mô phỏng quỹ đạo của proton trong máy gia tốc cyclotron bằng chương trình geant4

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN







CAO THỊ VĨNH PHƯƠNG











MÔ PHỎNG QUỸ ĐẠO CỦA PROTON TRONG
MÁY GIA TỐC CYCLOTRON BẰNG CHƯƠNG
TRÌNH GEANT4

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ










Tp. Hồ Chí Minh, năm 2014





ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CAO THỊ VĨNH PHƯƠNG








MÔ PHỎNG QUỸ ĐẠO CỦA PROTON TRONG
MÁY GIA TỐC CYCLOTRON BẰNG CHƯƠNG
TRÌNH GEANT4




Chuyên ngành: Vật lý Nguyên tử, Hạt nhân và Năng lượng cao
Mã số chuyên ngành: 604405



LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. HOÀNG THỊ KIỀU TRANG

Tp. Hồ Chí Minh, năm 2014


LỜI CẢM ƠN
Mở đầu cho cuốn luận văn này, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn
khích lệ tôi trong thời gian tôi thực hiện đề tài.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Hoàng Thị Kiều Trang. Cô
đã luôn theo sát tôi, tận tình chỉ bảo định hướng cho tôi thực hiện luận văn
này.
Tôi xin cảm ơn chân thành đến TS. Trịnh Hoa Lăng. Thầy đã cung cấp
cho tôi nhiều tài liệu hay và góp ý cho tôi giải quyết những vướng mắc trong
quá trình làm luận văn.
Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô trong bộ môn Vật lý Hạt
Nhân đã nhiệt tình chỉ dẫn tôi trong suốt hai năm học qua. Các thầy cô không
chỉ truyền đạt kiến thức về môn học mà còn truyền cả nhiệt huyết và tình yêu
của nhà giáo cho tôi. Đó là những bài học quý giá cho một giáo viên phổ
thông như tôi.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các anh chị trong bộ môn Vật Lý Hạt Nhân,
bạn bè trong lớp Vật lý Hạt nhân K22 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong việc tiếp
cận và sử dụng chương trình mô phỏng Geant4.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014.
CAO THỊ VĨNH PHƯƠNG


1

MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 4
DANH MỤC CÁC BẢNG 6
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ 7
TỔNG QUAN 10
CHƢƠNG 1 CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA MÁY GIA TỐC VÒNG CYCLOTRON 13
1. 1. Vai trò của các định luật vật lý trong máy gia tốc cyclotron 13
1. 2. Cơ sở gia tốc hạt 15
1.2.1. Cấu trúc cyclotron 15
1.2.2. Lực điện trƣờng 16
1.2.3. Quỹ đạo của proton trong cyclotron 16
1.2.4. Phƣơng trình chuyển động của proton trong cyclotron khi từ
trƣờng đều 19
1.2.5. Phƣơng trình chuyển động của proton trong từ trƣờng biến
thiên 21
CHƢƠNG 2 KHÁI QUÁT VỀ CHƢƠNG TRÌNH GEANT4 VÀ CÔNG CỤ
G4BEAMLINE 26
2. 1. Giới thiệu về chƣơng trình GEANT4 26
2. 2. Giới thiệu về công cụ G4beamline 27
2. 3. Các dữ liệu cần thiết trong mô phỏng máy gia tốc cyclotron 29
CHƢƠNG 3 MÔ HÌNH HÓA CYCLOTRON 30
3.1. Sơ đồ thiết kế hệ mô phỏng 30


