De cuong On Tap Ky II Toan 7

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 7 HỌC KỲ II
Năm học: 2011-2012
Câu hỏi-bài tập yêu cầu HS luyện giải
PHẦN ĐẠI SỐ
A. Lý thuyết
1.Các phép toán trong tập hợp Q.
2. Công thức tính luỹ thừa số hữu tỉ ( nhân, chia luỹ thừa cùng cơ số; luỹ thừa của một luỹ thừa,
luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một thương)
3.Nêu quy tắc cộng hai số nguyên ( cùng dấu ; khác dấu ) Nêu quy tắc nhân dấu , chia dấu
( cùng dấu , khác dấu ),
4.Nêu quy tắc chuyển vế ; quy tắc bỏ dấu ngoặc
5. Thế nào là biểu thức đại số ? Cách tính giá trị của biểu thức đại số? lấy ví dụ.
6. Đơn thức là gì ?, Đơn thức thu gọn là gì , bậc của đơn thức, Quy tắc nhân hai đơn thức ?,
7. Hai đơn thức đồng dạnglà hai đơn thức như thế nào ? Phát biểu quy tắc cộng, trừ đơn thức
đồng dạng ?Cho ví dụ.
7. Đa thức là gì ? Nêu quy tắc cộng trừ hai đa thức ?
8.Thế nào là đa thức một biến? cho ví dụ. Nêu cách cộng trừ đa thức ; đa thức một biến.
9.Khi nào số a là nghiệm của đa thức P(x) ? Cách tìm nghiệm của đa thức?
B. Bài tập:
I. CÁC PHÉP TÍNH TRÊNTẬP SỐ HỮU TỈ:
*Dạng 1: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ:
Kiến thức : 1) Các phép toán trong Q :
+ Phép cộng: với x; y ∈ Q và x =
a
m
; y =
b
m
có : x + y =
a
m

+
b
m
=
a b
m
+
+Phép trừ : với x; y ∈ Q và x =
a
m
; y =
b
m
có : x - y =
a
m
-
b
m
=
a b
m
−
+ Phép nhân : với x; y ∈ Q và x =
a
b
; y =
c
d
có : x . y =

a
b
.
c
d
=
.
.
a c
b d
+ Phép cộng và nhân có các tính chất : giao hoán kết hợp và tính chất phân phối giữa phép nhân
và phép cộng
Ví dụ: Thực hiện phép tính: (bằng cách hợp lí nhất nếu có thể )
a)
14
17
9
4
7
5
18
17
125
11
++−−
=
125
11
2
1

2
1
125
11
9
4
18
17
7
5
14
17
125
11
=−+=






−−






−+
b)

1
2
1
2
3
1
3
4
1
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1 −−−−−−+−+−+−
=
11114
4
1
4
3
3
1
3
2
2

1
2
1
4)33()22()11(
=−−−=






+−






+−






+−++−++−++−
c) (-4,2) +(-15,6) + 35 +(-5,8) +(-4,6) = [(-4,2)+(-5,8)]+[-15,6+(-4,6)]+ 35
=-10+(-20,2) + 35 = - 30,2
d)11,2.(-3,5) + 8,8.(-3,5) = (-3,5).( 11,2 + 8,8) = -3,5.20 = -70
1

15 45 15 49 15 7.7 7
) : . .
7 49 7 45 7 15.3 3
e
− − − −
= = =
 Bài tập tương tự :
Bài 1: Thực hiện phép tính ( tính bằng cách hợp lí nhanh nếu có thể)
a)
1 1 1 7
24 4 2 8
 
−
 
− − −
 ÷
 
 
 
b)
5 7 1 2 1
7 5 2 7 10
 
   
− − − − −
 ÷  ÷
 
   
 
g)

5 5 13 1 5 3 2
1 1
7 67 30 2 6 14 5
     
− − − + + + − + − −
 ÷  ÷  ÷
     
c)
1 3 1 1 2 4 7
2 5 9 71 7 35 18
       
− − − + − + − − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
1 2 1 6 7 3
3 5 6
4 3 3 5 4 2
     
− + − − − − − +
 ÷  ÷  ÷
     
e)
1 2 1 3 5 2 1
5 2 2 8
5 9 23 35 6 7 18
     
+ − − − − + − + −
 ÷  ÷  ÷
     

f)
1 3 3 1 2 1 1
3 4 5 64 9 36 15
 
− − − + − − +
 ÷
 
Bài 2 : Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất:
a)
2 1 3
4.
3 2 4
 
− +
 ÷
 
b)
1 5
.11 7
3 6
 
− + −
 ÷
 
c)
5 3 13 3
. .
9 11 18 11
   
− + −

 ÷  ÷
   
d)
2 3 16 3
. .
3 11 9 11
− −
   
+
 ÷  ÷
   
e)
1 2 7 2
. .
4 13 24 13
−
     
− − −
 ÷  ÷  ÷
     
f)
1 3 5 3
. .
27 7 9 7
−
     
+ −
 ÷  ÷  ÷
     
g)

1 3 2 4 4 2
: :
5 7 11 5 7 11
   
− + + − +
 ÷  ÷
   

p)
1 5 1
11 2 5
4 7 4
 
− +
 ÷
 
i)
3 5 2 1 8 2
: 2 :
4 13 7 4 13 7
   
− + − +
 ÷  ÷
   
k)
1 13 5 2 1 5
: :
2 14 7 21 7 7
   
− − − +

 ÷  ÷
   
q)
5 5 5
8 3 3
11 8 11
 
+ −
 ÷
 
n)
3 3 3
13 4 8
5 4 5
 
+ −
 ÷
 
h)
3 1 1 3 1 1
: : 1
5 15 6 5 3 15
− −
   
− + −
 ÷  ÷
   

u)
1 9 2

.13 0,25.6
4 11 11
−
−
v)
4 1 5 1
: 6 :
9 7 9 7
   
− + −
 ÷  ÷
   
m)
2 8 1 2 5 1
12. : 3 . .3
7 9 2 7 18 2
 
− + −
 ÷
 

L ưu ý :(nếu có thể vận dụng linh hoạt tính chất các phép tính để lựa chọn cách tính hợp lý
cho nhanh kết quả nhất) :
 Đáp số :
Bài 1-1: a)
2
3
−
b)
11

7
−
c)
1
71
d)
29
5
−
e)
91
23
−
f)
1
64
; g)
5
67
Bài 1-2: Tính bằng cách hợp lý:
a)
13
)
3
a
−
; b)
3
2
−

c)=
23
66
−
d)
2
3
−
; e)
1
12
; f) -
16
63
; g)
0
; h)
3
−
i)
147
13
−

k) tương tự kết quả i -
2
3
m)
18
205

n)
4
39
p)
7
23
q)
8
69
u) – 5 v) – 49
*Dạng 2: Các phép tính luỹ thừa.
 Kiến thức cơ bản : Công thức tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên:
+ Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số : x
n
. x
m
= x
n+m
( x ∈Q ; m;n ∈N)
+ Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : x
n
: x
m
= x
n- m
( x ≠ 0 ; n≥ m)
+ Luỹ thừa của một luỹ thừa : ( x
n
)
m

= x
n.m
+ Luỹ thừa của một tích : ( x.y)
n
= x
n
.x
m
+ Luỹ thừa của một thương :
n
n
n
x x
y y
 
=
 ÷
 
( y ≠ 0)
+Quy ước : x
0
= 1 ; x
1
= x
2
Ví dụ1: tính :
( )
6
21 6 21 2 21 12 9
3

3 2 2 2 6 2 4
0 2 2 3
3 9 3 3 3 3 3
)25 :5 5 : 5 5 :5 5 ; ) : : :
7 49 7 7 7 7 7
6 1 1 1 1
)3 : 2 3 1 . 2 2 0.125 2.125
7 2 2 2 2
a b
c
 
             
= = = = = =
 ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷
             
 
       
− − + = − + = + = + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d. 3
-2
.
6
1
3
2
.

2
3
.
3
1
2
1
1.
3
2
3
3
4
4
2
34
−=








−=







−






−−
e)
2
3 3.2 6
1 1 1
2 2 2
 
− −
     
= =
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3

9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
− −
= −
+
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4
6 3
12 6 12 5 9 3 9 3 3
9 3
2 4 5
12 4 10 3 10 3
12 4
12 5 12 5 9 3
9 3 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14

2 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 5 .7 . 6
2 .3 .2 1 10 7
2 .3 . 3 1 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 2
5 .7 . 1 2
A
− − − −
= − = −
+ +
+
+
− − −
−
= − = − = − =
+
+
 Bài tập tương tự:
Bài 1 : Tính a)
2
1
3
2
 
 ÷
 
b)
4
1
1
4

 
−
 ÷
 
c)
( )
3
2,5

5
5
1
) .5
5
d
 
 ÷
 

( )
3
) 0,125 .512e
f, (-5,3)
0

Bài 2: Thực hiện phép tính:
a)
2
6 2
5 5

 
−
 ÷
 
b,
3 2
2 2
.
3 3
   
− −
 ÷  ÷
   
= c, (-7,5)
3
:(-7,5)
2
= ; d,
2
3
3
4
 
 
−
 
 ÷
 
 
 

