on lop 10 toan rat hay theo chu de

Chuyên đề 1: CĂN THỨC
1. Cho
( ) ( )
( )
3 3
2
2
1 1 1 1
2 1
x x x
P
x
+ − + − −
=
+ −
.
a) Rút gọn
P
.
b) Tính giá trị của
P
khi
1
2
x =
. Từ đó tính
α
sao cho
sin P
α
=

.
2. Cho
2
1 1
:
x
A
x x x x x x
+
=
+ + −
.
a) Rút gọn
A
và nêu điều kiện của
x
để
A
có nghĩa.
b) Coi
A
là một hàm số với biến
x
. Vẽ đồ thị hàm số
A
.
3. Cho
2 1 2
1 .
1

1 2 1
x x x x x x x x
A
x
x x x
 
+ − − + −
= + −
 ÷
−
− −
 
.
a) Tìm điều kiện của
x
để
A
có nghĩa.
b) Tính
x
nếu
6 6
5
A
−
=
.
c) Chứng minh rằng :
2
3

A ≤
là bất đẳng thức sai.
4. Cho
3 3 4 5 4 2
:
9
3 3 3 3
x x x x
A
x
x x x x x
   
+ − +
= − − −
 ÷  ÷
−
− + − −
   
.
a) Rút gọn
A
.
b) Tìm điều kiện của
x
để
A A> −
.
c) Tìm
x
để

2
40A A=
.
5. Cho
( )
2 2
2
2
4 2
8 48 0B a a a
a a
   
= + − + + ≠
 ÷  ÷
   
.
a) Rút gọn
B
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
B
khi
a
thay đổi.
6. Cho
5 4 9
3
3
3
2 4

1 1
m m m
A
m
+ +
=
− −
.
Rút gọn
A
rồi tính giá trị của
A
khi
3
2 2m =
.
7. Cho
( )
2 2 2 1 2 8 6 2 1A x x x x x= − − + + − −
.
a) Tìm đoạn
[ ]
;a b
sao cho
( )
A x
có giá trị không đổi trên đoạn đó.
b) Tìm
x
sao cho

( )
4A x >
.
1
8. Cho
2 2
16 2 9 2 7x x x x− + + − + =
. Tính :
2 2
16 2 9 2A x x x x= − + − − +
.
9. Cho
4 4 4 4A x x x x= + − + − −
.
a) Tìm
x
để
4A =
.
b) Tìm
x
để
A
đạt giá trị nhỏ nhất.
10. Cho
3 3 3 3
2 6
,
2 2 2 4 2 2 2 4
x y= =

+ + − +
. Tính
( )
2 2
M xy x y
= −
.
11.Rút gọn các biểu thức sau :

2 3 5 13 48
8 41
,
6 2
45 4 41 45 4 41
A B
+ − +
= =
+
+ + −
.
12. Cho
(
)
3 3 3
3
8 3 5 64 12 20 . 8 3 5
57
A
− + − +
=

,
3 3
4 4
3 3
9 2 2 9 9
3 2 2 81
B
− −
= +
+ −
.
Chứng minh :
. 12A B =
.
13.Chứng minh các biểu thức sau là một số vô tỷ :

2 3 6 8 4
2 3 4
P
+ + + +
=
+ +

( )
2 3
: 2 1
6 3 2 1
Q
+
= +

− + −
14. Cho
( )
1 1
: 3 2
1 7 24 7 24 1
A
 
= − −
 ÷
 ÷
+ − + −
 
.
Chứng minh :
A
là một số nguyên.
15. Rút gọn biểu thức :
1 1 1

1 2 2 3 99 10
M = + + +
+ + +
.
2
Chuyên đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Giải các phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn số phụ thích hợp :

2 2
2

2
2 2 4
10 11 0
1 1 1
x x x
x x x
 
− + −
   
+ − =
 ÷
 ÷  ÷
+ − −
   
 

( ) ( )
2 2
4 3 . 6 8 15x x x x− + − + =

2 2
90
1 1
x x
x x
   
+ =
 ÷  ÷
+ −
   


( )
3 3
3
2 3 12 1x x x
+ − = −
.

2
3 2
1
5 3 3 2 3
2 2
x
x x x x+ + − + = +
.

( ) ( ) ( )
1
1 . 4 3 4 . 18 0
4
x
x x x
x
+
+ − + − − =
−
.

( ) ( )

2 2 2
2 3 1 . 2 3 1 9x x x x x− + + + =
.

2 2 2
16 64 2 8 16 0x x x x x− + − − + + =
.

( ) ( )
2
2 2 4
1 5 1x x x x+ + = + +
.

( ) ( )
4 4
6 8 16x x− + − =
.

3
3
2 2 1 1 0x x− − + =
.

( ) ( )
5 . 5 3 . 3
2
5 3
x x x x
x x

− − + − −
=
− + −
.

3
18 7 5x x− + + =
.

4 4
18 1 3x x− + − =
.

2 2
4 5 3
3 5 3 2
x x
x x x x
+ = −
+ + − +
.

5 5
. . 6
1 1
x x
x x
x x
− −
 

+ =
 ÷
+ +
 
.
2. Tìm các nghiệm nguyên
( )
,x y
hoặc
( )
, ,x y z
của các phương trình và hệ phương
trình dưới đây:

( ) ( ) ( )
2
1 2 3x y y y y= + + +
.

2
2
2 2 1
x y z
x xy x z
− + =


− + − =

3


2 2 2
3
1
x y z
x y z
− − = −


− − =


2 83xy x y+ + =

3
xy zx yz
z y x
+ + =

2
2 2 5 19x xy x y− = + −
.
3. Giải các phương trình, hệ phương trình khác dưới đây:

2
1 1
2
2
x
x

+ =
−

2 2 2 4
4 1 4 2 3 16 5x x x y y x y
− + + + + − − = − − +
.

