phương pháp tọa độ trong không gian học kì 2 lớp 12

CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (HỌC KÌ 2 ;
12NC&CHUẨN)
I. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba
vectơ đơn vò
, ,i j k
r ur ur

( )
1i j k= = =
r r ur
.
B.
( )
1 2 3 1 2 3
; ;
a
a a a a a i a j a k
=
⇔ + +
uur
uur ur ur uur
; M(x;y;z)⇔
OM xi y j zk
= + +
uur
uuuuur
ur uur
C. Tọa độ của vectơ: cho
( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z

r r
1.
'; '; 'u v x x y y z z= ⇔ = = =
r r
2.
( )
'; '; 'u v x x y y z z
± = ± ± ±
r r
3.
( ; ; )ku kx ky kz=
r
4.
. ' ' 'u v xx yy zz
= + +
ur r
5.
' ' ' 0u v xx yy zz⊥ ⇔ + + =
r r
6.
2 2 2
u x y z
= + +
r
7.
( )
' ' ; ' ' ; ' ', ; ;
' ' ' ' ' '
yz y z zx z x xy x y
y z z x x y

u v
y z z x x y
 
= − − −
 ÷
 ÷
 
 
=
 
v v
8.
,u v
ur r
cùng phương⇔
[ , ] 0=
r r
r
u v
9.
( )
.
cos ,
.
u v
u v
u v
=
r r
r r

r r
D. Tọa độ của điểm: cho A(x
A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z
B
)
1.
( ; ; )= − − −
uuur
B A B A B A
AB x x y y z z
2.
2 2 2
( ) ( ) ( )= − + − + −
B A B A B A
AB x x y y z z
3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x
G
=
3
A B C

x x x
+ +
;y
G
=
3
A B C
y y y+ +
; z
G
=
3
A B C
z z z+ +
4. M chia AB theo tỉ số k:
; ; ;
1 1 1
− − −
= = =
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
(k
≠
1)
Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
; ; .

2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x z
y
+ + +
= = =
5. ABC là một tam giác⇔
,AB AC
 
 
uuur uuur
≠
0
r
khi đó S=
1
,
2
AB AC
 
 
uuur uuur
6. ABCD là một tứ diện⇔
,AB AC
 
 
uuur uuur
.

AD
uuur
≠0, V
ABCD
=
1
, .
6
AB AC AD
 
 
uuur uuur uuur
, V
ABCD
=
1
.
3
BCD
S h
(h
là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A)
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT PHẲNG
I. Mặt phẳng
Mặt phẳng
α
được xác đònh bởi: {M(x
0
;y
0

;z
0
),
( ; ; )n A B C=
r
}. Phương trình
tổng quát của mặt phẳng
α
:Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0
hay A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.
Y một số mặt phẳng thường gặp:
a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: co ù
( )
[ , ]
ABC
n AB AC=
r uuur uuur

c/
α
//
β
⇒
n n
α β
=
uur uur
d/
α
⊥
β
⇒
n u
α β
=
uur uur
và ngược lại
e/
α
// d⇒
d
u u
α
=
uur uur
f/
α
⊥d⇒

d
n u
α
=
uur uur
.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
1
( )
1;0;0i
r
( )
0;1;0j
r
( )
0;0;1k
r
O
z
x
y
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
II. Đường thẳngIV.Đường cong
Đường thẳng ∆ được xác đònh bởi: {M(x
0
;y
0
;z
0
),

u
∆
uur
=(a;b;c)}
i.Phương trình tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

;
ii.Phương trình chính tắc:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =

iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:
1 1 1 1
2 2 2 2

0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

trong đó
1 1 1 1
( ; ; )n A B C=
uur
,
2 2 2 2
( ; ; )n A B C=
uur
là hai VTPT và VTCP
1 2
[ ]u n n
∆
=
uur uuruur
.
†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox:
0
0
y
z
=