=
e,
6
6
1
.5
5
 
 ÷
 
= ; f (1,5)
3
.8 = g, (-7,5)
3
: (2,5)
3
= ; h,
2
6 2
5 5
 
+ =
 ÷
 

Bài 3: Tính : a)
10 10
10
45 .5
75

b)
( )
( )
5
6
0,8
0,4
c)
15 4
3 3
2 .9
6 .8
d)
10 10
4 11
8 4
8 4
+
+
Đáp số : Bài 1 : a)
49
4
b)
625
256
c)15,625 d) 1 e) 1 f) 0
*Dạng 3:Tính GTBT Hữu tỉ (Thứ tự thực hiện phép tính )
 Kiến thức cơ bản : Một số quy tắc ghi nhớ khi làm bài tập
a)Quy tắc thực hiện các phép toán trong Q :
b)Thứ tự thực hiện phép tính:

+ Đối với biểu thức không có dấu ngoặc:
- Nếu chỉ có phép cộng ,trừ hoặc nhân chia thì thực hịên từ trái
→
phải -
- -Nếu có cả phép tính cộng ,trừ, nhân, chia, luỹ thừa thì thực hiện:
3
Luỹ thừa
→
nhân chia
→
cộng trừ
+ Đối với biểu thức có dấu ngoặc : ( )
→
[ ]
→
{ }
c) Quy tắc bỏ ngoặc:
+ Bỏ ngoặc đằng trước có dấu “-” thì đồng thời đổi dấu tất cả các hạng tử có trong ngoặc,
+ Bỏ ngoặc đằng trước có dấu “+” thì vẫn giữ nguyên dấu các hạng tử trong ngoặc.
Ví dụ1: a) Tính: GTBT
A =








+









+
9
225
49
5
:
3
25,022
7
21,110
=
10.1,1 22.0,5 5 15
:
7 3 7 9
   
+ +
 ÷  ÷
   
=
11 11 5 5 11
:
7 3 7 3 5

   
+ + =
 ÷  ÷
   
C =
( )
5
4
:5,02,1
17
2
2
4
1
3
9
5
6
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4

:8,0
×+
×






−






−
+
−






×

( )
3
1

2
4
3
4
1
6
8
4
3
7
4
7
1
6,0
8,0
5
4
:6,0
17
36
36
119
7
4
:08,008,1
04,064,0
1:8,0
=++=+
×
+=+

×
−
+
−
=

Ví dụ 2:.b)Thứ tự thực hiện phép tính :

4
3 4 4
2
4 4
4
1 4 1
1 4.4 1 3 4
.
. .
25.7.10
4 3 2
4 3 4 4.3
0,5
1 11 11
4.3 .11
4
10 10 10
 
−
−
 ÷
−

 
= = = = −
+
Lưu ý :(nếu có thể vận dụng linh hoạt tính chất các phép tính để lựa chọn cách tính hợp lý
nhất cho nhanh kết quả ) :
 Bài tập tương tự
Bài 1 : Thực hiện phép tính:
+ − +
− −
       
− − + − − − − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2
1 1 1 1 1 2 1 2 2
g) 1 .2 1 . h). . 4 .
2 3 3 2 9 145 3 145 145
7 1 1 1 2 1 7 3 2 8 5 10 8
i). 2 : 2 : 2 2 : 2 k). : 1 : 8 . 2
12 7 18 7 9 7 80 4 9 3 24 3 15
B i 2à : Thực hiện phép tính:
a)
9 4
2.18 : 3 0,2
25 5
   
− +
 ÷  ÷
   
b)

3 1 3 1
.19 .33
8 3 8 3
−
c) 1
4 5 4 16
0,5
23 21 23 21
+ − + +
d)
2
2 4
12.
3 3
 
− +
 ÷
 
e)
5 5
12,5. 1,5.
7 7
   
− + −
 ÷  ÷
   
f)
 
+
 ÷

 
2
4 7 1
.
5 2 4

g)
2
2 7
15.
3 3
 
− −
 ÷
 
h)
2
3 1
7 2
 
+
 ÷
 
i)
2
3 5
4 6
 
−
 ÷

 
k)
4 4
5 5
5 .20
25 .4
c,
27.2
3.4.4
10
432
Lớp chọn 7A1
Bài 4. Tính giá trị biểu thức:
a,
( )
4
8
0
15
12
6
.
3
1
.9.
3
1
15
4
.

7
3






+
b,
675.4
15.1681.10
4
24
−
4
c) C = 26 :






−
×−
+
+×
−
)15,2557,28(:84,6
4)81,3306,34(

)2,18,0(5,2
)1,02,0(:3
+
3
2
:
21
4
d) B =
104.2
65.213.2
10
1212
+
+
49
1010
2.3
5.311.3
+
: e)
3 4
4
2
1 1 2
.10 . .
50 5
4
5
−

   
 ÷  ÷
   
 
 ÷
 

Đáp số : Bài 1: a) 30,2 b) -70 c) 85 d) - 41,8 e) 188,5
f) – 280 g)
6
25
; h:
45
2−
i)
36
7−
k)
24
1
Bài 4: a)=1.
48
88
3.2
3.2
.
3
1
b)
2

4
3
=
c) C=
1
7
2
e)
1
2
*Dạng 4: toán tìm x:
 Kiến thức cơ bản : a) Quy tắc chuyển vế: Với mọi x, y, z ∈R : x + y = z => x = z – y
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó
Ví dụ1 : Tìm x biết:
a)
2 22 23
x
5 15 30
+ =
⇒
22 23 2
15 30 5
x = −

11 22 1
:
30 15 4
x x⇒ = ⇒ =

b)

2
13
2
1
7
=−=
x
=> x =
2
13
hoặc x = -
2
13

c) 1,6-
2,0−x
= 0
⇒
0,2 1,6( 0,2 0) 1,6 0,2 1,8( 0,2)
0,2 1,6( 0,2 0) 1,6 0,2 1,4( 0,2)
x x x x
x x x x
− = − ≥ = + = ≥
 
⇒
 
− = − < = − + = − <
 
1,8
1,4

x
x
=

⇒

= −


d) 3
x-1
= 81
⇒
3
x-1
= 3
4
=> x – 1 = 4 => x = 5
e)
3 1
0
4 2
x + − =
⇒
3 1 3 1 3 1 3
( 0) ( )
4 2 4 2 4 4 4
3 1 3 1 3 5 3
( 0) ( )
4 2 4 2 4 4 4

x x x x
x x x x
 
+ = + ≥ = − = − ≥ −
 
 
⇒
 
 
+ = − + ≤ = − − = − ≤ −
 
 
1
4
5
4
x
x

= −


⇒


= −


f) ,
1

10
x
+
+
1
11
x
+
+

1
12
x
+
=
1 1
13 14
x x
+ +
+

⇒
1 1 1 1 1
( 1)( ) 0
10 11 12 13 14
x
− + + − − =
1 0 1x x
⇒ + = ⇒ = −
Ví dụ2: a)Tìm x ; y biết

( )
2010
5 .2009 3 0x y− − =
Giải : luôn có
( )
2010
5 0x − ≥
và
2009 1 0y − ≥

⇒
Do đó
( )
2000
3 . 1x y− − =
0
⇔
chỉ khi
( )
2010
5 0x − =
⇒ x – 5 = 0 ⇒ x = 5

2009 1 0y − =

⇒
y – 1 = ⇒ y = 1
b) Tìm x ; y biết
( )
2010

5 2009 3 0x y− + − =

Giải : Ta luôn có
( )
2010
5 0x − ≥
và
2009 1 0y − ≥

⇒

( )
=−+− 13
2000
yx
0

⇔
chỉ khi
( )
2010
5 0x − =

⇒
x – 5 = 0 ⇒ x = 5
và
2009 1 0y − =
y – 1 = 0 y = 1
c)Tìm số tự nhiên n biết :
5 7

32 2 128 2 2 2 5 7 6
n n
n n
< < ⇒ < < ⇒ < < ⇒ =
 Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm x biết: x – 5 = 0
5
a)
2 3
x
15 10
−
− − =
b)
1 1
x
15 10
− =
c)
3 5
x
8 12
−
− =
d)
3 1 7
x
5 4 10
−
− = +

h)
( )
4
1
5:1
5
2
=−






−
x

e)
5 3 1
x
8 20 6
 
− − = − − −
 ÷
 
f)
1 5 1
x
4 6 8
−

 
− = − +
 ÷
 
g)
1 9
8,25 x 3
6 10
−
 
− = +
 ÷
 
i).
20
4
1
9
4
1
2 =−x
Bài 2 : Tìm x biết:
   
− = − − + = − =
 ÷ ÷
   
1 1 5 5 5 2 3 3 1 3
a. 3 : x . 1 d. x f. x
4 4 3 6 7 3 10 4 2 7

−
− = −
1 3 11
b. : x
4 4 36

−
   
− + − = + − + = − + − =
 ÷  ÷
   
1 3 7 1 1 22 1 2 1 3 1 3
c. 1 x : 3 : e) x f. x
5 5 4 4 8 15 3 3 5 4 2 7
g)
( )
6
1
5
4
1
3
1
.%3025,0
−=−−
x
h.
7
5
9

7
5
3
1
:
2
1
=+






−
x
i.
7
1
1
2
1
:
7
3
.5,0
=







−
x

k.
2
17204
:70
=
+
x
x
m.
7
1
161
573
95.
7
3
+
+
=−
x
x
n.
20
7

3
2
3:
5
2
5
4
2,3
=






+−
x
Bài 3: Tìm x và n biết :
a/
2
3
5
3
.
10
3
=+x
b/
1125 =+− x
c)