4 3 2
2 21 74 105 50 0x x x x− + − + =

21 1 5
1 4 1 7
x x
x x

+ − − =


+ + − =



1 5 1
5 1
x y
y x
 − + − =



= + −



2 2
2 2
2 15 4 12 45 24 0
2 3 3 0
x xy y x y
x y x y xy

− + − + − =


− − + + =



( ) ( )
3 2 2
3 9 6 5 0x m x m x m m+ − + − + − + =

4 4 4
1x y z
x y z xyz
+ + =


+ + =



0
3
2
x y z
xy yz zx
xyz
+ + =


+ + = −


= −


2 2
3
2
x xy y
x y xy
+ + =


+ =


2
2
3 10

4 6
x xy
y xy

+ =


+ =



16
15
7
xt yt
xy yt
xy xt
+ =


+ =


+ =


2 2 2 2
1
1
x y z t

xy yz zt tx

+ + + =

+ + + =

4

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
. 9
. 5
x y x y
x y x y

+ − =


− + =



( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3 . 3 5 2 4 54 5 1x x x x x− + + − + + = − −


( ) ( ) ( ) ( )
1 . 2 . 6 . 3 34x x x x− + − − =
.

( )
( )
2 2
1
1999 1999 2000 2000 2001
x y
x y y x x y xy

+ =


− = − + + +



2 5 2 3 2 5 2 2 2x x x x+ − − + − − + =
.

( ) ( ) ( ) ( )
2
4 5 . 6 . 10 . 12 3x x x x x+ + + + =
.
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
6 3 2
2 2 64x x y y− + =
.

 Phân tích biểu thức
2 2
2 2x x xy y y+ − − −
thành nhân tử. Từ đó giải hệ :

2 2
2 2
2 2 0
1
x x xy y y
x y

+ − − − =


+ =


 Tìm các số nguyên
, ,a b c
thỏa mãn điều kiện :

2 2 2
3
1
a b
a b c
a b c

<


+ = +


= + +

 Tìm các số nguyên
,a b
để
1 3x = +
là nghiệm của phương trình sau :

3 2
3 12 0x ax bx+ + + =
 Giải phương trình :
4 2
4 8 3 0x x x− + + =
.
 Cho phương trình :
( ) ( ) ( ) ( )
1 . 2 . 3 . 4x x x x m+ + + + =
.
Biết rằng phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
. Chứng minh :

1 2 3 4
. . . 24x x x x m= −
.

5
Chuyên đề 3: BẤT ĐẲNG THỨC. GIÁ TRỊ MIN, MAX
1. Cho
, ,a b c
là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh :

( )
2 2 2
2ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + < + +
Khi nào có đẳng thức xảy ra ?
2. Giả sử
; ; 0x z y z z> > >
. Chứng minh :
( ) ( )
z x z z y z xy− + − ≤
.
3. Cho
0xy >
và
1x y+ =
. Chứng minh :
( )
4 4
1
8 5x y
xy
+ + ≥
.
4. Cho 3 số phân biệt

, ,a b c
. Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số sau đây
là số dương :

( ) ( ) ( )
2 2 2
9 , 9 , 9x a b c ab y a b c bc y a b c ca= + + − = + + − = + + −
5. Chứng minh rằng : nếu
,a b
thỏa mãn :
1; , 0a b a b+ ≥ >
thì
4 4
1
8
a b+ ≥
.
6. Chứng minh :
( ) ( ) ( ) ( )
10 10 2 2 8 8 4 4
. .x y x y x y x y
+ + ≥ + +
.
7. Chứng minh rằng : nếu
, ,a b c
là các số đôi một khác nhau và
0a b c+ + <
thì

3 3 3

3 0P a b c abc= + + − <
8. Chứng min rằng :
( )
2
1 1 1 1

9 25 4
2 1n
+ + + <
+
nếu
n
là số tự nhiên.
9. Chứng minh rằng nếu
, 0p q >
thì :
2 2
p q
pq
p q
+
≥
+
.
10. Chứng minh rằng :
2
1 1 1
1k k k
< −
−

với
, 2k k∈ ≥¥
. Từ đó suy ra :

2 2 2
1 1 1 1
1 2
2 3 n n
+ + + + < −
(
2 n≤ ∈¥
)
11. Cho hai số
,x y
thỏa mãn :
x y>
và
1xy =
. Chứng minh :
2 2
2 2 0
x x
x y
+
− ≥
−
.
12. Cho
ABC∆
có các cạnh thỏa mãn :

a b c≤ ≤
. Chứng minh :
( )
2
9a b c bc+ + ≤
13. Ba số dương
, , 2a b c <
. Chứng minh rằng 3 số
( ) ( ) ( )
2 , 2 , 2a b b c c a− − −

không đồng thời lớn hơn 1.
14. Ba số dương
, ,a b c
thỏa mãn
a b c> >
. Chứng minh :

b c
a b a b a c a c
<
+ − − + − −
15. Cho
, 0x y >
và
1x y+ =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2
1 1

1 . 1P
x y
 
 
= − −
 ÷
 ÷
 
 
16. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số :
2002 2003y x x= − + −
.
6
17. Cho
2
2
2 2000a a
M
a
− +
=
(
0a ≠
). Tìm
a
để
M
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá
trị nhỏ nhất đó.
18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của :

2
2
8 7
1
x x
M
x
+ +
=
+
.
19. Các số
, ,a b c
thỏa mãn điều kiện :
2 2 2 2
7
13
x a b c
x a b c
+ + + =


+ + + =

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
x
.
20. Tìm cặp số
( )
,a b

thỏa mãn đẳng thức :
2
1. 1a b b a− = − −
sao cho
a
đạt
giá trị lớn nhất.
21. Cho
6 4 3 2
27, 3 6 9 9P x Q x x x x= + = − + − +
.
a) Rút gọn biểu thức
P
y
Q
=
.
b) Tìm
x
để
y
có giá trị nhỏ nhất.
22. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
2
2
18 48 52
9 24 21
x x
y
x x

