ĐỀ + ĐA HSG TOÁN 9 TỈNH LAI CHÂU 2013

Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Sở giáo dục và đào tạo lai châu



(Đề thi gồm 01 trang)

kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
năm học 2013
môn: toán - lớp 9 cấp THCS
Thời gian làm bài: 150 phút
(không tính thời gian giao đề)


Câu 1: (4,0 Điểm)
a, Chứng minh rằng: A(n) = n
4
- 4n
3
- 4n
2
+ 16n chia hết cho 384 với mọi số tự
nhiên n chẵn (n

4).
b, Tìm hệ số a và b sao cho đa thức: A(x) = x
3
+ ax + b khi chia cho đa thức
B(x) = x + 1 d 7; khi chia cho đa thức C(x) = x - 3 d -5

Câu 2: (4,0 điểm)

a, Tìm nghiệm x; y nguyên của phơng trình: x
2
- 4xy + 5y
2
= 169
b, Giải hệ phơng trình sau:
2 2
4 2 2 4
x xy y 7
x x y y 21

+ + =


+ + =




Câu 3: (5,0 điểm)
1, Rút gọn biểu thức:
A =
45 27 2 45 27 2 3 2 3 2
5 3 2 5 3 2 3 2 3 2
+ + + +
+
+ +

2, Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mn điều kiện: xyz = 2. Tính giá trị của biểu thức:
B =

x y 2z
xy x 2 yz y 1 xz 2z 2
+ +
+ + + + + +

3, Cho hai số dơng a, b thỏa mn điều kiện ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C = (a + b + 1)(a
2
+ b
2
) +
4
a b
+


Câu 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC không cân có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O; R).
Hai đờng cao AI và BE cắt nhau tại H (I

BC, E

AC).
a, Chứng minh


CHI CBA
=

b, Cho

ACB
= 60
0
. Chứng minh rằng CH = CO.

Câu 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 80cm ngoại tiếp đờng tròn tâm O. Tiếp tuyến
của đờng tròn tâm O song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N.
a, Cho biết MN = 9,6cm. Tính độ dài BC.
b, Cho biết AC - AB = 6cm. Tính AB, AC, BC để MN đạt giá trị lớn nhất.


Hết




đề chính thức

Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Đáp án
Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
Câu 1
: (4,0 điểm)
a, Chứng minh rằng: A(n) = n
4
- 4n
3
- 4n

2
+ 16n chia hết cho 384 với mọi số tự nhiên n chẵn (n

4).
b, Tìm hệ số a và b sao cho đa thức: A(x) = x
3
+ ax + b khi chia cho đa thức B(x) = x + 1 d 7;
khi chia cho đa thức C(x) = x - 3 d -5
Giải
a, - Vì n chẵn

n = 2k (k

N
*
, k

2). Khi đo
A(n) = n(n
3
- 4n
2
- 4n + 16) = n[n
2
(n - 4) - 4(n - 4)] =n(n - 4)(n
2
- 4)
= n(n - 4)(n - 2)(n + 2) = 2k(2k - 4)(2k - 2)(2k + 2)
= 16(k - 2)(k -1)k(k + 1)
- Vì k

N
*
, k

2

(k - 2)(k -1)k(k + 1) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên nó chia hết cho
1.2.3.4 = 24

16(k - 2)(k -1)k(k + 1)

16.24 = 384
Vậy n
4
- 4n
3
- 4n
2
+ 16n

384 với mọi số tự nhiên n chẵn (n

4)
b, Vì A(x) chia cho B(x) d 7 và chia cho C(x) d -5 nên ta có hệ phơng trình:

A( 1) 7 a b 1 7 a b 8 a 10
A(3) 5 3a b 27 5 3a b 32 b 2
= + = + = =

= + + = + = =

. Vậy a = 10, b = -2
Câu 2
: (4,0 điểm)
a, Tìm nghiệm x; y nguyên của phơng trình: x
2
- 4xy + 5y
2
= 169
b, Giải hệ phơng trình sau:
2 2
4 2 2 4
x xy y 7
x x y y 21

