Bài toán khoảng cách trong khảo sát hàm số

CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT
1. Cho hai điểm
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1
; ; ;A x y B x y AB x x y y⇒ = − + −
.
2. Cho điểm
( )
0 0
;M x y
và đường thẳng d : Ax +By+C=0 , thì khoảng cách từ M đến d :
( )
0 0
2 2
Ax
;
By C
h M d
A B
+ +
⇔ =
+
3. Khoảng cách từ
( )
0 0
;M x y
đến tiệm cận đứng : x=a là
0

h x a= −
4. Khoảng cách từ
( )
0 0
;M x y
đến tiệm cận ngang : y=b là :
0
h y b= −
5. Chú ý : Hai điểm A và B thường là hai điểm cực đại , cực tiểu hoặc là giao của một
đường thẳng với một đường cong (C) nào đó . Vì vậy trước khi áp dụng công thức , ta cần
phải tìm tọa độ của chúng ( Tìm điều kiện tồn tại A và B )
- Nhớ điều kiện tồn tại hai điểm cực trị cho hàm phân thức và hàm đa thức
- Khi tìm giao hai đường : Lập phương trình hoành độ điểm chung , sau đó tìm điều kiện
cho phương trình có hai nghiệm phân biệt
II. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
A.ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
1. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) . Hãy tìm trên (C) hai điểm A và B sao cho khoảng
cách AB ngắn nhất .
CÁCH GIẢI
- Giả sử (C) có tiệm cận đứng : x=a . Do tính chất của hàm phân thức , đồ thị nằm về hai
phía của tiệm cận đứng . Cho nên gọi hai số
,
α β
là hai số dương
- Nếu A thuộc nhánh trái
( )
A A
x a x a a C
α
< ⇒ = − < ∈

, và
- B thuộc nhánh phải
( )
B B
x a x a a C
β
> ⇒ = + > ∈
- Tính :
( ); ( )
A A B B
y f x y f x= =
; Sau đó tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2
B A B A B A
AB x x y y b a y y
β α
= − + − = + − − + − 
 
- Khi đó AB có dạng :
( )
2
; ; .AB g a b
α β α β
= + + 
 
. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si , ta có kết
quả cần tìm .

VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. ( ĐH-NGoại Thương -99). Cho hàm số
( )
2
1 1
1 1
x x
y x C
x x
− +
= = +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau , sao cho AB ngắn nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
1
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
b. Gọi A thuộc nhánh trái
1
A
x < ⇒
với số
0
α
>
, đặt
( )
1 1 1

1 1 1 1 1
1 1 1
A A A
A
x y x
x
α α α
α α
= − < ⇔ = + = − + = − −
− − −
- Tương tự B thuộc nhánh phải
1
B
x > ⇒
với số
β
>0 , đặt :
( )
1 1 1
1 ; 1 1 2
1 1 1
B B B
B
x y x
x
β β β
β β
= + ⇒ = + = + + = + +
− + −
- Vậy

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 2 1
( ; ) 1 2 1 1
2 1 4
( ; ) 2 2 1 1 8 8 8 2 4.8 8 8 2
B A B A
AB x x y y
g
g
AB
β α β α
β α
α β α β α β α β α β α β αβ
α β αβ αβ α β
α β αβ αβ αβ
αβ α β αβ

 
 
 
= − + − = + − − + + + − − −
 
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
     
= + + + + + = + + + + = + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
 
≥ + + + + = + + ≥ + = +
 ÷
 
⇔ 8 8 2≥ +
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
( )
2
4
1
;
4
1
8

2
2
α β
α β
α β
αβ
αβ
αβ
=

=

 
⇔ ⇒ = = ±
 
=
=
 


- Do đó ta tìm được hai điểm :
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;1 2 ; 1 ;1 2
2 2 2 2
A B
   
− − − + + +
 ÷  ÷

   
Ví dụ 2.( ĐH-GTVT-98). Cho hàm số
( )
2
3 3 13
5
2 2
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắn nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi A thuộc nhánh trái
2
A
x < ⇒
với số
0
α
>
, đặt
( )
13 13 13
2 2 5 7 7 1
2 2 2

A A A
A
x y x
x
α α α
α α
= − < ⇔ = + + = − + = − −
− − −
- Tương tự B thuộc nhánh phải
2
B
x > ⇒
với số
β
>0 , đặt :
( )
13 1 13
2 ; 5 2 5 7 2
2 2 2
B B B
B
x y x
x
β β β
β β
= + ⇒ = + + = + + + = + +
− + −
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
2
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ

- Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
13 13
2 2 7 7
13 13 13 26 169
( ; ) 1 2 1 1
26 169 52
( ; ) 2 2 1 1 8 104
B A B A
AB x x y y
g
g
β α β α
β α
α β α β α β α β α β α β αβ
α β αβ αβ α β
α β αβ αβ αβ

αβ α β αβ
 
 
 
= − + − = + − − + + + − − −
 
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
     
= + + + + + = + + + + = + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
 
≥ + + + + = + +
 ÷
 
104 104 2
104 104 2 2 26 26 2AB
≥ +
⇔ ≥ + = +
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
( )
2
2
1

;
52
8
338
338
α β
α β
α β
αβ
αβ
αβ
=

=

 
⇔ ⇒ = = ±
 
=
=




- Do đó ta tìm được hai điểm :
13 13
2 338;7 338 ; 2 338;7 338
338 338
A B
   

− − − + + +
 ÷  ÷
   
Ví dụ 3. (ĐH-SPTPHCM-2000). Cho hàm số
( )
2
3 3 1
2
1 1
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
+ +

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắn nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi A thuộc nhánh trái
1
A
x < − ⇒
với số
0
α
>
, đặt
( )

1 1 1
1 1 2 1 2 1 1
1 1 1
A A A
A
x y x
x
α α α
α α
= − < ⇔ = + + = − − + + = − −
+ − − +
- Tương tự B thuộc nhánh phải
1
B
x > − ⇒
với số
β
>0 , đặt :
( )
1 1 1
1 ; 2 1 2 1 2
1 1 1
B B B
B
x y x
x
β β β
β β
= + ⇒ = + + = − + + + = + +
− − + +

- Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 2 1
( ; ) 1 2 1 1
2 1 4
( ; ) 2 2 1 1 8 8 8 2 4.8 8 8 2
B A B A
AB x x y y
g
g
β α β α
β α
α β α β α β α β α β α β αβ
α β αβ αβ α β
α β αβ αβ αβ
αβ α β αβ