− +
=
− +
.
23.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

2
2 1
2
x
y
x
+
=
+

2
3
2 2 7
y
x x
=
+ − +
.
24. Với giá trị nào của
,a b
thì :
2 2
3 3 2003M a ab b a b= + + − − +
đạt giá trị nhỏ

nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
25. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
6 6
A x y= +
biết
2 2
1x y+ =
.
26. Cho các số dương
, ,x y z
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1x y z+ + ≥
. Chứng minh :

3 3 3
1
x y z
y z x
+ + ≥
.
27. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức :
( )
4
2
2
1
1
x
A

x
+
=
+
.
28. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
( )
2
2
2 2002
x
f x
x x
=
− +
.
29. Chứng minh rằng :
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +

, ,a b c∀
.
30. Chứng minh rằng :
( )
4 4 4
x y z xyz x y z+ + ≥ + +
.
Chuyên đề 4: ĐA THỨC VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
7
1. Cho

2
3 2
5
,
3 2 2 2 12
x a b
P Q
x x x x x
+
= = +
− − − + +
. Với giá trị nào của
,a b
thì
P Q=
với mọi giá trị của
x
trong tập xác định của chúng.
2. Cho
( )
( )
( )
2
2
2 2 13
1
2
1
2 . 1
x x A B x C D x E

x
x
x
x x
+ + + +
= + +
+
−
+
− +
.
Tìm
, , , ,A B C D E
để đẳng thức trên đúng với mọi
0 4x< ≠
.
3. Cho
5
;A n n= −
với
n∈¡
.
a) Phân tích
A
thành nhân tử.
b) Tìm
n
để
0A =
.

c) Chứng minh rằng :
A
chia hết cho 30.
4. Chứng minh rằng : nếu
,x y
là những số nguyên thỏa mãn điều kiện
2 2
x y+

chia hết cho 3 thì cả
,x y
đều chia hết cho 3.
5. Tìm giá trị của
,p q
để đa thức
4
1x +
chia hết cho đa thức
2
x px q+ +
.
6. Cho đa thức
( )
4 3 2
14 71 154 120A x x x x x= − + − +
với
x ∈¢
.
a) Phân tích
( )

A x
thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng đa thức
( )
A x
chia hết cho 24
7. Cho
( ) ( )
1970 1930 1890 20 10
, 1P x x x x Q x x x= + + = + +
. Chứng minh rằng khi
x

nguyên thì
( )
P x
chia hết cho
( )
Q x
.
8. Tìm tất cả các số nguyên
x
để
2
7x +
chia hết cho
2x −
.
9. Một đa thức chia cho
2x −

thì dư 5, chia cho
3x −
dư 7. Tính phần dư của
phép chia đa thức đó cho
( ) ( )
2 3x x− −
.
10. Cho
( )
4 2
3P x x x ax b= − + +
và
( )
2
3 4Q x x x= − +
. Với giá trị nào của
,a b

thì
( )
P x
chia hết cho
( )
Q x
.
11. Cho biết tổng các số nguyên
1 2
, , ,
n
a a a

chia hết cho 3. Chứng minh rằng :
8

3 3 3
1 2

n
A a a a= + + +
cũng chia hết cho 3.
12. Chứng minh rằng :
2
7.5 12.6
n n
+
luôn chia hết cho 19, với mọi số tự nhiên
n
.
13. Tìm các số nguyên
a
để biểu thức
( ) ( )
1993 3x a x− − +
phân tích được thành
2 đa thức bậc nhất với hệ số nguyên.
14. Tìm
,a b
để phương trình sau có nghiệm là mọi số thực
, 1, 2x x x≠ ≠
.

2
4 7
3 2 1 2
x a b
x x x x
−
= +
− + − −
15. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
10 5
1x x+ +
.
16. Cho đa thức
( )
5 3
5 ; P x x x x= − ∈¢
.
a) Phân thức đa thức
( )
P x
thành nhân tử.
b) Tìm
x
để
( )
P x
triệt tiêu.
c) Chứng minh rằng
( )
P x

chia hết cho 120.
17. Tìm đa thức
( )
P x
biết rằng khi chia
( )
P x
cho
1x −
dư
3−
; khi chia
( )
P x

cho
1x +
dư 3, khi chia
( )
P x
cho
( )
2
1x
−
được thương là
2x
và còn dư.
18. Cho
( )

3 2
1993 1991
3 2 6
x x x
A x = + +
. Chứng minh rằng : khi
x
là số nguyên thì
( )
A x
cũng nhận giá trị là số nguyên.
Chuyên đề 5: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
9
1. Cho hai hàm số
( ) ( )
2
6 5, 2y f x x x y g x x m= = + + = = +
. Vẽ đồ thị
( )
y f x=
rồi tìm giá trị của
m
để đồ thị hàm số
( )
y g x=
chỉ có một điểm
chung với đồ thị
( )
y f x=
. Trong trường hợp hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm

M N≠
. Tìm tọa độ trung điểm
I
của đoạn thẳng
MN
.
2. Cho hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là nghiệm của phương trình :

( )
2
2 1 3 1 0x m x m− + + + =
a) Tìm
m
để hình chữ nhật trên tồn tại.
b) Gọi
,C S
theo thứ tự là chu vi và diện tích của hình chữ nhật đó. Vẽ đồ thị
biểu diễn sự biến thiên của
,C S
theo
m
trên cùng một$hệ tọa độ. Hai đồ
thị của
,C S
có cắt nhau không ?
3. Cho hệ tọa độ Oxy và 2 điểm
( ) ( )
2; 2 , 4; 8M N− − −
a) Viết phương trình ba đường thẳng chứa 3 cạnh
OMN∆