64
1
2
1
=






x
d/
4
1
+x
=
6
5
e/
213 =−x

f/Tìm x, y biết:
y
x
+
+
7
4
=

7
4
và x + y = 22 l)2.16
2 2
n
≥ >
h) 9.27
3 243
n
≤ ≤
i)
2 4 7
3 .3 .3 3
n
−
=
k)
1 5
2 .2 4.2 9.2
n n
−
+ =
(n
∈
N)
Bài 4. Tìm x và y biết; 8,
4 3 2 1
2000 2001 2002 2003
x x x x+ + + +
+ = +

a. (x -
1
2
)
50
+ (y +
1
3
)
40
= 0 b. (2x – 5)
2000
+ (3y + 4)
2002
= 0
Đáp số :
Bài 1: tìm x biết: a) x =
1
6
; b) x =
1
6
; c) x =
19
24
−
d)x =
3
20
; e)x =

77
120
−
;
f) x =
23
24
−
; g) x =
60
359
h)x =
8
5−
i) x = 13
Bài 2: Tìm x biết: a)x =
13
8
b)x =
2
27
c)x =
10
3
d)x = -
140
87
e)x =
11
1−

f)x =
21
26

g)x = 50 h)x =
7
2
i) x = 2 k) x =
17
90
m) x =
1
3
n) x =
149
192
;
. p) x =
11
17
q) x =
13
7
u) x = -
2100
19
; v)
33
4
Bài 3 : Tìm n: h)

{ }
3;4;5n∈
i) n = 5 k) n = 5 l) n = 6
Bài 4: a) x=
1
2
y
1
3
= −
b, x =
5
2
; y =
4
3
−
II. ĐƠN THỨC_ĐA THỨC:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Biểu thức đại số là : Biểu thức ngoài các số, các ký hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia,
nâng lên luỹ thừa, còn có các chữ ( đại diện cho các số) Người ta gọi những biểu thức như vậy
là biểu thức đại số.
6
Ví dụ : 2( 5x
2
– 4y) ; xy
2

2) Đơn thức : là BTĐS chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.
. Ví dụ : -xyz

2
;
3
3
5
x y

3
4
; 0
3) Đơn thức đồng dạng : là các đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.
Ví dụ : 2x
3
y
4
và
3 4
3
5
x y
; -
3 4
x y

4) Cách cộng ( trừ) đơn thức đồng dạng : Ta cộng ( trừ) phần hệ số , giữ nguyên phần biến.
5) Đa thức : là tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức là một hạng tử của đa thức đó.
Ví dụ : P = 3x
2
y – x
3

+ 2xy - 3
6)Đa thức một biến : là tổng của các đơn thức có cùng một biến.
Ví dụ : A(x) = 7y
3
-
3
5
y
+ y
2
– 1
7) Nghiệm của đa thức 1 biến: x = a là nghiệm của đa thức f(x)
⇔
f(a) = 0
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: Thu gọn biểu thức đại số:
*Dạng1a: a) Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số của đơn thức
Phương pháp:
B
1
: Dùng qui tắc nhân đơn thức để thu gọn:
+ nhân các hệ số với nhau, nhân phần biến với nhau rồi thu gọn phần biến
B
2
: Xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn.
+ Bậc của đơn thức với hệ số
≠
0 là tổng các số mũ của các biến có mặt trong đơn thức
Ví dụ 1: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.

( )
2
2 2 2 2 4 3 2
) 2 . .4 4a x yz xy z x yz z x y x y z
= =
bậc 9 vì tổng các số mũ là 9 và hệ số là 4

( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 3 4
2 2 2
) 3 .9 . .9 . 6. . . .
3 3 3
b xy z x y xy z x y x x y y z x y z
− − −
 
− = = = −
 ÷
 
Bậc 8 vì tổng các số mũ là 8 và hệ số là - 6
Bài 7 : Thu gọn các đơn thức.
a. 5x
3
yy
2
c. 5xy
2
(-3)y. b.
4
3

a
2
b
3
. 2,5a
3
d. 1,5p.q.4p
3
.q
2
Giải :
a. 5x
3
yy
2
= 5(y
3
.y.y
2
) = 5y
6
. b.
4
3
a
2
b
3
. 2,5a
3

=






5,2.
4
3
a
2
.a
3
.b
2
=
8
15
.a
5
.b
6
c. 5xy
2
(-3)y = - 15xy
3
. d. 1,5p.q.4p
3
.q

2
= 1,5 .4 (P.P
3
.q.q
2
) = 6p
4
.q
3
Ví dụ 2: a) Tính tích các đơn thức sau : 5xy
2
; 0,7y
4
z và 40x
2
z
3
.
Giải : 5xy
2
. 0,7y
4
z . 40x
2
z
3
= 5 . 0,7 . 40.x.x
2
.y
2

.y
4
.z.z
3
= 196x
3
y
6
z
b)Phân tích các biểu thức d. 2x
12
y
10
thành tích của hai đơn thức trong đó có một đơn
thức là 20x
5
y
2
.
Giải 2x
12
y
10
=
10
1
x
7
y
8

. 20x
5
y
2
7
c) Tính giá trị của đơn thức sau:
5
2
ax
3
y
6
z tại x = - 3; y = - 1; z = 2
Giải :
5
2
a (- 3)
3
.(- 1)
6
. 2 = -
a
5
108
Bài tập tự luyện:
Bài 1-1: Cho các đơn thức sau: thu gọn và xác định bậc của đơn thức hệ số,phần biến của
chúng: a) xy
2
.( - 3y
2

) b)
3
4
−
xy
2
. ( 2x
2
y)
3
.(
1
3
xy) c) ( -xz)
3
.(
3
4
−
x
2
) ( -2x
2
z
2
)
2
Bài 1-2: Thu gọn các đơn thức sau và tìm bậc, hệ số phÇn biÕn. của đơn thức

2 3

1
A x y.2xy
3
= −
2 2 3
3
B 2xy z. x yz
4
= −
2
1 3
C xy .( yz)
3 4
= −

3 2 3
3
D ( x y z)
5
= −
5 2
1
E ( x y).( 2xy )
4
= − −
3 2
1 2
F (xy) . x
5 3
=

K =
3 2 3 4
5 2
. .
4 5
x x y x y
   
−
 ÷  ÷
   
L =
( )
5 4 2 2 5
3 8
. .
4 9
x y xy x y
   
− −
 ÷  ÷
   

1 1
2 3 2 2 1 2 1 *
/ ( ) .( ) ( , )
1
/ 2 ( 2 ) ( ) : / 2 ( ) ( ) ,
2
n n n k k k k n
n n n n

d a b c a b c k n N
e x y axy x y a f ax y xy x y n N
+ +
− −
∈
− − − − ∈
h»ng sè a lµ h»ng sè
Bài1-3 : Thực hiện các phép nhân:
b) - 0,5ab(-1
5
1
a
2
bc). 5c
2
b
3
c)- 1,2ab.(- 10a
2
.b.c
2
). (- 1,5a
2
c). d) - 0,32a
7
b
4
.(-3
8
1

a
3
b
6
)
Bài 1-4: Phân tích các biểu thức sau thành tích của hai đơn thức trong đó có một đơn thức là
20x
5
y
2
. a. - 120x
5
y
4
b. 60x
6
y
2
. c. -5x
15
y
3
Bài 1-5 : Tính giá trị của các đơn thức sau:
a. 15x
3
y
3
z
3
tại x = 2; y = - 2; z = 3. b. -

3
1
x
2
y
3
z
3
tại x = 1; y = -
2
1
; z = - 2
Đáp số : Bài 1-1: a) -3xy
4
( bậc 5 ; phần hệ số - 3 ; phần biến xy
4
)
b)-2x
8
y
6
( bậc 14 ; hệ số - 2; phần biến x
8
y
6
)
c)3x
9
z
7

( bậc 16 ; hệ số 3; phần biến x
9
z
7
Bài 1-3: b. 3a
3
c
3
b
5
; c. - 1,8a
3
b
2
c
3
; d. 0,04a
10
b
10
Bài 1-4: a) = - 6y
2
. 20x
5
y
2
b) = 3x. 20x
5
y
2

. c) = -
4
1
x. 20x
2
y
2
.
Bài 1-5 : a.= - 8640. b. = -
3
1
*Dạng 1 b : b) Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất của đa thức
 Kiến thức cơ bản: - Nhận biết được hai đơn thức đồng dạng
-Nắm cách cộng hay trừ các đơn thức đồng dạng :( ta cộng hay trừ các hệ số và giữ nguyên
phần biến
Phương pháp:       
Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
Bước 2: : xác định hệ số cao nhất, bậc của đa thức đã thu gọn.
Lưu ý: Khi nhóm ,giữa các nhóm nên đặt dấu cộng để tránh nhầm dấu
Ví dụ1: Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số của đa thức
8
a)
1
2 4
2
xyz xyz xyz
+ −
=
1 11
(2 4 )

2 2
xyz xyz
+ − =
( đa thức có bậc 3, hệ số 5,5 )
( Đa thức có bậc 4, hệ số cao nhất là 5 ,
( )
( )
3 2 2 2 3 2 2 2
3 2 3 2
1 1
) 5 3 3 5
2 2
1 7
1 5
2 2
c x xy x xy x xy x x x x x xy xy xy
x x xy x x xy
 
