Bài 1. Mở đầu về Nguyên hàm

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1





I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức
= = =
( ) ' '( )
dy df x y dx f x dx

Ví d
ụ
:
 d(x
2
– 2x + 2) = (x
2
– 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
 d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx



Chú ý:
Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

( ) ( )
1

2 2 2
2
d x dx dx d x
= ⇒ =

( ) ( )
1
3 3 3
3
d x dx dx d x
= ⇒ =

( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
x
xdx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 



( ) ( ) ( )
3
2 3 3 3

1 1 1
3 3 3 3
x
x dx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 



(
)
( ) ( )
ax
1 1
ln ax ln
ax
d b
dx dx
d b d x
ax b a b a x
+
= = + → =
+ +



( ) ( ) ( ) ( )

( )
( )
1 1 1
sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2
2
b dx b d b d b xdx d c x
a a
+ = + + = − + → = −


( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1
cos cos sin cos2 sin2
2
ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x
a a
+ = + + = + → =


( )
(
)
(
)
ax 2 2
1 1 1
ax
2

b ax b ax b x x
e dx e d b d e e dx d e
a a
+ + +
= + = → =


( )
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2
ax
1 1 1
tan tan2
2
cos cos cos 2
d b
dx dx
d ax b d x
a a
ax b ax b x
+
= =  +  → =
 
+ +



( )
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2
ax
1 1 1
cot cot2
2
sin sin sin 2
d b
dx dx
d ax b d x
a a
ax b ax b x
+
= = −  +  → = −
 
+ +

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM
Cho hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên m
ộ
t kho
ả

ng (a; b). Hàm F(x)
đượ
c g
ọ
i là nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x) n
ế
u F’(x) = f(x) và
đượ
c vi
ế
t là
( )
f x dx
∫
. T
ừ

đ
ó ta có :
( ) ( )
f x dx F x
=
∫

Nh
ậ

n xét:
V
ớ
i C là m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
nào
đ
ó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên t
ổ
ng quát hóa ta vi
ế
t ( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
, khi
đ
ó
F(x) + C
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t h
ọ

nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x). V
ớ
i m
ộ
t giá tr
ị
c
ụ
th
ể
c
ủ
a C thì ta
đượ
c m
ộ
t nguyên hàm
c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
Ví d
ụ

:

Hàm s
ố
f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x
2
+ C, vì (x
2
+ C)’ = 2x

Hàm s
ố
f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Cho các hàm s
ố
f(x) và g(x) liên t
ụ
c và t
ồ
n t
ạ
i các nguyên hàm t
ươ
ng
ứ
ng F(x) và G(x), khi
đ
ó ta có các tính ch
ấ

t sau:
a) Tính ch
ấ
t 1:
( )
( ) ( )
f x dx f x
′
=
∫

Chứng minh:
Tài liệu tham khảo:

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
f x dx F x f x
′
′
= = ⇒
∫
đpcm.

b) Tính chất 2:
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫

Ch
ứ
ng minh:
Theo tính ch
ấ
t 1 ta có,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x
′ ′ ′
+ = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

Theo
đị
nh ngh
ĩ
a nguyên hàm thì v
ế
ph

ả
i chính là nguyên hàm c
ủ
a f(x) + g(x).
T
ừ

đ
ó ta có
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫

c) Tính chất 3:
(
)
. ( ) ( ) , 0
k f x dx k f x dx k
= ∀ ≠
∫ ∫

Ch
ứ
ng minh:
T

ươ
ng t
ự
nh
ư
tính ch
ấ
t 2, ta xét
( )
( ) . ( ) . ( ) ( )
k f x dx k f x k f x dx k f x dx
′
= → =
⇒
∫ ∫ ∫
đ
pcm.

d) Tính chất 4:
( ) ( ) ( )
f x dx f t dt f u du
= =
∫ ∫ ∫

Tính ch
ấ
t trên
đượ
c g
ọ

i là
tính bất biến
c
ủ
a nguyên hàm, t
ứ
c là nguyên hàm c
ủ
a m
ộ
t hàm s
ố
ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào hàm,
mà không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM


 Công thức 1:

dx x C
= +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
1
x C dx x C
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h

ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
du u C
= +
∫



 Công thức 2:
n 1
n
x
x dx C
n 1
+
= +
+
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ

t v
ậ
y, do
1 1
1 1
n n
n n
x x
C x x dx C
n n
+ +
′
 
+ = ⇒ = +
 
+ +
 
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h

ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
1
1
n
n
u
u du C
n
+
= +
+
∫