+ + =


+ + =



Giải
a, x
2
- 4xy + 5y
2

= 169

x
2
- 4xy + 4y
2
= 169 - y
2


(x - 2y)
2
= 169 - y
2



169 - y
2
phải là số chính phơng


169 - y
2


{0; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169}
- TH
1
: 169 - y

2
= 0

y =

13 .
+ Nếu y = 13

x = 26
+ Nếu y = -13

x = -26
- TH
2
: 169 - y
2
= 4

y
2
= 165 (loại vì y

Z)
- TH
3
: 169 - y
2
= 9

y

2
= 160 (loại vì y

Z)
- TH
4
: 169 - y
2
= 16

y
2
= 153 (loại vì y

Z)
- TH
5
: 169 - y
2
= 25

y
2
= 144

y =

12
+ Nếu y = 12

(x - 24)
2
= 25

x = 29 hoặc x = 19
+ Nếu y = -12

(x + 24)
2
= 25

x = -29 hoặc x = -19
- TH
6
: 169 - y
2
= 36

y
2
= 133 (loại vì y

Z)
- TH
7
: 169 - y
2
= 49

y

2
= 120 (loại vì y

Z)
- TH
8
: 169 - y
2
= 64

y
2
= 105 (loại vì y

Z)
- TH
9
: 169 - y
2
= 81

y
2
= 88 (loại vì y

Z)
- TH
10
: 169 - y
2

= 100

y
2
= 69 (loại vì y

Z)
- TH
11
: 169 - y
2
= 121

y
2
= 48 (loại vì y

Z)
- TH
12
: 169 - y
2
= 169

y
2
= 0

y = 0

x =

13
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là:
(x, y)

{(26; 13), (-26, -13), (29; 12), (19; 12), (-29; -12), (-19; -12), (13; 0), (-13; 0)}
b,
2 2 2 2 2 2
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2
x xy y 7 x y 7 xy x y 7 xy
x x y y 21 (x y ) x y 21 (7 xy) x y 21

+ + = + = + =



+ + = + = =





2 2 2 2
x y 3
x y 7 xy (x y) xy 7 (x y) 9
xy 2
49 14xy 21 xy 2 xy 2
+ =

+ = + = + =



=
= = =



- TH
1
:
x y 3
xy 2
+ =


=




x 1, y 2
x 2, y 1
= =


= =

Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
- TH
2
:
x y 3
xy 2
+ =


=




x 1, y 2
x 2, y 1
= =


= =


Vậy hệ phơng trình có 4 nghiệm: (x, y)

{(1; 2), (2, 1), (-1; -2), (-2; -1)}

Câu 3
: (4,0 điểm)
1, Rút gọn biểu thức:
A =

45 27 2 45 27 2 3 2 3 2
5 3 2 5 3 2 3 2 3 2
+ + + +
+
+ +

2, Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mn điều kiện: xyz = 2. Tính giá trị của biểu thức:
B =
x y 2z
xy x 2 yz y 1 xz 2z 2
+ +
+ + + + + +

3, Cho hai số dơng a, b thỏa mn điều kiện ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C = (a + b + 1)(a
2
+ b
2
) +
4
a b
+

Giải
1, A =
45 27 2 45 27 2 3 2 3 2
5 3 2 5 3 2 3 2 3 2
+ + + +
+
+ +

Đặt : +) M =
45 27 2 45 27 2
+ +
= 3
(
)
5 3 2 5 3 2
+
+



M
2
= 9(10 + 2
7
)

M = 3
10 2 7
+

+) N =
5 3 2 5 3 2
+

N
2
= 10 - 2

7


N =
10 2 7


+) P =
3 2 3 2
+ +

P
2
= 6 + 2
7


P =
6 2 7
+

+) Q =
3 2 3 2

+

P
2
= 6 - 2
7

P =
6 2 7




A =
3 10 2 7 6 2 7 3(10 2 7) 6 2 7
100 4.7 36 4.7
10 2 7 6 2 7
+ + + +
+ = +



=
3(10 2 7) 6 2 7 10 2 7 6 2 7 5 7 3 7
100 4.7 36 4.7 8 8 2 2
= =
+ + + + + +

=
2
. Vậy A =
2

2, B =
x y 2z

xy x 2 yz y 1 xz 2z 2
+ +
+ + + + + +
=
x y 2yz
xy x xyz yz y 1 xyz 2yz 2y
+ +
+ + + + + +

