các kiến thức vật lí cần nhớ

1.1 Kiến thức vật lí
Chu kì:
l
T 2
g
= π

Động năng:
2
d
1
W mv
2
=
Thế năng:
= − ≈
α α
2
t
1
W mgl( 1 cos ) mgl
2
(
α
nhỏ)
Cơ năng: W =
+ = = = −
2 2
d t 0 max 0
1 1
W W mgl mv mgl( 1 cos )

2 2
α α

Định luật II Nintơn:
hl
F ma=
r
r
Gia tốc hướng tâm:
2
ht
v
a
r
=
Công thức sự nở dài:
= +
α
0
l l ( 1 t )
Gia tốc trọng trường:
h
2
M
g G
(R h)
=
+
Trọng lực:
P mg=

r
r
Lực điện trường:
d
F qE=
r r

d
F
r
cùng phương với
E
r
Nếu q > 0:
d
F
r
cùng hướng với
E
r
Nếu q < 0:
d
F
r
ngược hướng với
E
r
Lực quán tính:
qt
F ma= −

r
r
Lực quán tính ngược hướng với vectơ gia tốc
Trong chuyển động nhanh dần: vectơ gia tốc cùng hướng chuyển động
Trong chuyển động chậm dần: vectơ gia tốc ngược hướng chuyển động
1.2 Kiến thức toán học
Định lí hàm số cosin: Trong tam giác ABC có
2 2 2
a b c 2bc.cosA= + −
Định lí Pitago: Trong tam giác vuông ABC (A=90
0
) có
2 2 2
a b c= +
1
Cho
a b c= +
r
r r
Nếu
b
r
và
c
r
cùng hướng:
a
r
=
b

r
+
c
r

Nếu
b
r
và
c
r
ngược hướng:
a
r
=
b c−
r
r

Nếu
b
r
vuông góc với
c
r
:
2 2
a b c
= +
r

Nếu
b
r
hợp với
c
r
một góc
α
:
2 2
a b c 2 b c cos= + + α
r
r r
2. NỘI DUNG, BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
2.1 Sự phụ thuộc của chu kì vào chiều dài khi gia tốc trọng trường không đổi
Bài toán 1: Tại cùng một nơi, con lắc đơn chiều dài
l
1
dao động điều hòa với
chu kì
T
1
. Tính chu kì
T
2
khi con lắc có chiều dài
l
2
Tại cùng một nơi nên gia tốc trọng trường không đổi
1

1
l
T 2
g
= π
;
2
2
l
T 2
g
= π

2 2
1 1
T l
T l
=
( chu kì tỉ lệ thuận với căn bậc hai
của chiều dài )
Kết luận:
2
2 1
1
l
T T
l
=
Ví dụ 1: Một con lắc đơn có độ dài 1m dao động điều hòa với chu kì 2s. Tại cùng vị
trí thì con lắc đơn dài 3m sẽ dao động điều hòa với chu kì bao nhiêu?

= = =
2
2 1
1
l 3
T T 2 2 3
l 1
s
Bài toán 2: Tại cùng một nơi, con lắc đơn chiều dài
l
1
dao động điều hòa với
chu kì
T
1
; chiều dài
l
2
dao động điều hòa với chu kì
T
2
. Tính chu kì
T
+
khi con
lắc có chiều dài
l
1
+

l
2
; chu kì
T
−
khi con lắc có chiều dài
l
1
-
l
2
(với
l
1
>
l
2
) và
chu kì
*
T
khi con lắc có chiều dài
l
1
.
l
2
2
1
1

l
T 2
g
= π

2 2
1
1
l
T 4
g
= π
;
2
2
l
T 2
g
= π

2 2
2
2
l
T 4
g
= π
1 2
l l
T 2

g
+
+
= π

2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
l l l l
T 4 4 4 T T
g g g
+
+
= π = π + π = +
1 2
l l
T 2
g
−
−
= π

2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
l l l l
T 4 4 4 T T
g g g
−
−