. Chỉ rõ giới hạn
của
x
để trên đường thẳng đó ta được 3 đoạn thẳng là 3 cạnh của
OMN∆
.
b) Viết phương trình đường Parabol có đỉnh ở
O
và đi qua
M
. Chứng minh
Parabol đó đi qua
N
.
c) Vẽ các đoạn thẳng và Parabol trên cùng một hệ trục tọa độ.
4. Cho hệ tọa độ Oxy và 3 điểm
( ) ( ) ( )
2;5 , 1; 1 , 4;9A B C− −
.
a) Lập phương trình đường thẳng
BC
.
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng
2 7 0; 3x y y+ − = =
và
BC
là những
đường thẳng đồng quy.
c) Chứng minh rằng :
, ,A B C

là 3 điểm thẳng hàng.
5. Vẽ đồ thị hàm số
2 1 3y x= − −
.
6. Cho hàm số
[ ]
(
]
2
2
1
3;0
2
0;2
x x
y
x x

∀ ∈ −

=


− ∀ ∈

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
10
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
2; 4A −

tiếp xúc với phần
đường Parabol
2
1
2
y x=
đã vẽ ở trên.
7. Cho hàm số
( )
2 2
2 1 1y x k x k= − + + −
.
a) Tìm
k
để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm
1 2
,x x
thỏa mãn :
1 2
0x x< <
và
2 1
x x>
.
b) Tìm
k
để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm đối nhau qua gốc tọa độ.
Tìm 2 điểm đó.
8. Vẽ đồ thị hàm số
2

3
4
y x= −
.
9. Vẽ đồ thị hàm số
2
4y x= −
. Từ đó hãy suy ra đồ thị hàm số
2
4y x= −
.
10. Cho hàm số :
2
y mx nx p= + +
.
a) Tìm
, ,m n p
biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, và đi qua điểm
( )
2;3
.
b) Tìm giao điểm còn lại của đồ thị hàm số với trục hoành.
c) Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng
1 0y x− + =
.
11. Cho hàm số :
( )
2 3 1y m x= − −
.

a) Tìm
m
để đồ thị hàm số song song với đường thẳng
5 3y x= − +
.
b) Tìm
m
để đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
1;0A −
.
c) Tìm
m
để đồ thị hàm số đã cho và các đường thẳng
1; 2 5y y x= = −
đồng
qui tại một điểm.
12. Cho hàm số
2
2 3
1
x x
y
x
− + +
=
−
. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên
khoảng
( )

1945;1993
.
13. Lập phương trình đường thẳng
( )
d
đi qua 2 điểm
( )
1; 1A −
và
( )
5;7B
. Tìm
m
để đường thẳng
3 2 9y x m= − + −
cắt đường thẳng
( )
d
tại một điểm trên
trục tung.
14. Vẽ đồ thị hàm số :
2y x x= + −
. Từ đó giải phương trình
2 2x x= − −
.
11
15. Chứng minh các đường thẳng có phương trình :
( )
2 1 4 2003y m x m= − − +

luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của
m
.
16. Cho parabol
( )
2
1
:
4
P y x= −
và đường thẳng
( )
: 2 1d y mx m= − −
a) Vẽ parabol
( )
P
. Tìm
m
để
( )
d
tiếp xúc với
( )
P
.
b) Chứng minh rằng
( )
d
luôn đi qua một điểm cố định.
17. Cho hàm số

( )
2
2 2 3 1y mx m x m= + − − +
. Chứng minh đồ thị hàm số trên
luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của
m
. Tìm
m
để đồ thị trên là
một parabol. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà không có Parabol nào
nói trên đi qua.
18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
ABC∆
. Biết phương trình đường thẳng
AB

là
1 1
2 2
y x= +
; Phương trình đường thẳng
:3 4 1 0AC x y− + =
và trung điểm
cạnh
BC
là
( )
4;3M
. Lập phương trình đường thẳng
BC

.
19. Cho parabol
( )
2
: 3P y x=
trong hệ tọa độ Oxy. Tìm
m
để đường thẳng
y x m= +
cắt
( )
P
tại 2 điểm phân biệt
,A B
sao cho
OA OB⊥
.
20. Tìm miền xác định của hàm số :
2 4 2
5 6y x x x x= − + + −
.
21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol
2
1
2
y x= −
và điểm
( )
0; 2I −
và

điểm
( )
;0M m
với
0m ≠
là tham số.
a) Vẽ parabol đã cho.
b) Viết phương trình đường thẳng
( )
d
đi qua 2 điểm
,M I
. Chứng minh rằng
( )
d
luôn cắt parabol đã cho tại 2 điểm phân biệt
,A B
với độ dài
4AB
>
.
Chuyên đề 6: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
12
Bài toán chuyển động
1. Hai bến sông
,A B
cách nhau 126 km. Một tàu thủy khởi hành từ
A
xuôi dòng
về

B
. Cùng lúc đó có một đám bèo trôi tự do cùng chiều với tàu. Khi tàu về
đến
B
liền quay trở lại ngay và khi tàu về đến
A
tính ra hết 16 giờ. Trên
đường trở về
A
, khi còn cách
A
28 km thì gặp lại đám bèo nói trên. Tính vận
tốc riêng của tàu thuỷ và vận tốc của dòng nước chảy.
2. Lúc 9 giờ sáng một chiếc bè trôi tự do từ
A
đến
B
dọc theo bờ sông. Cùng
lúc đó một chiếc thuyền khởi hành từ
B
đến
A
và sau 5 giờ thì gặp chiếc bè.
Khi về đến
A
, thuyền quay lại
B
ngay và về tới
B
cùng một lúc với chiếc bè.