+ V
ớ
i
1
2 2 2
2
2
dx dx du
n x C u C
x x u

= − ⇒ = = + ←→ = +
∫ ∫ ∫

+ V
ớ
i
2 2
1 1
2
dx du
n C C
x x u u
= − ⇒ = − + ←→ = − +
∫ ∫

Ví dụ:
a)
3
2
3
x
x dx C
= +
∫

b)
( )
5
4 4 2
2 2

5
x
x x dx x dx xdx x C
+ = + = + +
∫ ∫ ∫

c)
1 1
2
2 2 2 2
3
3 3
3
3
3
1
2 2 2
3
x x x x x x x
dx dx xdx x dx C x C
x x
−
−
= − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫

d)
( ) ( ) ( )
( )
5

4 4
2 1
1
2 1 2 1 2 1
2 5
n
u du
x
I x dx x d x I C
+
= + = + + → = +
∫ ∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

e)
( ) ( ) ( )
( )
2011
2010 2010
1 3
1
1 3 1 3 1 3
3 2011
n
u du
x
I x dx x d x I C

−
= − = − − − → = − +
∫ ∫

f)
( )
(
)
( )
( )
2
2 2
2 1
1 1 1 1
.
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1
du
u
d x
dx
I I C C
x x
x x
+
= = → = − + = − +
+ +
+ +
∫ ∫

g)
( ) ( ) ( )
3 3
2 2
1 1 2 3
4 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5
4 4 3 8
I x dx x d x I x C x C
= + = + + ⇒ = + + = + +
∫ ∫



 Công thức 3: ln
dx
x C
x
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
1
ln ln
dx
x C x C
x x
′
+ = ⇒ = +

∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được ln
du
u C
u
= +
∫

+
( )
1
ln 2
1 1
2x 2
ln ax
1
ax ax
ln 2
2 2
dx
x k C
d ax b
dx

k
b C
dx
b a b a
k x C
k x

= + +

+

+
= = + + →

+ +

= − − +

−

∫
∫ ∫
∫

Ví dụ:
a)
4
3 3
1 1 1
2 ln

4
dx x
x dx x dx dx x x C
x x
x x
 
+ + = + + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
(
)
3 2
1 1
ln 3 2
3 2 3 3 2 3
du
u
d x
dx
I I x C
x x
+
= = → = + +
+ +
∫ ∫

c)

(
)
2
2 2
2 1
2 3 3 3 3
2 2 3 ln 2 1
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
d x
x x dx
dx x dx xdx x x x C
x x x x
+
+ +
 
= + = + = + = + + +
 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫



 Công thức 4:
sinx cos
dx x C
= − +
∫

Ch

ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
cos sin x sinx cos
x C dx x C
′
− + = ⇒ = − +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=

, ta
đượ
c sinu cos
du u C
= − +
∫

+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
sin ax sin ax ax cos ax sin2 os2
2
b dx b d b b C xdx c x C
a a
+ = + + = − + + → = − +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
(
)
3
2
2 1
1 1
sinx sinx cos
2 1 2 1 2 2 1
d x
dx
x x dx x xdx dx x dx x

x x x
−
 
+ + = + + = − + =
 
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5
2
2 1
cos ln 2 1
5 2
x
x x C
= − + − +

b)
( )
(
)
4 3
3 1 3 1 3
sin2 sin 2 3 sin2 2 os2 ln 4 3
4 3 4 3 2 4 4 3 2 4
d x
dx
x dx xdx xd x c x x C
x x x

−
 
+ = + = + = − + − +
 
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c) sin sinx sin3
2
x
x dx
 
+ +
 
 
∫

Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 ; 2 2 2 ; 3 3 3
2 2 2 2 3
x x
d dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x
   
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
   
   

T
ừ đó :
( ) ( )
1 1
sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 3
2 2 2 2 2 3
x x x x
x dx dx xdx xdx d xd x xd x
   
+ + = + + = + +
   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

1 1
2cos os2 os3
2 2 3
x
c x c x C
= − − − +



 Công thức 5:
cos sin
xdx x C

= +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
in cos cosx inx
s x C x dx s C
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ

p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c cosu sin
du u C
= +
∫

+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
os ax os ax ax sin ax os2 sin 2
2
c b dx c b d b b C c xdx x C
a a
+ = + + = + + → = +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
4 1 5
cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1
1 1
x
x x dx xdx dx dx x x x C
x x
−