= π = π − π = −
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
* * 1 2
2 2
l .l l .l l l g g
T 2 T 4 4 .4 . T T
g g g g 4 4
= π ⇒ = π = π π =
π π
Kết luận:
2 2
1 2
T T T
+
= +
;
2 2
1 2
T T T
−
= −
và
1 2
*
T T g
T
2
=
π

Ví dụ 2: Tại cùng một nơi, một con lắc đơn có độ dài l
1
dao động với chu kì T
1
=
0,8 s. Một con lắc đơn khác có độ dài l
2
dao động với chu kì T
2
= 0,6 s. Tính chu
kì của con lắc đơn có độ dài l
1
+ l
2
; l
1
- l
2
và
1 2
l .l
( lấy g=10m/s
2
và
2
10π ≈
)

+
= + = + =

2 2 2 2
1 2
T T T (0,8) (0,6) 1s

−
= − = − ≈
2 2 2 2
1 2
T T T (0,8) (0,6) 0,53s


1 2
*
TT g
0,8.0,6. 10
T 0,24s
2
2. 10
= = =
π
Bài tốn 3: Ở cùng một vị trí, con lắc đơn ở nhiệt độ
t
1
dao động điều hòa với
chu kì
T
1
. Tính chu kì
T
2

khi con lắc ở nhiệt độ
t
2
(cho chất làm dây treo có hệ
số nở dài
α
)

1
l
=
+ α
0 1
l (1 t )
;
2
l
=
+ α
0 2
l (1 t )
2 2 0 2 2
1 1 0 1 1
T l l (1 t ) 1 t
T l l (1 t ) 1 t
+ α + α
= = =
+ α + α

Kết luận:

2
2 1
1
1 t
T T
1 t
+ α
=
+ α

3
Ví dụ 3: Một con lắc đơn ở 20
0
C dao động điều hòa với chu kì 2s. Tại cùng vị trí,
tính chu kì con lắc khi ở 32
0
C. Cho chất làm dây treo có hệ số nở dài là
− −5 1
2.10 K
−
−
+ α +
= = ≈
+ α +
5
2
2 1
5
1
1 t 1 2.10 .32

T T 2. 2,00024s
1 t 1 2.10 .20
2.2 Sự phụ thuộc của chu kì vào gia tốc trọng trường khi chiều dài không đổi
Bài toán 4: Tại vị trí có gia tốc trọng trường
1
g
con lắc dao động điều hòa với
chu kì
T
1
. Tính chu kì
T
2
của con lắc đó tại vị trí có gia tốc trọng trường
2
g

( coi chiều dài dây treo không đổi )
1
1
l
T 2
g
= π
;
2
2
l
T 2
g

= π

2 1
1 2
T g
T g
=
( chu kì tỉ lệ nghịch với
căn bậc hai của gia tốc trọng trường )
Kết luận:
1
2 1
2
g
T T
g
=
Ví dụ 4: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì 1,5s trên trái đất. Tính chu kì
dao động của con lắc đó trên mặt trăng. Biết rằng gia tốc trọng trường của mặt trăng
nhỏ hơn của trái đất 5,9 lần (coi chiều dài con lắc không đổi)
1: trái đất ; 2: mặt trăng

1 1
2
2
g g
g 5,9
5,9 g
= ⇒ =

= = ≈
1
2 1
2
g
T T 1,5 5,9 3,64s
g
Bài toán 5: Chu kì dao động điều hòa của con lắc khi ở gần mặt đất là
T
0
. Tính
chu kì
h
T
của con lắc khi nó ở độ cao h so với mặt đất ( bỏ qua sự thay đổi
chiều dài dây treo )

0
2
GM
g
R
=
;
h
2
GM
g
(R h)
=

+
;
2
0
h
g h R
g R
+
 
=
 ÷
 

h 0
0 h
T g R h h
1
T g R R
+
= = = +
4
Kết luận:
h 0
h
T T (1 )
R
= +
Ví dụ 5: Một con lắc đơn ở gần mặt đất dao động điều hòa với chu kì 2s. Tính chu
kì của nó ở độ cao 320m (bỏ qua sự thay đổi chiều dài dây treo và cho bán kính trái
đất là 6400km)