− + + − + − = + − − + − +
 ÷
 
−
 
= + + − + = + +
 ÷
 
( Đa thức có bậc 3, hệ số hệ số cao nhất là 1 ,
Ví dụ2: Điền đơn thức thích hợp vào ô trống:
2 2 2 2 2
) 5 3 3 5 8

) 5 5 6
a xy xy xy xy xy
b x z x z x z x z x z
+ = − ⇒ = − − ⇒ = −
+ − = ⇒ + = + =

Bài tập tương tự:
Bài 2-1: Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất.
2 3 2 3 2 2 3 2 2 3
15 7 8 12 11 12A x y x x y x x y x y
= + − − + −

5 4 2 3 5 4 2 3
1 3 1
3 2
3 4 2
B x y xy x y x y xy x y
= + + − + −
2 2 2 2
1 1 2
C x y xy x y xy 1
2 3 3
= − + + +

2 2 2 2
1 1
D xy z 3xyz xy z xyz 2
5 3
= + − − −
2 2 2 2

)2 4 5b x yz xy z x yz xy z xyz
+ − + −
Bài 2-2 : Tìm bậc của đa thức M biết :
a) M = 2x
2
y – 4xy
3
– 3x
2
y + 2xy
3
= - x
2
y – 2xy
2
b) M = x
2
– 7xy + 8y
2
+3xy – 4y
2
= x
2
– 4xy + 4y
2
c) M= 25x
2
y – 13xy
2
+ y

3
– 11x
2
y – 2y
3
= 14x
2
y – 13xy
2
– y
3
Bài 2-3: Điền đơn thức thích hợp vào ô trống:
a) 3x
2
y + = 5 x
2
y b) - 2 x
2
= -7 x
2
c)

+

+ x
5
= x
5
Đáp số : Bài 2-1:
2 2

) 3 5b x yz xy z xyz
= − + −
Bài 2-2: a) M = - x
2
y – 2xy
2
b)M = x
2
– 4xy + 4y
2

c) M = 14x
2
y – 13xy
2
– y
Bài 2-3: a) 2 x
2
y b) -5x
2
c) nhiều trường hợp : 3x
5
+ - x
5
+ - x
5
= x
5
DẠNG 2 : Cộng, trừ đa thức nhiều biến
Phương pháp:

a)Cách1: thông thường:
Bước 1: viết phép tính cộng, trừ các đa thức.
Bước 2: Bỏ dấu ngoặc (nếu có dấu trừ đằng trước ngoặc sau phải đổi dấu tất cả các hạng tử
ở trong ngoặc khi viết ra ngoài dấu ngoặc )
Bước 3: Áp dụng t/chất giao hoán và kết hợp để kết hợp nhóm các hạng tử đồng dạng lại
với nhau
Bước 4: Cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng.
→
Thu gọn các hạng tử đồng dạng
b) Lưu ý : Cách 2: nếu các đa thức có các hạng tử đồng dạng thì có thể đặt phép cộng theo
cột dọc sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cùng một cột rồi thực hiện phép cộng
Ví dụ 1: cho M = x
2
– 2yz + z
2
và N = 3yz – z
2
+ 5x
2
.
Cộng và trừ hai đa thức sau : M + N và M – N

9
Giải
Cách 1:
M + N = (x
2
– 2yz + z
2
) + (3yz – z

2
+ 5x
2
)
= ( x
2
+ 5x
2
) + (z
2
– z
2
) + ( – 2yz +
3yz)
= 6 x
2
+ yz
M – N = (x
2
– 2yz + z
2
) - (3yz – z
2
+ 5x
2
)
= x
2
– 2yz + z
2

- 3yz + z
2
- 5x
2
= (x
2
- 5x
2
) + (– 2yz - 3yz ) + (z
2
+ z
2
)
= - 4x
2
– 5yz + 2z
2
.
Cách 2:
Cách 2:

Ví dụ 2: a)Tìm đa thức M biết : M + y
2
+ 2xy + x
2
+ 1 = 2x
2
+ 2y
2
+ 1

b)Tìm đa thức N biết: N - (x
2
−2xy+y
2
) = (y
2
+ 2xy + x
2
+ 1)
Giải:
a) M = (2x
2
+ 2y
2
+ 1) – (y
2
+ 2xy + x
2
+ 1)
= 2x
2
+ 2y
2
+ 1 - y
2
- 2xy - x
2
- 1
= (2x
2

- x
2
) +( 2y
2
- y
2
) -2xy + (1-1)
= x
2
+ y
2
– 2xy
b)N = (x
2
−2xy+y
2
) + (y
2
+ 2xy + x
2
+ 1)
= x
2
− 2xy + y
2
+ y
2
+ 2xy + x
2
+ 1

= ( x
2
+ x
2
) + (y
2
+ y
2
)+( 2xy − 2xy) + 1
= 2x
2
+ 2y
2
+ 1
Giải:

b)(3xy – 4y
2
)- N= x
2
– 7xy + 8y
2
Cho 2 đa thức : M = 3xyz − 3x
2
+ 5xy − 1 và N = 5x
2
+ xyz − 5xy + 3 − y
Tính M + N ; N − M
Giải
M + N = (3xyz−3x

2
+5xy − 1) + (5x
2
+xyz −5xy + 3 − y) = 4xyz + 2x
2
− y + 2
M − N = (3xyz−3x
2
+5xy − 1) − (5x
2
+xyz −5xy + 3 − y)
= 3xyz−3x
2
+5xy − 1 − 5x
2
− xyz +5xy − 3 + y
= 2xyz + 10xy − 8x
2
+y − 4.
N − M = (5x
2
+xyz −5xy + 3 − y) − (3xyz−3x
2
+5xy − 1) = −2xyz − 10xy + 8x
2
− y + 4
M + N = (x
2
−2xy+y
2

)+(y
2
+ 2xy + x
2
+ 1) = x
2
− 2xy + y
2
+ y
2
+ 2xy + x
2
+ 1 = 2x
2
+ 2y
2
+ 1
M − N = (x
2
− 2xy + y
2
)−(y
2
+2xy+x
2
+1) = x
2
− 2xy + y
2
− y

2
− 2xy − x
2
− 1 = − 4xy −1
N − M=(y
2
+2xy+x
2
+ 1) − (x
2
− 2xy + y
2
) = y
2
+ 2xy + x
2
+ 1 − x
2
+ 2xy − y
2
= 4xy + 1
Lưu ý : a)M + (Đa thức đã biết ) = Đa thức tổng
⇒
M = (Đa thức tổng ) - (Đa thức đã biết )
b) M – ( Đa thức trừ ) = Đa thức hiệu
⇒
M = ( Đa thức hiệu ) + ( Đa thức trừ )
c) (Đa thức bị trừ) – M = Đa thức hiệu
⇒
M = (Đa thức bị trừ ) – (Đa thức hiệu)

Bài tập tương tự:
Bài 4-1 : Tính tổng và hiệu của hai đa thức và tìm bậc của đa thức thu được
a) A = 4x
2
– 5xy + 3y
2
; B = 3x
2
+ 2xy - y
2
Tính A + B; A – B
b) A = 4x
2
– 5xy + 3y
2
; B = 3x
2
+ 2xy - y
2
10
M = x
2
– 2yz + z
2
N = 5x
2
- 3yz – z
2

M + N = 6 x

2
+ yz + 0
M = x
2
– 2yz + z
2
N = 5x
2
- 3yz – z
2

M - N = -4 x
2
- 5yz +2z
2
.
= − + − + = − − + − −
3 2 2 4 3 2 2 4
1 1
c) C x 2x y xy y 1 ; D x x y xy y 2
3 2
= − + − = − − + +
2 2 2 2
2 2 1
e) E 5xy x y xyz 1 ; F 2x y xyz xy x
3 5 2
Bài 2 : Tìm đa thức M, biết :
a. M + (5x
2
– 2xy) = 6x

2
+ 9xy – y
2
b)
3 2 2 3 2
3
M (x y x y xy) 2x y xy
2
− − + = −
c) M + (3x
2
y − 2xy
3
) = 2x
2
y − 4xy
3
d)M – ( 3xy – 4y
2
) = x
2
– 7xy + 8y
2
e)( 25x
2
y – 13xy
2
+ y
3
) – M = 11x

2
y – 2y
3
f) M + ( 12x
4
– 15x
2
y

+ 2xy
2
+ 7 ) = 0
Bài 4- 2 : Tìm đa thức M,N biết : a) M + (5x
2
– 2xy) = 6x
2
+ 9xy – y
2
b) (3xy – 4y
2
) - N= x
2
– 7xy + 8y
2
* Dạng 5: Cộng , trừ đa thức một biến:
Phương pháp:
Bước 1: thu gọn các đơn thức và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Bước 2: viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau.
Bước 3: thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột.
Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)]

