On thi lop 10 toan rat hay.doc

Biến đổi đồng nhất
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Tìm ĐKXĐ: Tìm các gía trị của biến thoả mãn đồng thời các ĐK:
- Các biểu thức dới dấu căn bậc chẵn không âm.
- Các biểu thức dới dấu mẫu khác 0.
II. Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
- Phơng pháp đặt nhân tử chung.
- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
- Phơng pháp tách, thêm bớt.
(Chú ý các cách tách đa thức bậc hai, đa thức bậc cao)
- Phơng pháp đặt biến phụ.
- Phơng pháp xét gía trị riêng.
2) Chú ý:
- Kết quả phân tích phải là tích các nhân tử.
- Phân tích phải triệt để.
III. Rút gọn biểu thức:
(Tuỳ theo đặc điểm mỗi biểu thức mà thực hiện)
- Sử dụng các phép biến đổi đa thừa số ra ngoài dấu căn, khử mẫu của biểu
thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu, đa các căn thức về các căn thức đồng dạng (nếu có
thể) rồi cộng trừ các căn thức đồng dạng.
- Rút gọn các phân thức trớc khi tính.
- Qui đồng mẫu, thực hiện các phép tính trong ngoặc trớc.
- Rút gọn kết quả.
- Sử dụng hằng đẳng thức =
A
IV. Tìm gía trị nguyên của biến để biểu thức có gía trị nguyên.
- Tách phần nguyên.
- Lập luận tìm gía trị nguyên của biến để phân thức kèm theo có gía trị nguyên.
V. Chứng minh gía trị của biểu thức không phụ thuộc vào gía trị của biến:

Rút gọn biểu thức, kết quả không chứa biến.
VI. Chứng minh đẳng thức:
- Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản.
- Biến đổi cả vế về cùng một biểu thức.
- Biến đổi tơng đơng.
B. Bài tập

Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
1
1. Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x
2
- y
2
- z(2x - z)
B = x
3
+ 4x - 5
C = x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
D = x
4
+ 3x
2
+ 4
E = x
4
+ x

2
y
2
+ y
4
R = 64x
4
+ 81
2. Cho đa thức A = n
5
- 5n
3
+ 4n
a) Phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Chứng minh với n

Z thì A chia hết cho 120.
3. Cho a - b = 5 Tính M = b(b + 3) + a(a - 3) - 2ab
N =
4a b 3b a
3a 5 2b 5

+
+
4. Tính gía trị của biểu thức A =
13 30 2 9 4 2+ + + +
5. Chứng minh
10 60 24 40 5 3 2+ + + = + +
Cho x

1.
6. Rút gọn y =
x 2 x 1 x 2 x 1+ +
7. Cho x =
+

3
10 6 3( 3 1)
6 2 5 5
Tính P = (x
3
- 4x +1)
2007
8. Chứng minh số a =
2( 3 1) 2 3
+
là một số hữu tỉ.
số b =
( )
6 2 ( 3 2) 3 2+ +
là một số hữu tỉ.
9. Tính gía trị của biểu thức A =
2 3 2 3
2 3 2 3
+
+
+
10. So sánh A =
3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5

+
+
+ +

và B =
4 7 4 7
3 2 4 7 3 2 4 7
+
+
+ +
11. Tính A =
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + + + + + +

12. Rút gọn A =
1 1 1 1
...
2 3 3 4 4 5 2006 2007
+ +

13. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A =
6x (x 6) x 3 3 1
2(x 4 x 3)(2 x) 2x 10 x 12 3 x x 2
+

+ +

C. Hớng dẫn
1. A = (x - z)
2

- y
2
= (x - z - y)(x - z + y)
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
2
B = (x - 1)(x
2
+ x + 5)
C = (x + 1)(x
2
+ 2x + 4)
D = (x
2
+ 2)
2
- x
2
= (x
2
- x + 2)( x
2
+ x + 2)
E = (x
2
+ y
2
)
2
- (xy)
2