= + = + =
h 0
h 0,32
T T (1 ) 2(1 ) 2,0001s
R 6400
Ví dụ 6: Hỏi phải đưa con lắc đơn lên đến độ cao nào để chu kì của nó tăng thêm
0,004% so với chu kì của con lắc ấy tại mặt đất. Biết bán kính trái đất là 6400km và
bỏ qua sự thay đổi nhiệt độ

5
h 0
0
T T
0,004% 4.10
T
−
−
= =

5 5
h 0
h 0
0
h h T T
T T (1 ) 4.10 h 4.10 .R 0,256km 256m
R R T
− −
−
= + ⇒ = = ⇒ = = =

2.3 Con lắc đơn mang điện tích dao động điều hòa bên trong điện trường đều
Bài toán 6: Con lắc đơn chiều dài l, vật nhỏ khối lượng m mang điện tích q dao
động điều hòa bên trong điện trường đều có vectơ cường độ điện trường
E
r
.
Tính chu kì
/
T
của con lắc khi
a.
d
F
r
và
P
r
cùng hướng
b.
d
F
r
và
P
r
ngược hướng
c.
d
F
r

và
P
r
vuông góc
d.
d
F
r
và
P
r
hợp với nhau góc
α
/
d
P P F= +
r r r
;
/
/
P
g
m
=
;
/
/
l
T 2
g

= π
a.
d
F
r
và
P
r
cùng hướng:
/
d
P P F mg q E= + = +
;
/
q E
g g
m
= +

5

/
l
T 2
q E
g
m
= π
+
b.

d
F
r
và
P
r
ngược hướng:
/
d
P P F mg q E= − = −
;
/
q E
g g
m
= −
/
l
T 2
q E
g
m
= π
−
c.
d
F
r
và
P

r
vuông góc:
/ 2 2 2 2 2 2
d
P P F m g q E
= + = +
;
2 2
/ 2
2
q E
g g
m
= +
/
2 2
2
2
l
T 2
q E
g
m
= π
+
d.
d
F
r
và

P
r
hợp với nhau góc
α
:

/ 2 2 2 2 2 2
d d
P P F PF cos m g q E mg q Ecos= + + α = + + α


2 2 2 2
2 2
/ 2
2
m g q E mg q Ecos
g q Ecos
q E
g g
m m m
+ + α
α
= = + +

/
2 2
2
2
l
T 2

g q Ecos
q E
g
m m
= π
α
+ +
Kết luận:
d
F
r
và
P
r
cùng hướng:
/
l
T 2
q E
g
m
= π
+

d
F
r
và
P
r

ngược hướng:
/
l
T 2
q E
g
m
= π
−
6

d
F
r
và
P
r
vuông góc:
/
2 2
2
2
l
T 2
q E
g
m
= π
+

d
F
r
và
P
r
hợp với nhau góc
α
:
/
2 2
2
2
l
T 2
g q Ecos
q E
g
m m
= π
α
+ +
Ví dụ 7: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 50cm và vật nhỏ có khối lượng
0,01kg mang điện tích
6
q 5.10 C
−
= +
, được coi là điện tích điểm. Con lắc dao động
điều hòa trong điện trường đều mà vectơ cường độ điện trường có độ lớn E=

4
10
V/m . Lấy
( )
2
g 10 m/s=
,
3,14π =
. Tính chu kì dao động điều hòa của con lắc khi
a.
E
r
hướng thẳng đứng xuống dưới
Vì q > 0 nên
d
F
r
cùng hướng
E
r
=>
d
F
r
hướng thẳng đứng xuống dưới =>
d
F
r
cùng
hướng