2

3.2. Thông số kỹ thuật 31
3.2.1. Bán kính nam châm 31
3.2.2. Bán kính vòng D 31

3.2.3. Bề dày vòng cực D 32
3.2.4. Khoảng cách giữa hai vòng D 33
3.2.5. Cƣờng độ điện trƣờng giữa hai vòng D 34
3.2.6. Tần số của điện trƣờng 38
CHƢƠNG 4 KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 40
4. 1. Hệ cyclotron với điện từ trƣờng đều 40
4. 2. Hệ cyclotron với điện trƣờng biến thiên, từ trƣờng đều 42
4.2.1. Vị trí nguồn phát proton 44
4.2.2. Ảnh hƣởng của pha điện trƣờng đối với quá trình gia tốc
proton 47
4.2.3. Ảnh hƣởng của pha điện trƣờng ban đầu φ
0
đối với quá trình
gia tốc proton 49
4.2.4. Ảnh hƣởng của phƣơng phát proton đối với quá trình gia tốc
51
4.2.5. Đánh giá kết quả mô phỏng cyclotron trong điện trƣờng biến
thiên, từ trƣờng đều 53
4. 3. Hệ cyclotron với từ trƣờng biến thiên theo phƣơng bán kính 54
4.3.1. Sự biến thiên của từ trƣờng B
z
theo bán kính 54
4.3.2. Dao động của proton trên mặt phẳng oxy dƣới tác dụng của B
z
56
4.3.3. Sự dao động của proton trên trục oz 59


3

4.3.4. Đánh giá kết quả mô phỏng cyclotron trong điện từ trƣờng
biến thiên 64
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 66
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO 70
PHỤ LỤC 72



4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Kí hiệu
Ý nghĩa
Đơn vị
a
Bề dày vòng D
mm
B
Từ trƣờng
Tesla
B
r

Từ trƣờng theo phƣơng bán kính
Tesla
B
z
Từ trƣờng theo trục oz
Tesla

d
Khoảng cách giữa hai vòng cực D
mm
E
Cƣờng độ điện trƣờng
V/m
E
0

Biên độ cƣờng độ điện trƣờng
V/m

Tần số của điện trƣờng
MHz
F
Lực
N
F
r

Lực theo phƣơng bán kính
N
F
z
Lực theo phƣơng oz
N
g
Khoảng cách giữa hai cực của nam châm điện
mm
I

Cƣờng độ dòng điện chạy trên cuộn solenoid
Ampere
m
Khối lƣợng của proton
kg
m
0
Khối lƣợng nghỉ của proton
kg
N
Số vòng dây quấn trên cuộn solenoid
Vòng
q
Điện tích của proton
C
r
Bán kính quỹ đạo của proton
mm
R
D
Bán kính vòng cực D
m
R
nc
Bán kính nam châm điện
m
T
Động năng của proton
MeV


Vận tốc của proton
m/s
V
Điện thế giữa hai vòng cực D
Volt
ɷ
Vận tốc góc của điện trƣờng
rad/s
θ
Phƣơng phát proton
deg


5

ϕ
Pha của điện trƣờng
deg
φ
0
Độ lệch pha ban đầu của điện trƣờng
rad
∆T
Độ biến thiên năng lƣợng của proton
MeV




6

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1: Giá trị các thông số trong cyclotron đã xác định đƣợc 38
Bảng 4.1: Năng lƣợng cực đại của proton sau khi gia tốc tƣơng ứng với các
giá trị φ
0
50
Bảng 4.2: Năng lƣợng của proton tƣơng ứng với các góc phát hạt θ 52
Bảng 4.3: Kết quả mô phỏng và lý thuyết 53



7

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Hình 1.1: Cấu trúc của cyclotron [19]. 15
Hình 1.2: Quỹ đạo proton trong cyclotron [7]. 17
Hình 1.3: Thành phần lực từ do 



sinh ra trong cyclotron [7]. 18
Hình 1.4: Quỹ đạo của proton trong cyclotron dựa theo lý thuyết [16]. 18
Hình 1.5: Phân bố từ trƣờng  và điện trƣờng  trong cyclotron [5]. 19
Hình 1.6: Phân bố từ trƣờng và chỉ số n theo bán kính [17]. 23
Hình 2.1: Các tập tin trong Geant4. 26
Hình 2.2: Cửa sổ giao diện GUI khi sử dụng G4beamline 28
Hình 2.3: Các dữ kiện cần thiết cho việc mô phỏng. 29
Hình 3.1: Sơ đồ cấu trúc hệ cần mô phỏng. 30
Hình 3.2: Quan hệ giữa từ trƣờng với cƣờng độ dòng điện và số vòng dây

