các khái niệm cơ bản về phân tích giải thuật

Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

7
CHNG 2
CÁC KHÁI NIM C BN V PHÂN TÍCH GII THUT
2.1. BƠi toán vƠ th hin (Problems and Instances)
Trong phn trên, chúng ta đã nghiên cu mt s ví d v nhân 2
s nguyên dng, chng hn nhân 981 và 1234. Tuy vy, các nguyên tc
chính ca gii thut đó không ch cung cp nhng cách thc nhân 2 s
đc bit, thc t chúng ta có mt gii pháp tng quát cho bài toán nhân 2
s nguyên dng. Chúng ta nói rng (981, 1234) là mt th hin
(instance) ca bài toán nh vy. Tuy nhiên, (-12, 83.7) không phi là th
hin ca bài toán này vì -12 không là s nguyên dng và 83.7 không
phi là s nguyên. (D nhiên, chúng là th hin ca mt bài toán khác,
tng quát hn bài toán này). Bài toán hay nht là bài toán có tp th hin
không có gii hn. Nhng cng có nhng ngoi l. Chng hn, bài toán
chi c, có ch mt th hin, đc cho bi mt tp hp v trí chung nht
đ xut phát, ngoài ra ch có mt s hu hn các th hin con (các bc
đi, các v trí trung gian hp l). Nhng không th nói rng bài toán này
không có gii thut hay.
Mt gii thut cn phi làm vic đúng vi tt c các th hin ca
mình, cn phi chng minh điu đó.  ch ra mt gii thut không đúng,
chúng ta cn tìm mt th hin mà t đó gii thut cho mt câu tr li sai,
hoc không tìm đc câu tr li. Tuy nhiên, đ chng minh mt gii
thut không đúng là rt khó khn.  ch ra rng gii thut có th áp dng
cho tt c các th hin, chúng ta đã xác đnh mt min xác đnh, đó là
mt tp th hin mà chúng ta xem xét. Gii thut nhân 2 s trong Chng
1 không làm vic vi s âm và hu t, tuy nhiên không th nói gii thut
là không có giá tr. Các th hin ca phép nhân s âm hoc hu t không
nm trong min xác đnh chúng ta đã la chn ban đu.
Các thit b tính toán còn có gii hn kích thc ca các th hin.

Tuy nhiên, gii hn này không làm hn ch gii thut. Máy tính khác
nhau có gii hn khác nhau và thm chí nhng chng trình khác nhau
trên cùng mt gii thut trên thit b nh nhau cng cho kt qu khác
nhau.
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

8
2.2. Hiu qu ca các gii thut
Khi chúng ta có mt bài toán có mt vài gii thut có kh nng
thích hp, chúng ta cn phi la chn mt gii thut tt nht. iu này
đt ra mt câu hi là làm th nào đ chn trong mt vài gii thut đó gii
thut thích đáng hn c.
Nu chúng ta ch có mt hoc hai th hin nh ca bài toán quá
đn gin thì không cn phi chn la k càng quá trong trng hp này
đn gin là chúng ta chn gii thut đ d lp trình, hoc chn chng
trình đã có mà không cn lo lng v các thuc tính lý thuyt ca nó. Tuy
nhiên, nu chúng ta không có đy đ các th hin ca bài toán hoc là
mt bài toán khó thì chúng ta phi la chn k càng hn.
Nhng ngi theo ch ngha kinh nghim thng chn mt gii
thut phù hp vi k thut lp trình và th nghim chúng trên các th
hin khác nhau vi s tr giúp ca máy tính. Nhng ngi theo lý thuyt
chn gii thut phù hp vi xác đnh khi lng có tính toán hc ca các
ngi hc cn thit cho mi bài toán nh là mt hàm trên kích thc ca
th hin cn thit. Ngun hc mà ta quan tâm nht là thi gian tính toán
và không gian lu tr. Trong khuôn kh giáo trình này, chúng ta thng
xuyên so sánh các gii thut trên c s thi gian thc hin nó, khi đó đn
gin là ta s nói nó chy nhanh nh th nào.
Kích thc ca mt th hin thng không là s bit cn thit đ
biu din nó trong máy tính. Tuy nhiên,  đây t " kích thc" đ ch s
lng các thành phn ca mt th hin. Ví d, nói v sp xp thì kích

thc ca th hin là s lng phn t đc sp xp. Tng t nh vy,
khi nói v đ th thì kích thc là s lng các nút hoc các cung (có th
là c hai). Trong các bài toán liên quan đn s nguyên, đôi khi chúng ta
coi hiu nng ca gii thut nh là giá tr ca th hin cn thit hin ti,
(s lng bit cn thit đ biu din giá tr này dng nh phân).
Thun li ca phng pháp lý thuyt là nó không đc vào máy
tính hin ti đang s dng, không chn vào ngôn ng lp trình, thm trí
không chn vào k nng ca ngi lp trình. Da vào đó ta tit kim
đc c thi gian s mt đi do lp trình vô ích mt gii thut không hiu
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