=

; Oy:
0
0
x
z
=
=



; Oz:
0
0
x
y
=


=


b/ (AB):
AB
u AB=
r uuur
; c/ ∆

1
//∆
2
⇒
1 2
u u
∆ ∆
=
uur uur
; d/ ∆
1
⊥∆
2
⇒
1 2
u n
∆ ∆
=
uur uur
.
III. Góc-Kh/C
Góc giữa hai đường
thẳng *cos(∆,∆’)=cos
ϕ
=
. '
. '
u u
u u
ur uur

r uur
;
Góc giữa hai mp
*cos(
α
,
α
’)=cosϕ=
. '
. '
n n
n n
ur uur
r uur
;
Góc giữa đường thẳng và
mp *sin(∆,
α
)=sinψ=
.
.
n u
n u
ur r
r r
.
III. KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y

M
;z
M
),
α
:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M
0
(x
0
;y
0
;z
0
),
u
∆
r
},
∆’ {M’
0
(x
0
';y
0
';z
0
'),
'u
∆
uur

}
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M,
α
)=
2 2 2
M M M
Ax By CZ D
A B C
+ + +
+ +
* Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)=
1
[ , ]MM u
u
uuuuur r
r
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=
0 0
[ , ']. '
[ , ']
u u M M
u u
r uur uuuuuuuur
uur uur
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
2
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x - a)

2
+(y - b)
2
+(z - c)
2
=R
2
: (S)
Dạng 2: x
2
+y
2
+z
2
+2Ax+2By+2Cz+D=0 khi đó : I(-A;-B;-C) R=
2 2 2
A B C D
+ + −
1. d(I,
α
)>R:
α
∩
(S)=∅
2. d(I,
α
)=R:
α
∩
(S)=M (M gọi là tiếp điểm)

*Điều kiện để mặt phẳng
α
tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng
α
là
tiếp diện của mặt cầu (S) tại M khi đó
n
α
uur
=
IM
uuur
)
3. Nếu d(I,
α
)<R thì
α
sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao
của
α
và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
2 2
- ( , )
R d I
α
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với
α
+H=∆
∩

α
(toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với
α
)
I/ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1).
Bài 2: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1;
–1).
Bài 3: Tính diện tích của hình bình hành ABCD có
(6;3; 2)AB = −
uuur
và
(3; 2;6)AD = −
uuur
.
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1; 0; 1) và B(2; 1; 2);
OD i j k= − +
uuur r ur ur
,
' 4 5 5OC i j k= − −
uuuur r ur ur
. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
Bài 5: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2). Đường thẳng AB cắt mp Oxy tại điểm M. Điểm M chia
đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M.
*Bài 6: Cho A(1; 1; 1), B(5; 1; –2) và C(7; 9; 1).
a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. b/ Tính cosin của góc BAC và diện tích
∆ABC.
*Bài 7: Cho A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1) và D(4; –1; 1).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật. b/ Tính đường cao của tam giac
BCD kẻ từ đỉnh D.

*Bài 8: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và
2OC i j k= + +
uuur r ur ur
.
a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b/ Tính chu vi và diện
tích của ∆ABC.
c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d/ Tính độ dài đường cao của ∆ABC hạ từ đỉnh A. e/ Tính các góc của
∆ABC.
*Bài 9: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1). a/ CMR: A, B, C, D là bốn
đỉnh của một tứ diện.
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A.
Bài 10: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3).
a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc. b/ Tính diện
tích tứ giác ABCD.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
3
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Bài 11: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm tọa
độ hình chiếu vuông góc của P trên (ABC).
Bài 12: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0).
a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC). b/ Tìm trực
tâm H của ∆ABC.
c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
II/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của mặt phẳng.
Bài 1: Lập phương trình ø tổng quát của mp(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –
1).
Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp(α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0. Lập pt tổng quát của