Cách 1:
Bước 1: Viết phép tính cộng, trừ các đa thức.
Bước 2: Áp dung qui tắc bỏ dấu ngoặc. Thu gọn các đơn thức( nếu có )
-Sau đó thực hiện tương tự như các bước ở phép cộng, trừ đa thức nhiều biến.
Bước 3: Thu gọn các đơn thức và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Cách 2: ( Thực hiện theo cách sắp xếp )
Bước 1: Thu gọn các đơn thức ( nếu có ) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Bước 2: Viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau.
Bước 3: Thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột.
Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)]
Lưu ý: để trống hoặc viết số 0 vào chỗ khuyết hạng tử bậc trung gian
Ví dụ: Cho P(x) = 2x
5
+5x
4
−x
3
+x
2
−x−1 Q(x) = -x
4
+ x
3
+ 5x+2
a)Tổng P(x)+ Q(x)
P(x) = 2x
5
+5x
4
−x

3
+x
2
−x−1
Q(x) = -x
4
+ x
3
+ 5x+2
= 2x
5
+ 4x
4
+ x
2
+ 4x−1
Cách 2:
b) P(x)- Q(x)
P(x) =2x
5
+5x
4
−x
3
+x
2
−x−1
Q(x)= −x
4
+ x

3
+5x+2
=2x
5
+6x
4
−2x
3
+x
2
− 6x−3
Cách 3 :
b)P(x) - Q(x) = P(x) +[-Q(x)]
P(x) = 2x
5
+5x
4
−x
3
+x
2
−x−1
−Q(x) = + x
4
−

x
3
− 5x−2
=2x

5
+6x
4
−2x
3
+x
2
− 6x−3
Bài tập tương tự :
Bài 5-1: Cho đa thức
a) M(x) = x
4
+5x
3
−x
2
+x−0,5 và N(x) = 3x
4
−5x
2
− x − 2,5
Tính : M(x) + N(x) v à M(x) − N(x) ; N(x) - M(x)
b)A(x) = 3x
4
– 3/4x
3
+ 2x
2
– 3 B(x) = 8x
4

+ 1/5x
3
– 9x + 2/5
Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);
c) Cho P(x) = x
3

- 2x + 1 ; Q(x) = 2x
2

– 2x
3

+ x - 5. Tính: a) P(x) + Q(x); b) P(x)-Q(x)
Bài 5- 2: tính tổng và hiệu của hai đa thức sau:
11
a) A(x) = 3x
4
–
3
4
x
3
+ 2x
2
– 3 ; B(x) = 8x
4
+
1
5

x
3
– 9x +
2
5
Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);
b)
3 2 3 2
1 2
C(x) 2x x x 9 ; D(x) 2x 3x x 5
3 3
= − + − − = − − +
Tính C(x) + D(x) ; C(x) - D(x) ; D(x) - C(x)
c)
6 5 3 5 4 3 2
1
P(x) 15x 0,75x 2x x 8 ; Q(x) x 3x x x 5
2
= − + − + = − + − −
Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) ; Q(x) - P(x)
Cho hai đa thức: A = x
2
+ 2xy – y
2
– 13.
B = 5xy – x
2
– 3y
2
– 8.

a/ Tính : A + B.
b/ Tính : A – B.
giải
A + B = (x
2
+ 2xy – y
2
– 13) + (5xy – x
2
– 3y
2
– 8)
= x
2
+ 2xy – y
2
– 13 + 5xy – x
2
– 3y
2
– 8
= (x
2
– x
2
) + (2xy + 5xy) + (- y
2
– 3y
2
) + (- 13 – 8)

= 7xy – 4y
2
– 21
A – B = (x
2
+ 2xy – y
2
– 13) - (5xy – x
2
– 3y
2
– 8)
= x
2
+ 2xy – y
2
– 13 - 5xy + x
2
+ 3y
2
+ 8
= (x
2
+ x
2
) + (2xy – 5xy) + (- y
2
+ 3y
2
) + (- 13 + 8)

= 2x
2
– 3xy + 2y
2
– 5.
Cho hai đa thức: M = 5xy – 2y
2
– 1 + x
2

N = 3y
2
+ 7xy – 2x
2
– 9.
a/ Tính : M + N.
b/ Tính : M – N.
M + N = (5xy – 2y
2
– 1 + x
2
) + (3y
2
+ 7xy – 2x
2
– 9)
= 5xy – 2y
2
– 1 + x
2

+ 3y
2
+ 7xy – 2x
2
– 9
= (5xy + 7xy) + (- 2y
2
+ 3y
2
) + (x
2
– 2x
2
) + (- 1 – 9)
= 12xy + y
2
– x
2
– 10.
M - N = (5xy – 2y
2
– 1 + x
2
) - (3y
2
+ 7xy – 2x
2
– 9)
= 5xy – 2y
2

– 1 + x
2
- 3y
2
- 7xy + 2x
2
+ 9
= (5xy - 7xy) + (- 2y
2
- 3y
2
) + (x
2
+ 2x
2
) + (- 1 + 9)
= - 2xy – 5y
2
+ 3x
2
+ 8
Bài 5-3: Cho các đa thức: f(x) = x
3
- 2x
2
+ 3x + 1 g(x) = x
3
+ x – 1 h(x) = 2x
2
- 1

a) Tính: f(x) - g(x) + h(x)
b) Tìm x sao cho f(x) - g(x) + h(x) = 0
Bài 8 : Tính hiệu.
a. (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z)
b. (x
3
+ 6x
2
+ 5y
3
) - (2x
3
- 5x + 7y
3
)
c. (5,7x
2
y - 3,1xy + 8y
3
) - (6,9xy - 2,3x
2
y - 8y
3
)
Giải :
a. (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) = 3x + y - z - 4x + 2y - 6z = - z + 3y - 7z
b. Làm giống câu a.
12
c. 5,7x
2

y - 3,1xy + 8y
3
+ 2,3x
2
y - 6,9xy - 8y
3
= 8x
2
y - 10xy
Bài 9 : Cho đa thức
A = x
2
- 3xy - y
2
+ 2x - 3y + 1
B = - 2x
2
+ xy + 2y
3
- 3 - 5x + y
C = 7y
2
+ 3x
2
- 4xy - 6x + 4y + 5
Tính A + B + C; A - B + C; A - B - C rồi xác định bậc của đa thức đó.
Giải :
A + B + C = x
2
- 3xy - y

2
+ 2x - 3y + 1- 2x
2
+ xy + 2y
3
- 3 - 5x + y
= 2x
2
- 6xy + 8y
2
- 9x + 3y + 3: có bậc hai
A - B + C = x
2
- 3xy - y
2
+ 2x - 3y + 1 + 2x
2
- xy - 2y
2
+ 5x - 2y + 3 + 3x
2
- 4xy + 7y
2
- 6x + 4y + 5
= 6x
2
- 8xy + 4y
2
+ x - y + 9: có bậc hai
A - B - C = - 10y

2
+ 13x - 9y - 1: có bậc hai
Bài 10 : Cho các đa thức.
A = 4x
2
- 5xy + 3y
2
; B = 3x + 2xy + y
2

C = - x
2
+ 3xy + 2y
2
Tính A + B + C; B - C - A; C - A – B.
Giải :
A + B + C = (4x
2
- 5xy + 3y
2
) + (3x + 2xy + y
2
) + (- x
2
+ 3xy + 2y
2
)
= 4x
2
- 5xy + 3y

2
+ 3x
2
+ 2xy + y
2
- x
2
+ 3xy + 2y
2

= 6x
2
+ 6y
2
DẠNG 4 : Thu gọn , tính giá trị biểu thức đại số :
Phương pháp :
Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số.
Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số.
Bước 3: Tính giá trị biểu thức số.
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: A = 3x
2
y – 4xy
3
– 3x
2
y + 4 xy
3
+ 16x
2
y

5
-2x
3
y
2

a) Với x = 0,5; y = -1 b) với x =
1
2
; y = -1
Giải
Bước 1: Thu gọn biểu thức : A = 16x
2
y
5
+3x
2
y – 4xy
3
– 3x
2
y - 2x
3
y
2
+ 4 xy
3
= 16x
2
y

5
-2x
3
y
2

Bước 2 : a)Thay x = 0,5; y = -1 vào biểu thức ta có:

− − − = − − = − − = −
2 5 3 2
16(0,5) .( 1) 2.(0,5) .( 1) 16.0,25.( 1) 2.0,125.1 4 0,25 ,25
b) Thay x =
1
2
; y = -1 vào biểu thức ta có:

− −
   
− − − = − − = − = = −
 ÷  ÷
   
2 3
5 2
1 1 1 1 16 1 17
16. .( 1) 2. .( 1) 16. .( 1) 2. .1 4,2 5
2 2 4 8 4 4 4
Bài tập tương tự :
Bài 3- 1 : Tính giá trị biểu thức
a) A = 3x
3

y + 6x
2
y
2
+ 3xy
3
tại
1 1
;
2 3
x y= = −
b) B = x
2
y
2
+ xy + x
3
+ y
3
tại x = –1; y = 3
b) B = x
2
+ 2xy − 3x
3
+ 2y
3
+ 3x
3
− y
3

= x
2
+ 2xy + y
3
tại x = 5 ; y = 4

2 2 2 2
c)C 0,25xy 3x y 5xy xy x y 0, 5xy= − − − + +
tại x =0,5 và y = -1.
13

2 3 2 3
1 1
d) D xy x y 2xy 2x x y y 1
2 2
= − + − + + +
tại x = 0,1 và y = -2.
Bài 3-2 : a) Cho đa thức :P(x) = x
4
+ 2x
2
+ 1; vàQ(x) = x
4
+ 4x
3
+ 2x
2
– 4x + 1;
Tính: P(–1);P(
1