 
 
 
= − + − = − + − − − + + + − − −
 
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
     
= + + + + + = + + + + = + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
 
≥ + + + + = + + ≥ + = +
 ÷
 
⇔ 8 8 2AB ≥ +
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
3
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
( )
2
4
1
;

4
1
8
2
2
α β
α β
α β
αβ
αβ
αβ
=

=

 
⇔ ⇒ = = ±
 
=
=
 


- Do đó ta tìm được hai điểm :
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;1 2 ; 1 ;1 2
2 2 2 2
A B

   
− − + − − + + +
 ÷  ÷
   
Ví dụ 4.( ĐH-An ninh-98). Cho hàm số
( )
2
1
1
1 1
x
y x C
x x
= = + +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắn nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi A thuộc nhánh trái
1
A
x < ⇒
với số
0
α
>
, đặt
( )
1 1 1

1 1 1 1 1 2 1
1 1 1
A A A
A
x y x
x
α α α
α α
= − < ⇔ = + + = − + + = − −
− − −
- Tương tự B thuộc nhánh phải
1
B
x > ⇒
với số
β
>0 , đặt :
( )
1 1 1
1 ; 1 1 1 2 2
1 1 1
B B B
B
x y x
x
β β β
β β
= + ⇒ = + + = + + + = + +
− + −
- Vậy

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1 2 2
1 1 1 2 1
( ; ) 1 2 1 1
2 1 4
( ; ) 2 2 1 1 8 8 8 2 4.8 8 8 2
B A B A
AB x x y y
g
g
AB
β α β α
β α
α β α β α β α β α β α β αβ
α β αβ αβ α β
α β αβ αβ αβ
αβ α β αβ

 
 
 
= − + − = + − − + + + − − −
 
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
     
= + + + + + = + + + + = + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
 
≥ + + + + = + + ≥ + = +
 ÷
 
⇔ 8 8 2≥ +
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
( )
2
4
1
;
4
1
8

2
2
α β
α β
α β
αβ
αβ
αβ
=

=

 
⇔ ⇒ = = ±
 
=
=
 


- Do đó ta tìm được hai điểm :
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;2 2 ; 1 ;2 2
2 2 2 2
A B
   
− − − + + +
 ÷  ÷

   
Ví dụ 5. Cho hàm số
( )
3 6
1
3 3
x
y C
x x
+
= = +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắn nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
4
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
b. Gọi A thuộc nhánh trái
3
A
x < ⇒
với số
0
α
>
, đặt
( )
6 6 6

3 3 1 1 1 1
3 3 3
A A
A
x y
x
α
α α
= − < ⇔ = + = + = −
− − −
- Tương tự B thuộc nhánh phải
1
B
x > ⇒
với số
β
>0 , đặt :
( )
6 6 6
3 ; 1 1 1 2
3 3 3
B B
B
x y
x
β
β β
= + ⇒ = + = + = +
− + −
Vậy :

( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2
6 6
3 3 1 1
B A B A
AB x x y y
β α
β α
 
 
 
= − + − = + − − + + − − 
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2

6 6 1 2 1
( ; ) 6 1 2 1 36
2 1 4
( ; ) 2 2 1 36 148 8 8 2 4.148 8 8 37
8 8 37
g
g
AB
α β α β α β α β α β αβ
α β αβ αβ α β
α β αβ αβ αβ
αβ α β αβ
     
= + + + = + + + + = + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
 
≥ + + + + = + + ≥ + = +
 ÷
 
⇔ ≥ +
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
( )
2
4
1
;
4
1
148

37
37
α β
α β
α β
αβ
αβ
αβ
=

=

 
⇔ ⇒ = = ±
 
=
=
 


- Do đó ta tìm được hai điểm :
4 4 4 4
1 6 1 6
3 ;1 ; 3 ;1
37 37 37 37
A B
   
− − + +
 ÷  ÷
   

2. BÀI TOÁN 2 .
Cho đồ thị (C) có phương trình y=f(x)
Tìm trên (C) điểm M sao cho
a. Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
b. Khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau ( Hay : Khoảng cách từ M đến trục
hoành bằng k lần khoảng cách từ M đến trục tung )
c. Khoảng cách từ M đến I ( là giao hai tiệm cận ) là nhỏ nhất .
CÁCH GIẢI
A. Đối với câu hỏi : Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất .
- Gọi M(x;y) với y=f(x). thì tổng khoảng cách từ M đến hai trục là d
d x y⇒ = +
- Xét các khoảng cách từ M đến hai trục khi M nằm ở các vị trí đặc biệt : Trên trục hoành ,
trên trục tung .
- Sau đó xét tổng quát ,những điểm M có hoành độ , hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc
tung độ của M khi nằm trên hai trục , để suy ra cách tìm GTLN-GTNN của d .
Ví dụ 1. Cho hàm số
( )
2
2 2
2
2 2
x
y x C
x x
−
= = + +
− −
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
5
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm những điểm M trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ
nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C).
b. - Xét những điểm M nằm trên trục Ox , cho y=0
( ) ( )
2
1 2
2 0 2 2 2;0 ; 2;0x x x M M⇔ − = ⇒ = − ∨ = ⇔ −
- Khoảng cách từ M đến hai trục là d
2 0 2d⇒ = − + =
- Xét những điểm M nằm trên trục Oy : cho x=0 , y= 1 , suy ra tồn tại 1 điểm M(0;1) . Vậy
khoảng cách từ M đến hai trục là d = 0+1=1 <
2
.
- Xét những điểm M có hoành độ :
2 2x d x y> ⇒ = + >
.
- Xét những điểm M có hoành độ thỏa mãn :
2x <
.
• Trường hợp :
2 0; 0x y− < < >
( )
2
2 2 2
2 2 . ' 0
2 2
2

d x y x x y
x x
x
⇒ = + = − + + + = + ⇒ = − <
− −
−
. Chứng tỏ hàm số nghịc
biến . Do vậy mind =y(0)=1 . Có một điểm M(0;1)
• Trường hợp :
( )
2
2 2 2
0 2; 0 2 2 2 ; ' 2 0 1 3
2 2
2
x y d x x x y x x
x x
x
< < > ⇒ = + + + = + + = − = ⇔ = ∨ =
− −
−
Bằng cách lập bảng biến thiên , ta suy ra mind = y(0)=1. Có một điểm M(0;1)
- Kết luận : Trên (C) có đúng một điểm M(0;1) có tổng khoảng cách từ nó đến hai tiệm cân
là nhỏ nhất .
Ví dụ 2. Cho hàm số
( )
2
3 3 1
1
2 2