quấn [13]. 32
Hình 3.3: Sự phân bố điện trƣờng giữa hai vòng D [18]. 33
Hình 4.1: Quỹ đạo của proton trong cyclotron khi có điện trƣờng đều. 40
Hình 4.2: Năng lƣợng của proton sau mỗi lần gia tốc trong điện từ trƣờng
đều. 41
Hình 4.3: Thời gian bay của proton trong vòng cực D sau mỗi lần gia tốc
trong điện từ trƣờng đều. 41
Hình 4.4: Quỹ đạo của proton trong cyclotron khi có điện trƣờng xoay chiều.
Nguồn phát đặt tại tâm giữa hai vòng cực D. 43
Hình 4.5: Năng lƣợng của proton sau mỗi lần gia tốc bởi điện trƣờng xoay
chiều khi nguồn phát đặt tại tâm hệ. 43
Hình 4.6: Năng lƣợng và bán kính quỹ đạo của proton khi nguồn phát đặt tại
tâm hệ. 44
Hình 4.7: Mô hình quỹ đạo proton khi nguồn phát đặt cách tâm của hệ một
đoạn ∆d 45
Hình 4.8: Năng lƣợng và bán kính quỹ đạo của proton khi R
D
= 80cm 46


8

Hình 4.9: Quỹ đạo proton: R
D
= 73 cm, nguồn phát cách tâm hệ 5 cm. 46
Hình 4.10: Năng lƣợng và bán kính quỹ đạo của proton khi R
D
= 73 cm,
nguồn phát cách tâm hệ 5 cm. 47
Hình 4.11: Quỹ đạo proton khi R

D
= 80 cm 48
Hình 4.12: Sự biến thiên năng lƣợng của proton theo pha điện trƣờng. 49
Hình 4.13: Năng lƣợng proton sau khi gia tốc tƣơng ứng với các giá trị φ
0
. 50
Hình 4.14: Năng lƣợng của proton khi phƣơng phát proton thay đổi 51
Hình 4.15: Năng lƣợng của proton khi θ = 90
0
và θ = -90
0
. 52
Hình 4.16: Biến thiên của thành phần từ trƣờng B
z
vào bán kính cuộn
solenoid 55
Hình 4.17: Giá trị cƣờng độ B
r
theo phƣơng bán kính xét tại mặt phẳng trung
tâm 55
Hình 4.18: Bán kính quỹ đạo của proton khi từ trƣờng biến thiên 56
Hình 4.19: Độ biến thiên bán kính quỹ đạo ∆R 57
Hình 4.20: Độ dao động bán kính quỹ đạo proton trên mặt phẳng oxy khi từ
trƣờng đều. 57
Hình 4.21: Độ dao động bán kính quỹ đạo proton trên mặt phẳng oxy khi từ
trƣờng biến thiên 58
Hình 4.22: Từ trƣờng B
z
và chỉ số n theo phƣơng bán kính khi g = 100 mm.
58

Hình 4.23: Độ dao động của proton (z) theo trục oz khi khoảng cách hai nam
châm là g = 200 mm. 60
Hình 4.24: Độ dao động của proton (z) theo trục oz khi khoảng cách hai nam
châm là g = 300 mm 60
Hình 4.25: Phân bố từ trƣờng B
z
và chỉ số từ n theo phƣơng bán kính khi
g = 200 mm. 61
Hình 4.26: Phân bố từ trƣờng B
z
và chỉ số từ n theo phƣơng bán kính khi
g = 300 mm. 62
Hình 4.27: Mô hình kết hợp hai cặp solenoid. 63


9

Hình 4.28: Phân bố từ trƣờng B
z
và chỉ số từ n theo phƣơng bán kính khi kết
hợp hai cặp solenoid. 63
Hình 4.29: Dao động của proton thu đƣợc từ mô phỏng bằng chƣơng trình
SIMION [13]. 65



10

TỔNG QUAN
Máy gia tốc ra đời vào đầu thế kỷ 19 và phát triển mạnh mẽ vào giữa thế kỷ