2
); Q(–2); Q(1);
b)Cho đa thức: a)P(x) = x
4
+ 2x
2
+ 1; Q(x) = x
4
+ 4x
3
+ 2x
2
– 4x + 1;
Tính : P(–1); P(
1
2
); Q(–2); Q(1);
Bài tổng hợp
Bài 4: Cho hai đa thức:
A(x) = –4x
5
– x
3
+ 4x
2
+ 5x + 9 + 4x
5
– 6x
2
– 2

B(x) = –3x
4
– 2x
3
+ 10x
2
– 8x + 5x
3
– 7 – 2x
3
+ 8x
a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính P(x) = A(x) + B(x) ; Q(x) = A(x) – B(x) và tìm bậc của đa thức P(x); Q(x)
c) Chứng tỏ x = –1 là nghiệm của đa thức P(x).
Bài 5: Cho f(x) = x
3
−
2x + 1, g(x) = 2x
2
−
x
3
+ x
−3
a) Tính f(x) + g(x) ; f(x)
−
g(x).

b) Tính f(x) +g(x) tại x = – 1; x =-2
B ài 6 :

Cho đa thức: M
=
x
2

+
5x
4

−
3x
3

+
x
2

+
4x
4

+
3x
3

−
x
+
5
N

=
x
−
5x
3

−
2x
2

−
8x
4

+
4 x
3

−
x
+
5
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
b)Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức.
c) Tính M+N; M- N
Bài 7:
Cho đa thức A = −2 xy
2
+ 3xy + 5xy
2

+ 5xy + 1
a. Thu gọn đa thức A.
b. Tính giá trị của A tại x=
1
2
−
;y=-1
B ài 8 : Cho hai đa thức: f(x) = 9 – x
5
+ 4x - 2x
3
+ x
2
– 7x
4
g(x) = x
5
– 9 + 2x
2
+ 7x
4
+ 2x
3
- 3x
a) Sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến
b) Tính tổng h(x) = f(x) + g(x).
c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).
14
Bi 9

: Cho a thc f(x) = 3x
2
+ x 1 + x
4
x
3
x
2
+ 3x
4
g(x) = x
4
+ x
2
x
3
+ x 5 + 5x
3
x
2
a) Thu gn v sp xp cỏc a thc trờn theo lu tha gim dn ca bin.
b)Xỏc nh bc ca mi a thc.
c) Tớnh: f(x) g(x); f(x) + g(x) c) Tớnh g(x) ti x = 1.
Bài3 Cho các đa thức
2 2 2 2 2 2 2
3,5 2 1,5 2 3 v 2 3,2 4 1,2M x y xy x y xy xy N x y xy xy xy xy= + + + = + +
a. Thu gọn các đa thức trên
b. Tính M+N; M-N
Bài4 Cho đa thức P(x) = 5x
3

+ 2x
4
x
2
+ 3x
2
x
3
x
4
+ 1 4x
3
a/ Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến
b/ Tính P(1) và P(-1)
c/ Chứng tỏ đa thức trên không có nghiệm.
Bài5 Cho các đa thức
f(x) = 4x
3
x
2
+ 2x - 5 g(x)= 4x
3
+ 2x
2
x 5
a/ Tính f(x) + g(x) ; f(x) - g(x) b/ Tính f(0); g(1/2).
c/ CMR: x = 1 là nghiệm của cả 2 đa thức trên.
d/ x = -1 có phải là nghiệm của f(x) không? Tại sao?
e/ Tìm x để f(x) = g(x)
Bài 6 Cho P(x) + ( 2x

3
4x
2
+x -10) = 2x
3
4x
2
+ 5x 7
Q(x) (9x
3
+ 8x
2
2x 7 ) = - 9x
3
8x
2
+ 5x +11
a/ Tìm đa thức P(x), Q(x) b/ Tìm nghiệm của P(x), Q(x)
c/ Tính P(x) + Q(x), P(x) Q(x)
* Dng 5 : Tỡm nghim ca a thc 1 bin
1. Kim tra 1 s cho trc cú l nghim ca a thc mt bin khụng
Phng phỏp:
Bc 1: Tớnh giỏ tr ca a thc ti giỏ tr ca bin cho trc ú.
Bc 2: Nu giỏ tr ca a thc bng 0 thỡ giỏ tr ca bin ú l nghim ca a thc.
Vớ d:
Bi tp ỏp dng
Bi 1 : Cho a thc f(x) = x
4
+ 2x
3

2x
2
6x + 5
Trong cỏc s sau : 1; 1; 2; 2 s no l nghim ca a thc f(x)
2. Tỡm nghim ca a thc mt bin
Phng phỏp :
Bc 1: Cho a thc bng 0.
Bc 2: Gii bi toỏn tỡm x.
Bc 3: Giỏ tr x va tỡm c l nghim ca a thc.
*Chỳ ý : Nu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoc B(x) = 0
Nu P(x) = ax
2
+ bx + c cú a + b + c = 0

a thc cú 1 nghim l x = 1, x
2
= c/a. .
Nu P(x) = ax
2
+ bx + c cú a b + c = 0

. a thc cú 1 nghim l x = 1, x
2
= -c/a.
Vớ d: h) 3x
2
4x = 0 => x( 3x 4) = 0 => x = 0 hoc x =
4
3
15

Bài tập áp dụng
Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau.
F(x) = 3x – 6; H(x) = –5x + 30 G(x)=(x-3)(16-4x)
K(x)=x
2
-81 M(x) = x
2
+7x -8 N(x)= 5x
2
+9x+4
Bài tập 4: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a)3x - 9 3
b) - 3x -
2
1
-
6
1
c) - 17x - 34 - 2
d) x
2
- x 0; 1
e) x
2
- x +
4
1

2
1

f) 2x
2
+ 15 vô nghiệm
Bài 1 : Cho đa thức f(x) = x
4
+ 2x
3
– 2x
2
– 6x + 5
Trong các số sau : 1; –1; 2; –2 số nào là nghiệm của đa thức f(x)
Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau.
f(x) = 3x – 6; h(x) = –5x + 30 g(x)=(x-3)(16-4x)
k(x)=x
2
-81 m(x) = x
2
+7x -8 n(x)= 5x
2
+9x+4
B ài 3 : Tìm nghiệm của c¸c đa thức
a) 4x + 9 b) -5x + 6 c) x
2
– 1 d) x
2
– 9.
e) 5x -
1
3
f) x

2
– 2x. g) x
2
– 3x h) 3x
2
– 4x

e) x
2
– x

(x + 1)( x
2
+1) d)(x - 1)(x + 5) b/ x
2
+ 9
Bài 3 : Tìm nghiệm của đa thức :
a) x + 9 = 0 => x = - 9 ; b)x =
6
5
c) x = -1 ; x = -1 d) x = 3 ; x = -3
e)x
2
– x = 0 -> x( x – 1) = 0 => x = 0 hoặc x = 1
f) x
2
– 2x = 0 -> x( x – 2) = 0 -> x = 0 hoặc x = 2
g)x
2
– 3x = 0 => x( x – 3) = 0 => x = 0 hoặc x = 3

h) 3x
2
– 4x = 0 => x( 3x – 4) = 0 => x = 0 hoặc x =
4
3
Đáp số :
* NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1:
Trong một hợp số
{ }
5;5;1;1 −−
số nào là nghiệm của đa thức, số nào không là nghiệm của đa thức P(x) = x
4
+ 2x
3
- 2x
2
- 6x + 5
Gi iả
Ta có:
P(1) = 1 + 2 - 2 - 6 + 5 = 0
P(-1) = 1 - 2 - 2 + 6 + 5 = 8
≠
0
P(5) = 625 + 250 - 50 - 30 + 5 = 800
≠
0
16
P(- 5) = 625 - 250 - 50 + 30 + 5 = 360
≠

0
Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức P(x), còn các số 5; - 5; - 1 không là nghiệm của đa thức.
B i 2:à
Tìm nghiệm của đa thức sau:
f(x) = x
3
- 1; g(x) = 1 + x
3
f(x) = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1
Giải:
Ta có: f(1) = 1
3
- 1 = 1 - 1 = 0, vậy x = 1 là nghiệm của đa thức f(x)
g(- 1) = 1 + (- 1)
3
= 1 - 1, vậy x = - 1 là nghiệm của đa thức g(x)
g(- 1) = (- 1)
3
+ 3.(- 1)
2
+ 3. (- 1) + 1 = - 1 + 3 - 3 + 1 = 0
Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức f(x)
Bài 3:
Chứng tỏ rằng đa thức f(x) =
3
1

x
4
+ 3x
2
+ 1 không có nghiệm
Giải:
Đa thức f(x) không có nghiệm vì tại x = a bất kì f(a) =
4
1
a
4
+ 3a
2
+ 1 luôn dương
Giải:
Vì x
2
- 4x + 5 = (x - 2)
2
+ 1
≥
0 + 1 > 1
Do đó đa thức x
2
- 4x + 4 không có nghiệm
b. Chọn D
vì x
2
+ 1
≥

0 + 1 > 1
Do đó đa thức x
2
+ 1 không có nghiệm
c, Chứng tỏ đa thức Q(x) = x
4
+ x
2
+1 không có nghiệm?
Ta có: x
4