x x
y x C
x x
+ +
= = + +
+ +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên đồ thị (C) những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là
nhỏ nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị
b Xét những điểm M nằm trên trục Ox , cho y=0 ,
2
3 3 0; 9 12 3 0x x⇔ + + = ∆ = − = − <
. Vô
nghiệm . Không có điểm M nào nằm trên trục Ox.
- Xét những điểm M nằm trên trục Oy , cho x=0 suy ra y=3/2 . Tồn tại 1 điểm M(0;3/2) .
Khoảng cách từ M đến hai trục là d=0+3/2=3/2 .
- Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn 3/2 .
3
2
d x y⇒ = + >
.
- Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn 3/2 :
• Với
3
0 y>3/2 ; d= x 3/2
2
x y< < ⇒ + >
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608

6
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
• Với
( )
2
3 1 1 1
0; 0 1 1 ; ' 0
2 2 2
2
x y d x x d
x x
x
− < < > ⇒ = − + + + = + = − <
+ +
+
. Chứng tỏ
hàm số nghịc biến . Suy ra mind =y(0)= 3/2 . Có 1 điểm M(0;3/2).
- Kết luận : Trên (C) chỉ có đúng một điểm M(0;3/2 ) mà tổng khoảng cách từ M đến hai
trục là nhỏ nhất .
Ví dụ 3. Cho hàm số
( )
2 5
1
3 3
x
y C
x x
+
= = +
− −

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục là nhỏ nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. - Tìm những điểm M nằm trên trục Ox : cho y=0 suy ra x = -2 . Tồn tại một điểm M(-
2;0)
2 0 2
M
d⇒ = − + =
- Tìm những điểm M nằm trên trục tung : cho x = 0 , suy ra y=-2/3
2 2
0 2
3 3
M
d⇔ = + − = <
- Xét những điểm M có hoành độ :
2 2
3 3
M
x d x y> ⇒ = + >
.
- Xét những điểm M có hoành độ thỏa mãn :
2 2 2
; (*)
3 3 3
x y y< < − ⇒ >
+) Trường hợp :
2
0
3

x≤ ≤
. Do (*) cho nên :
2
3
M
d x y= + >
+) Trường hợp :
( )
2
2 2 5 5
0; 0 1 ; ' 1
3 3 3
3
M M
x y d x d
x
x
− < < − < < ⇒ = − − − = − +
−
−
3 5
' 0
3 5
M
x
d
x

= −
= ⇔


= +


. Khi lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số nghịch biến với mọi
2
;0
3
x
 
∈ −
 ÷
 
. Vậy
2
min (0)
3
M M
d d= =
. Trên (C) có một điểm M(-2/3;0) thỏa mãn yêu cầu bài
toán .
B. Đối với câu hỏi :
Tìm m trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục
Oy .
CÁCH GIẢI
- Theo đầu bài ta có :
( )
( )
; 0
; 0

g x k
y kx
y k x
y kx
h x k
=
=

= ⇔ ⇒


= −
=



- Bằng phương pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số ta có kết quả .
MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Cho hàm số
( )
2
5 15 9
2
3 3
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
+ +

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
7
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng hai lần khoảng
cách từ M đến trục Oy .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Theo giả thiết :
2
2
2 2
0
5 15
2
1 61 1 61
2 15 0
3
2 2
2
5 15 3 11 15 0
2
ô n
3
x x
x
y x x x
x x
x
y x

x x x x
x
v
x

+ +

=
− − − +


= + − =

= ∨ =
+


⇔ ⇔ ⇔ ⇒



= −
+ + + + =




= −



+

Như vậy trên (C) có hai điểm M với hoành độ của chúng là :
1 61 1 61
2 2
x x
− − − +
= ∨ =
Ví dụ 2.Cho hàm số
( )
2 3
1
1 1
x
y C
x x
−
= = −
+ +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng ba lần khoảng
cách từ M đến trục Oy .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b. Theo giả thiết ta có :
0
2
2
2
ô n

3
3 3 2 2 0
1
2 10 2 10
3 2
3 4 2 0
3
3 3
1
x
v
x
y x x x
x
y x x
x x
x x
x
x
−


=


= + + =

+

⇔ ⇔ ⇔ ⇔




− − − +

= − −
+ − =
= ∨ =



= −



+

Vậy trên (C) có hai điểm M có hoành độ :
2 10 2 10
3 3
x x
− − − +
= ∨ =
, thỏa mãn yêu cầu bài
toán .
C. Đối với câu hỏi :
* Tìm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến I ( là giao hai tiệm cận ) là nhỏ nhất .
CÁCH GIẢI
- Tìm tọa độ của hai tiệm cận I(a;b)
- Tính khoảng cách IM bằng cách :

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
; ; ,IM x a y b IM x a y b g x a b= − − ⇒ = − + − =
uuur
- Sử dụng phương pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số ta có kết quả .
MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1.( ĐH-Ngoại ThươngA-2001). Cho hàm số
( )
2
2 2 1
3
1 1
x x
y x C
x x
+ −
= = + +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến I là nhỏ nhất ( với I là giao hai tiệm cận )
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. - Tọa độ của I là giao hai tiệm cận : I=(1;4)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
8
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
- Gọi M(x;y) thuộc (C) , ta có :
( ) ( ) ( )
2 2

2 2
2
1 1
1; 4 ( ) 1 3 4 1 1
1 1
IM x y IM g x x x x x
x x
   
⇔ = − − ⇒ = = − + + + − = − + − +
 ÷  ÷
− −
   
uuur
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1 1
( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 2
1 1
g x x x x
x x
⇔ = − + − + + = − + + ≥ +
− −
min 2 2 2IM⇒ = +
. Đạt được khi :
( )
( )

( )
4
2 4
2
4
1
1
1 1
2
2 1 ; 1
1
2
1
1
2
x
x x
x
x

= −


⇔ − = ⇔ − = ⇒

−
= +


- Như vậy trên (C) tìm được hai điểm M có hoành độ : x=1-

4
1
2
và x = 1+
4
1
2
thỏa mãn
yêu cầu bài toán .
Ví dụ 2. (ĐH-SPII-2001). Cho hàm số
( )
2
1 1
1 1
x x
y x C
x x
− +
= = +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm A(x;y) thuộc (C) với (x>1) sao cho khoảng cách từ A đến I đạt GTNN ( với I là
giao hai tiệm cận )
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. - Giao hai tiệm cận là I (1;1)
- M là điểm bất kỳ thuộc (C) suy ra M(x; y) ( x>1).
- Theo giả thiết ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
( )