=
y 2yz
x(y 1 yz) yz y 1 2(1 yz y)
x
+ +
+ + + + + +
=
y yz
y 1 yz yz y 1 1 yz y
1
+ +
+ + + + + +

=
yz y 1
1
yz y 1
+ +
=
+ +
. Vậy B = 1

3, - Vì ab = 1 nên: C = (
a b
ab
+
+ 1)(a
2
+ b
2
) +
4
a b
+
= (
1 1
a b
+
+ 1)(a
2
+ b
2
) +
4
a b
+

- áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng a, b ta có:
C

(
1 1

a b
+
+ 1).2ab +
4
a b
+
= (
1 1
a b
+
+ 1).2 +
4
a b
+
= 2
1 1 2
2
a b a b

+ + +

+


- Bây giờ ta chứng minh bài toán phụ:
1 1 2
a b a b
+ +
+

3
ab
. Thật vậy

1 1 2
a b a b
+ +
+



3
ab



a b 2 3
0
ab a b
ab
+
+
+
(a + b)
2
+ 2ab - 3(a + b)
ab

0
Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên


[(a + b)
2
- (a + b)
ab
] - 2[(a + b)
ab
- ab]

0


(a + b)[a + b -
ab
] - 2
ab
[a + b -
ab
]

0


[a + b -
ab
][a + b - 2

ab
]

0. (Đúng vì theo Cosi: a + b

2
ab


ab
)
Vậy C

2
1 1 2
2
a b a b

+ + +

+



2.
3
ab
+ 2 = = 2.3 + 2 = 8. Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
Vậy Min C = 8 khi a = b = 1
Câu 4: (2,0 điểm)

a, Kéo dài CH cắt AB tại K. Vì H là trực tâm của

ABC





0
HKB 90 HIB
= =



HKBI là tứ giác nội tiếp (vì:


0
HKB HIB 180
+ =
)




KBI CHI
=
hay

CHI CBA
=
(đpcm)
b, Gọi M là trung điểm của BC, nối M với E
- Vì

EBC vuông tại E, EM là trung tuyến


MC = ME



CME cân tại M (1)
- Vì

0
CME 60
=
(2)
- Từ (1) và (2)



CME đều

CM = CE
- Vì:

1
COM CAB (
2
= =
sđ

BnC
) (3)
mà:


EHC CAB
=
(vì HEAK nội tiếp) (4)
- Từ (3) và (4)




COM CHE
=

- Vì M là trung điểm của BC

OM

BC

0
OMC 90
=

- Xét

MOC và

EHC có:



0
M E 90
= =
; CM = CE;


O H
=



MOC =

EHC (cạnh góc vuông - góc nhọn)


CO = CH
Câu 5: (3,0 điểm)

a, - áp dụng tích chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
C
AMN
= AM + MN + NA = AM + (MH + HN) + AN
= (AM + MK) + (AN + NE) = AK + AE =
= (AK + KB) + (AE + EC) - (BI + CI)
= AB + AC - BC
- Vì MN //BC



AMN

ABC



AMN
ABC ABC
C
MN MN AB AC BC
BC C BC C
+
=

=


ABC
ABC

C 2BC
MN 9,6 80 2BC
BC C BC 80



=

=



384 = 40BC - BC
2


BC
2
- 40BC + 384 = 0


BC = 24 hoặc BC = 16
b, Theo câu a, ta có:
MN 80 2BC
BC 80

=


MN = -

2
BC
BC
40
+
= -
1
40
(BC
2
- 40BC + 400 - 400)


MN = 10 -
1
40
(BC - 20)
2


10. Dấu "=" xảy ra khi BC = 20cm


Max MN = 10 cm khi BC = 20cm và
AC AB 6 AC 33cm
AC AB 80 20 60 AB 27cm
= =

+ = = =


Vậy Max MN = 10cm khi AB = 27cm, AC = 33cm, BC = 20cm
n
M
K
E
H
I
O
C
B
A
I
E
K
H
N
M
O
C
B
A