20. Hiện nay, máy gia tốc vẫn đang đƣợc tiếp tục nghiên cứu, phát triển trên khắp
thế giới. Tại Việt Nam, máy gia tốc đầu tiên đƣợc lắp đặt vào năm 1974, tuy nhiên
số lƣợng máy gia tốc phục vụ cho việc nghiên cứu và ứng dụng còn rất hạn chế, mãi
đến đầu thế kỷ 21 lĩnh vực này mới bắt đầu đƣợc quan tâm, tiêu biểu là sự kiện
khánh thành trung tâm máy gia tốc – Cyclotron 30 MeV tại Bệnh viện Trung ƣơng
Quân đội 108 ở Hà Nội vào năm 2009. Nhìn chung việc nghiên cứu máy gia tốc ở
Việt Nam còn mới mẻ. Chính vì vậy việc tìm hiểu, nghiên cứu về cơ cấu và nguyên
tắc hoạt động của máy gia tốc là điều cần thiết.
Máy gia tốc đƣợc phân làm hai loại chính là máy gia tốc sử dụng dòng điện
một chiều và máy gia tốc sử dụng dòng điện xoay chiều. Loại máy dùng dòng điện
xoay chiều chiếm ƣu thế hơn về năng lƣợng gia tốc cho chùm hạt lớn. Ngày nay các
loại máy gia tốc dùng dòng điện xoay chiều đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực đời
sống nhƣ: nghiên cứu vật liệu, sinh học cấu trúc, y học hạt nhân, tổng hợp hạt nhân,
chiếu xạ thực phẩm, …
Máy gia tốc dùng dòng điện xoay chiều gồm hai loại chính là máy gia tốc
tuyến tính và máy gia tốc vòng. Trong máy gia tốc vòng lại có nhiều loại khác nhau
nhƣ cyclotron, microtron, synchrotron, … Máy gia tốc vòng đầu tiên ra đời vào năm
1932 có tên gọi là cyclotron cổ điển (hay cyclotron hội tụ yếu). Mặc dù đã xuất hiện
cách đây hơn 80 năm nhƣng cyclotron vẫn là một đối tƣợng mới mẻ và lý thú cho
nhiều nhà vật lý nghiên cứu tạo các hệ máy hiện đại. Việc nghiên cứu về cơ chế
hoạt động của máy và mô phỏng quỹ đạo của hạt trong cyclotron góp phần hỗ trợ
cho công tác nghiên cứu chuyên sâu hơn về máy cyclotron nhƣ hiệu chỉnh các thông
số kỹ thuật, tăng cƣờng hiệu suất của máy. Với ý nghĩa đó, tác giả chọn đề tài “ mô
phỏng quỹ đạo của proton trong máy gia tốc cyclotron bằng chƣơng trình Geant4”
cho luận văn thạc sĩ của mình. Mục đích của đề tài là có thể vẽ lên quỹ đạo thực của


11

proton trong quá trình gia tốc, từ đó nghiên cứu và đánh giá các ảnh hƣởng của điện

từ trƣờng lên chuyển động của hạt. Để đạt đƣợc mục đích này, ta cần nghiên cứu
nguyên tắc hoạt động của cyclotron kết hợp với các phân tích cơ lý thuyết, điện từ
trƣờng và ứng dụng của Geant4 để thiết kế chƣơng trình mô phỏng.
Máy gia tốc cyclotron dựa trên hai nguyên tắc chính để gia tốc chùm hạt: thứ
nhất, sử dụng điện trƣờng để tăng cƣờng động năng cho hạt; thứ hai, sử dụng lực từ
trƣờng để bẻ cong quỹ đạo của hạt. Trong Geant4, máy cyclotron đƣợc mô phỏng
với ba bộ phận chính: không gian từ trƣờng, hai vòng D gắn với cực điện và nguồn
tạo chùm hạt. Tác giả lần lƣợt xét ảnh hƣởng của điện từ trƣờng lên chuyển động
của proton thông qua hai khảo sát chính. Đầu tiên, khảo sát chuyển động của proton
trong điện trƣờng biến thiên, từ trƣờng đều. Từ đó rút ra những quy luật ảnh hƣởng
đến năng lƣợng cần gia tốc cho proton. Tiếp đến khảo sát chuyển động của proton
trong điện trƣờng biến thiên và từ trƣờng biến thiên theo phƣơng bán kính nam
châm điện, từ đây rút ra sự ảnh hƣởng của từ trƣờng đến quỹ đạo của proton và sự
hội tụ chùm hạt. Kết quả của những khảo sát này là cơ sở dữ liệu ban đầu cho việc
nghiên cứu sâu hơn về cơ chế hoạt động của máy gia tốc cyclotron.
Dựa vào mục đích và hƣớng nghiên cứu trên, luận văn gồm bốn chƣơng:
Chƣơng 1 – Cơ sở vật lý của máy gia tốc vòng cyclotron: trình bày nguyên lý
hoạt động của máy, cơ sở lý thuyết để gia tốc chùm hạt và phƣơng trình quỹ đạo
của proton trong cyclotron.
Chƣơng 2 – Khái quát về chƣơng trình Geant4 và công cụ G4beamline: giới
thiệu về chƣơng trình Geant4 và sự tiện ích của công cụ G4beamline trong mô
phỏng các hệ tƣơng tác vật lý.
Chƣơng 3 – Mô hình hóa cyclotron: tính toán các đại lƣợng, thông số cần
thiết cho việc thiết kế hệ mô mỏng.