9
qu và c thi gian mt đi do máy tính s kim tra nó. Cao hn na (quan
trng hn) là s nghiên cu hiu qu ca gii thut trên các th hin ca
kích thc. ây là cái không có trong phng pháp kinh nghim (thc
nghim), ni mà s thc hành luôn là kim tra các gii thut ch da trên
mt s nh các la chn th hin tu ý có kích thc va phi. Cng t
đó thng khám phá đc gii thut mi tt hn khi c hai đc s dng
trên các th hin ln, đúng là mt quan đim đc bit quan trng.
Cng có nhng kh nng phân tích gii thut bng phng pháp
lai, hiu qu ca gii thut, mô t dng khuôn mu cho các chc nng
đc xác đnh theo lý thuyt và các tham s s hc cho chng trình và
máy riêng bit đc xác đnh bi kinh nghim, thng nh là phng
pháp hi quy. S dng phng pháp này có th d đoán đc thi gian
thc hin đy đ thc t trên mt th hin quá ln mà ta dùng đ kim
tra. Cn tránh s suy din (ngoi suy) duy nht trên c s mt s lng
nh ca các th hin theo kinh nghim b qua các nguyên lý cn thit.
D đoán mà không có c s lý thuyt là mt kiu làm vic m h, vin
vông.
Nu chúng ta mun đo tng không gian lu tr ca mt gii thut

đc s dng nh là hàm ca kích thc, thì ta s dng bít. Bt k loi
máy tính nào đc s dng, khía nim bit lu tr là không đi, đã xác
đnh. Mt khác, trong phn ln các trng hp, chúng ta mun đo hiu
qa ca gii thut theo thi gian thì không th biu din theo giây
(second) đc vì chúng ta chn mt yu t bt bin, sao cho hai ln thc
hin mt th hin ca cùng gii thut s ch chênh lnh hiu qu bi mt
hng s nhân. Ví d, nu hng s này là 5, ln thc hin đu tiên có thi
gian là 1 giây đ gii quyt mt th hin có kích thc riêng bit thì ln
thc hin th hai (trên máy khác, trên ngôn ng lp trình khác) có thi
gian không lâu hn 5 giây đ gii quyt cùng mt th hin. Chính xác
hn, nu 2 ln thc hin cùng mt gii thut cn thi gian t1(n) và t2(n)
giây đ gii quyt th hin có kích thc n thì luôn tn ti hng s dng
c và d sao cho t1(n) c.t2(n) và t2(n)  d.t1(n) khi n đ ln.
Yu t bt bin có th đc chn làm đn v đo hiu qu ca mt
gii thut bng mt hng s phc hp. Chúng ta nói rng, mt gii thut
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

10
cho mt bài toán nào đó có thi gian thc hin bc t(n), t là mt hàm, nu
nh tn ti mt hng s dng c và s thc hin gii thut có kh nng
gii tt c các th hin kích thc n là có thi gian không ln hn c.t(n)
giây.
S dng giây trong đnh ngha này là không b bó buc, chúng ta
ch cn chuyn hng s thích hp nào đó thì ta gi là mt gii thut có
thi gian bc n, hoc đn gin hn là mt gii thut có thi gian tuyn
tính (linear algorithm). Mt gii thut có thi gian thc hin th hin kích
thc n không nhiu hn c.n
2
giây gi là bc n
2

hoc thi gian bc hai,
gii thut bc 2 (quadratus algorithm). Tng t, mt gii thut bc 3, đa
thc, lu tha (cubie, polynomial, exponential có thi gian bc n
3
, n
k
, c
n
,
tng ng).
Lu ý là bc rt quan trng trong đánh giá hiu qu, bc n
2
, n
3
là
rt khác nhau nu kích thc ln.
2.3. Phơn tích trung bình vƠ phơn tích ti nht
Thi gian thc hin hoc không gian lu tr có th bin đng
đáng k gia hai th hin khác nhau có cùng kích thc.  làm nhng
điu này, hãy xem xét hai gii thut sp xp c bn, gii thut chèn trc
tip (insertion) và gii thut chn trc tip (selection).
Procedure insert (T [1 n])
for i  2 to n do
x T[i] ; j  i-1
while (j>o) and (x< T [j]) do T [j+1]T[j]
j j-1
T[j+1]  x
Procedure select (T[1 n])
for i  1 to n-1 do
min j  i ; minx  T[i]

