Đề thi HSG + Đáp án chi tiết khối 10 năm học 2012-2013

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : MÔN TOÁN KHỐI 10
NĂM HỌC 2012 - 2013
( Thời gian : 180 phút không kể thời gian giao đề )
Bài 1: (2 điểm)
Tìm cặp số (x , y) nghiệm đúng phương trình : y.x
2
– 4x + y – 3 = 0 sao cho.
a) y đạt giá trị lớn nhất có thể
b) y đạt giá trị nhỏ nhất có thể
Bài 2: (4 điểm)
Cho Parabol (P
m
) : y = x
2
+ (2m + 1)x + m
2
- 1 trong đó m là tham số .
a) Tìm quĩ tích đỉnh của (P
m
) khi m biến thiên.
b) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với
(P
m
) không phụ thuộc vào m.
c) Chứng minh rằng : Với mọi giá trị của m Parabol ( P
m
) luôn tiếp xúc với một
đường thẳng cố định.
Bài 3: (6 điểm)

1. Giải hệ phương trình :





−=−−
=−+
22
2
1
2
22
2
yxyy
y
xx
2. Giải bất phương trình :
22
291 xxx +−>+

Bài 4: (6 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho điểm
( )
I 1; 1−
là tâm của một hình vuông, một
trong các cạnh của nó có phương trình x – 2y + 12 = 0.Viết phương trình các cạnh
còn lại của hình vuông.

2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
cho Parabol (P) : y = x
2
– 2x và elip
(E):
1
9
2
2
=+ y
x
Chứng minh rằng ( P) giao (E) tại bốn điểm phân biệt nằm trên một
đường tròn. Viết phương trình đường tròn đó.
B à i 5: (2 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
32
1
32
1
32
1
222222
++
+
++
+
++
=
accbba

P

================= Hết ==================
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : MÔN TOÁN KHỐI 10
NĂM HỌC 2012 - 2013
Bài Nội dung Điểm
1
2đ
a)
b)
Coi phương trình : y.x
2
– 4x + y – 3 = 0
(*)

là phương trình bậc hai, ẩn là x, y là tham số .
=∆'
4 – y(y – 3) = 4 – y
2
+ 3y = - y
2
+ 3y + 4 = - y
2
+ 4y – y + 4 = ( 4 – y)( y + 1)
Tồn tại cặp số ( x , y)

⇔
phương trình (*) có nghiệm
⇔
0'≥∆
⇔
( 4 – y)( y + 1)
0≥

⇔
-1
4≤≤ y
GTLN : của y = 4 khi đó
=∆'
0 nên x =
2
1
4
22
==
y
GTNN : của y = - 1 khi đó
=∆'
0 nên x
2
1
2
−=
−
Kết luận : Max y = 4 khi x =
2

1

Min y = - 2 khi x = - 2
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0, 25đ
2
4đ
a)
1đ
Tìm quỹ tích đỉnh S của Parabol P(m) : y = x
2
+ (2m + 1)x + m
2
– 1
• Tọa độ đỉnh S :





−+++=
+−
=
)2(1)12(
)1(
2
)12(

22
mxmxy
m
x
SSS
S
• Khử m giữa (1) và (2) ta được : y
S
= x
S
-
4
3

• Không có giới hạn
• Vậy quỹ tích của đỉnh S là đường thẳng : y = x -
4
3

0,25đ
0,5đ
0,25đ
b)
1,5
đ
CMR: khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với (P
m
)
không phụ thuộc vào m.
*/ Giao điểm A , B của P(m) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương

trình:
x
2
+ ( 2m +1)x + m
2
– 1 = x
⇔
x
2
+ 2mx + m
2
– 1 = 0 (3)
*/ PT (3) có
'∆
= 1 nên (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
A
, x
B

*/ Ta có : AB
2
= ( x
B
– x
A
)
2
+ ( y
B
– y

A
)
2


⇔
AB
2
= 2.( x
B
– x
A
)
2
= 2. ( 2
'∆
)
2
= 8
*/ Nên AB

= 2
2
không phụ thuộc m
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
c)
1,5

đ
CMR : Với mọi giá trị của m Parabol ( P
m
) luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố định.
*/ (P
m
) : y = x
2
+ ( 2m + 1)x + m
2
– 1

⇔
y = ( x + m)
2
+ x – 1
*/ Coi đường thẳng (D) : y = x – 1
Ta có PT hoành độ điểm chung của (P
m
) và (D) :
( x + m)
2
+ x – 1 = x -1