12

Chƣơng 4 – Kết quả tính toán: khảo sát chuyển động và năng lƣợng của
proton khi điện trƣờng biến thiên, từ trƣờng biến thiên. Rút ra những nhận xét về sự

ảnh hƣởng của điện từ trƣờng đối với năng lƣợng và quỹ đạo của proton đồng thời
xác định vị trí đặt nguồn phát proton.



13

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA MÁY GIA TỐC VÒNG CYCLOTRON
Trong chƣơng này, tác giả tập trung khái quát vai trò của từ trƣờng trong
việc bẻ cong quỹ đạo của hạt mang điện và vai trò của điện trƣờng trong quá trình
gia tốc hạt. Bên cạnh đó, tác giả cũng mô tả chuyển động của hạt mang điện trong
điện trƣờng biến thiên, từ trƣờng đều và chuyển động của proton trong điện từ
trƣờng biến thiên.
1. 1. Vai trò của các định luật vật lý trong máy gia tốc cyclotron
Điện từ trƣờng trong cyclotron đƣợc thiết lập và tác dụng lên hạt mang điện
dựa trên cơ sở vật lý của hệ phƣơng trình Maxwell và lực Lorentz.
Hệ phƣơng trình Maxwell đƣợc viết dƣới dạng:










(1.1)










(1.2)





 












(1.3)





 










(1.4)
với :




: cảm ứng điện trƣờng (C/m
2
),




: từ trƣờng (Tesla),





: cƣờng độ từ trƣờng (A/m),




: điện trƣờng (V/m),


14



: mật độ dòng điện dẫn (A/m
2
),
: mật độ điện tích (C/m
3
).
Phƣơng trình (1.1) và (1.2) thuộc định luật Gauss về điện trƣờng và từ
trƣờng. Định luật Gauss nêu rõ điện tích tạo ra điện trƣờng. Phƣơng trình (1.3)
thuộc định luật Ampere về thông lƣợng từ trƣờng cho biết dòng điện và điện trƣờng
biến thiên sinh ra từ trƣờng. Phƣơng trình (1.4) là định luật Faraday cho cảm ứng
điện từ. Trong đó nội dung chính đề cập đến từ trƣờng biến thiên sinh ra điện
trƣờng xoáy. Dựa vào mối quan hệ giữa điện trƣờng và từ trƣờng, trong cyclotron từ
trƣờng đƣợc tạo ra từ nam châm điện cấu tạo từ các cuộn solenoid. Từ trƣờng phân
bố trong cyclotron gây ra các lực F tác dụng lên hạt mang điện tích q chuyển động
với vận tốc . Lực F tuân theo định luật Lorentz :








 


 




(1.5)
Xét proton mang điện tích q chuyển động một quãng đƣờng ds trong một
khoảng thời gian dt, độ biến thiên động năng ∆K của proton đƣợc xác định nhƣ sau:




(1.6)
Trong đó ds = v dt. Cho nên phƣơng trình (1.6) đƣợc viết lại nhƣ sau:



  





 








(1.7)
Proton chuyển động theo phƣơng vuông góc với vectơ từ trƣờng 



nên thành
phần thứ hai trong biểu thức (1.7) bằng 0. Thành phần này đóng vai trò lực hƣớng
tâm, tác động đến quỹ đạo của proton. Thành phần thứ nhất của vế bên phải phụ
thuộc vào điện trƣờng E, tác động đến động năng của proton, đây là cơ sở để gia tốc
hạt. Do đó, biểu thức (1.7) đƣợc thu gọn lại nhƣ sau:


15






(1.8)
1. 2. Cơ sở gia tốc hạt
1.2.1. Cấu trúc cyclotron
Cyclotron bao gồm hai vòng rỗng dạng chữ D, đặt cách nhau một khoảng d
đƣợc nối với hai cực của nguồn điện xoay chiều. Hai vòng rỗng này đƣợc đặt trong
từ trƣờng của một nam châm điện. Từ trƣờng có phƣơng thẳng đứng vuông góc với
mặt phẳng hai vòng D. Vì hai vòng D có dạng rỗng nên điện trƣờng phân bố trong
lòng hai vòng D bằng 0 (hiệu ứng lồng Faraday). Nhƣ vậy, khi chuyển động trong
lòng hai vòng D, proton chỉ chịu tác dụng của lực từ. Khi chuyển động trong
khoảng không gian giữa hai vòng D, proton chịu tác dụng của cả lực từ và lực điện.

Hình 1.1: Cấu trúc của cyclotron [19].


16

1.2.2. Lực điện trƣờng
Hai vòng D cách nhau một khoảng d, đƣợc nối với nguồn điện xoay chiều có
phƣơng song song với mặt phẳng hai vòng D và có cƣờng độ 



  


,
 và φ
0
lần lƣợt là vận tốc góc và độ lệch pha ban đầu của điện trƣờng. Proton
mang điện tích q chuyển động trong vùng không gian giữa hai vòng D chịu tác dụng

của lực điện trƣờng 






.
Độ biến thiên năng lƣợng của hạt khi dịch chuyển hết khoảng cách d giữa hai
vòng D là :


(1.9)
Hay:





  



(1.10)
Giá trị  trong biểu thức (1.10) phụ thuộc vào pha ϕ của điện trƣờng (với
ϕ =  

). ∆K > 0 nếu ϕ nằm trong khoảng 0
0
đến 180

0
, ∆K < 0 nếu ϕ nằm trong
khoảng 180
0
đến 360
0
. Khi ∆K > 0 hạt nhận thêm năng lƣợng và ngƣợc lại hạt bị
mất năng lƣợng nếu ∆K < 0. Do đó, hạt đƣợc gia tốc khi điện trƣờng nằm ở nửa chu
kỳ đầu.
1.2.3. Quỹ đạo của proton trong cyclotron
Do hiệu ứng lồng Faraday nên trong lòng hai vòng D chỉ có từ trƣờng 




hƣớng theo phƣơng vuông góc với mặt phẳng hai vòng D. Proton có khối lƣợng
nghỉ m
0
, mang điện tích q chuyển động trong vòng D với vận tốc  chịu tác dụng
của lực từ 


đóng vai trò là lực hƣớng tâm nên proton chuyển động tròn. Sau mỗi
lần qua khe hẹp giữa hai vòng D, proton nhận thêm một năng lƣợng ∆K. Vì vậy bán
kính quỹ đạo của proton đƣợc mở rộng tạo nên đƣờng xoắn ốc (Hình 1.2). Bán kính


17

quỹ đạo r của proton tại thời điểm proton có động năng K đƣợc xác định theo

phƣơng trình sau:








(1.11)
r đƣợc suy ra từ phƣơng trình cân bằng giữa lực từ và lực hƣớng tâm:








(1.12)
với 





.
Từ trƣờng trong cyclotron đƣợc tạo từ nam châm điện nên từ trƣờng 




không
đều mà giảm dần theo phƣơng bán kính. Đặc biệt giảm mạnh ở mép ngoài vòng D.
Khi cƣờng độ từ trƣờng giảm, các đƣờng sức từ nối cực Bắc và cực Nam của nam
châm điện có dạng cong (Hình 1.3). Các thành phần 




(hƣớng vuông góc với mặt
phẳng hai vòng D) và 




(hƣớng theo phƣơng bán kính vòng D) gây ra lực từ theo
các phƣơng khác nhau tác dụng lên quỹ đạo của proton.

Hình 1.2: Quỹ đạo proton trong cyclotron [7].