for j  i +1 to n do
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

11
if T [j] <minx then minj  j
minx  T[j]
T[minj]  T[i]
T[i]  minx
Hãy bt chc thao tác ca gii thut trên mt vài mng nh đ
chc chn rng chúng ta đã bit gii thut làm vic nh th nào. Vòng lp
chính ca Insertion đã xem xét mi phn t ca mng t phân t th hai
đn phn t th n và chèn nó vào v trí thích hp gia các phn t đng
trc nó trong mng. Gii thut Selection chn phn t nh nht ca
bng, đt nó vào làm phn t đu tiên, ri li chn phn t nh nht, tip
theo, đt nó làm phn t th hai ca mng, và c nh vy cho đn ht.
Ly U và V là 2 mng có N phn t, mng U đã đc sp xp
tng dn và mng V đã đc sp xp gim dn.
C hai gii thut có thi gian thc hin V nhiu hn thi gian
thc hin U. Thc t là mng V biu din trng hp vi kh nng xu
nht cho c hai gii thut, không có mng nào vi n phn t li cn nhiu
thi gian x lý nh vy. Gii tht chn trc tip không nhn bit đc
th t gc ca mt mng dã đc sp: Thao tác kim tra “ if T[j] < min x
“ đc thc hin vi s ln nh nhau cho tt c các trng hp. S thay
đi trong thi gian thc hin ch do thi gian thc hin các phép gán
trong phn “then” ca thao tác kim tra này có phi thc hin hay không.
Khi chúng ta lp trình gii thut này và kim tra nó trên máy thì s thy
rng thi gian cn thit đ sp xp s phn t là không nhiu hn 15%
cho dù th t khi đng là đã đc sp xp. Ri chúng ta s bit, gii
thut Selection (T) có thi gian thc hin bc 2, không đm xa gì đn
th t khi đu ca các phn t.

Nu chúng ta so sánh thi gian thc hin bi gii thut Insert(T)
trên cùng hai mng này thì s có nhng nhn xét khác hn. Bi vì điu
kin điu khin ca vòng lp (while) là luôn sai t lúc bt đu, Insert(U)
thc hin rt nhanh ta nói rng nó có thi gian tuyn tính. Vi V, gii
thut Insert(T) có thi gian bâc hai bi vòng lp (while) đã thc hin (i-
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

12
1) ln vi mi giá tr ca i. S bin đng v thi gian thc hin gia hai
th hin là rt đáng k. Hn na, s bin đng còn tng lên theo s lng
phn t đã đc sp xp. Khi chúng ta thc hin gii thut Insert(T) đ
sp xp mt mng 5000 phn t đã sp tng dn thì mt thi gian khôn ít
hn 1/5 giây, trong khi đó mt 210 giây đ sp xp mng đó đã xp gim
dn (tc là 1000 ln lâu hn).
Nu có s bin đi ln xy ra thì làm th nào đ phát hin v thi
gian thc hin gii thut theo kích thc ca các th hin đc gii?
Chúng ta luôn coi trng hp tt nht ca mt gii thut cho mi kích
thc khi mà gii thut đòi hi nhiu thi gian nht. iu này đã gii
thích vì sao trong phn trên ta nói gii thut phi có kh nng gii tt c
các th hin có kích thc n trong thi gian không quá Ct(n) giây vi C
là hng s thích hp. Nu nó chy vi thi gian bc t(n) ta đã có n trong
đó mt trng hp ti nht.
Phân tích trng hp ti nht là thích hp cho các gii thut đáp
ng mt thi gian có hn. Ví d, gii thut điu khin nng lng ht
nhân, điu ct yu là bit đc gii hn trên vì thi gian ca h thng,
bt k các th hin đc bit đc gii quyt. Mt khác, nu mt gii thut
đc s dng nhiu ln trên nhiu th hin khác nhau thì điu quan trng
là ta đánh giá đc thi gian thc hin trung bình trên các th hin có
kích thc n. Chúng ta đã bit rng thi gian thc hin gii thut
insert(T) bin đng gia bc n và bc n

