De thi HSG mon toan 7 năm 2012 - 2013

Đề thi chọn đội tuyển dự thi OlYmpic cấp huyện
Năm học 2012- 2013
Môn : TO N LP 7
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao, nhn )
Câu 1: (5 im)
a. Cho
1 1 1 1 2013 2013 2013 2013
&
1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100
A B= + + + + = + + + +
Chng minh rng :
B
A
l mt s nguyờn .
b, Cho bốn số a, b, c, d sao cho a + b + c + d

0.
Biết
b c d c d a d a b a b c
k
a b c d
+ + + + + + + +
= = = =
tính giá trị của k.
Câu 2 : (4 im) Tỡm x, y ,z bit:
a.
5z 6y 6x 4z 4y 5x
4 5 6

= =
v

3x 2y 5z 96 + =
.
b.
,
10 15 2
x y z
x= =
v x + 2y - 3z = -24
Câu 3: ( 4 điểm)
a) Cho M =
42
15
x
x


. Tìm số nguyên x để M t giỏ tr nh nht.
b) Tỡm x sao cho:
4
1 1
17
2 2
x x
+

+ =
ữ ữ

Cõu 4. (5 im) Cho ABC cõn ti A,
à

45A =
o
. T trung im I ca AC k ng vuụng
gúc AC ct ng thng BC ti M. Trờn tia i ca AM ly im N sao cho AN = BM.
Chng minh:
a.
ã
ã
AMC BAC=
b. ABM = CAN
c. MNC vuụng cõn ti C
Cõu 5. ( 2 im) Chng minh:
( )
7 9 13
81 27 9 45P = M
?
Trờng THCS sơn Tây
Hớng dẫn chấm : đề thi chọn đội tuyển học sinh
dự thi ô lympic cấp huyệnNăm học 2012-2013
Môn toán 7
Câu1 : ( 5đ)
a, ( 2,5 đ ) A =
1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 99 100
+ + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
1 2 3 4 5 6 99 100 2 4 6 100

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 99 100 1 2 3 4 5 6 49 50
1 1 1 1 1

51 52 53 99 100

= + + + + + + + + + + + +
ữ ữ


= + + + + + + + + + + + + + + + +
ữ

= + + + + +
B = 2013
1 1 1 1 1 1

51 52 53 54 99 100

+ + + + + +
ữ

= 2013A. Suy ra
B
2013 Z
A
=
b,(2,5 đ ) Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số ta có:
1 1 1 1

b c d c d a d a b a b c
a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
a b c d
+ + + + + + + +
+ = + = + = +
+ + + + + + + + + + + +
= = =
Vì a + b + c + d

0 nên a = b = c = d.
Suy ra
4
4
a
k
a
= =
.
Câu 2 : (4 điểm)
a, ( 3 đ ) Cho 3 s x; y; z tha món cỏc iu kin sau:

5z 6y 6x 4z 4y 5x
4 5 6

= =
v
3x 2y 5z 96 + =
.
Tỡm x; y; z. T

5z 6y 6x 4z 4y 5x
4 5 6

= =

20z 24y 30x 20z 24y 30x
16 25 36

= =
20 24 30 20 24 30
0
10 25 36
z y x z y x + +
= =
+ +



20z 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0

20z = 24y = 30x


10z = 12y = 15x


3 2 5 3 2 5 96
3
4 5 6 12 10 30 12 10 30 32
x y z x y z x y z +

= = = = = = =
+

Gii ra v kt lun : x = 12 ; y = 15 v z = 18
b)( 1 đ ) đa về dãy tỷ số bằng nhau:
2 3 4
x y z
= =
;
5
2 3 4
x y z
= = =
N
C
M
B
A
I
T×m ®îc x = 10; y= 15; z = 20
C©u 3 : (4 ®iÓm)
a) Cho F =
42
15
x
x
−
−
. T×m sè nguyªn x ®Ó F ®¹t GTNN
Ta thÊy F =

42
15
x
x
−
−
= -1 +
27
15x −
®¹t GTNN 
27
15x −
nhá nhÊt
XÐt x-15 > 0 th×
27
15x −
> 0
XÐt x-15 < 0 th×
27
15x −
< 0. VËy
27
15x −
nhá nhÊt khi x-15 <0
Ph©n sè
27
15x −
cã tö d¬ng mÉu ©m
Khi ®ã
27

15x −
nhá nhÊt khi x-15 lµ sè nguyªn ©m lín nhÊt hay
x-15 = -1 => x = 14.
VËy x= 14 th× F nhá nhÊt vµ F = -28
b.
4
1 1 1
2 2 17
x x+
   
+ =
 ÷  ÷
   


4 4
1 1 1 1 1
17 . 17
2 2 2 2 2
x x x x+
         
+ = ⇔ + =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
1 1
1 17
2 16
x
   
⇔ + =

 ÷  ÷
   
17 1
. 17
16 2
x
 
⇔ =
 ÷
 
4
1
16 2 2 4
2
x
x
x
−
 
⇔ = ⇔ = ⇔ = −
 ÷
 
Câu 4: ( 5 ® )
a) ∆AIM = ∆CIM (c.g.c)
MA MC AMC
⇒ = ⇒ ∆
cân tại M
∆AMC và ∆ABC cân có góc đáy
·
ACM

chung. Nên hai góc ở đỉnh bằng nhau.
Vậy
·
·
AMC BAC=
b) Xét ∆ABM và ∆CAN có AB = AC (∆ABC cân), BM = AN (gt)
·
·
·
·
·
·
·
·
·
180
180
( )
ABM ABC
CAN CAM ABM CAN
ABC CAM ACB

+ = °


+ = ° ⇒ =


= =



∆ABM = ∆CAN (c.g.c) suy ra AM = CN
c) Ta có AM = CN (cmt) mà AM = MC (∆AMC cân)
CM CN MCN⇒ = ⇒ ∆
cân (1)
Mà ∆MCN có
·
·
µ
( 45 ) 45AMC BAC N= = ° ⇒ = °
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
∆MCN vuông cân tại C.
(Hình vẽ 0.5 điểm, mỗi câu 1.5 điểm)
Câu 5: ( 2 ®)
7 9 13 2 7 3 9 13 14 27 13
14 26 13 14 2 13 13 13
13
81 27 9 (9 ) (3 ) 9 9 3 9
9 3.3 9 9 3.(3 ) 9 9 (9 3 1)
(9 .5) (9.5) 45
P = − − = − − = − −
= − − = − − = − −
= =M