≥
0 với mọi x, x
2

≥
0 với
∀
x
⇒
Q(x)
≥
1 với mọi x.
Bài 1: Cho hai đa thức f(x) = 5x - 7 ; g(x) = 3x +1
a/ Tìm nghiệm của f(x); g(x)
b/ Tìm nghiệm của đa thức h(x) = f(x) - g(x)
c/ Từ kết quả câu b suy ra với giá trị nào của x thì f(x) = g(x) ?
Bài 2: Cho đa thức f(x) = x
2

+ 4x - 5
a/ Số -5 có phải là nghiệm của f(x) không?
b/ Viết tập hợp S tất cả các nghiệm của f(x)
Bài 3: Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau:
a/ f(x) = x(1-2x) + (2x
2
-x + 4)
b/ g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x
c/ h(x) = x (x -1) + 1
17
Bài 4: Xác định hệ số m để các đa thức sau nhận 1 làm nghiệm.
a/ mx
2
+ 2x + 8; b/ 7x
2
+ mx - 1; c/ x
5
- 3x
2
+ m
Bài 5: Cho đa thức f(x) = x
2
+mx + 2
a/ Xác định m để f(x) nhận -2 làm một nghiệm
b/ Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm được của m
Bài 6: Cho biết (x -1). f(x) = (x+4). f(x +8) với mọi x. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất hai nghiệm.
a)
1
2 4
2

xyz xyz xyz+ −
=
1 11
(2 4 )
2 2
xyz xyz+ − =
b)
2 2 2
2 3 4
x x x
+ +
=
2
1 1 1
2 3 4
x
 
+ +
 ÷
 
=
2
13
12
x
Dạng 6 : Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x
0
) = a
Phương pháp
Bước 1: Thay giá trị x = x

0
vào đa thức.
Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a.
Bước 3: Tính được hệ số chưa biết
Ví dụ:
Bài tập tương tự:
Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2
Bài 2 : Cho đa thức Q(x) = -2x
2
+mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1.
Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2
Bài 2 : Cho đa thức Q(x) = -2x
2
+mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1.
Bµi 9 Cho ®a thøc f(x) = ax
2
+bx +c
X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a, b, c biÕt ®a thøc cã hai nghiÖm x
1
=1, x
2
= 2
Bài 7: Cho f(x) = ax
3
+ 4x(x
2
- 1) + 8
g(x) = x
3
- 4x(bx +1) + c- 3

trong đó a, b, c là hằng.
Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
Bài 8: Cho f(x) = 2x
2
+ ax + 4 (a là hằng)
g(x) = x
2
- 5x - b ( b là hằng)
Tìm các hệ số a, b sao cho f(1) = g(2) và f(-1) = g(5)

Bài tập nâng cao dành cho HSKG - Lớp 7A1
Bài 1: Tính tích các đơn thức rồi cho biết hệ số và bậc của đơn thức đối với tập hợp các biến số
(a, b, c là hằng) (Lớp 7A1)
a/
5
243
zyx)1a(
2
1






−−
; b/ (a
2
b
2

xy
2
z
n-1
) (-b
3
cx
4
z
7-n
) c/
3
2523
zyax
3
5
.yxa
10
9






−







−
Bài 2:Thu gọn các đơn thức trong biểu thức đại số.
a/
( ) ( )
3
242323
yxaxaxz
2
1
ybx5axy
11
6
.yx
9
7
C
+






−−+







=
18
b/
( ) ( ) ( )
( )
22223
n99n2
2
34
zyax4,0.yx15
x2.x8yx
6
1
.yx3
D
−−
−+






=
(với axyz ≠ 0)
Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức sau:
a/ x
2

-4 c/ ( x- 3) ( 2x + 7 ) d/ |x| +x e/ |x| - x
f/ x
2
-7x + 12 g/ x
2
+ 3x + 2 h/ 2x
2
+ 5x -7
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn của các biểu thức sau:
a/ (x – 3,5)
2
+ 1 b/( 2x – 3)
4
– 2
2
) ( 2) 1 c A x= − −
b) B = x
4
+ x
2
+1 c) C =
2
1x x
− +
d)D =
2
1x x
+ +
Câu 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
a/

2
- x
2
: b/ -( x -
3
)
2
+ 1
Câu 4: Cho P(x) = 100x
100
+99x
99
+ 98x
98
+ … + 2x
2
+ x . Tính P(1)
Câu 5: Cho P(x) = x
99
– 100x
98
+100x
97
– 100x
96
+… +100x – 1 .Tính P(99)
Lưu ý :Ôn cả phần đề cương đại số ở học kỳ I
* ÔN TẬP:
Bài 1: Tìm đa thức f(x) rồi tìm nghiệm của f(x) biết rằng:
x

3
+ 2x
2
(4y -1) - 4xy
2
- 9y
3
- f(x) = - 5x
3
+ 8x
2
y - 4xy
2
- 9y
3
Bài 2: Cho đa thức P = 2x(x + y - 1) + y
2
+ 1
a/ Tính giá trị của P với x = -5; y = 3
b/ Chứng minh rằng P luôn luôn nhận giá trị không âm với mọi x, y
Bài 3: Cho g(x) = 4x
2
+ 3x +1; h(x) = 3x
2
- 2x - 3
a/ Tính f(x) = g(x) - h(x)
b/ Chứng tỏ rằng -4 là nghiệm của f(x)
c/ Tìm tập hợp nghiệm của f(x)
c, Chứng tỏ đa thức Q(x) = x
4

+ x
2
+1 không có nghiệm?
Ta có: x
4

≥
0 với mọi x, x
2

≥
0 với
∀
x
⇒
Q(x)
≥
1 với mọi x.
dấu ‘‘ = ’’ xảy ra
⇔
x
4
+x
2
= 0 khi
⇒
x =0
Vậy GTNN của Q là Q = 1
⇔
x = 0

Câu hỏi-bài tập yêu cầu HS luyện giải
B.PHẦN HÌNH HỌC
I. LÝ THUYẾT:    
1, Phát biểu định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết, cách vẽ tam giác cân; tam giác đều; tam giác vuông;
tam giác vuông cân.
2.Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác, tam giác vuông ?
3/ Phát biểu, vẽ hình ghi GT; KL định lý t/c về ba đường trung tuyến của tam giác ? Trọng tâm
là gì? Nêu cách xác định trọng tâm của tam giác.
4. Phát biểu vẽ hình ghi GT; KL định lý về tính chất tia phân giác của góc, tính chất 3 đường
phân giác của tam giác ? nêu cách xác định điểm cách đều 3 cạnh của tam giác.
19
5. Phát biểu, vẽ hình ghi GT;KL định lý về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng ,t/
chất ba đường trung trực của tam giác, nêu cách xác định điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác.
6. Phát biểu vẽ hình ghi GT; KL về tính chất ba đường cao của tam giác ? Thế nào là trực tâm
của tam giác? Nêu cách xác định trực tâm của tam giác.
7. Phát biểu vẽ hình ghi GT; KL về tính chất các đương trung tuyến, đường phân giác, đường
trung trực, đường cao trong tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông.
8. Phát biểu định lý về bất đẳng thức tam giác ?
9. Phát biểu định lý về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác ; quan hệ giữa đường
xiên và hình chiếu, đường xiên và đường vuông góc.
10. Nêu dấu hiệu nhận biết:
a)Hai đường thẳng song song, Hai đường thẳng vuông góc.
b) Đường trung trực của đoạn thẳng,Tia phân giác của góc, trung điểm của đoạn thẳng.
c) Các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
II.Bài tập:

• *Trắc nghiệm:

Câu 1: Cho tam giác ABC có Â = 80
0

,
^
B
= 70
0
, thì ta có
a) AB > AC. b) AB < AC. c) BC< AB. d) BC< AC.
Câu 2: Bộ ba số đo nào dưới đây không thể là chiều dài ba cạnh của một tam giác ;
a) 8cm; 10 cm; 8 cm. b) 4 cm; 9 cm; 3 cm. c) 5 cm; 5 cm ; 8 cm
d) 3 cm; 5 cm; 7 cm .
Câu 3: Bộ ba số đo nào dưới đây có thể là chiều dài ba cạnh của một tam giác vuông:
a) 6cm; 7cm; 10 cm. b) 6cm; 7cm; 11 cm. c)6cm; 8cm; 11 cm. d)6cm;
Câu 4:Cho tam giác ABC biết ∠ A =60
0
; ∠ B = 100
0
. so sánh các cạnh của tam giác là::
A. AC> BC > AB ; B.AB >BC >AC ; C. BC >AC AB ; D. AC >AB >BC
Câu5: Cho
C∆ΑΒ
có AC= 1cm ,BC = 7 cm . Độ dài cạnh AB là::
A. 10 cm B.7 cm C. 20 cm D. Một kết quả khác
Câu 6:Cho
C∆ΑΒ
vuông tại A. Biếtt AB = 8 cm , BC = 10 cm ; Số đo cạnh AC bằng:
A. 6 cm B.12 cm C. 20 cm D. Một kết quả khác
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, có ∠ A= 100
0
. Tính ∠ B?
A. 45

0
B.40
0
C. 50
0
D. Một kết quả khác
Câu 8: Cho tam giác ABC có AM, BN là hai đường trung tuyến , G là giao điểm của AM và BN
thì ta có :
a) AG = 2 GM. b) GM =
2
3
AM. c)GB =
1
3
BN. d) GN =
2
3
GB.
Câu 9: Cho ∆ABC cân tại A ; BC = 8cm. Đường trung tuyến AM = 3cm, thì số đo AB là :
a) 4cm. b) 5cm. c) 6cm. d) 7cm.
aaau 10. Cho tam giác ABC có AB = 5 cm; AC = 10 cm; BC = 8 cm thì:
A.
ACB
ˆˆ
ˆ
<<
B.
BAC
ˆ
ˆˆ