2
2 2 2
2
2
1 1
1; 1 1 1 1 1 2
1
1
IM x y IM x x x x
x
x
 
⇔ = − − ⇒ = − + + − = − + − + +
 ÷
−
 
−
uuur
( )
( )
2
2
2
1
( ) 2 1 2 2 2 2; min ( ) 2 2 2
1
g x IM x g x
x
⇔ = = − + + ≥ + ⇒ = +
−

-Do đó :
( )
( )
( )
4
2 4
2
4
1
1
1 1
2
min 2 2 2 2 1 1 ;
1
2
1
1
2
x
IM x x
x
x

= −


= + ⇔ − = ⇒ − = ⇔

−
= +



- Kết luận : Trên (C) có hai điểm M có hoành độ là : x=
4
1
1
2
−
và x=
4
1
1
2
+ −
, thỏa mãn yêu
cầu của bài toán .
3. BÀI TOÁN 3.
Cho đường cong (C) và đường thẳng d : Ax+By+C=0 . Tìm điểm I trên (C) sao cho
khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
9
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
CÁCH GIẢI
- Gọi I thuộc (C)
( )
0 0 0
; ( )I x y f x⇒ =
- Tính khoảng cách từ I đến d :
( )
0 0

0
2 2
Ax
( ) ;
By C
g x h I d
A B
+ +
= =
+
- Khảo sát hàm số
0
( )y g x=
, để tìm ra minh.
MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1.Cho hàm số
( )
2
4 5 1
2
2 2
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
+ +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến d : y+3x+6=0 là nhỏ nhất ?
GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. - Gọi M là điemr bất kỳ thuộc (C) , thì :
( )
1
; 2
2
M x y y x
x
 
= = + +
 ÷
+
 
- Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) :
( )
3 6
1 1 1 1
( ; ) ( ) 3 6 2 4 2
2 2
10 10 10
x y
h M d g x x x x
x x
+ +
⇔ = = = + + + + = + +
+ +
.
+) Khi x>-2 ,x+2>0
( )
2

5
2
1 1 1
2
4( 2) 4 4( 2) ; 2
3
2 2 4
2
2
x
x x x
x x
x

= − < −

⇒ + + ≥ ⇔ + = ⇔ + = ⇒

+ +

= − > −


Vậy : minh(M;d)=
4
10
, khi x=-3/2
+) Khi x<-2 , thì x+2<0
( )
( )

( ) ( )
2
1 1 5
4 2 4 4 2 ; 2 1
2 2 2
x x x x
x x
⇒ − + − ≥ ⇔ − + = − ⇔ + = ⇒ = −
+ +
Do đó minh(M;d)=
4
10
khi x=-3 .
Tóm lại : minh(M;d)=
4
10
khi x=-1 và x=-3 .Có hai điểm M là M(-1;2) và M(-3;-2)
Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2005)Cho hàm số
( )
1
m
y mx C
x
= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Tìm m để khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng tiệm cận xiên của
( )
m
C
bằng

1
2
.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b.Ta có :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
10
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
-
2
2
1 1
' 0 0y m x m
x m
= − = ⇔ = ⇒ >
. Qua bảng biến thiên , ta thấy điểm cực tiểu là
1
;2M m
m
 
=
 ÷
 
.
- Tiệm cận xiên của
( )
m
C
là d : y=mx .

- Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) bằng :
2
2 2
1
. 2
( ; )
1
1 1
m m
m m
m
h M d
m
m m
−
= = =
+
+ +
- Theo giả thiết :
2
2 2
1 1
; 2 1 0; 1 0
1 2 1 2
m m
m m m
m m
= ⇔ = ⇒ − + = ⇔ = >
+ +
- Kết luận : Với m=1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .

Ví dụ 3.(ĐH-KB-2005 ). Cho hàm số
( )
( )
2
1 1
1
1 1
m
x m x m
y x m C
x x
+ + + +
= = + +
+ +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Chứng tỏ với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng
20
.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có :
( )
( )
( )
2
2 2
0
1 1
1
' 1 0

2
1 1
x
x
y
x
x x
=
+ −

= − = = ⇔

= −
+ +

. Không phụ thuộc vào m , hay nói một
cách khác là với mọi m hàm số luôn có cực đại tại A(-2;m-3 ) và điểm cực tiểu B(0;m+1).
- Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là AB .
( )
2 2
( ; ) 4 4 20 20 dpcmAB g x m AB⇒ = = + = ⇔ =
.
4.BÀI TOÁN 4.
Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) và đường thẳng d : y=kx+m.
Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho :
-AB là hằng số a
- AB ngắn nhất .
CÁCH GIẢI
-b1: Tìm điều kiện (*) của m để phương trình hoành độ điểm chung : f(x)=kx+m (1) có hai
nghiệm

-b2 : Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;A x y B x y
là hai giao điểm của d và (C) thì
1 2
;x x
là hai nghiệm của (1)
-b3: Tính
( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2 1 1 2 1 2
( ; ; ) 2AB x x y y g x x x x m= − + − = +
-b4: Áp dụng Vi-ét cho (1) , thay vào (2) , ta được : h(m)=0 . Giải phương trình này ta có
kết quả .
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
11
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
Ví dụ 1.(ĐH-Cần Thơ-98). Cho hàm số
( )
3
3
1
x C
x
= − + +
−
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Chứng minh với mọi m đường thẳng d : y=2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm A,B có hoành

độ
1 2
,x x
. Tìm m để khoảng cách
( )
2
2 1
x x−
đạt giá trị nhỏ nhất
c. Tìm m để khoảng cách AB đạt GTNN .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Hoành độ của A,B
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình :
( ) ( )
2
3 3
3 2 ; 3 3 0; ( ; ) 3 6 3 0 1
1 1
x x m x m g x m x m x m
x x
⇔ − + + = + ⇔ − + − + = ⇒ = + − − − =
− −
Điều kiện để có A,B :
( )
2
2
6 12( 3) 0

72 0
(1; ) 6
m m
m m R
g m

∆ = − + + >

⇒ + > ∀ ∈

= − ≠


- Khi đó :
( )
2
2
2 1
1
72 12 0
6 6
x x m m
∆
− = = + ≥ ⇔ =
b. Khoảng cách
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2 1 2 2 2 1

2 2 5AB x x x m x m x x= − + + − + = − 
 
- Vậy :
2
2 1
72
5 . 5 12 5 0
6
m
AB x x m
+
= − = ≥ ⇔ =
Ví dụ 2.(DB-ĐHKD-2003). Cho hàm số
( )
( )
2
1 3 2
1
m
x m x m
y C
x
+ + + +
=
−
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1.
b. Tìm m để
m
C
cắt trục Ox tại hai điểm A,B sao cho AB ngắn nhất .

GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Nếu
m
C
cắt trục Ox tại hai điểm A,B thì :
( ) ( )
2
( ; ) 1 3 2 0 1g x m x m x m⇒ = + + + + =
có hai nghiệm x khác 1 .
( ) ( )
2
2
10 7 0
1 4 3 2 0
5 32 5 32
(*)
1
1
(1; ) 4 4 0
m m
m m
m m
m
m
g m m



− − >

∆ = + − + >
< − ∨ > +
 
⇔ ⇔ ⇒
  
≠ −
≠
= + ≠ 




- Khoảng cách
( )
2
2
2 1
10 7 5 32 min 32AB x x m m m AB= − = ∆ = − − = − − ⇒ =
.
Ví dụ 3.(ĐHKD-2003). Cho hàm số
( )
2
2 4 4
2 2
x x
y x C
x x
− +
= = +
− −

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm m để đường thẳng d : y=mx+2-2m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB=2.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b Phương trình hoành độ điểm chung của (C) và d là
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
12
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
( ) ( ) ( )
2
2
2 4
2 2 ; ( ; ) 1 4 1 4 8 0 1
2
x x
mx m g x m m x m x m
x
− +
⇔ = + − ⇔ = − + − + − =
−
- Để tồn tại A,B thì :
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 0
1
' 4 1 1 4 8 0 1 *
4 4 0
(2; ) 4
m
m

m m m m
m
g m
− ≠

 ≠

⇔ ∆ = − − − − > ⇔ ⇔ >
 
− >


= − ≠

- Khi đó :
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 ' 2 4 4
1 1 1
1 1
m
AB x x m x x x x m m m
m m
∆ −
⇔ = − + − = − + = + = +
− −
( )
( )

( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
4 1 1
2 4 1 1 1 ; 1 4 4 1 0
1
m m
AB m m m m m m
m
− +
 
⇔ = = ⇔ − + = − ⇒ − + − − =
 
−
2
1 0
1
4 5 0
m
m
m m
− =

⇔ ⇔ =

− + =


.Vi phạm điều kiện (*) . Cho nên không tồn tại m .
Ví dụ 4.(ĐH-Duy Tân-2001). Cho hàm số
( )
( )
2
3 1
7 2
3
2 2
m
mx m x
m
y mx m C
x x
+ + +
−
= = + + +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Tìm m đẻ đồ thị (1) cắt trục Ox tại hai điểm M,N sao cho MN ngắn nhất .
GIẢI
a.Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Nếu (1) cắt trục Ox tại hai điểm M,N thì :
( ) ( )
2
( ; ) 3 1 0 2g x m mx m x⇔ = + + + =
có hai nghiệm x khác 2 .
( )
2
2

0
7
3 4 0 2 9 0 0 (*)
6
7
(2; ) 6 7 0
6
m
m
m m m m m m
g m m
m

≠

 ≠


⇔ ∆ = + − > ⇔ + + > ⇒ ≠ ∨ ≠ −
 
 
= + ≠


≠ −

Khi đó :
( )
2
2

2
2 1
2 2
1 8
2 9 2 9
1
m
m m
MN x x MN
a m m m m
+ +
∆ + +
⇔ = − = = ⇒ = = + +
.
- Đặt
2
1 1 1 8
( ; ) 1 2 9 '( ; ) 2(1 9 ) 0 ; ( ; )
9 9 9
t g t m t t g t m t t g m
m
= ⇒ = + + ⇔ = + = → = − − =
-
8 2 2 1 1 1
min ; 9
9 3 9 9
MN t m
m
⇒ = = ⇔ = − → = − ⇒ = −
. Thỏa mãn (*)

Ví dụ 5. ( ĐH-KA-2004). Cho hàm số
( )
( )
2
3 3
2 1
x x
y C
x
− + −
=
−
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm m để đường thẳng d : y=m cắt (C) tại A,B sao cho AB=1.
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
13
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ của A,B là hai nghiệm của phương trình :
( ) ( ) ( )
2 2
3 3 2 1 0; ( ; ) 2 3 3 2 0 1x x m x g x m x m x m⇔ − + − = − = ⇔ = + − + − =
Có hai nghiệm khác 1.
( ) ( )
( )
2
2
1
2 3 4 3 2 0

2
4 4 3 0 *
3
(1; ) 1 0
2
m
m m
m m
g m
m

< −


∆ = − − − >

⇔ ⇔ − − > ⇔


= ≠
 

>


- Khi đó
( ) ( )
1 2 2 1
; ;A x m B x m AB x x⇒ = − = ∆
2 2 2

1 5
2
4 4 3 1; 4 4 4 0 1 0
1 5
2
m
AB m m m m m m
m

−
=


⇔ = − − = ⇔ − − = ⇒ − − = ⇔

+
=


. Thỏa mãn (*)
Ví dụ 6.( ĐH-QGA-2000). Cho hàm số
( )
1
1
1
y x C
x
= + +
−
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b. Tìm trên (C) điểm M ( có hoành độ x>1) sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận
một tam giác có :
+) Chu vi nhỏ nhất
+) Một tam giác có diện tích không đổi .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b.Gọi
( )
0 0 0 0
0
1
; ( ) 1
1
M x y C y x
x
∈ ⇒ = + +
−
.
- Tiếp tuyến tại M có PT :
( )
( ) ( )
0 0
2
0
0
1 1
1 1 *
1
1
y x x x

x
x
 
= − − + + +
 
−
−
 
 
và I là giao hai tiệm cận
- Tọa độ của I (1;2)
- Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng : x=1 tại điểm B
0 0
1 2
2 1 1;2
1 1
B
y B
x x
   