2
nu chúng ta có th tính toán
thi gian trung bình ca gii thut khi gii n! các sp xp khác nhau ca
mng khi bt đu (vi các phn t ca mng là riêng bit) thì chúng ta có
th nói v thi gian sp xp ca mt mng vi v trí phn t là ngu
nhiên. Trong phn sau ta thy rng trc tiên n! ca các hoán v phn t
ca mng s cho thi gian trung bình vn là bc n
2
. Sp xp chèn có thi
gian bc 2  trng hp trung bình và ti nht, mc dù vài trng hp có
th nhanh hn. Ta bit rng, mt vài gii thut sp xp khác có thi gian
bc hai trong trng hp ti nht nhng có thi gian bc nlog(n) trong
trng hp trung bình. Thm chí gii thut này là kém nht trong trng
hp ti nht nhng li có kh nng là gii thut nhanh nht trong trng
hp trung bình vi phng pháp sp xp mng ti ch.
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

13
Phân tích trung bình ca gii thut luôn nh hn phân tích ti
nht. Hn na, phân tích trung bình có th sai nu nh trong thc t các
th hin nghim không đc chn ngu nhiên. Ví d, Insert(T) có thi
gian trung bình bc 2 khi tt c n! kh nng sp xp ca mng đã đc
th nghim. Tuy nhiên, trong nhiu ng dng điu kin này có th không
thc t. Mt chng trình sp xp đc s dng đ cp nht mt tp tin
(file) thng ch yu sp xp mt mng mà các phn t ca nó đã tht s
nm gn đúng v trí, ch còn vài phn t ca nm ngoài v trí. Trng hp
này phng pháp trung bình trên các th hin đc chn ngu nhiên là
mt ví d ti cho hiu qu thc t.
 phân tích đy đ trng hp trung bình đòi hi mt vài tri
thc kinh đin v s phân tán các th hin đc gii. iu này thông

thng là mt đòi hi không thc t. c bit, khi mà mt gii thut li
đc s dng bên trong mt gii thut phc tp hn, s không c tính
đc các th hin s phi xy ra mt cách tht thng.
2.4. Th nƠo lƠ mt thao tác c bn (elementary operation)
Mt thao tác c bn là mt thao tác mà thi gian thc hin nó có
th gii hn trên bi mt hng s ch ph thuc vào mt s thc hin
riêng bit đã đc s dng trên máy tính, trên ngôn ng lp trình, . . .
Nh vy, hng s này không ph thuc kích thc hoc các thông s
khác ca th hin đang đc xem xét. Bi vì chúng ta quan tâm đn thi
gian thc hin giait thut xác đnh trong phm vi mt hng s nhân, nó
ch là, mt s lng các thao tác c bn đc thc hin trong gii thut
mà không quan tâm đn thi gian chính xác ca mi thao tác đó. Chng
hn, khi phân tích mt gii thut đ gii quyt mt th hin vi mt kích
thc nào đó ta thy nó cn a phép cng, m phép nhân và s phép gán giá
tr. Gi s, chúng ta bit dãy phép cng không bao gi thc hin quá t
a
micro giây, phép nhân thc hin không quá t
m
micro giây, phép gán thc
hin không quá t
s
micro giây ( các hng s này đu ph thuc máy đc
s dng đ thc hin gii thut). Phép cng, nhân và gán coi nh là các
thao tác c bn. Tng thi gian t cn có đ gii thut chy xong có th
đc đánh giá nh sau:
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

14
t ≤ a.t
a

+ m.t
m
+ s.t
s
≤ max(t
a
, t
m
, t
s
).( a + m + s)
Nh vy, t đc gii hn bi mt hng s phc hp đc cu to
t s lng ca các thao tác c bn đã đc thc hin.
Thi gian chính xác cho mi thao tác c bn không quan trng,
đn gin ta nói rng mi thao tác đc thc hin trên mt đn v chi phí
thi gian.
Trong mô t gii thut trên đây, mt dòng đn ca chng trình
phù hp vi s lng bin đng ca thao tác c bn, thi gian cn thit
đ tính (T là mng N phân t) x  min { T[i], 1≤ I ≤n}
Tng lên theo n, đó chính là mô t rút gn ca xT[1]
For I  2 to n do
Y T[i] < x then x  T[i]
Tng t, mt vài thao tác toán hc quá phc tp đc coi nh
là thao tác c bn. Nu chúng ta coi phép tính giá tr ca mt giai tha
và kim tra cha ht là đn v chi phí, bt chp kích thc ca các toán
hc nguyên lý Wilson (s nguyên n cha ht (n-1)! + 1 nu và ch nu n
là s nguyên t vi mi n>1) s kim tra mt s nguyên vi hiu qu
đáng kinh ngc:
Function Wilson (n)
{return true if and only if n là nguyên t}