Hỏi thuyền và bè có kịp đến
B
vào lúc 21 giờ ngày hôm đó hay không ?
3. Hai người đi bộ cùng khởi hành từ
C
để đi đến
A
và
B
(
C
nằm giữa
,A B
).
Người thứ nhất đi đến
A
, người thứ 2 đi đến
B
. Sau khi đến nơi cả hai quay
lại ngay và họ gặp nhau ở trung điểm đoạn
AB
. Nếu ngược lại, người thứ
nhất đến
B
và người thứ 2 đến
A
thì người thứ nhất sau khi đến
B
quay lại
ngay và đuổi kịp người thứ 2 tại

A
. Tính khoảng cách từ
C
đến
A
và tỷ số
vận tốc của 2 người biết rằng đoạn
AB
dài 2 km.
4. Một người đi từ
A
đến
B
rồi quay lại
A
ngay mất tất cả 3 giờ 41 phút. Đoạn
đường
AB
dài 9 km gồm một đoạn lên dốc, tiếp đó là một đoạn đường bằng,
cuối cùng là một đoạn xuống dốc. Hỏi đoạn đường dài bằng bao nhiêu km,
nếu biết vận tốc của người xuống dốc là 4 km/giờ, lúc đi đoạn đường bằng là
5 km/giờ và xuống dốc là 6 km/giờ.
5. Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ
A
đến
B
. Xe thứ nhất trong số thời
gian cần thiết để đi hết đoạn đường
AB
thì nửa thời gian đầu nó đi với vận tốc

50 km/h; nửa thời gian còn lại đi với vận tốc 40 km/h. Xe thứ 2 trong nửa
đoạn đường đầu nó đi với vận tốc vận tốc 40 km/h; nửa đoạn đường sau nó đi
với vận tốc 50 km/h. Hỏi 2 xe đó có đi cùng về đến
B
một lúc không ?
6. Trên tuyến đường
ABCx
có 2 người cùng khởi hành từ 2 địa điểm
B
và
D
.
Người ở
B
đi với vận tốc 20 km/h. Người ở
C
đi với vận tốc 40 km/h. Người
ở địa điểm
A
khởi hành sau một giờ và đi với vận tốc 48 km/h. Biết
AB
dài
13
22 km còn
BC
dài 42 km. Hỏi sau bao lâu người đi từ vị trí
A
sẽ cách đều
người đi từ vị trí
,B C

.
Bài toán công việc
7. Một bể đựng nước có 2 vòi : vòi
A
đưa nước vào và vòi
B
tháo nước ra. Vòi
A
từ khi nước cạn tới khi nước đầy (có đóng vòi
B
) lâu hơn 2 giờ so với vòi
B
tháo nước tù khi bể đầy tới khi bể cạn (có đóng vòi
A
). Khi bể nước chứa
1/3 thể tích của nó nếu người ta mở cả 2 vòi thì sau 8 giờ bể cạn nước. Hỏi
sau bao nhiêu giờ riêng vòi
A
có thể chảy đầy bể ? Sau bao nhiêu giờ riêng
vòi
B
có thể tháo hết nước trong bể ?
8. Hai vòi nước cùng chảy thì sau 5 giờ 50 phút sẽ đầy bể. Nếu để hai vòi cùng
chảy trong 5 giờ rồi khóa vòi thứ 2 thì phải trong 2 giờ nữa mới đầy bể. Tính
xem nếu để mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Các bài toán khác
9. Để chở một số bao hàng bằng ôtô, người ta nhận thấy nếu mỗi xe chở 22 bao
thì còn thừa một bao. Nếu bớt đi một ôtô thì có thể phân phối đều các bao
hàng cho các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô và tất cả có bao nhiêu
bao hàng. Biết rằng mỗi ôtô chỉ chở được không quá 32 bao hàng (giả thiết

mỗi bao hàng có khối lượng như nhau)
10.Mỗi người dán tất cả tem của mình vào một quyển vở. Nếu dán 20 tem trên
một tờ thì quyển vở không đủ để dán hết số tem. Còn nếu mỗi tờ dán 23 tem
thì ít nhất một tờ trong quyển vở còn bị bỏ trống. Nếu giả sử cũng trên quyển
vở đó mà trên một tờ dán 21 tem thì tổng số tem dán trên quyển vở đó với số
tem thực có của người đó là 500 tem. Hỏi quyển vở đó có bao nhiêu tờ và số
tem người đó có ?
11.Tìm một số gồm ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên
trái của một số gồm hai chữ số còn lại, ta được một có ba chữ số lớn hơn số
ban đầu 765 đơn vị.
12.Một trăm con trâu ăn một trăm bó cỏ. Trâu đứng mỗi con ăn năm bó, trâu nằm
mỗi con ăn ba bó, trâu già 3 con ăn một bó. Tìm số trâu mỗi loại ?
14
13.Tìm một số có 2 chữ số biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của
nó thì được thương là 4 và dư là 3. Còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ
số của nó thì được thương là 3 và dư là 5.
14.Hai đội cờ thi đấu với nhau. Mỗi đấu thủ của đội này phải đấu một ván với
mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phương số
đấu thủ của đội thứ nhất cộng với số đấu thủ của đội thứ hai. Hỏi mỗi đội có
bao nhiêu đấu thủ ?
15. Hai đội bóng bàn của hai trường
,A B
thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải
toàn tỉnh. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội trường
A
phải lần lượt gặp các đối
thủ của trường
B
một lần và số trận đấu gấp 2 lần tổng số đấu thủ của 2 đội.
Tìm số đấu thủ của mỗi trường.