   
− + = − + − = + + − + +
   
+ +
   
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
2
1
cos2 sin x os2 sinx sin 2 cos
2 2
x
x x dx c xdx dx xdx x x C
+ − = + − = − − +
∫ ∫ ∫ ∫

c)
( )
2
1 os2 1 1 1 1 1 1
sin os2 os2 2 sin 2
2 2 2 2 4 2 4
c x
xdx dx c x dx x c xd x x x C
−
 
= = − = − = − +
 

 
∫ ∫ ∫ ∫



 Công thức 6:
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
2 2
1
tan tan x
cos cos
dx
x C C
x x
′
+ = ⇒ = +
∫



Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được
2
tanu
os
du
C
c u
= +
∫

+
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
1 1 1
tan tan2
cos cos cos 2 2
d ax b
dx dx
ax b C x C
ax b a ax b a x
+

= = + + → = +
+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
2 2
1 1
cos sin 2 cos sin2 tan sin cos2
cos cos 2
dx
x x dx xdx xdx x x x C
x x
 
+ − = + − = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2 2 2
2 1 5 4
1 2 1 2
2

cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4
d x d x
dx dx
I dx
x x x x x x
 
− −
= + = + = −
 
 
− − − − − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫


( )
2
os
1 1
tan 2 1 ln 5 4
2 2
du
c u
x x C
→ = − − − +

c)
( )
(
)

( )
( )
2
os
2 2
3 2
1 1
tan 3 2
cos 3 2 2 cos 3 2 2
du
c u
d x
dx
I I x C
x x
−
= = − → = − − +
− −
∫ ∫



 Công thức 7:
2
cot x
sin
dx
C
x
= − +

∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
2 2
1
cot cot x
sin
dx
x C C
sin x x
′
− + = ⇒ = − +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ

i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
2
cotu
sin
du
C
u
= − +
∫

+
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
ax
1 1 1
cot ax cot2

sin ax sin ax sin 2 2
d b
dx dx
b C x C
b a b a x
+
= = − + + → = − +
+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
5

a)
6
5 5
2 2
1 1
cos2 2 cos2 2 sin2 cot
sin sin 2 3
dx x
x x dx xdx x dx x x C
x x
 
− + = − + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
(
)
( )
( ) ( )
2
sin
2 2
1 3
1 1 1
cot 1 3 cot 1 3
sin 1 3 3 sin 1 3 3 3
du
u
d x
dx
I I x C x C
x x
−
= = − → = − − −  + = − +
 
− −
∫ ∫

c)
2
sin
2 2

2
2 2cot
2
sin sin
2 2
du
u
x
d
dx x
I I C
x x
 
 
 
 
= = → = − +
 
   
 
   
   
∫ ∫



 Công thức 8:
x x
e dx e C
= +

∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
x x x x
e C e e dx e C
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p

( )
u u x
=
, ta
đượ
c
u u
e du e C
= +
∫

+
( )
2 2
2 2
1
1 1
2
ax
1
2
x k x k
ax b ax b ax b
k x k x
e dx e C
e dx e d b e C
a a
e dx e C
+ +
+ + +

− −

= +


= + = + →


= − +


∫
∫ ∫
∫

Ví dụ:
a)
( )
(
)
2 1 2 1 2 1
2 2 2
3
1 4 4 1 1
2 1 4.2
sin 3 sin 3 2 3 sin 3
x x x
d x
dx
e dx e dx dx e d x x

x x x
x x
− + − + − +
 
− + = − + = − − + − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


2 1
1 1
cot3 8
2 3
x
e x x C
− +
= − + + +

b)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2 3 2
4 1
4 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 3
3 3
x x x
e c x dx e dx c x dx e d x c x d x
+ + +

+ − = + − = + − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
3 2
4 1
sin 1 3
3 3
x
e x C
+
= − − +