⇔
( x + m)
2
= 0 luôn có nghiệm kép x = -m
*/ Nên (P

m
) luôn tiếp xúc với (D) : y = x -1.
0,5đ

0,5đ
0,5đ
2
3
6đ
1)
3đ
ĐK :
0y ≠

hệ
2
2
1
2 2 0
2 1
2 0
x x
y
x
y y

+ − − =


⇔



+ − − =


đưa hệ về dạng
2
2
2 2 0
2 2 0
u u v
v v u

+ − − =


+ − − =


2
1
1
1
2 2 0
3 7 3 7
2 2
,
1 7 1 7
2 2
u v

u v
u v
u v
v v u
u u
v v






=
= =





= −
⇔ ⇔ = = −




+ − − =  
− +


= =

 

 

 
− + − −

 
= =

 
 


Từ đó ta có nghiệm của hệ
( x ; y) = { (-1 ;-1),(1 ;1), (
3 7 2
;
2
7 1
−
−
), (
3 7 2
;
2
7 1
+
+
) }

1đ
1,5đ
0,5đ
2)
3đ
Giải bất phương trình :
2 2
x 91 x 2 x+ > − +

Điều kiện
x 2≥
Phương trình đã cho tương đương với:

(
)
( )
( )
2 2
x 91 10 x 2 1 x 9 0+ − − − − − − >
2
2
x 9 x 3
(x 3)(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
− −
⇔ − − + − >
− +
+ +
( )

x 3⇔ −
2
x 3 1
(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
 
+
− − + >
 ÷
− +
+ +
 
(*)
Ta có :
2
x 3 1
(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
+
− + − <
− +
+ +
với mọi x
2≥
.
Do đó (*)
⇔
x < 3.

Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là :
32 <≤ x

0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
4
6đ

1)
3đ
Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông
Lập phương trình các cạnh…
Gọi hình vuông đã cho là
ABCD
. Giả sử pt cạnh
AB
là
2 12 0x y− + =
.
Gọi
H
là hình chiếu của I lên đường thẳng
AB
. Suy ra
( )
2;5H −
,A B

thuộc đường tròn tâm
H
, bán kính
45=IH
có pt:

( ) ( )
2 2
2 5 45x y+ + − =
Toạ độ hai điểm
,A B
là nghiệm của hệ:
( ) ( )
2 2
2 12 0
2 5 45
x y
x y
− + =



+ + − =


.
Giải hệ tìm được
( ) ( )
4;8 , 8;2A B −
. Suy ra

( )
2; 10C − −
1đ

1đ
0,5đ
3
: 2 16 0AD x y+ − =
;
: 2 14 0BC x y+ + =
;
: 2 18 0CD x y− − =
0,5đ
2)
3đ
Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của(E) và (P)
Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phương trình
09x37x36x91)x2x(
9
x
23422
2
=−+−⇔=−+
(*)
Xét
9x37x36x9)x(f
234
−+−=
, f(x) Có Tập xác định R
Có : f(-1)f(0) < 0 ; f(0)f(1) < 0; f(1)f(2) < 0; f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4

nghiệm phân biệt,
Do đó (E) cắt (P) tại 4 điểm phân biệt Toạ độ các giao điểm của (E) và (P)
t/m hệ





=+
−=
1y
9
x
x2xy
2
2
2
09y8x16y9x9
9y9x
y8x16x8
22
22
2
=−−−+⇒



=+
=−
⇔

(**)
(**) là phương trình của đường tròn có tâm






=
9
4
;
9
8
I
, bán kính R =
9
161
Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đường tròn có phương
trình (**)
0,5đ
1đ
1đ
0,5đ
5
2đ
2đ Tìm giá trị lớn nhất
Ta có : a
2
+b

2
≥ 2ab , b
2

+ 1 ≥ 2b
⇒
1bab
1
2
1
21bba
1
3b2a
1
22222
++
≤
++++
=
++
Dấu bằng khi a = b = 1
Tương tự
1aca
1
2
1
3a2c
1
,
1cbc

1
2
1
3c2b
1
2222
++
≤
++
++
≤
++
2
1
bab1
b
ab1b
ab
1bab
1
2
1
1aca
1
1cbc
1
1bab
1
2
1

P
=
++
+
++
+
++
=
++
+
++
+
++
≤












2
1
P =
khi a = b = c = 1.

Vậy MaxP =
2
1
khi a = b = c = 1.
0,5đ
1đ
0,5đ
( Nếu thí sinh làm theo cách khác ,lí luận chặt chẻ đúng kết quả - cho điểm tối đa)
4
CẤU TRÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN : KHỐI 10
Câu Nội dung Điểm
1 Vận dụng sự có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm Max , min 2 điểm
2 Các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai 4 điểm
3
a)Vận dụng các kiến thức đã học giải hệ phương trình
b)Vận dụng các kiến thức đã học giải bất phương trình
3 điểm
3 điểm
4
a) Bài toán viết phương trình đường thẳng
b) Bài toán liên quan đến đường tròn và ba đường Cônic
3 điểm
3 điểm
5 Sử dụng bát đẳng thức để xác định giá trị Max ,min của biểu thức 2 điểm
Tổng : 20 điểm
5