if n chia ht (n-1)! + 1 then return true else return false
Trong ví d  đu ca phn này, chúng ta đã coi phép cng và
phép nhân là các thao tác đn v chi phí, thi gian cn thit cho các thao
tác này gii hn bi mt hng s. Theo lý thuyt, các thao tác này không
phi là c bn vì thi gian cn thit đ thc hin nó tng lên theo đ dài
ca các toán hng.
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

15
Thc t, chúng có th đc coi là thao tác c bn min là các toán
hng có liên quan có kích thc hp lý trong các th hin mà hy vng s
gp. Hai ví d di đây s minh ha cho điu chúng ta nói.
Function Sum(n)
{Tính tng các s nguyên t 1 đn n}
sum  0
For I  1 to n do sum  sum +i
Return Sum
Function Fibonacci (n)
{Tính s hng th n ca dây Fibonacci}
I  1; j 0
For k 1 to n do j i+j
I  j -1
Return j
Trong gii thut Sum, giá tr sum phù hp vi tt c các th hin
mà trong thc t gii thut khi thc hin có th bt gp. Nu chúng ta s
dng máy vi 32 bit biu din s, tt c các phép cng có th thc hin
trc tip vi n không ln hn 65535. Theo lý thuyt, gii thut phi làm
vic vi tt c các giá tr có kh nng ca n. Trong thc t, không mt
máy tính nào có th thc hin phép cng nh là mt đn v chi phí nu n
đc chn đ ln. S phân tích gii thut phi tu theo mc đích ca ng

dng.
Trong trng hp Fibonacci ta có mt trng thái khác, ta tính
đc s cui cùng là n +47, lúc này phép cng j i +j s b tràn ô s hn
trên máy 32 bit.  có kt qu vi n + 65535 ta cn 45496 bit hoc nhiu
hn 1420 t máy
Vn đ cng tng t nh vy, khi ta phân tích các gii thut bao
hàm s thc. Chng hn, tính dãy Fibonacci bng công thc Moivre
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

16
 
 
N
N
N
F


5
1
VI
2
51

( t l này)
Tóm li, đ quyt đnh mt câu lnh b ngoài nhiu đn gin nh
jj+i có là mt thao tác c bn hoc không ta đ cho cách s dng phán
x. Sau đây chúng ta coi phép cng, tr, nhân, chia, ly modulo, toán
t logic, so sánh và phép gán là các thao tác c bn có th thc hin
mt đn v chi phí tr khi có mt gii thích khác.

2.5. Vì sao li phi xem xét hiu qu ca gii thut.
Các thit b tính toán ngày càng chy nhanh hn, mt câu hi là ta
có b cùng trên phí thi gian đ xây dng mt gii thut có hiu qu hay
d dàng hn là ch th h máy tính mi?
Các t tng ch yu đã đc trình bày trong phn này ch rõ
điu đó là không đúng. Gi s, có mt bài toán riêng bit có thi gian
hàm m và mt máy tính có kh nng gii mt th hin có kích thc n
trong 10
-4
x 2
10
giây, tc là khong 1/10 giây, gii kích thc 20 là 10
-4
x 2
20
gn 1000 ln dài hn, khong hai phút. Gii vi kích thc 30 thì
li là 1000 ln dài hn na, gn 1 ngày na. Gi s, máy tính không b
ngt, không có li thì chy c mt nm cng ch gii đc th hin có
kích thc 38.
Gi thit là chúng ta có kh nng tài chính đ mua mt vài cái
máy tính chy nhanh hn gp 100 ln máy nói  trên. Vi cùng gii thut
đó, gii quyt th hin vi kích thc n ch có 10
-6
x 2
n
giây. Vy thì
chy c nm chúng ta cùng ch gii đc mt th hin có 45. Nói chung,
máy tính có kh nng gii th hin kích thc n trong mt khong thi
gian nào đó thì máy tính mi nói s gii đc mt th hin có kích thc
ít nht là n+lg100, khong n+7, trong cùng mt thi gian.