18


Hình 1.3: Thành phần lực từ do 










sinh ra trong cyclotron [7].
Theo quy tắc bàn tay trái, thành phần 




gây ra lực 



có phƣơng song song
với mặt phẳng hai vòng D (mặt phẳng oxy) và hƣớng vào tâm theo phƣơng bán
kính. Lực 



làm hạt chuyển động theo một đƣờng tròn. Thành phần 




gây ra lực





 có phƣơng vuông góc với mặt phẳng oxy. Lực 



làm cho hạt chuyển động dọc
theo phƣơng song song với trục oz. Nhƣ vậy proton thực hiện đồng thời hai chuyển
động: chuyển động tròn trên mặt phẳng ngang oxy và chuyển động theo phƣơng oz.
Do đó, quỹ đạo của proton chuyển động trong cyclotron có dạng nhƣ Hình 1.4.

Hình 1.4: Quỹ đạo của proton trong cyclotron dựa theo lý thuyết [16].


19

1.2.4. Phƣơng trình chuyển động của proton trong cyclotron khi từ trƣờng đều

Hình 1.5: Phân bố từ trƣờng 



và điện trƣờng 



trong cyclotron [5].
Giả sử trong cyclotron, từ trƣờng 



phân bố theo trục oz, điện trƣờng 





phân bố theo trục ox. Proton ban đầu đƣợc phát theo phƣơng của trục ox. Phƣơng
trình lực tác động lên proton theo hai phƣơng ox, oy tuân theo phƣơng trình (1.5).
Vì điện trƣờng 



biến thiên theo thời gian nên phƣơng trình (1.5) có thể viết lại nhƣ
sau:









 

  


 





(1.13)
Chiếu phƣơng trình (1.13) lên hai phƣơng ox và oy ta đƣợc:










 






(1.14)
Hệ phƣơng trình (1.14) đƣợc giải bằng phƣơng pháp biến đổi Laplace với
một số phép tính cơ bản:

















 















 



 













(1.15)


20

và






 






 



(1.16)
với điều kiện ban đầu là :























(1.17)

Tƣơng tự ta áp dụng phép biến đổi Laplace cho phƣơng trình y(t) nên hệ
phƣơng trình (1.14) đƣợc viết lại dƣới dạng sau:
















 



 





 






















 



 






 






(1.18)
Giải hệ phƣơng trình (1.18) theo phƣơng pháp biến đổi Laplace ngƣợc với:








 









 






 









(1.19)
và









 









   








 








  




(1.20)
Thay các đại lƣợng trong phƣơng trình (1.19) và (1.20) vào hệ phƣơng trình
(1.18) ta đƣợc:

21

















  

 




(1.21)
và













  










  



(1.22)
Sau một số phép biến đổi và rút gọn phƣơng trình (1.21), (1.22) ta đƣợc
phƣơng trình chuyển động của proton trong cyclotron khi từ trƣờng đều là:



















   


















  


 


 

 




(1.23)
Trong đó







1.2.5. Phƣơng trình chuyển động của proton trong từ trƣờng biến thiên
Trong thiết kế cyclotron, cƣờng độ từ trƣờng B giảm theo phƣơng bán kính
với hệ thức sau:





(1.24)
Phƣơng trình (1.24) đƣợc viết lại nhƣ sau:







(1.25)
Sau khi lấy tích phân hai vế phƣơng trình (1.25) ta đƣợc:










(1.26)


22

B
0
là cƣờng độ từ trƣờng đều nằm trong khoảng từ 0 đến một nửa bán kính
nam châm (R
0
= R
nc
/2). R
nc
là bán kính nam châm. Ngoài khoảng R
0
từ trƣờng biến
thiên B tại vị trí R bất kỳ phụ thuộc vào chỉ số từ n (field index).
Xét ở vị trí bán kính 

  với 

, thành phần từ trƣờng B
z
có
độ lớn là:













(1.27)
Thay giá trị R = 

  vào phƣơng trình (1.27) ta có:








 





(1.28)
Vì 

nên phƣơng trình (1.28) tƣơng đƣơng với:







  





(1.29)
Từ trƣờng B
r
có độ lớn là:







(1.30)
Thay phƣơng trình (1.25) vào phƣơng trình (1.30) ta có:









(1.31)