mp(β) đi qua M và song song với mp(α).
Bài 3: Hãy lập pt mp(α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz.
Bài 4: Lập pt mp(α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + 1 = 0 và y
= 0.
Bài 5: Lập pt mp(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x +
2y + z = 0.
Bài 6: Lập pt mp(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y +
3z – 5 = 0.
Bài 7: Cho mpα có phương trình :3x-y+z-4=0. Tính góc ϕ tạo bởi mp(α) và mp((α
,
) có pt:
x + y + 2z –10 = 0.
Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mp(α) có phương trình: 6x – 3y + 2z –13 =
0.
Bài 9: Chomp(α):2x – 2y – z – 3 = 0. Lập PT mp(β) song song với mp(α) và cách mp(α)
một khoảng d = 5.
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy. b/Đi qua M(1; 3; –2) và song song với
mp: 2x – y + 3z + 4 = 0.
Bài 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0). Viết pt mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB.
Bài 12: Viết ptmp đi qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4) và vuông góc với mp: 2x – y +
3z + 1 = 0.
Bài 13: Cho A(2; 3; 4). Hãy viết p.trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa
độ, và p.trình mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ.
Bài 14: Viết p.trình mp qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy và vuông góc với mp: 2x –
y + 3z + 4 = 0.
Bài 15: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời ⊥ với hai mp (P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q): 2x – 3y
+ z + 1 = 0.

b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục: Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao
cho : OR = 2OP = 2OQ.
c/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3).
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
4
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
d/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên trên mp(X).
e/. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và khoảng cách từ C tới mặt
phẳng (P)
bằng
2
2
.Biết A(1;0;1); B(2;–1;0); C(1;1;1)
Bài 16 : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
1 1 2
:
2 1 1
x y z
− − −
∆ = =
−
và điểm
A(2;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
∆
sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng
1
3
.
B/ Vò trí tương đối của hai mặt phẳng.
Bài 1: Xác đònh m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau?

(P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0
Bài 2: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0
Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3).
a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD). b/ Tính góc giữa (ABC)
và (ABD).
c/ Tìm pt mp(P) chứa CD và //
v
ur
= (m; 1–m; 1+m). Đònh m để mp(P) vuông góc với
mp(ABC).
d/ Đònh m, n để mp(P) trùng với mp: 4x + ny + 5z + 1 – m = 0.
.Bài 4: Tìm điểm M’ đối xứng của M qua mp(P) biết:
a/ M(1; 1; 1) và mp(P): x + y – 2z – 6 = 0. b/ M(2; –1; 3) và mp(P): 2x – y
– 2z – 5 = 0.
III/ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của đường thẳng.
Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0;–3) và nhận
(2; 3;5)a
→
= −
làm VTCP.
Bài 2: Lập p.trình của đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và:
a/ Song song với đường thẳng a:
x t
y t
z t
= +
=− −
=− −






1 5
2 2
1
b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy,
Oz.
Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0). b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng:
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z
− + − =
+ − + =



.
Bài 4: Trong mpOxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1).
a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b/ Tính đường cao CH của ∆ABC và tính diện tích ∆ABC. c/ Tính thể tích hình tứ
diện OABC.
Bài 5: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng song song với
các trục Ox, Oy
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
5

CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
biết p.trình tham số của d là: a/
2 2
1 3
4 3
x t
y t
z t
= +


=− +


=− +

b/
1
2 4
3 2
x t
y t
z t
=− +


= −


= +


Bài 6: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d:
1 2 3
2 3 1
x y z− + −
= =
a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
Bài 7: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d:
2 5 0
2 3 0
x y z
x z
− + + =


− + =

trên mp: x + y + z – 7 = 0.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0
b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng: (d
1
):
1 0
2 0
x y
x z
+ + =



− =

;(d
2
):
2 1 0
0
x y
z
+ − =


=

Bài 9: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8). Viết ptts, chính tắc của:
a/ Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ∆ACD. b/ Đường cao AH của tứ
diện ABCD.
Bài 10: Viết ptts của đt nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đt d:
2 3 0
2 0
x z
y z
− − =


− =

tại giao điểm của đường thẳng d và mp(P).
Bài 11: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1), vuông góc và cắt đường thẳng:
1

2 4 3
x y z +
= =
.
Bài 12: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (–4; –5; 3) và cắt cả hai đường thẳng:
1 3 2
3 2 1
x y z
+ + −
= =
− −
;
2 1 1
2 3 5
x y z
− + −
= =
−
.
Bài 13: Lập ptts của đt d đi qua điểm (0; 0; 1), v.góc với đt:
1 2
3 4 1
x y z
− +
= =
và cắt đt:
2 0
1 0
x y z
x

+ − + =


+ =

.
B/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG.
Bài 1: Viết p.trình mặt phẳng đi qua điểm (3; –2; 1) và vuông góc với đường thẳng:
3 2 2 8 0
2 3 7 0
x y z
x y z
+ − + =