Gi thit chúng ta đu t cùng chi phí đó vào thit k gii thut
đt kt qu là tìm thy mt gii thut bc ba cho bài toán ca chúng ta.
Chng hn, cùng vi máy tính ban đu và gii thut mi vi chi phí thi
gian cho th hin kích thc n là 10
-2
x n
3
giây. Vy thì gii thut th
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

17
hin kích thc 10 mt 10 giây, th hin kích thc 20 mt thi gian gia
1 và 2 phút, nhng th hin kích thc 30 mt 4, 5 phút và mt ngày đ
gii đc th hin kích thc 200, vi mt nm gii đc th hin kích
thc 1500. Ta có đ th sau minh ho cho s so sánh đó:











Gii thut mi mang li mt hiu qu ln hn hiu qu ca vic
mua máy tính mi, gi s chúng ta thc hin c 2 phng án thì hiu qu
đt đc còn ln hn nhiu na.Gii thut mi và máy tính nhanh hn
100 ln máy c s gii đc th hin có kích thc ln hn 4 hoc 5 ln

trong cùng mt khong thi gian (so vi gii thut c và máy c), h s
chính xác là
3
100
. Vi gii thut c, máy mi ta cng 7 vào kích thc
còn gii thut mi, máy mi ta nhan kích thc lên 4 hoc 5 ln (cùng
thi gian). Tuy nhiên, gii thut mi không s dng thích hp vi tt c
các th hn ca bài toán, đc bit là th hin vi kích thc nh. Ta có
th nhn thy rng máy tính c, gii thut mi gii thut mi gii th hin
Thi gian tính bng giây
10
10
3

10
2

10
5

10
4

1
5
10
20
15
25
30

35
Kích thc ca th hin
10
-4
x2
n

10
-6
x2
n

10
-2
xn
3

10
-4
xn
3

Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

18
kích thc 10 mt 10 giây, chm hn 100 ln so vi gii thut c. Gii
thut mi ch tt đi vi th hin có kích thc ln hn 20.
2.6. Mt vƠi ví d
2.6.1 Tính đnh thc
nh thc có vai trò rt quan trng trong đi s tuyn tính và

chúng ta cn tính đc hiu qu ca nó. Có hai gii thut tính đnh thc
ni ting. Mt có c s trên đnh ngha hàm quy hi ca đnh thc, gii
thut kia là kh Gaus- Jordan. Gii thut hi quy cho thi gian t l là n!
đ tính đnh thc ca ma trn n x n, điu này còn xu hn c hàm m.
Ngc li, kh Gauss-Jordan cho thi gian t l n
3
vi cùng tác v.
Chúng ta đã lp trình c hai gii thut trên cùng mt máy tính.
Gii thut Gauss-Jordan tìm ra đnh thc ca ma trn 10 x10 trong 1/100
giây, khong 5 giây mi vi ma trn 100 x 100. Gii thut hi quy mt
20 giây cho mt ma trn 5 x 5 và 10 phút cho ma trn 10 x10. Chúng ta
gi thit rng gii thut hi quy cn 10 triu nm đ tính đnh thc ca
ma trn 20 x20, công vic đc thc hin hn hn bi gii thut Gauss-
Jordan trong 1/20 giây.
Qua ví d này, không có ngha là gii thut đ quy là không tt,
ngc li nó có vai trò c bn đ thit k thut toán có hiu qu cao. c
bit, có gii thut đ quy tính đnh thc ca ma trn n x n trong thi gian
t l vi n
lg7
= n
2,81
ngi ta đã chng t rng kh Gauss – Jordan không
phi là ti u.
2.6.2 Sp xp
Bài toán sp xp là mt bài toán rt quan trng ca khoa hc máy
tính, đc bit là trong thit k và phân tích gii thut. Bài toán đòi hi
chúng ta sp xp li n đi tng trong mt tp hp đi tng vi th t
đã quy đnh. Các đi tng khi so sánh có th t trong min giá tr ca
nó, ví d min s nguyên, s, ngày tháng, lu ý là tp hp đi tng phi
đng nht và ta coi là sp xp tng dn.

Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

19
Bài toán sp xp cha đng nhiu gii thut lý thú và đôi khi
phc tp.  phn trên ta đã làm quên vi hai gii thut. Chèn và chn
trc tip, c hai gii thut này đu có thi gian bc 2 trong c trng hp
trung bình và ti nht.
Mc dù, 2 gii thut này là tuyt vi vi n nh nhng vn còn
nhng gii thut khác nhau có hiu qu cao hn nhiu vi n ln, chng
hn gii thut xp đng (heapsort), trn (mergesort) hay gii thut nhanh
ca Hoare (quick sort). Tt c nhng gii thut này có thi gian bc
n.logn trong trng hp trung bình, heapsort và mergesort cùng có thi
gian n.logn trong trng hp ti nht.
 làm sáng t s khác nhau thc t gia thi gian bc n
2
và bc
n logn, chúng ta đã lp trình Insert sort và Quicksort trên cùng mt máy.
S khác nhau v hiu qu gia hai gii thut này khá sit sao khi s lng
phân t đc sp xp là nh. Quicksort thc s nhanh hn 2 ln khi sp
50 phn t Insertsort mt nhiu hn 3 giây còn qucicsort cn ít hn 1/5
giây. Khi có 5000 phn t đc sp xp thì hiu qu kém ca Insert sort
bt đu b l ra, nó mt mt phút na cho trng hp trung bình còn
Quicksort ít hn 1 giây. Trong 30 giây, Quicksort có th sp đc
100.000 phn t, chúng ta phi mt 9 giây ri cho công vic nh vy
vi Insertsort.
 phn sau ta s bit rng không có gii thut sp xp nào da
trên so sánh các phn t đc sp có thi gian nhanh hn bc nlogn. Tuy
nhiên, gii thut nhanh nht đc tìm ra trong trng hp đc bit. Gi
s, phn t đc sp xp là các s nguyên có giá tr nm gia 1 và
10.000, gii thut sau đây đã đc s dng:

Procedure ngn kéo (T[1 n])
array U[1 10.000]
For k1 to 10000 do U[k] 0
For i  1 to n do
k  T[i]
U [k]  U[k] +1
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

20
i  0
For k 1 to 10000 do
While U[k] 0 do
i  i+1
T[i]  k
U[k]  U [k] -1
 đây U là mng “ngn kéo” cho các phn t đc sp .
Ti đó, phi phân tích các ngn kéo cho các phn t có kh nng
tìm thy trong T. Vòng lp đu tiên xáo ngn kéo, vòng lp th hai đt
mi phn t ca T vào mt v trí thích hp và vòng lp th ba ly chúng
ra theo th t tng dn.  thy gii thut này có thi gian bc n ( đây
n đi mt hng s bi ph thuc vào gii hn giá tr ca các phn t, 
đây là 10000)
2.6.3 Phép nhân s nguyên ln
Khi chúng ta tính toán vi s nguyên quá ln, các toán hng ca
nó là quá dài đ cha trong mt t máy ca máy tính đang s dng.
Trong các ngôn ng lp trình hin nay đu có các phng thc tính s
ln chng hn đ chính xác kép, s nguyên dài nhng chúng ta phi
xác đnh thi gian cn thit đ cng, tr, nhân, chia các s nguyên ln
theo kích thc các toán hng. Kích thc này có th đo bi s t máy
cn đ biu din toán hng hoc đ dài biu din nó dng thp phân (s

ch ca nó vit dng thp phân) hoc nh phân.
Trong phn này, chúng ta ch xem xét phép nhân. Phân tích phép
cng, tr, khá đn gin ta coi nh bài tp. Gi s, ta có phép nhân 2 s
nguyên ln có kích thc tng ng là m và n (không ln ln nó vi giá
tr ca s nguyên) gii thut phân lp đc tính trong phn trc d dàng
phù hp vi ng cnh ca chúng ta. Chúng ta thc hin nhân mi s ca
toán hng này vi mi s ca toán hng khác và thc hin mt phép cng
cho mi phép nhân đó. Trên máy tính chúng ta nhân mi t ca mt toán
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

21
hng vi mi t ca toán hng khác và làm phép cng đ dài gp đôi cho
mi phép nhân đó. Thi gian cn thit đ nhân bc m.n.
Phép nhân kiu Nga cng có bc m.n.
Gii thut có hiu qu cao đ nhân hai s nguyên ln là gii thut
chia đ tr có thi gian bc n.m
log(3/2)
hoc gn đúng là n.m
0.59
,  đó n>m.
Nu c hai toán hng cùng có đ dài n thì bc thi gian là n
1.59
. Gii thut
này có thi gian nh hn bc hai so vi c hai gii thut phân lp và gii
thut Nga.
S khác nhau gia bc n
2
và n
1.59
nh hn s khác nhau gia bc