⇒ = + ⇔ +
 ÷  ÷
− −
   
- Tiếp tuyến cắt tiệm cận xiên : y=x+1 tại điểm A.
( )
( ) ( )
0 0 0 0 0
2
0

0
1 1
1 1 1 1 2 2 1;2
1
1
A A A
x x x x x x A x x
x
x
 
⇔ − − + + + = + ⇔ = − ⇒ −
 
−
−
 
 

+) Diện tích tam giác AIB là S .
( )
0
1 1
. .sin 45 2 . 1
2 4
S IA IB IA IB⇒ = =
Ta có :
( ) ( )
2
2
0 0 0 0
2 2;2 2 8 1 1 2 2IA x x IA x IA x= − − ⇒ = − ⇔ = −

uur
Tương tự :
0
0 0 0
2 2 2
0; ; . 1 2 2. 4 2
1 1 1
IB IB IA IB x
x x x
 
= ⇒ = ⇔ = − =
 ÷
− − −
 
uur
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
14
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
( )
1
2.4 2 2
4
S dvdt⇒ = =
. Không phụ thuộc vào vị trí của điểm M .
+) Gọi chu vi tam giác IAB là P = IA+IB+AB .
Nhưng
( ) ( ) ( )
2 2 2 0
2
2 . . os45 2 . 2 . . . 1 2 4 2 1 2 4 2 2

2
AB IA IB IA IB c IA IB IA IB IA IB= + − ≥ − = − = − = −
( Dáu đẳng thức xảy ra khi IA=IB (a) )
- Mặt khác :
4
2 . 2 4 2 2 2IA IB IA IB+ ≥ = =
. Đấu đẳng thức xảy ra khi : IA=IB
-Do đó :
( )
4 4 4
2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 min 2 2 2 2 2P P≥ + − = + − ⇒ = + −
.
- Xảy ra khi :
( )
4 4
0 0
4
2
0 0
4 4
0
0 0
4
1
1 2 2 2
2
2
1 2 1 2
1
1

1 2 2 2
2
x y
x x
x
x y

= − → = − −


− = ⇔ − = ⇒
−

= + → = + +


Như vậy có hai điểm M :
4 4 4 4
1 0 2 0
4 4
1 1
1 2; 2 2 1 2; 2 2
2 2
M y M y
   
= − = − − = + = + +
 ÷  ÷
   
Ví dụ 7.Cho hàm số
( )

2 1 3
2
2 2
x
y C
x x
+
= = −
+ +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB nhỏ nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. - Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm của phương trình :
( )
2
2 1
; ( ; ) (4 ) 1 2 0 1
2
x
x m g x m x m x m
x
+
⇔ = − + ⇔ = + − + − =
+
có hai nghiệm khác -2
( ) ( )
( )
2
2

12 0
4 4 1 2 0
3
*
3
2
( 2; ) 2 3 0
2
m
m m
m
m
g m m

+ >

∆ = − − − >
 
⇔ ⇔ ⇒ ≠
 
≠
− = − ≠




- Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2

1 1 2 2 2 1 1 2 2 1
; ; ; 2A x x m B x x m AB x x x x x x− + − + ⇒ = − + − = −
- Vậy :
2
2 1
2 2 2. 12 22 3 2 6; 0AB x x m m= − = ∆ = + ≥ = ⇔ =
.
Khi m = 0 thì AB nhỏ nhất bằng
2 6
.
Ví dụ 8. Cho hàm số
( )
2
2 2 3 2
2 1
1 1
m
x mx m
y x m C
x x
+ + −
= = + − +
+ +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại , cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó tới
đường thẳng d : x+y+2=0 bằng nhau .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Tập xác định : D=R\
{ }

1−
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
15
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
- Đạo hàm :
( )
2
2
2 2 2
'
1
x x m
y
x
+ + −
=
+
- Hàm số có cực đại , cực tiểu , thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt khác -1.
( )
2
( ; ) 2 2 2 0 1g x m x x m⇔ = + + − =
( có hai nghiệm
1 2
, 1x x ≠ −
)
( )
' 3 2 0
3
*
( 1; ) 2 3 0

2
m
m
g m m
∆ = − >

⇔ ⇔ <

− = − ≠

- Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;A x y B x y
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số .
1 2
, 1x x ≠ −
là hai nghiệm của
phương trình (1) . Theo định lý Vi-ét :
1 2 1 2
2; . 2x x x x m+ = − = −
- Mặt khác đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình : y=2x+m , cho nên :
( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2
2 ; 2 ;2 ; ;2y x m y x m A x x m B x x m= + = + ⇒ + +
- Theo giả thiết :
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2
2 2
2 2 3 2 2 3 2 2

2 2
x y x y
x y x y x m x m
+ + + +
= ⇒ + + = + + ⇔ + + = + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
3 2 2 3 2 2 0 3 4 4 0x m x m x x x x m⇔ + + − + + = ⇔ − + + + = 
 
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1
3 4 4 0 3 2 4 4 0
2
x x m x m m⇔ + + + = ≠ ⇔ + + = ⇒ = −
. Thỏa mãn (*)
Vậy giá trị m cần tìm là :
1
2
m = −
.
Ví dụ 9 . Cho hàm số
( )
3 2
1
1
3
m
y x mx x m C= − − + +

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu . Tìm m để khoảng cách
giữa các diểm cực đại , cực tiểu là nhỏ nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Tập xác định : D=R
- Ta có đạo hàm :
2
' 2 1y x mx= − −
.
- Xét :
( )
2 2
( ; ) 2 1 0 1 ' 1 0g x m x mx m m R= − − = ⇒ ∆ = + > ∀ ∈
. Chứng tỏ hàm số luôn có CĐ,CT .
- Bằng phép chia đa thức :
( )
2
1 2 2
' 1 1
3 3 3 3
m
y x y m x m
 
= − − + + +
 ÷
 
. Cho nên đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị có PT :
( )

2
2 2
1 1
3 3
y m x m= − + + +
.
- Gọi hai điểm cực trị là :
( ) ( )
2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
; 1 1 ; ; 1 1
3 3 3 3
A x m x m B x m x m
   
− + + + − + + +
 ÷  ÷
   
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 4 2 ' 4
1 1 1 1 1
3 9 1 9

AB x x m x x x x m m
∆
 
⇒ = − + − + − = − + + = + +
 
 
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
4 4
2 1. 1 1 2 1 1 1
9 9
AB m m m m
 