− + + =

.
Bài 2: Lập p.trình các giao tuyến của mp: 5x – 7y + 2z – 3 = 0 với các mặt phẳng tọa độ.
Tìm giao điểm của mặt phẳng đã cho với các trục tọa độ.
Bài 3: Lập phương trình tham số của đương thẳng d:
a/ Đi qua điểm M(2; –3; –5) và ⊥ với mp(α): 6x – 3y – 5z + 2 = 0.
b/ Đi qua điểm N(1; 4; –2) và // với các mp : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và 3x – 5y – 2z – 1
= 0.
Bài 4: Cho đường thẳng a có p.trình:
x z
y z
− − =
− =




2 3 0
2 0
và mp(α) có phương trình: z + 3y – z + 4
= 0.
a/ Tìm giao điểm H của a và mp(α). b/ Lập ptđt ∆ nằm trong mp(α), đi qua điểm H
và vuông góc với đt a.
Bài 5: Cho đt a:
x y z
z y z
+ − − =
− + + =



2 6 0
2 3 13 0
và mp(α): 3x–2y + 3z + 16 = 0.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
6
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mp(α). b/ Gọi ϕ là góc giữa a và
mp(α) .Hãy tính sinϕ .
c/ Lập pt của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên
mp(α).
Bài 6: Cho mp(α) có p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp(β) có p.trình: 3x – 5y – 2z – 1 =
0.
a/ Hãy viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua điểm M(1; 4; 0) và song song với (α)
và (β).

b/ Lập phương trình của mp(γ) chứa đường thẳng d và đi qua giao tuyến của hai mp
(α) và (β).
c/ Lập p.trình của mp(P) đi qua M và vuông góc với (α) và (β).
Bài 7: Cho đường thẳng d có phương trình:
2 6 0
4 2 8 0
x y z
x y z
− + − =
+ − − =



.
a/ Hãy tìm giao điểm của đường thẳng a với các mp tọa độ. b/ Tìm VTCP của
đường thẳng d.
c/ Gọi M là giao điểm của đt a với mp(α) có pt: x + y – z + 12 = 0. Hãy tính tọa độ
của M.
d/ Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mpα nói trên. Hãy tính sinϕ.
Bài 8: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ có p.trình:
∆ :
x t
y t
z t
= +
=− −
=






3
2
2
; ∆’ :
x y
x z
− + =
− − − =



5 0
2 3 2 5 0
a/ Tìm vectơ chi phương của mỗi đường thẳng và tính góc giữa hai đường thẳng đó.
b/ Viết phương trình mp(α) chứa ∆ và song song với ∆’.
c/ Chứng minh ∆ và ∆’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng.
Bài 9: Viết ptđt d nằm trong mặt phẳng: y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng:
1
4
x t
y t
z t
= −


=



=

;
2
4 2
1
x t
y t
z
= −


= +


=

.
Bài 10: Viết p.trình đ.thẳng song song với đường thẳng:
3
1
5
x t
y t
z t
=


= −



= +

và cắt hai đường thẳng:
2 1 0
4 3 0
x y z
x y z
− − + =


− + − =

;
1 2 2
1 4 3
x y z
− + −
= =
.
Bài 11: Viết ptđt d đi qua điểm (1;–1; 1) và cắt hai đường thẳng:
1 0
2 3 0
x y z
y z
+ + − =


+ − =


;
1 3
2 1 1
x y z
− −
= =
−
.
Bài 12: Cho hai đường thẳng: d:
1 1 2
2 3 1
x y z
+ − −
= =
; d’:
2 2
1 5 2
x y z
− +
= =
−
.
a/ CMR: d và d’ chéo nhau. b/ Viết p.trình đường thẳng vuông góc chung của d và
d’.
Bài 13: Với giá trò nào của k thì đường thẳng:
2 1 0
1 0
kx y z
x ky z
+ − + =



− + − =

nằm trong mpOyz.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
7
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Bài 14: Cho 3 đt d
1
:
5 2
14 3
x t
y t
z t
=