P
r
=>
/
6 4
l 0,5
T 2 2 1,15s
q E
5.10 .10
10
g
0,01
m
−
= π = π ≈
+
+
b.
E
r
hướng thẳng đứng lên trên
Vì q > 0 nên
d
F
r
cùng hướng
E
r
=>
d

F
r
hướng thẳng đứng lên trên =>
d
F
r
ngược
hướng
P
r
=>
/
6 4
l 0,5
T 2 2 1,99s
5.10 .10
q E
10
g
0,01
m
−
= π = π ≈
−
−
c.
E
r
có phương nằm ngang
7

Vì
d
F
r
cùng phương với
E
r
=>
d
F
r
vuông góc với
P
r
=>
/
2 6 4 2
2 2
2 2
l 0,5
T 2 2 1,33s
(qE) (5.10 .10 )
g 10
m 0,01
−
= π = π ≈
+ +
d.
E
r

hợp với
P
r
một góc 30
0

Vì q > 0 nên
d
F
r
cùng hướng
E
r
=>
d
F
r
hợp với
P
r
một góc 30
0
=>
0
30α =
=>
/
6 4 2 6 4 0
2
2

2
2
2
l 0,5
T 2 2
g q Ecos
(5.10 .10 ) 10.5.10 .10 .cos30
(qE)
10
g
0,01 0,01
m m
− −
= π = π
α
+ +
+ +
1,23s≈
2.4 Con lắc đơn dao động đều trong hệ quy chiếu không quán tính
Bài toán 7: Một con lắc đơn chiều dài l được treo trên trần của một thang máy.
Tính chu kì dao động điều hòa
/
T
của con lắc khi thang máy
a. đi lên nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn là a
b. đi lên chậm dần đều với gia tốc có độ lớn là a
c. đi xuống nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn là a
d. đi xuống chậm dần đều với gia tốc có độ lớn là a
/
qt

P P F mg ma= + = −
r r r
r r
;
/
/
P
g g a
m
= = −
r
r r r
;
/
/
l
T 2
g
= π
Chọn chiều dương cùng chiều
g
r
a. Thang máy đi lên nhanh dần
⇒
a
r
cùng hướng chuyển động
⇒
a
r

hướng thẳng
đứng lên trên
⇒
/
g g a= +
⇒
/
l
T 2
g a
= π
+
8
b. Thang máy đi lên chậm dần
⇒
a
r
ngược hướng chuyển động
⇒
a
r
hướng thẳng
đứng xuống dưới
⇒
/
g g a= −
⇒
/
l
T 2

g a
= π
−
c. Thang máy đi xuống nhanh dần
⇒
a
r
cùng hướng chuyển động
⇒
a
r
hướng thẳng
đứng xuống dưới
⇒
/
g g a= −
⇒
/
l
T 2
g a
= π
−
d. Thang máy đi xuống chậm dần
⇒
a
r
ngược hướng chuyển động
⇒
a

r
hướng
thẳng đứng lên trên
⇒
/
g g a= +
⇒
/
l
T 2
g a
= π
+
Kết luận: - Thang máy đi lên nhanh dần đều hoặc thang máy đi xuống
chậm dần đều:
= π
+
/
l
T 2
g a
- Thang máy đi lên chậm dần đều hoặc thang máy đi xuống
nhanh dần đều:
= π
−
/
l
T 2
g a
Ví dụ 8: Một con lắc đơn treo trong thang máy ở nơi có gia tốc trọng trường 10

m/s
2
. Khi thang máy đứng yên con lắc dao động với chu kì 2 s. Lấy
2
10π ≈
. Tính
chu kì dao động của con lắc trong các trường hợp:
a) Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc 2 m/s
2
.
b) Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc 5 m/s
2
.
c) Thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc 4 m/s
2
.
d) Thang máy đi xuống chậm dần đều với gia tốc 6 m/s
2
.
l
T 2
g
= π ⇒
= = =
π
2 2
2
T g 2.10
l 1m
4 4.10