⇔ = + + + = + + +
 ÷
 
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
16
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
- Đặt :
2 3 3 2
4 4
1 1 ( ) 2 ( ) ; '( ) 4 1 0 1
9 3
t m AB f t t t g t t t g t t t= + ≥ ⇒ = = + ⇒ = + = + > ∀ ≥
Hàm số g(t) luôn đồng biến . Do đó ming(t)=g(1)=7/3.
- Vậy
2
7 21

min 2 2 1; 1 1 0
3 3
AB t m m= = ⇔ = ⇔ + = ⇒ =
Ví dụ 10.Cho hàm số
( )
3 2
3 4y x x C= − +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Cho điểm I(-1;0). Xác định các tham số thực m để đường thẳng d : y=mx+m cắt đồ thị
(C) tại ba điểm phân biệt I,A,B sao cho AB <
2 2
.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Tọa độ của ba điểm là ba nghiệm của phương trình :
( )
( )
( ) ( )
3 2 2
2
1
1
2
3 4 ( 1); 1 4 4 0
( ; ) 2 0 1
2
0
x
x
x m

x x m x x x x m
g x m x m
x m
m
= −


= −

= −

⇔ + = + ⇔ + − + − = ⇔ ⇔


= − − =
= +




>

- Do đó A,B có hoành độ là hai nghiệm của (1).
- Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1
; ; ; 1A x mx m B x mx m AB x x m x x x x m+ + ⇒ = − + − = − +
- Theo giả thiết : AB <

2 2
.
( ) ( )
( )
2 2 2
2 1
1 2 2; 2 2 1 2 2 2 1 2 2x x m m m m m m⇔ − + < ⇔ + − − + < ⇔ + <
( )
( )
3 2
2 0 1 2 0 1m m m m m m⇔ + − < ⇔ − + + < ⇒ <
. Kết hợp với m>0 , ta có : 0<m<1 là đáp số
của bài toán .
Ví dụ 11. Cho hàm số
( )
2 1 5
2
2 2
x
y C
x x
+
= = +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M(0;1). Hãy tìm trên (C)những điểm có hoành độ x>1 mà
khoảng cách từ đó đến d là ngắn nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b.Ta có :

( )
2
5 5
' '(0)
4
2
y y
x
= − ⇒ = −
−
- Phương trình tiếp tuyến d tại M :
( )
5 5
0 1 1; 5 4 4 0
4 4
y x x x y= − − + = − + ⇒ + − =
- Gọi
( )
; ( )M x y C∈
với x>1 . Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) thì :
5 4 4
1 1 5 1 20
( ; ) 5 4 4 5 4 2 4 5 4
2 2
25 16 41 41 41
x y
h M d x y x x
x x
− +
 

⇒ = = − + = + + − = + +
 ÷
− −
+
 
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
17
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
( )
( )
2
20 20
( ) 5 4 1 ; '( ) 5 0 0 4
2
2
g x x x g x x x
x
x
⇒ = + + > = − = ⇔ = ∨ =
−
−

- Bằng cách lập bảng biến thiên , ta thấy ming(x)=g(4)=34
- Kết luận :
1
min ( ; ) .34
41
h M d =
khi x=4 và y=
( )

5 9 9
2 : 4;
2 2 2
A C
 
+ = ⇒ ∃ ∈
 ÷
 
Ví dụ 12 . Cho hàm số
( )
2 1 5
2
2 2
x
y C
x x
+
= = +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm hai điểm M,N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M,N song song với nhau và khoảng
cách giữa hai tiếp tuyến là lớn nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b.Tập xác định : D=R\
{ }
2
- Đạo hàm :
( )
2

5
'
2
y
x
= −
−
- Gọi :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
2 2
1 2
5 5
; ; ; . ;
2 2
M N
M x y N x y C k k
x x
∈ = − = −
− −
- Nếu hai tiếp tuyến song song với nhau :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2 1 2 1
2 2
1 2
5 5
2 2 0 4 0

2 2
M N
k k x x x x x x
x x
⇒ = ⇔ − = − ⇔ − − − = ⇔ − + − =
− −
( ) ( )
1 2 1 2
4 0 1x x x x⇔ + − = ≠
- Khoảng cách hai tiếp tuyến ngắn nhất khi MN vuông góc với hai tiếp tuyến :
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
5
1 5 5 5
. 1; 2 2
2 2 2 2 2 2
MN M MN
x x
y y
k k k
x x x x x x x x x x x x
 
− −
   
−
⇔ = − = = + − + = = −

 
 ÷  ÷
− − − − − − − − −
   
 
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 1
1 1
5 5 5
. 1.
2 2
2 2
M MN M
k k k
x x
x x
⇔ = − ⇒ = = −
− −
− −
Từ (1)
2 1
2 2x x− = −
( ) ( )
( )
( )
3
4 3 2

1 1 1 1 1 1
2
1 1
1
5 5 1
1 2 25 6.25 25.16 8.25 1 0
2 2 2 25
2
x x x x x x
x x
x
⇔ = − ⇔ − = ⇔ − + − − =
− − −
−
Ví dụ 13.Cho hàm số
( )
2 4 6
2
1 1
x
y C
x x
+
= = − +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua M(1;3) có hệ số góc là k .Tìm k để d cắt (C) tại hai điểm
A,B sao cho AB =
3 10
.

GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. - Đường thẳng d : y=k(x-1)+1 .
- Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ của A,B là hai nghiệm của phương trình :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
18
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
( ) ( )
2
2 4
1 ; ( ; ) 3 2 3 0 1
1
x
kx k g x k kx k x k
x
+
⇔ = + − ⇔ = + − + + =
−
. ( có hai nghiệm phân biệt khác1 )
( ) ( ) ( )
2
0
0
0
3 2 4 3 0 *
9
9 24 0
24
(1; ) 6 0
k

k
k
k k k
k
k
g k
≠

≠

 ≠


⇔ ∆ = − − + > ⇔ ⇔
  
− >
<

 

= ≠

- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm A,B
- Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1
; 3 ; ; 3 1A x kx k B x kx k AB x x k x x x x k+ − + − ⇒ = − + − = − +
- Theo giả thiết :

( )
( )
2 2 2 3 2
9 24
1 3 10 9 24 1 90 24 81 24 9 0
k
AB k k k k k k k
k
−
⇔ = + = ⇔ − + = ⇒ + + + =

( )
( )
( )
2
2
3
3
3 3 8 3 1 0 **
3 41 3 41
8 3 1 0
16 16
k
k
k k k
k k
k k
= −

= −



⇔ + + − = ⇒ ⇔

− − − +

+ − =
= ∨ =



- Vậy với k thỏa mãn (**) thì d cắt (C) tại A,B và AB=
3 10
Ví dụ 14. Cho hàm só
( )
3
3 2y x x C= − +