<<
C.
ABC
ˆ
ˆ
ˆ
>>
D.
CAB
ˆˆ
ˆ
<<
Câu 11. ∆ABC có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại trọng tâm G phát biểu nào sau đây
đúng: A. GM=GN B. GM=
3
1
GB C. GN=
2
1
GC D. GB = GC
Câu 12. Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là số nguyên AB = 5cm, BC=4cm, chu vi của tam
giác ABC không thể có số đo nào sau đây:
A. 18 cm B. 15cm C. 12 cm D. 17 cm
20
Câu 13. Tam giác ABC có
00
50
ˆ
,60
ˆ

== CB
thì :
A. AB>BC>AC; B. BC>AC>AB; C. AB>AC>BC; D. BC>AB>AC
Câu 14. Tam giác ABC có
0
40
ˆ
ˆ
==BA
thì:
A. AB=AC>BC B. CA+CB>AB C. AB>AC=BC D. AB+AC<BC
Câu15. Một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 110
0
. Mỗi góc ở đáy có số đo là:
A. 70
0
B. 35
0
C. 40
0
D. Một kết quả khác
*Tự luận:

Dạng 2: + So sánh góc, so sánh đoạn thẳng.
Phương pháp:
Ví dụ:
Bài tập áp dụng
2. Bài tập bổ sung
Bài 1:
Chứng minh hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau.

Bài 2:
Cho hình vẽ sau
a) Nêu tên các cặp góc so le trong cặp góc
đồng vị
b) Tính góc ADC, có nhận xét gì về hai
đường thẳng AD và BC
c) Chứng mình rằng AB
⊥
Dy
Bài 3:
Cho hình vẽ sau
a) Chứng minh: AC // BD
b) Chứng minh: m
⊥
AC
c) Chứng minh: AC // c
Bài 4:
21
Cho hình vẽ sau và cho biết
AB // DE
Tính số đo góc C
Bài 5:
Cho hình vẽ biết a // b;
0
30
ˆ
=A
,
0
45

ˆ
=B
. Tính số đo
BOA
ˆ
Bài 6:
Cho hình vẽ.
Chứng minh rằng: Ax // By
Bài 7: Cho hai đường thẳng xx' và yy' song song với nhau bị cắt bởi cát tuyển a tại hai
điểm A và B. Cho tia Am là tia phân giác của góc xAB.
a) Chứng minh tia Am cắt đường thẳng yy' tại C.
b) Cho xÂB = 70
0
. Tính góc
BCA
ˆ
.
Bài 8: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Ax của góc BAC. Tại C kẻ đường thẳng song
song với tia Ax nó cắt tia đối của tia AB tại D. Chứng minh
CDADCABAx
ˆ
ˆˆ
==
.
Bài 9: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx của góc B, Bx cắt AC tại M. Từ M kẻ
đường thẳng song song với AB nó cắt BưÍC tại N. Từ N kẻ tia Ny song song với Bx. Chứng
minh:
a)
NMBCBx
ˆˆ

=
b) Ny là tia phân giác của góc MNC.
Bài 10: Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng có bừo là đường thẳng AC không chứa
điểm B vẽ tia AD song song với BưÍC. Trên nửa mặt phẳng đối với nửa mặt phẳng trên vẽ tia
AE song song với BC.
a) Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
b) Giả sử cho
00
80
ˆ
;70
ˆ
== CBACAB
. Tính
BCA
ˆ
.
c) Tính tổng các góc của tam giác ABC.
Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau. Từ đó suy ra các yếu tố tương ứng bằng nhau.
22
Phương pháp:
Ví dụ:
Bài tập áp dụng
BÀI 1) . Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy.
Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy).
a) Chứng minh tam giác HAB là tam giác cân
b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OH. Chứng minh
BC
⊥
Ox.

c) Khi góc xOy bằng 60
0
, chứng minh OA = 2OD.
2
1
2
1
O
//
K
H
N
M
C
B
A
//
\\
//
BÀI 2)Cho ∆ABC vuông ở C, có A
ˆ
= 60
0
, tia phân giác của góc BAC. cắt BC ở E, kẻ EK
vuông góc với AB. (K
∈
AB), kẻ BD vuông góc AE (D
∈
AE).
Chứng minh a) AK=KB b) AD=BC

Bài 12) Cho tam giác ABC có ∠ A = 90
0

, AB = 8cm, AC = 6cm .
a. Tính BC .
b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE= 2cm;trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho
AD=AB.
Chứng minh ∆BEC = ∆DEC .
c. Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC .
Bài 3 : Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K.
a) Chứng minh BNC= CMB
b)Chứng minh ∆BKC cân tại K
c) Chứng minh BC < 4.KM
Bài 4): Cho
∆
ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE
⊥
BC ( E∈BC ). Gọi F là giao điểm
của AB và DE. Chứng minh rằng:
a) BD là trung trực của AE
b) DF = DC
c) AD < DC;
d) AE // FC.
Bài 5)Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B có số đo bằng 60
0
. Vẽ AH vuông góc với BC,(H
23
∈ BC ) .
a. So sánh AB và AC; BH và HC;
b. Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD = HA. Chứng minh rằng hai tam giác

AHC và DHC bằng nhau.
c. Tính số đo của góc BDC.
Bai 11)Cho góc nhọn xOy, trên 2 cạnh Ox, Oy lần lượt lấy 2 điểm A và B
sao
cho
OA = OB, tia phân giác của góc xOy cắt AB tại I.
a) Chứng minh OI
⊥
AB .
b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với
OI.
Chứng minh BC
⊥
Ox .p
Dạng 3: + Chứng minh các quan hệ hình học : Bằng nhau, song song, vuông góc.
Phương pháp:
Ví dụ:
Bài tập áp dụng
Bài 6 . Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E,
kẻ MF vuông góc với AC tại F.
a. Chứng minh ∆BEM= ∆CFM .
b. Chứng minh AM là trung trực của EF.
c. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại
C, hai đường thẳng này cắt nhau tại D. Chứng minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Bài 7)Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB = 5 cm, BC = 6 cm.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng. c)
Chứng minh hai góc ABG và ACG bằng nhau.
Bài 8): Cho ∆ABC có AC > AB, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy
điểm D sao cho MD = MA . Nối C với D

a. Chứng minh
∠
A D C >
∠
D A C
.
Từ đó suy ra:
∠
MAB >
∠
MAC
b. Kẻ đường cao AH. Gọi E là một điểm nằm giữa A và H. So sánh HC và HB; EC và EB.
Bài 9)Cho
∆
ABC
(Â = 90
0
) ; BD là phân giác của góc B (D∈AC). Trên tia BC lấy điểm E
sao cho BA = BE.
a) Chứng minh DE
⊥
BE.
24
b) Chứng minh BD là đường trung trực của AE.
c) Kẻ AH
⊥
BC. So sánh EH và EC.
Bài 10): Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, vẽ đường cao AH.
a. Chứng minh HB > HC
b. So sánh góc BAH và góc CAH.

c. Vẽ M, N sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HM, HN.
Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân.
Dạng 4: Bài tổng hợp
Đáp án – đề cương ôn toán 7 học kì II
Năm học 2011-2012
ĐẠI SỐ
A. Lý thuyết:
1) Các phép toán trong Q :
+ Phép cộng: với x; y ∈ Q và x =
a
m
; y =
b
m
có : x + y =
a
m
+
b
m
=
a b
m
+
+Phép trừ : với x; y ∈ Q và x =
a
m
; y =
b
m

có : x - y =
a
m
-
b
m
=
a b
m
−
+ Phép nhân : với x; y ∈ Q và x =
a
b
; y =
c
d
có : x . y =
a
b
.
c
d
=
.
.
a c
b d
+ Phép cộng và nhân có các tính chất : giao hoán kết hợp và tính chất phân phối giữa phép
nhân và phép cộng
2) Công thức tính luỹ thừa :

+ Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số : x
n
. x
m
= x
n+m
( x ∈Q ; m;n ∈N)
+ Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : x
n
: x
m
= x
n- m
( x ≠ 0 ; n≥ m)
+ Luỹ thừa của một luỹ thừa : ( x
n
)
m
= x
n.m
+ Luỹ thừa của một tích : ( x.y)
n
= x
n
.x
m
+ Luỹ thừa của một thương :
n
n
n

x x
y y
 
=
 ÷
 
( y ≠ 0)
+ Quy ước : x
0
= 1 ; x
1
= x
3) Biểu thức đại số là :
a)Định nghĩa : biểu thức ngoài các số, các ký hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên
luỹ thừa, còn có các chữ ( đại diện cho các số) Người ta gọi những biểu tức như vậy là biểu thức
đại số.
b)Ví dụ : 2( 5x
2
– 4y) ; xy
2
7
4) đơn thức – đơn thức đồng dạng.
+ a) Đơn thức : là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và
các biến. Ví dụ : -xyz
2
;
3
3
5
x y

3
4

b)Đơn thức đồng dạng : Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng
phần biến. Ví dụ : 2x
3
y
4
và
3 4
3
5
x y
25