9
a)
= = ≈
+ +
/
l 1
T 2 2 1,83s
g a 10 2
π π
b)
= = ≈
− −
/
l 1
T 2 2 2,83s
g a 10 5
π π
c)
= = ≈
− −
/
l 1
T 2 2 2,58s
g a 10 4
π π
d)
= = ≈
+ +
/
l 1

T 2 2 1,58s
g a 10 6
π π
Ví dụ 9: Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy. Khi thang máy chuyển
động thẳng đứng đi lên nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn a thì chu kì dao động
điều hòa của con lắc là 2,52 s. Khi thang máy chuyển động thẳng đứng đi lên chậm
dần đều với gia tốc cũng có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là
3,15 s. Tính chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đứng yên
Gọi
1
T
là chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đi lên nhanh dần đều

2
T
là chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đi lên chậm dần đều

T
là chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đứng yên

= ⇒ =
2 2
l 1 1 g
T 2 .
g T 4 l
π
π

+
= ⇒ =

+
1
2 2
1
l 1 1 g a
T 2 .
g a T 4 l
π
π
;
−
= ⇒ =
−
2
2 2
2
l 1 1 g a
T 2 .
g a T 4 l
π
π

⇒

+ = =
2 2 2 2
1 2
1 1 1 2g 2
.
T T 4 l T

π

⇒

1 2
2 2 2 2
1 2
TT 2 2,52.3,15. 2
T
T T (2,52) (3,15)
= = =
+ +
2,78s
10
Bài toán 8: Một con lắc đơn được treo trên trần của một ôtô. Tính chu kì dao
động điều hòa
/
T
của con lắc khi ôtô chuyển động thẳng biến đổi đều trên
đường ngang với gia tốc có độ lớn a

/
qt
P P F= +
r r r

Ôtô chuyển động thẳng biến đổi đều trên đường ngang =>
a
r
có phương ngang

=>
qt
F
r
có phương ngang =>
qt
F
r
vuông góc với
P
r
=>
/ 2 2 2 2 2 2
qt
P P F m g m a= + = +
;
/
/ 2 2
P
g g a
m
= = +
;
/
/
l
T 2
g
= π
Kết luận:

/
/
2 2
l l
T 2 2
g
g a
= π = π
+
Ví dụ 10: Treo con lắc đơn vào trần một ôtô tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8
m/s
2
. Khi ôtô đứng yên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2 s. Nếu ôtô
chuyển động thẳng nhanh dần đều trên đường nằm ngang với gia tốc 2 m/s
2
thì chu
kì dao động điều hòa của con lắc bằng bao nhiêu?

2 2
2 2
l T g 2 .9,8
T 2 l 0,993m
g 4 4
= π ⇒ = = ≈
π π

/
2 2 2 2
l 0,993
T 2 2 1,98s

g a (9,8) 2
= π = π ≈
+ +
2.5 Các bài toán về năng lượng, vận tốc và lực căng dây
Bài toán 9: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc
α
0
. Xác định li
độ góc
α
khi vật có động năng bằng n lần thế năng
=
d t
W nW
= + = + = + ⇔ = + ⇔ =
+
α
α α α
2
2 2 2
0
d t t t t 0
1 1
W W W nW W ( n 1)W mgl ( n 1). mgl
2 2 n 1
11
Kết luận:
α
α = ±
+

0
n 1
Ví dụ 11: Một con lắc đơn dđđh với biên độ góc là 9
0
. Xác định li độ góc khi thế
năng bằng
1
2
lần động năng

t d d t
1
W W W 2W n 2
2
= ⇒ = ⇒ =
0
0
9
5,2
n 1 3
α
α = ± = ± ≈ ±
+
Bài toán 10: Một con lắc đơn dao động điều hòa với tốc độ lớn nhất là
max
v
.
Xác định vận tốc khi vật có thế năng bằng n lần động năng (
=
t d

W nW
)

