờ
+ +
ờ
= - > -
ờ
ở

Vy : min(M;d)=
4
10
, khi x=-3/2
+) Khi x<-2 , thỡ x+2<0
( )
( )
( ) ( )
2
1 1 5
4 2 4 4 2 ; 2 1
2 2 2
x x x x
x x
ị - + - - + = - + = ị = -
+ +

Do ú min(M;d)=
4
10
khi x=-3 .

Túm li : min(M;d)=
4
10
khi x=-1 v x=-3 .Cú hai im M l M(-1;2) v M(-3;-2)
Vớ d 3. ( H-KA-2005)Cho hm s
( )
1
m
y mx C
x
= +

a. Kho sỏt v v th (C) vi m=1
b. Tỡm m khong cỏch t im cc tiu n ng thng tim cn xiờn ca
(
)
m
C
bng
1
2
.
GII
a. Hc sinh t v th (C)
b.Ta cú :
-
2
2
1 1
' 0 0

y m x m
x m
= - = = ị >
. Qua bng bin thiờn , ta thy im cc tiu l
1
;2
M m
m
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ
.
- Tim cn xiờn ca
(
)
m
C
l d : y=mx .
- Khong cỏch t M n d l h(M;d) bng :
2
2 2
1
. 2
( ; )
1
1 1
m m
m m
m

h M d
m
m m
-
= = =
+
+ +

- Theo gi thit :
2
2 2
1 1
; 2 1 0; 1 0
1 2 1 2
m m
m m m
m m
= = ị - + = = >
+ +

- Kt lun : Vi m=1 thỡ tha món yờu cu bi toỏn .
Vớ d 4.(H-KB-2005 ). Cho hm s
(
)
( )
2
1 1
1
1 1
m

x m x m
y x m C
x x
+ + + +
= = + +
+ +

a. Kho sỏt v v th (C) vi m=1
Chuyên đề luyện thi đại hoc.
Giáo viên: Đoàn Minh Kế *** Trường THPT số 1 Quảng Trạch
b. Chứng tỏ với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu và khoảng cách giữa chúng
bằng
20
.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có :
( )
( )
( )
2
2 2
0
1 1
1
' 1 0
2
1 1
x
x

y
x
x x
=
+ -
é
= - = = Û
ê
= -
+ +
ë
. Không phụ thuộc vào m , hay nói một
cách khác là với mọi m hàm số luôn có cực đại tại A(-2;m-3 ) và điểm cực tiểu
B(0;m+1).
- Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là AB .
(
)
2 2
( ; ) 4 4 20 20 dpcm
AB g x m ABÞ = = + = Û = .
Ví dụ 5.(ĐHKD-2003 có bổ sung). Cho hàm số
( )
2
2 4 4
2 2
x x
y x C
x x
- +
= = +

- -

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm m để đường thẳng d : y=mx+2-2m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB=2.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b Phương trình hoành độ điểm chung của (C) và d là
( ) ( ) ( )
2
2
2 4
2 2 ; ( ; ) 1 4 1 4 8 0 1
2
x x
mx m g x m m x m x m
x
- +
Û = + - Û = - + - + - =
-

- Để tồn tại A,B thì :
( ) ( )( ) ( )
2
1 0
1
' 4 1 1 4 8 0 1 *
4 4 0
(2; ) 4
m
m

m m m m
m
g m
- ¹
ì
ï ¹
ì
Û D = - - - - > Û Û >
í í
- >
î
ï
= - ¹
î

- Khi đó :
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 ' 2 4 4
1 1 1
1 1
m
AB x x m x x x x m m m
m m
D -
Û = - + - = - + = + = +
- -

( )
(
)
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
4 1 1
2 4 1 1 1 ; 1 4 4 1 0
1
m m
AB m m m m m m
m
- +
é ù
Û = = Û - + = - Þ - + - - =
ë û
-

2
1 0
1
4 5 0
m
m
m m
- =
é

Û Û =
ê
- + =
ë
.Vi phạm điều kiện (*) . Cho nên không tồn tại m .

Ví dụ 6 .Cho hàm số
( )
2 1 3
2
2 2
x
y C
x x
+
= = -
+ +

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB nhỏ nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. - Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm của phương trình :
Chuyên đề luyện thi đại hoc.
Giáo viên: Đoàn Minh Kế *** Trường THPT số 1 Quảng Trạch
( )
2
2 1
; ( ; ) (4 ) 1 2 0 1
2

x
x m g x m x m x m
x
+
Û = - + Û = + - + - =
+
có hai nghiệm khác -2
( ) ( )
( )
2
2
12 0
4 4 1 2 0
3
*
3
2
( 2; ) 2 3 0
2
m
m m
m
m
g m m
ì
+ >
ì
D = - - - >
ï ï
Û Û Þ ¹

í í
¹
- = - ¹
ï
ï
î
î

- Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1
; ; ; 2
A x x m B x x m AB x x x x x x
- + - + Þ = - + - = -
- Vậy :
2
2 1
2 2 2. 12 22 3 2 6; 0
AB x x m m
= - = D = + ³ = Û =
.
Khi m = 0 thì AB nhỏ nhất bằng
2 6
.
DẠNG 3: Cho y=f(x) có đồ thị (C) .Tìm điểm M trên (C) sao cho
Khoảng cách từ M đến trục hoành bằng k lần khoảng cách từ M đến trục tung .
CÁCH GIẢI: Tập hợp các điểm M có khoảng cách tới trục hoành bằng k lần khoảng
cách tới trục tung là các đường thảng y = kx và y = -kx Nên điểm M cần tìm là giao

điểm của (C) và 2 đường thẳng nói trên.
- Theo đầu bài ta có :
(
)
( )
; 0
; 0
g x k
y kx
y k x
y kx
h x k
=
é
=
é
= Û Þ
ê
ê
= -
=
ë
ê
ë

- Bằng phương pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số ta có kết quả
Ví dụ 7.Cho hàm số
( )
2 3
1

1 1
x
y C
x x
-
= = -
+ +

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng ba lần
khoảng cách từ M đến trục Oy .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b. Theo giả thiết ta có :
0
2
2
2
ô n
3
3 3 2 2 0
1
2 10 2 10
3 2
3 4 2 0
3
3 3
1
x
v

x
y x x x
x
y x x
x x
x x
x
x
-
é
é
=
ê
é
= + + =
é
+
ê
Û Û Û Û
ê
ê
ê
- - - +
ê
= - -
+ - =
= Ú =
ë
ê
ë

= -
ê
ë
ê
+
ë

Vậy trên (C) có hai điểm M có hoành độ :
2 10 2 10
3 3
x x
- - - +
= Ú =
, thỏa mãn yêu cầu
bài toán .
Bài tập . Cho hàm số
( )
2
5 15 9
2
3 3
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
+ +

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng hai lần

khoảng cách từ M đến trục Oy .

Trên đây là một số bài toán liên quan tới khoảng cách thường gặp, các em tham
khảo.Chúc các em thành công.

Chuyên đề luyện thi đại hoc.
Giáo viên: Đoàn Minh Kế *** Trường THPT số 1 Quảng Trạch