= −


= −

; d
2
:
1 4
2
1 5

x h
y h
z h
= −


= +


= +

; d
3
:
4 7 0
5 4 35 0
x y
x z
− − =


+ − =

a/ CMR: d
1
và d
2
chéo nhau. b/ CMR: d
1
và d

3
cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm
của chúng.
c/ Tìm góc nhọn giữa d
1
và d
2
. d/ Tìm p.trình hai mp (P) // (P’) và lần lượt đi qua d
1

và d
2
.
Bài 15: Cho đt d:
5 2 3 5 0
4 5 15 0
x y z
x y z
− + − =


+ + + =

và ba mp (P): x + y – z – 7 = 0; (Q): 2x – 3y – z –10 =
0;
(R): x + y + 2z – 4 = 0 .a/ CMR: d ⊥ (P), d ⊂ (Q), d // (R).
b/ Tìm ptđt qua điểm chung của (P), (Q), (R) và đồng thời cắt d và cắt đường thẳng:
1 1 1
x y z
= =

− −
.
Bài 16: Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau; tìm tọa độ giao điểm; lập p.trình mp chứa
hai đ.thẳng đó.
d
1
:
1 1 2
4 2 3
x y z
− + −
= =
; d
2
:
4 5 9 0
3 5 7 0
x y
x z
− − =


− + =

.
Bài 17: Chứng minh hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau. Lập ptđt d vuông góc và cắt hai

đường thẳng đó.
d
1
:
3 5 0
2 1 0
x y
y z
+ − =


− − =

; d
2
:
2 0
2 0
x y z
x z
− − =


+ =

.
Bài 18: Cho đt d:
2 4 3 0
2 3 2 3 0
x y z

x y z
+ − + =


+ − + =

và mp(P): 2x – y + 4z + 8 = 0.
a/ CMR: d cắt (P). Tìm giao điểm A của chúng. b/ Viết p.trình mp(Q) qua d và vuông góc
với (P).
c/ Viết p.t tham số của giao tuyến giữa (P) và (Q).
d/ Viết Pt đ.thẳng d’ qua A, vuông góc với d và nằm trong (P).
C/ KHOẢNG CÁCH.
Bài 1: Tìm khoảng cách: a/ Từ điểm A(3; –6; 7) đến mp(β): 4x – 3z –1 = 0.
b/ Giữa mp(α): 2x – 2y + z – 1 = 0 và mp(β) :2x – 2y + z + 5 = 0.
c/ Từ điểm M(4; 3; 0) đến m.phẳng xác đònh bởi ba điểm A(1; 3; 0), B(4; –1; 2) và
C(3; 0; 1).
Bài 2: Tìm khoảng cách từ điểm P(2,3,-1) đến Đường thẳng d có phương trình:.
1 3 4
2 1 2
x y z
− + −
= =
−
Bài 3: Tính khoảng cách từ M(1; –1; 2), N(3; 4; 1); P(–1; 4; 3) đến mp(Q): x + 2y + 2z – 10
= 0.
Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng: (P): 2x – y + 4z + 5 = 0 (Q): 3x +
5y – z – 1 = 0
Bài 5: Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 =
0.
Bài 6: Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mp (P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): x – y + z – 5 =

0.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
8
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Bài 7: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
1 3 4
2 1 2
x y z− + −
= =
−
;
2 2 1
4 2 4
x y z+ + +
= =
− −
Bài 8: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: (P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x +
2y - 2z + 3 = 0
D/GĨC
Bài 1: Tìm góc tạo bởi đường thẳng:
3 1 2
2 1 1
x y z+ − −
= =
với các trục tọa độ.
Bài 2: Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau:
1 2 2
3 1 4
x y z
− + +