16.Trong một cuộc gặp mặt học sinh giỏi có 35 bạn học sinh giỏi văn và toán
tham dự. Các học sinh giỏi văn tính số người quen của mình là các bạn học
sinh giỏi toán và nhận thấy rằng : bạn thứ nhất quen 6 bạn ; Bạn thứ 2 quen 7
bạn ; Bạn thứ 3 quen 8 bạn ; và cứ thế bạn cuối cùng quen tất cả các bạn
học sinh giỏi toán. Tính số học sinh giỏi văn, giỏi toán. Biết rằng không có
học sinh nào vừa giỏi văn vừa giỏi toán.
17.Trong một buổi liên hoan, một lớp khách mời 15 khách đến dự. Vì lớp đã có
40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải ngồi thêm
một nữa thì mới đủ chỗ ngồi. Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số người ngồi như
nhau và ngồi không quá năm người. Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế
18.Một đoàn gồm 50 học sinh qua sông cùng một lúc bằng 2 loại thuyền : Loại
thứ nhất, mỗi thuyền chở được 5 em và loại thứ 2 chở được 7 em mỗi thuyền.
Hỏi số thuyền mỗi loại?
19. Tìm một số
N
gồm 2 chữ số, biết rằng tổng các bình phương hai chữ số bằng
số đó cộng thêm tích hai chữ số. Nếu thêm 36 vào số đó thì được một số có
hai chữ số mà các chữ số viết thứ tự ngược lại.
Chuyên đề 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 - ĐỊNH LÝ VIÉT
15
1. Cho phương trình :
( )
2 2
2 1 1 0x m x m m− + + + − =
.
a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi
m
.
b) Chứng minh có một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm số không phụ thuộc
m

.
2. Tìm những giá trị nguyên của
k
để biệt thức
∆
của phương trình sau là số
chính phương :
( ) ( )
2
2 1 2 0; 0kx k x k k+ − + − = ≠
.
3. Tìm
a
để phương trình
( )
4 2
2 1 2 1 0x a x a− + + + =
có 4 nghiệm phân biệt
sao cho khi biểu diễn 4 nghiệm đó lên trục số nó chắn trục số thành 3 đoạn
bằng nhau.
4. Tìm
k
để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt :

( )
( )
2 2
2 . 3 0x x kx k
− + + − =
5. Chứng minh rằng phương trình bậc hai :

2
0ax bx c+ + =
không thể có nghiệm
hữu tỷ nếu
, ,a b c
đều là số lẻ.
6. Tìm
,a b
để hai phương trình sau tương đương :

( )
2
3 2 4 0x a b x+ + − =
và
( )
2
2 3 2 0x a b x b+ + + =
7. Giả sử
,b c
là các nghiệm của phương trình :
( )
2
2
1
0 0
2
x ax a
a
− − = ≠
Chứng minh :

4 4
2 2b c+ ≥ +
.
8. Chứng minh rằng nếu các hệ số
, ,a b c
phương trình sau luôn có nghiệm :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0a x b x c b x c x a c x a x b− − + − − + − − =
9. Chứng minh rằng nếu các hệ số
, ,a b c
của phương trình :
2
0ax bx c+ + =

( )
0a ≠
thỏa mãn điều kiện :
2
2 9 0b ac− =
thì phương trình sẽ có nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia.
10. Chứng minh rằng nếu
, m n p m n p+ > − <
với
, ,m n p
là các số dương thì
phương trình sau đây vô nghiệm :
( )
2 2 2 2 2 2

0m x m n p x n
+ + − + =
.
11. Chứng minh rằng :
3 3
2 3 2 3
0
x a a b a b a= + + − + −
là nghiệm của phương
trình :
3
3 2 0x bx a+ − =
.
12. Tìm giá trị của tham số
a
để 2 bất phương trình sau đây có đúng một nghiệm
chung :
( ) ( )
2 4 , 1 2a x x a x x− + ≤ − ≥ −
.
16
13. Cho 2 phương trình
2 2
2 0, 2 0x bx c x cx b+ + = + + =
. Chứng minh rằng nếu
2b c+ ≥
thì ít nhất có một trong 2 phương trình trên phải có nghiệm.
14. Cho phương trình
2
0ax bx c+ + =

( )
0a ≠
có nghiệm là
1 2
,x x
.
a) Tính theo
, ,a b c
các biểu thức sau :
( ) ( )
1 2
1 2 2 1
2 1 1 2
5 3 5 3 ,
3 3
x x
P x x x x Q
x x x x
= − − = +
− −
b) Cho
( )
; 2 2 1 ; 3 4a m b m c m= = − + = +
. Tìm hệ thức liên hệ giữa
1 2
,x x

không phụ thuộc vào
m

.
15. Chứng minh rằng nếu phương trình
2
0ax bx c+ + =
có 2 nghiệm dương thì
phương trình
2
0cx bx a+ + =
cũng có 2 nghiệm dương.
16. Với giá trị nào của
m
thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung :

( ) ( )
2 2
4 5 0, 2 1 0x m x m x m x m− + + + = − + + + =
.
17. Cho hai phương trình :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 6 0 1 , 2 3 2x a b x x a b x a− + − = − + −
Tìm
,a b
để 2 phương trình (1), (2) có cùng tập hợp nghiệm.
18. Tìm
m
để phương trình
( )
2 2
2 1 1 0x m x m− + + − =

có 2 nghiệm
1 2
,x x
sao cho
2 2
1 2
5x x+ =
.
19. Cho hàm số
( )
2 2
2 1 1y x m x m= − + + −
, tìm
m
để đồ thị hàm số cắt trục
hoành tại 2 điểm có hoành độ
1 2
,x x
thỏa mãn :
1 2 2 1
0; 0;x x x x< > >
.
20. Tìm các giá trị của
a
sao cho 2 phương trình
( )
2 2
2 1 0, 2 1 1 0x ax a ax a x− + + = − + − =
có nghiệm chung.
21. Cho phương trình :

( )
2
1 2 2 0m x mx m− − + + =
(
m
là tham số)
Tìm
m
để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
. Khi đó tìm hệ thức
liên hệ giữa
1 2
,x x
không phụ thuộc vào
m
. Tìm
m
để phương trình trên có 2
nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn hệ thức :
1 2
2 1
6 0
x x
x x
+ + =

