đề thi hsgtoan10+đáp án chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 VÒNG TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008- 2009
……………………………………………………………
MÔN THI : TOÁN
( Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề )
Câu 1: (2,5 điểm) . Cho phương trình:
0132
2
=+−
xx
(1). Gọi x
1
, x
2
là nghiệm phương trình (1)
a, Hãy lập phương trình ẩn y nhận
1
22
2
11
2
,
2
x
xy
x
xy +=+=
làm nghiệm.
b,Không giải phương trình (1) hãy tính giá trị biểu thức:
3
212

3
1
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
A
+
++
=
Câu 2: (1,5 điểm).cho phương trình :
01
234
=++++
axbxaxx
có ít nhất một nghiệm thực , với a,b là số thực.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
ba
+
Câu 3 : (2,5 điểm) .
a, Giải phương trình:
4
3
10
2

6
=
−
+
−
xx
b, Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm:
2
12)
1
()
1
(3
7)
1
()
1
(2
2
2
>
−+−++
−−−+
m
x
x
x
x
x
x

x
x
Câu 4: (1,5 điểm).Cho
[ ]
2;1,,
∈
zyx
. Tìm giá trị lớn nhất của
)
111
)((
zyx
zyxP
++++=

Câu 5: (2.0 điểm). Cho tam giác ABC và P là điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi K, M, L lần lượt là hình
chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng BC, CA, AB. Hãy xác định vị trí P sao cho tổng
222
AMCLBK
++
nhỏ nhất.
………………..HẾT……………….
( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:……………………………………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
Câu Nội dung Điểm
I
Theo Vi-Et ta có :




=
=+
1
32
21
21
xx
xx
0,25
Lại có:
36
)(2
21
21
2121
=
+
++=+
xx
xx
xxyy
0,5
9
4
4
21
2121

=++=
xx
xxyy
0,5
Vậy:
0936
2
=+−
yy
0,25
b, Ta có:
[ ]
[ ]
21
2
2121
2121
2
21
2)(4
5)2)(3
xxxxxx
xxxxxx
A
−+
+−+
=
0,25

[ ]

1.2)32(1.4
1)32.(3
2
2
−
−
=
0;25

8
7
)212(4
136
=
−
−
=
0,5
II
* x = 0 không là nghiệm pt
* x
0
≠
: Phương trình trở thành :
0)
1
(
1
2
2

=++++
b
x
xa
x
x
0,25
Đặt
2;
1
≥=+
tt
x
x
, khi đó phương trình trở thành:
battbatt
+=−⇔=+−+
22
202
0,25
Theo Bunhia
1
2
1
)1)((
2
2
2
22222
+

−
=
+
+
≥+⇔++≤+
t
t
t
bat
batbabat
0,25
6
1
9
1
2
222
−
+
++≥+
t
tba
0,25
Mặt khác:








≥
+
≥
+
+
+
5
16
25
)1(16
5
18
1
9
25
)1(9
2
2
2
t
t
t
do
4
2
≥
t
0,25
Vậy

12
5
4
22
±=⇔±=⇔≥+
xtba
0,25
III.a
a, Với x <2 đặt
t
t
t
t
x
x
t
−=
+
⇔+=−⇒>
−
=
4
6
10
1
6
30
2
6
2

2
2
0,25
09648128
234
=+−+−⇔
tttt
0,25
2
=⇔
t
0,25
2
1
=⇔
x
KL:
0,25
III.b
b, Đặt
x
xt
1
−=
, bài toán quy về tìm đk để bpt sau đúng với mọi t:
2
3
12
2
2

≤
++
+−
mtt
tt
0,25
Vì mẫu xác định với mọi t nên
tmttm
∀>++⇒>⇔<∆
,03
12
1
0
2
0,25
Do đó bất phương trình tương đương với :
tmtttt
∀++≤+−
,22612
22
tmtt
∀≥−++⇔
,01234
2

0,25
0)12(169
<−−=∆⇔
m
0,5

32
25
≥⇔
m
KL:
0,25

IV
Do vai trò x, y, z như nhau nên giả sử
21
≤≤≤≤
zyx







≥








−







−
≥






−








−
⇒
011
011
y
z
x
y

z
y
y
x
0,25
x
z
z
x
y
z
x
y
z
y
y
x
++≤








++









+⇒
2
0,25

)(253
x
z
z
x
z
x
x
z
y
z
z
y
x
y
y
x
P
++≤+







++








++








+=⇒
(1). Dấu ‘ = ’ xảy ra khi và chỉ khi x
= y hoặc y = z
0,25
Đặt t =







∈
1;
2
1
z
x
, ta có:
2
51
0)
2
1
)(2(
≤+⇒≤−−
t
ttt
(2). Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi
2
1
=
t
0,25
Từ (1) và (2) suy ra P
1055
=+≤
P
0,25

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi và chỉ khi










==
=



=
==
2
1
2
1
zy
x
z
yx
KL:
0,25
V
Đặt S = BK

2
+ CL
2
+AM
2
. Theo tính chất của tam giác vuông ta có:
S = BM
2
+ CK
2
+ AL
2
0,5
Do vậy: 2S =(BK
2
+KC
2
) + (CL
2
+ LA
2
) + (AM
2
+MB
2
])()()[(
2
1
222
MBAMLACLKCBK

+++++≥
0,5
)(
2
1
222
ABCABC
++=
0,5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
MBAMLACLKCBK
===
,,
0,5