= =
;
2 1 0
2 3 2 0
x y z
x z
+ − − =


+ − =

Bài 3: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:d:
2 1 3
4 1 2
x y z
+ − −
= =
−
; (P): x + y –
z + 2 = 0
Bài 4: Tính góc giữa 2 mp (P) :2x + 2y - 2z + 3 = 0 & (Q): x + 3y – z + 2 = 0.
Bài 5: Viết ptđt đi qua điểm M(0; 1; 1), vuông góc với đt:
1 2
3 1 1
x y z
− +
= =
và cắt đt:
2 0
1 0

x y z
x
+ − + =


+ =

. E/ HÌNH CHIẾU.
Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +
12 = 0.
Bài 2: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0.
Bài 3: Tìm điểm đ.xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đt
∆
:
1 1
2 1 2
x y z
− +
= =
−
.
Bài 4: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và mp(P): x + y –2z –6 = 0.
a/ Tính khoảng cách từ N đến mp(P). b/ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên
mp(P).
c/ Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng MN trên mp(P).
Bài 5: Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng trên m.phẳng:d:
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =

; (P):
x + 2y + 3z + 4 = 0
Bài 6: Cho điểm M(–1; –1; –1) và đ.thẳng d:
2 1 0
1 0
x y z
x y z
+ − + =


− + − =

. Gọi H, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M trên d và trên mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Tính HK.
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) và D(5; 5; –4).
a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mp(ABC). b/ Tính thể tích của
tứ diện.
Bài 8: Cho3điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0). Tìm tọa độ hchiếu vuông góc C’của
Ctrên đt: AB.
IV/ MẶT CẦU.
A/ Phương trình của mặt cầu.
Bài 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình:
a/ x
2
+ y
2
+ z
2
– 8x + 2y + 1 = 0 b/ x
2

+ y
2
+ z
2
+4x + 8y – 2z – 4 = 0
c/ 3x
2
+ 3y
2
+ 3z
2
+ 6x – 3y + 15z – 2 = 0 d/ x
2
+ y
2
+ z
2
– 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết:
a/ Có tâm I(2; 1; –2) và qua A(3; 2; –1). b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và
B(–4; 0; 7).
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
9
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
c/ Có tâm I(–2; 1; 1) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y – 2z + 5 = 0. d/ Có tâm I(6; 3; –4) và
tiếp xúc với Oy.
e/ Qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mpOxy.
g/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1).D(0;0;1)
h/ Có tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với đ.thẳng d:
1 2

2 1 3
x y z− −
= =
−
.
i/ Có tâm nằm trên đt d:
2
0
x
y
= −


=

và tiếp xúc với hai mp: (P): x – 2z – 8 = 0; (Q): 2x – z + 5
= 0.
j/ Qua ba điểm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mpOyz.
Bài 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–1;–3;0).
a/ CMR: ABCD là hình vuông và SA là đ/cao của h/chóp S.ABCD.
b/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho hai đ.thẳng d:
4
3
4
x t
y t
z
= +



= −


=

và d’:
2
1 2
x
y h
z h
=


= +


=

. Lập p.trình mặt cầu nhận đoạn vuông
góc chung của d và d’ làm đường kính.
B/ Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
Bài 1: Xét vò trí tương đối giữa hai mặt cầu (S) và mp(P):
a/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2

–6x –2y + 4z + 5 = 0; (P): x + 2y + z – 1 = 0
b/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–6x +2y –2z + 10 = 0; (P): x + 2y –2z + 1 = 0
c/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+4x + 8y –2z – 4 = 0; (P): x + y + z – 10 = 0
d/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 8z + 5 = 0; (P): 4x + 3y + m = 0
Bài 2: Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 9 = 0 và mặt cầu (S): (x – 3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z – 1)
2
=
100

a/ Lập p.trình đ.thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P). b/ CMR: mp(P) cắt
mặt cầu (S).
c/ Viết p.trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và (P). Tìm tâm và bán kính của
đường tròn đó.
Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a/
2 2 2
6 2 2 10 0
2 2 1 0
x y z x y z
x y z

+ + − + − + =

+ − + =

b/
2 2 2
12 4 6 24 0
2 2 1 0
x y z x y z
x y z

+ + − + − + =

+ + + =

Bài 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu: x
2
+ y

2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm
M(4; 3; 0)
Bài 5: Cho mp(P): x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y + 4z = 0.Tìm
p.trình các mp song song với mp(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 6: Cho hai điểm A(–1; –3; 1), B(–3; 1; 5).
a/ Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. b/ Viết phương trình các tiếp diện của
mặt cầu mà chứa trục Ox.
Bài 7: Lập p.trình tiếp diện của (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x – 4y –6z +5 = 0:Biết Tiếp diện vuông
góc với đường thẳng
d:
2 3 0
2 4 1 0
x y z
x y z
− − − =