.
Chuyên đề 8:
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG CÓ YẾU TỐ CHUYỂN ĐỘNG
17
1. Cho nửa đường trong đường kính
2AB R=
;
OC
là bán kính vuông góc với
AB
. Gọi
P
là điểm di động trên đoạn
OC
(
P C≠
). Tia
AP
cắt đường tròn
tại
M
. Tiếp tuyến tại
M
với đường tròn cắt đường thẳng
OC
tại
D
.
a) Chứng minh
DMB∆

cân.
b) Nêu cách dựng điểm
P
để
PO PM=
. Khi đó tính các góc của
AMB∆
.
c) Nếu cách dựng điểm
M
để
MB MP
=
. Khi đó tính
AMB
S
∆
.
d) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp
CMP∆
nằm trên đường thẳng cố
định.
2. Trên đường tròn
( )
;O R
lấy điểm
A
cố định và điểm
B
thay đổi. Đường

vuông góc
AB
vẽ từ
A
cắt đường tròn ở
C
.
a) Chứng minh đường thẳng
BC
luôn đi qua một điểm cố định.
b) Gọi
AH
là đường cao vẽ từ
A
của
ABC∆
. Tìm tập hợp các điểm
H
.
c) Dựng
ABC∆
vuông có đỉnh
A
cho trước trên đường tròn,
BC
là đường
kính và chiều cao
AH h=
cho trước.
d) Gọi

M
là trung điểm
BC
. Chứng minh
CM
đi qua một điểm cố định.
Dựng
ABC∆
có đỉnh
A
cho trước trên đường tròn, cạnh
BC
là đường
kính của đường tròn ấy và có trung tuyến
CM m=
cho trước.
3. Cho đường tròn tâm
O
cố định. Một đường thẳng
d
cố định cắt đường tròn
O
tại
,A B
;
M
là một điểm chuyển động trên
d
(ở ngoài đoạn
AB

). Từ
M

kẻ 2 tiếp tuyến
,MP MN
với đường tròn.
a) Chứng minh đường tròn
( )
MNP
luôn đi qua một điểm cố định
O≠
.
b) Tìm tập hợp các tâm
I
của đường tròn
( )
MNP
.
c) Tìm trên
d
điểm
M
sao cho
MNP∆
đều.
4. Cho đường tròn tâm
O
đường kính
2AB R=
. Gọi

M
là điểm thay đổi trên
đường tròn. Khi
,M A B≠
, dựng đường tròn tâm
M
tiếp xúc với
AB
tại
H
.
Từ
,A B
vẽ 2 tiếp tuyến
,AC BD
với đường tròn tâm
M
vừa dựng.
a) Chứng minh
, ,C M D
nằm trên tiếp tuyến với đường tròn tâm
O
tại
M
.
b) Chứng minh
AC BD+
không đổi, từ đó tính tích
.AC BD
theo

CD
.
18
c) Giả sử ngoài
,A B
, trên đường tròn còn có điểm
N
cố định. Gọi
I
là trung
điểm của
MN
, kẻ
IP
vuông góc với
MP
. Khi
M
chuyển động thì
P

chuyển động trên đường nào ?
5. Gọi
,A B
là 2 điểm cố định trên đường tròn tâm
O
, còn điểm
M
chuyển động
trên cung lớn

»
AB
của đường tròn. Trên
MA
lấy
' 2MA a=
không đổi; Trên
MB
lấy
'MB b=
không đổi. Chứng minh :
a)
' 'MA B∆
luôn bằng chính nó.
b) Đường thẳng song song với
' 'A B
vẽ từ điểm
M
đi qua một điểm cố định
và đường thẳng
' 'A B
tiếp xúc với một đường tròn cố định.
c) Đường cao
MH
của
' 'MA B∆
đi qua một điểm cố định và trung trực của
' 'A B
tiếp xúc với một đường tròn cố định.
6. Cho hình vuông

EFGH
. Một góc vuông
xEy
quay cung quanh đỉnh
E
.
Đường thẳng
E x
cắt đường thẳng
,FG GH
theo thứ tự tại
,M N
; còn đường
thẳng
Ey
cắt các đường thẳng trên theo thứ tự tại
,P Q
.
a) Chứng minh
,ENP EMQ∆ ∆
là 2 tam giác vuông cân.
b) Gọi
R
là giao điểm
,PN QM
; còn
,I K
theo thứ tự là trung điểm của
,PN QM
. Tứ giác

EKRI
là hình gì ? Giải thích ?
c) Chứng minh 4 điểm
, , ,F K H I
thẳng hàng. Từ đó có nhận xét gì về đường
thẳng
IK
khi góc vuông
xEy
quay quanh
E
?
7. Cho đường tròn
( )
;O R
có
AB
là đường kính cố định còn
CD
là đường kính
thay đổi. Gọi
∆
là tiếp tuyến với đường tròn tại
B
. Đường thẳng
AD
cắt
∆

tại

Q
, đường thẳng
AC
cắt
∆
tại
P
.
a) Chứng minh tứ giác
CPQD
nội tiếp được một đường tròn.
b) Chứng minh trung tuyến
AI
của
AQP∆
vuông góc với
DC
.
c) Tìm tập hợp các tâm
E
của đường tròn ngoại tiếp
CPD
và tập hợp các
trực tâm
H
của
CQP∆
.
8. Cho đường tròn tâm
O

đường kính
AB
và điểm
P
di động trên đường tròn
( )
,P A B≠
. Trên tia
PB
lấy điểm
Q
sao cho
PQ PA=
. Dựng hình vuông
APQR
. Tia
PR
cắt đường tròn ở
C
.
19
a) Chứng minh
C
là điểm chính giữa cung
»
AB
đồng thời là tâm của đường
tròn ngoại tiếp
AQB∆
.

b) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp của
APB
∆
và 3 điểm
, ,A Q B
cùng
thuộc một đường tròn.
c) Từ
P
hạ đường cao
PH
của
PAB
∆
. Gọi
1 2 3
, ,R R R
là bán kính của các
đường tròn nội tiếp
, ,APB APH BPH∆
. Xác định vị trí điểm
P
để tổng
1 2 3
R R R+ +
đạt giá trị lớn nhất.
9. Cho đường tròn đường tròn tâm
O
đường kính
AB

. Gọi
C
là điểm cố định
trên
OA
;
M
là điểm di động trên đường tròn. Qua
M
kẻ đường vuông góc
với
MC
cắt các tiếp tuyến kẻ từ
,A B
ở
,D E
.
a) Chứng minh
DCE∆
vuông.
b) Chứng minh
.AD BE
không đổi.
c) Chứng minh rằng khi
M
chạy trên đường tròn thì trung điểm
I
của
DE

chạy trên một đường thẳng cố định.
10. Cho
ABC∆
cân với
AB AC=
nội tiếp đường tròn tâm
O
.
M
là điểm bất kỳ
trên đáy
BC
. Qua
M
vẽ đường tròn tâm
D
tiếp xúc với
AB
tại
B
. Vẽ
đường tròn tâm
E
qua
M
tiếp xúc với
AC
tại
C
. Gọi

N
là giao điểm thứ
hai của 2 đường tròn đó.
a) Chứng minh rằng
N
thuộc đường tròn tâm
O
.
b) Chứng minh :
MN
luôn đi qua
A
và tích
.AM AN
không đổi.
c) Chứng minh : tổng hai bán kính của 2 đường tròn tâm
,D E
không đổi.
d) Tìm tập hợp các trung điểm
I
của
DE
.
Chuyên đề 9: BÀI TOÁN HÌNH HỌC TÍNH TOÁN
20
1. Cho
OAB∆
cân ở
O
và đường tròn tâm

O
có bán kính
R
thay đổi (
R OA<
).
Từ
,A B
kẻ 2 tiếp tuyến
,AC BD
với đường tròn. Hai tiếp tuyến này không
đối xứng nhau qua trục đối xứng của tam giác và chúng cắt nhau tại
M
.
a) Chứng minh rằng bốn điểm
, , ,O A M B
cùng thuộc một đường tròn. Tìm
tập hợp các điểm
M
.
b) Trên tia đối của tia
MA
lấy
MP BM=
. Tìm tập hợp điểm
P
.
c) Chứng minh rằng :
2 2
.MA MB OA OM

= −
.
2. Cho điểm
P
nằm ngoài đường tròn
( )
O
. Một cát tuyến qua
P
cắt đường tròn
tại
,A B
. Các tiếp tuyến kẻ từ
,A B
cắt nhau tại
M
. Dựng
MH OP⊥
.
a) Chứng minh rằng 5 điểm
, , , ,O A B M H
nằm trên đường tròn.
b) Chứng minh
H
cố định khi cát tuyến
PAB
quay quanh
P
. Từ đó suy ra
tập hợp điểm

M
.
c) Gọi
I
là trung điểm của
AB
và
N
là giao điểm của
PA
với
MH
. Chứng
minh :
2
. . , .PA PB PI PN IP IN IA= =
.
3. Cho hình thang
ABCD
có đáy lớn
AB
.
a) Phân giác của góc
,A D
cắt nhau tại
H
, của góc
,B C
cắt nhau ở
K

. Hỏi
KH
có thể là đường trung bình của hình thang được không ? Khi nào ?
b) Tìm sự liên hệ giữa các cạnh của hình thang khi bốn đường phân giác của
các góc đồng quy.
c) Giả sử đường phân giác của 2 góc
,C D
cắt nhau tại một điểm
P
thuộc
đáy
AB
. Tìm hệ thức liên hệ giữa các cạnh của hình thang đã cho.
4. Cho
ABC∆
có 3 góc nhọn nội tiếp trong một đường tròn bán kính
R
.
a) Chứng minh :
2 sinBC R A=
.
b) Chứng minh :
( )
sin sin sin 2 cos cos cosA B C A B C+ + < + +
.
5. Cho đoạn thẳng
2AB a=
. Gọi
O
là trung điểm của

AB
và
m
là đường thẳng
trung trực của
AB
. Trên
m
lấy một điểm
I
sao cho
OI a>
. Gọi
·
AIO
α
=
.
21
a) Tính
OI
theo
,a
α
.
b) Tiếp tuyến tại
A
của đường tròn
( )
C

có tâm
I
bán kính
IA
cắt
m
tại
T
.
Tính
OT
theo
,a
α
.
c) Đường tròn tâm
A
bán kính
AB
cắt đường tròn
( )
C
ở
P
;
PA
cắt
m
tại
S

. Chứng minh
AT
là phân giác của góc
·
OAS
và
OT OA
OS AS AO
=
+
.
d) Tính
OS
theo
,a
α
, theo
,2a
α
? Từ đó suy ra công thức
2
2tg
tg2
1 tg
α
α
α
=
−
.

6. Cho nửa đường tròn đường kính
AB
, trên đó có một điểm
M
. Trên đường
kính
AB
có một điểm
C
sao cho
AC BC<
. Trên nửa mặt phẳng bờ
AB
có
chứa điểm
M
ta kẻ các tia
,Ax By
vuông góc với
AB
. Đường thẳng qua
M

vuông góc với
Mc
cắt
Ax
tại
P
. Đường thẳng qua

P
vuông góc với
CP
cắt
By
tại
Q
. Gọi
D
là giao điểm của
CP
và
AM
;
E
là giao điểm của
CQ
và
BM
.
a) Chứng minh các tứ giác
;ACMP CDME
là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh
AB DEP
.
c) Chứng minh các điểm
, ,P M Q
thẳng hàng.
d) Các đường tròn ngoại tiếp

DMP
∆
và
EQM
còn có điểm chung nào khác
ngoài
M
hay không ?
22