2
2 2 2
max
d t d d d max
1 1 v
W W W W nW (n 1)W mv (n 1). mv v
2 2 n 1
= + = + = + ⇔ = + ⇔ =
+
Kết luận:
= ±
+
max
v
v
n 1
Ví dụ12: Một con lắc đơn dđđh, khi đi qua VTCB đạt tốc độ là 10 cm/s. Tính vận
tốc khi vật có động năng bằng thế năng

t d
W W n 1= ⇒ =

max
v 10
v 5 2cm/s
n 1 2
= ± = ± = ±

+
Bài toán 11: Con lắc đơn có chiều dài dây treo l dao động điều hòa với biên độ
góc
0
α
tại nơi có gia tốc trọng trường g. Tính tốc độ
v
α
của vật tại vị trí có li
độ góc
α
. Từ đó suy ra tốc độ con lắc tại VTCB
= + ⇔ − = + −
2
d t 0
1
W W W mgl( 1 cos ) mv mgl( 1 cos )
2
α
α α

⇔

0
v 2gl(cos cos )
α
= α − α
Tại VTCB (
0α =
):

= −
VT CB 0
v 2gl( 1 cos )
α
Kết luận:
0
v 2gl(cos cos )
α
= α − α
;
= −
VTCB 0
v 2gl(1 cos )
α
12
Ví dụ 13: Một con lắc chiều dài 0,5m dao động với biên độ góc là 9
0
tại nơi có gia
tốc trọng trường 9,8 m/s
2
. Tính tốc độ con lắc khi nó có li độ góc là 4
0
và tốc độ lớn
nhất của con lắc

α
= α − α = − ≈
0 0
0
v 2gl(cos cos ) 2.9,8.0,5(cos4 cos9 ) 0,31m/ s

= = − = − ≈
0
max VT CB 0
v v 2gl(1 cos ) 2.9, 8.0,5(1 cos9 ) 0,35m/ s
α
Bài toán 12: Con lắc đơn vật nhỏ khối lượng m dao động điều hòa với biên độ
góc
0
α
tại nơi có gia tốc trọng trường g. Tính lực căng dây
T
α
tác dụng vào
vật tại vị trí có li độ góc
α
. Từ đó suy ra
max
T
và
min
T
Định luật II Niutơn:
P T ma+ =
r
r
r
Chọn chiều dương cùng chiều lực căng
T
r

. Chiếu biểu thức định luật II Niutơn
lên giá của
T
r
ta được
α
α α
− α + = = ⇔ − α + = α − α
2
ht 0
mv
P cos T ma mgcos T 2mg(cos cos )
l

⇔
0
T mg(3cos 2cos )
α
= α − α
Lực căng lớn nhất khi vật ở VTCB (
0α =
) 
max 0
T mg(3 2cos )= − α
Lực căng nhỏ nhất khi vật ở biên (
0
α = ±α
) 
min 0
T mgcos= α

Kết luận:
0
T mg(3cos 2cos )
α
= α − α


max 0
T mg(3 2cos )= − α
;
min 0
T mgcos= α
Ví dụ 14: Một con lắc đơn có vật khối lượng 50g dao động ở nơi có gia tốc trọng
trường 9,8 m/s
2
với biên độ góc 9
0
. Tính lực căng tại VTCB, biên và vị trí có li độ
góc là 4
0

= = − α = − ≈
0
VT CB max 0
T T mg(3 2cos ) 0,05.9,8(3 2cos9 ) 0,5N

= α = ≈
0
min 0
T mgcos 0,05.9,8.cos9 0,48N

α
= α − α = − ≈
0 0
0
T mg(3cos 2cos ) 0,05.9,8(3cos4 2cos9 ) 0,498N
13
Ví dụ 15: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc α
0
tại nơi có gia
tốc trọng trường là g. Biết lực căng dây lớn nhất bằng 1,02 lần lực căng dây nhỏ
nhất. Tính α
0


max min 0 0 0
3
T 1,02.T mg(3 2cos ) 1,02.mgcos cos
3,02
= ⇔ − α = α ⇔ α =

=> α
0
≈
6,6
0
14