n
2
và nlogn (không đp bng). Chúng ta đã kim tra điu này bng mt
chng trình chy trên gii thut chia đ tr và mt chng trình trên gii
thut phân lp và kim tra nó bng các s hng có kích thc khác nhau.
Chng trình chia đ tr tính trên s có 600 ch s ht 300 mi li giây.
Tng đ dài toán hng lên gp 10 ln thì mt là 15 giây, cái kia là 40 giây
(nhanh hn gp 3 ln). Hiu qu chia đ tr tip tc tng lên khi đ dài
toán hng tng lên.
2.6.4 Tìm c s chung ln nht
Cho m và n là hai s nguyên dng, vi c s chung ln nht
ca m và n kí hiu ucln(m,n) là hai s nguyên ln nht chia ht c m và
n. Khi ucln (m,n) = 1 ta gi đó là 2 s nguyên t cùng nhau. Chng hn,
ucln (10,u) =1 và ucln (6,15)= 3 thì 10 và 21 là nguyên t cùng nhau còn
6 và 15 thì không. Ta có gii thut sau xut phát t đnh ngha.
Function ucln (m,n)
i min (m,n) +1
repeat i  i-1 until i chia ht c m và n
return i
Gii thut này có thi gian là s chênh lch gia s nh nht
(trong hai s) và c chung ln nht. Khi m và n tng đng kích thc
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

22
và nguyên t cùng nhau thì thi gian ca gii thut bc n (chú ý là n là
giá tr toán hng ch không phi là kích thc).
Gii thut kinh đin tính ucln (m,n), đu tiên phân tích m,n ra
thành tích ca các thc s nguyên t, sau đó ly tích ca các thc s
chung vi s m nh nht trong c 2 tích ca m và n, kt qu đt đc
chính là ucln (m,n).

Ví d: ucln (120,700), phân tích ta có 120 = 2
3
x 3 x5 và 700 = 2
2

x 5
2
x 7. Tha s chung cho c hai là 2 và 5, s m nh nht ca chúng
trong c hai tính tng ng là 2 và 1, t đó ta có ucln (120,700) = 2
2
x 5
1

= 20. Gi thut này đòi hi chúng ta phân tích m và n ra các tha s
nguyên t, mt thao tác mà không ai đánh giá đc hiu qu khi m và n
là các s ln.
Mt gii thut có hiu qu hn mà ta đã bit chính là gii thut
Euclid
Function Euclid (m,n)
While m > 0 do
t m
m  n modm
n  t
return n
Nu chúng ta coi thao tác s hc có mt hng s thi gian nào đó
thì gii thut này có thi gian bc logarit.
2.6.5 Tính dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci chúng ta đã bit là nó đc đnh ngha nh sau:
f
0

= 0; f
1
= 1
f
n
= f
n-1
+ f
n-2
n≥2
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

23
c th là dãy bt đu nh sau: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,37. . . và chúng ta cng
đã bit công thc Moivre
 
 
nn
n
f


5
1

 đó
2
51

là t l bng, và s hng

 
n

có th b qua
khi n khác ln, vì vy giá tr ca f
n
tu thuc vào
n

và kích thc ca f
n

tu thuc vào n. Tuy nhiên, công thc này cn đn s tr giúp cu
phng thc tính chính xác s thc.
Gii thut đ quy đc xây dng t đnh ngha ca dãy Fibonacci
nh sau:
Function Fibrec(n)
if n>2 then return n
else return Fibrec (n-1) +Fibrec(n-2)
Gii thut này rt không hiu qu vì tính toán li cùng mt giá tr
nhiu ln. Chng hn, đ tính Fibrec (5) chúng ta cn giá tr ca Fibrec(4)
và Fibrec(3) đc tính hai ln, Fibrec (2) là 3 ln, Fibrec(1) là 5 ln và
Fibrec(0) là ba ln.
Gii thut th hai tính dãy Fibonacci nh sau:
Function Fibiter (n)
i1 ; j 0
For k1 to n do j  i+j
i  j-i
Return j
Gii thut th hai này có thi gian bc n nu chúng ta coi mi

phép cng nh là mt thao tác c s. Ngi ta đã làm chng trình so
sánh hai gii thut
Chng 2. Các khái nim c bn Nguyn V Quc Hng-Nguyn Qunh Dip

24
N
10
20
30
50
100
Fibrec
8 msec
20
2 min
21 days
10 year
Fibiter
1/6 msec
1/3 msec
msec
3/4 msec
2
1
1
msec
Nu chúng ta không coi phép cng là phép tính c s thì Fibiter
có thi gian bc n
2
, vn còn nhanh hn rt nhiu so vi thi gian hàm m

ca Fibrec.