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N mà MN= 2
6
.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
- Đạo hàm :
2
' 3 3 0 1 1y x x x= − = ⇔ = − ∨ =
- Gọi
( ) ( )
3

0 0 0 0 0
; 3 2M x y C y x x∈ ⇒ = − +
- Tiếp tuyến d tại M có phương trình :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 3 3 2 3 1 1 2y x x x x x x x x x x x
 
= − − + − + = − + − + + −
 
- Nếu d cắt (C) tại N thì :
3
3 2x x⇔ − + =
( )
( )
2 3
0 0 0 0
3 3 3 2x x x x x− − + − +
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
3 3 3 0 3 3 3 0x x x x x x x x x x xx x x
 
⇔ − − − − − − = ⇔ − + + − − − =
 

0
0
0
0
2 2
0
0 0
0
0
4
4
2 0
x x
x x
x x
x x
x x
x xx x
x x
=

− =
=



⇔ ⇒ = − ⇔




= −
+ − =



=

.
- Như vậy , điểm N là điểm có hoành độ là :
( ) ( )
( )
2
0 0 0 0
4 4 ; 4 1 4 2
N
x x N x x x= − ⇒ − + −
- Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
0 0 0 0 0
5 4 1 4 2 1 2MN x x x x x
 
= − + + − − − −
 
( )
( )
2
2
2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0
25 65 15 5 1 3 13 5 169 78 10MN x x x x x x x x⇔ = + − + = + − = − +
- Theo giả thiết :
( ) ( )
2 2 2
0 0 0 0 0 0
5 169 78 10 2 6 25 169 78 10 24x x x x x x⇒ − + = ⇔ − + =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
19
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
Ví dụ 15 .Cho hàm số
( )
3 2 1
3
1 1
x
y C
x x
−
= = +
− −
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) .
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho
AB=
2 3
.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , thì d : y=k(x-1)+3 (1)

- Nếu d cắt (C) tại hai điểm A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm của phương trình :
( )
2
3 2
3 ( ; ) 2 1 0 2
1
x
kx k g k x kx kx k
x
−
⇔ = + − ⇔ = − + − =
−
Có hai nghiệm phân biệt khác 1.
( ) ( )
2
0
0
' 1 0 0 *
0
(1; ) 1 0
k
k
k k k k
k
g k
≠

≠



⇔ ∆ = − − > ⇒ ⇔ >
 
>


= − ≠

- Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1
; 3 ; ; 3 1A x kx k B x kx k AB x x k x x x x k+ − + − ⇒ = − + − = − +
. Với
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình (2).
-
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 ' 2
. 1 . 1 2 3; 1 3 1 3
k
AB k k k k k k k k
a k
∆
⇒ = + = + = ⇔ + = ⇔ + =
2 2
3 5 3 5
1 3 3 1 0

2 2
k k k k k k
− +
⇔ + = ⇔ − + = ⇒ = ∨ =
. Thỏa mãn (*).
- Vậy đáp số :
3 5 3 5
2 2
k k
− +
= ∨ =
.
Ví dụ 16. Cho hàm số
( )
2 2
2
1 1
x
y C
x x
= = +
− −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y=mx-m+2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt A,B sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ của A,B là hai nghiệm của phương trình :
( )
2

2
2 ( ; ) 2 2 0 1
1
x
mx m g x m mx mx m
x
⇔ = − + ⇔ = − + − =
−
có hai nghiệm x khác 1.
( ) ( )
2
0
' 2 0 0 *
2 0
(1; ) 2 0
m
m
m m m m
m
g m
≠

≠


⇔ ∆ = − − > ⇔ ⇒ >
 
>



= − ≠

- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A,B có hoành độ là hai nghiệm của (1)
- Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1
; 2 ; ; 2 1A x mx m B x mx m AB x x m x x x x m− + − + ⇒ = − + − = − +
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
20
CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ
( ) ( )
2 2
2 2
2
2 1 2 1
2 ' 2 2
. 1 . 1 2 2 2 4 4
m m m
m
AB m m
a m m m
+ +
∆
⇔ = + = + = = ≥ =
.
- Vậy min AB=4 khi m=1.
Ví dụ 17. Cho hàm số
( )

3 2
3 1y x x C= − +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm hai điểm A,B trên (C) sao cho tiếp tuyến tại A,B song song với nhau và AB =
4 2
.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b.Ta có
2 2 2
1 1 2 2
' 3 6 3 6 ; 3 6
A B
y x x k x x k x x= − ⇒ = − = −
- Nếu hai tiếp tuyến tại A,B song song nhau thì :
( ) ( )
( )
1 2
2 2
2 2 1 1 2 1 2 1
1 2
3 6 3 6 ; 3 2 0
2 *
x x
x x x x x x x x
x x
≠

⇔ − = − ⇔ − + − = ⇔


+ =

- Do
( )
( )
( )
3 2 3 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2
, ( ) 3 1; 3 1 3A B C y x x y x x y y x x x x x x x x
 
∈ ⇒ = − + = − + ⇔ − = − + + − +
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
3 4 3.2 2 **y y x x x x x x x x x x x x x x x x
 
⇔ − = − + − + − = − − − = − − +
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2
2 1 2AB x x y y x x x x x x x x x x⇒ = − + − = − + − + = − + +
Theo giả thiết :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 1 1 2 2 1 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2

1 2 4 2 1 2 32
4 1 2 32;
x x x x x x x x
x x x x x x
 
− + + = ⇒ − + + =
 
   
⇔ + − + + =
   
- Đặt t=
1 2
x x
, và thay
1 2
2x x+ =
(do *)ta có :
( )
( ) ( )
( )
2 3 2 2
4 4 5 4 32 0; 3 3 0 1 3 0 3t t t t t t t t t− + + − = ⇔ + + + = ⇔ + + = ⇒ = −
- Vậy ta có hệ :
1
2
1 2
2
1 2
1
2

1
3
2
2 3 0 1 3
3
3
1
x
x
x x
X X X X
x x
x
x
 = −



=
+ =



⇔ − − = ⇒ = − ∨ = ⇔


= −
=





= −



- Do đó tồn tại hai điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1; 3 ; 3;1 3;1 ; 1; 3A B A B− − ∨ − −
thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
21