− + − =

.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
10
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
C/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
Bài 1: Xét vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:(S): x
2
+ y
2
+ z
2
–2x + 4z + 1 = 0 ; d:
1 2
2 1 1
x y z
− −
= =
−
Bài 2: Cho mc(S): (x+2)
2
+ (y–1)
2
+ (z +5)
2
= 49 và d:
5 3

11 5
9 4
x t
y t
z t
=− +


=− +


= −

.
a/ Tìm giao điểm của d và mặt cầu (S). b/ Tìm p.trình các m.phẳng tiếp xúc với (S) tại
các giao điểm trên.
Bài 3: Cho mc(S): (x+2)
2
+ (y–1)
2
+ z
2
= 26 và đ.thẳng d:
2
1 3
4 5
x
y t
z t
=−



=− −


=− +

a/ Tìm giao điểm A, B của d và mc(S). Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường
thẳng d.
b/ Tìm p.trình các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A và B.
M Ộ T S Ố DẠNG TỐN THI TNTHPT VÀ ĐẠI HỌC
Bài 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S):
( ) ( ) ( )
36221
222
=−+−+−
zyx
và (P): x + 2y + 2z +18 = 0.
1. Xác định tọa độ tâm T và bán kính mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt
phẳng (P).
2. Viết phương trình tham số của đương thẳng d đi qua T và vng góc với (P). Tìm tọa
độ giao điểm của
d và (P). (Đề thi tốt nghiệp 2009)
Bài 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d có PT :
1 1
2 2 1
x y z+ −
= =
−
1)Tính khoảng cách từ điểm O đến đường d

2)Viết PT mặt phẳng chứa O và đường thẳng d (Đề thi tốt nghiệp 2010)
Bài 3:Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (3;1;0) và mặt phẳng (P): 2x + 2y – z
+ 1 = 0.
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua
điểm A và
song song với mặt phẳng (P).
2) Xác định tọa độ hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng (P). (Đề thi tốt
nghiệp 2011)
Bài 4 : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;1), B(0;2;5) và mặt phẳng
(P) có phương trình
2x –y+5 =0
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B
2) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB (Đề thi tốt nghiệp
2012 Chuẩn)
Bài 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;2) và đường thẳng
∆
có phương
trình
1 3
2 2 1
x y z
− −
= =
a)Viết phương trình của đường thẳng đi qua O và A
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
11
CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN OXYZ
b)Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và đi qua O. Chứng minh
∆
tiếp xúc với (S) (TN

2012 NC)
Bài 6:Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( 1;2;1)M −
và mặt phẳng
( )P
có
phương trình
2 2 3 0x y z+ + − =

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng
d
đi qua
M
và vuông góc với
( )P

2) Viết phương trình mặt cầu
( )S
có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với
( )P
(TN chuẩn 2013)
Bài 7:Trong kg với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( 1;1;0)A −
và đường thẳng
d
có phương trình

1 1
1 2 1
x y z− +
= =
−

1) Viết phương trình mặt phẳng
( )P
đi qua gốc tọa độ và vuông góc với
d

2) Tìm tọa độ điểm
M
thuộc
d
sao cho độ dài đoạn
AM
bằng
6
(TN 2013NC)
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(1; 1;0)
−
A
và mặt phẳng
( )P
:
2 2 1 0− + − =x y z

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )P
(TNTHPT -
2014)
2) Tìm điểm M thuộc
( )P
sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần
khoảng cách từ
A
đến
( )P

Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp
( )
P : 2x y 2z 1 0
+ − − =
và đường thẳng
x 2 y z 3
d :
1 2 3
− +
= =
−
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa d và
vuông góc với (P). (KA- 2014)
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;-1) và đường thẳng d:
1 1

2 2 1
− +
= =
−
x y z
. Viết phương
trình mp qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d. (KB-
2014)
Bài 11: Trong kg với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0 và mặt cầu (S) :
x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 4y – 2z – 11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao
tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C). (KD-2014)
GV Biên Soạn Hoa Hoàng Tuyên
12