 Công thức 9:
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
ln
ln ln ln
x x x

x x
a a a a
C a a dx C
a a a
′
 
+ = = ⇒ = +
 
 
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c

u u
a du a C
= +
∫

+
( )
1 1
kx m kx m kx m
a dx a d kx m a C
k k
+ + +
= + = +
∫ ∫

Ví dụ:
a)
( )
( ) ( )
3 2
3 2 3 2 3 2
1 1 2 3
2 3 2 3 2 3 3 2
3 2 3ln2 2ln3
u
x x
a dux x x x x x
I dx dx dx d x d x I C
= + = + = + → = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
( ) ( )
1 2
1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 3
1 3 2 3
2 2 3 2 1 2 4 3
2 4 2ln2 4
x
x x x x x x x
e dx dx e dx d x e d x e C
−
− + − + − + +
− = − = − − − + = − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫


BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
(
)
5
1
2
I x x dx
= +
∫
2)
3

5
2
7
1
3
I x dx
x
 
= −
 
 
∫
3)
(
)
5
2 3 3
3
4 2
I x x x dx
= − +
∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
6

4)
3
4

2
5
1 2
4
x
I x dx
x
x
 
= − +
 
 
 
∫
5)
5
1
x+ dx
x
I
 
=
 
 
∫
6)
4
6
2
2 3

x
I dx
x
+
=
∫

7)
(
)
2
7
1x
I dx
x
−
=
∫

8)
(
)
2
3
8
2 1
I x dx
= −
∫

9)
(
)
2
2
9
2
4x
I dx
x
+
=
∫

10)
4 3 2
10
2
3 2 1
x x x
I dx
x
+ − +
=
∫
11)
2
11
x x x x
I dx

x
− −
=
∫
12)
12
3
1 1
I dx
x x
 
= −
 
 
∫

13)
3
13
1
I x dx
x
 
= −
 
 
∫

14)
2

14
3
1
I x dx
x
 
= +
 
 
∫

15)
(
)
2
3
15
2 3x x
I dx
x
−
=
∫

16)
(
)
(
)
4

16
2
I x x x x dx
= − −
∫
17)
17
5
1
(2 3)
I dx
x
=
−
∫
18)
18
4
1
( 3)
x
I dx
x
+
=
−
∫

19)
19

π
sin
2 7
x
I dx
 
= +
 
 
∫
20)
20
sin2 sin
3
x
I x dx
 
= +
 
 
∫
21)
21
sin
2
x
I x dx
 
= +
 

 
∫

22)
22
π 1
sin 3 sin
4 2
x
I x dx
 
+
 
= + −
 
 
 
 
∫
23)
2
23
cos
2
x
I dx
=
∫
24)
2

24
sin
2
x
I dx
=
∫

26)
26
2
cos 4
dx
I
x
=
∫
27)
( )
27
2
cos 2 1
dx
I
x
=
−
∫
28)
(

)
2
28
tan 2
I x x dx
= +
∫

29)
4
29
tan
I x dx
=
∫
30)
2
30
cot
I xdx
=
∫
31)
( )
31
2
sin 2 3
dx
I
x

=
+
∫

32)
32
1 cos6
dx
I
x
=
−
∫
33)
2 2
33
2
1
cot dx
I x x
x
 
= + +
 
 
∫
34)
2
34
1

dx
3 2
I x
x
 
= +
 
+
 
∫

35)
2
35
1
sin
2 5
I x dx
x
 
= −
 
−
 
∫
36)
36
2
dx
3

x
I
x
+
=
−
∫
37)
37
2 1
4 3
x
I dx
x
−
=
+
∫

38)
38
6 5
x
I dx
x
=
−
∫
39)
2

39
11
3
x x
I dx
x
+ +
=
+
∫
40)
2
40
2 5
1
x x
I dx
x
− +
=
−
∫

41)
3 2
41
3 2 1
2
x x x
I dx

x
+ + +
=
+
∫
42)
3 2
42
4 4 1
2 1
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
43)
2
43
4 6 1
2 1
x x
I dx
x
+ +
=
+
∫

44)
2x 3
44
I e dx
− +
=
∫
45)
3 1
45
cos(1 )
x
I x e dx
−
 
= − +
 
∫
46)
2
1
46
.
x
I x e dx
− +
=
∫

47)

47
2
2
sin (3 1)
x
I e dx
x
−
 
= +
 
+
 
∫
48)
48
2
2
cos
x
x
e
I e dx
x
−
 
= +
 
 
∫

49)
(
)
1 2 4 3
49
2
x x
I e dx
− +
= −
∫

50)
50
1
2
x
I dx
=
∫

51)
51
2
7
x
x
I dx
=
∫

52)
2 1
52
3
x
I dx
+
=
∫