= (x
2
+ xy + y
2
)( x
2
- xy + y
2
)
R = (8x
2
+ 9)
2
- (12x)
2
= (8x
2
+ 9 - 12x) (8x
2
+ 9 + 12x)
2. . a) A = (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2)
b) A chia hết cho 3; 5; 8 (xét 2 trờng hợp n chẵn và n lẻ)
3. Cách 1: Thay a = b + 5 hoặc b = a - 5
Cách 2: Biến đổi M, N làm xuất hiện a - b rồi thay vào
ĐS: M = 10; N = 2.
4. Tính từ trong ra. ĐS: A = 5 + 3
5. Cách 1: Bình phơng hai vế.
Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức =
A
6. y = + 1 +

x 1- 1
+ Nếu x

2 thì y = 2
+ Nếu 1

x < 2 thì y = 2.
7. x =
( 3 1)( 3 1)
5 1 5
+
+
= 2

P = 1
8. a =
( 3 1) 4 2 3 ( 3 1)( 3 1) 2+ = + =
b =
2
( 3 1)( 3 2) 4 2 3 ( 3 1) ( 3 2) 2
+ + = + =
9. Cách 1: Trục các căn thức ở các mẫu của các biểu thức dới dấu căn.
Cách 2: Nhân cả tử và mẫu của mỗi biểu thức dới căn với 2 rồi sử dụng qui tắc khai
phơng một thơng. ĐS: A = 4
10. Nhân cả tử và mẫu mỗi phân thức với ta có A = B ( =)
11. Nhân từ phải qua trái ta có A = 1.
12. Trục căn thức ở mẫu của mỗi phân thức ta đợc A = -
2007 2
13. Đặt
x

= a ta có A =
(a 1)(a 2)(a 3) 1
2(a 1)(a 2)(a 3) 2

=


*************************
Phơng trình
A. Kiến thức cần nhớ
I. Ph ơng trình một ẩn.
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
3
1. Định nghĩa:
Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình thì ta hiểu rằng cần tìm gía trị của x để gía trị
của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau. x là ẩn, gía trị tìm đợc của x là nghiệm của
phơng trình, mỗi biểu thức A(x); B(x) là một vế của phơng trình.
2. Tập nghiệm của phơng trình:
Là tập tất cả các nghiệm của phơng trình.
3. Giải phơng trình: Là tìm tập hợp nghiệm của phơng trình đó.
4. Số nghiệm của phơng trình: Một phơng trình có thể có một, nhiều hay vô số
nghiệm, phơng trình cũng có thể không có nghiệm nào (phơng trình vô nghiệm).
II. Ph ơng trình ax + b = 0
1. Phơng trình bậc nhất một ẩn số.
a. Định nghĩa: Phơng trình bậc nhất một ẩn số là phơng trình có dạng ax + b = 0.
Trong đó x là ẩn, a và b là các số đã biết, a khác 0.
b. Số nghiệm của phơng trình bậc nhất một ẩn số: Một phơng trình bậc nhất một ẩn
số bậc nhất một ẩn số luôn có một nghiệm duy nhất x = -
2. Cách giải phơng trình ax + b = 0.
+ Nếu a = 0; b = 0 thì phơng trình nghiệm dúng với mọi x

+ Nếu a = 0; b

0 thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a

0 thì phơng trình có một nghiệm duy nhất x = -
III. Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn.
1. Định nghĩa:
Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng ax + by = c trong đó x và y là ẩn,
a và b là các số đã cho, a và b không đồng thời bằng 0.
2. Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:
- Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn là cặp gía trị (x; y) thoả mãn phơng
trình.
- Phơng trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiêm, khi biểu diễn tập nghiệm
của phơng trình bậc nhất một ẩn trên mặt phẳng toạ độ ta đợc một đờng thẳng gọi là
đờng thẳng ax + by = c.
+ Nếu a = 0; b

0 thì đờng thẳng ax + by = c song song với trục hoành.
+ Nếu a

0; b = 0 thì đờng thẳng ax + by = c song song với trục tung.
+ Nếu a

0; b

0 thì đờng thẳng ax + by = c cắt hai trục toạ độ.
IV. Ph ơng trình bậc hai một ẩn.
1. Định nghĩa:
Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng ax

2
+ bx + c = 0 trong đó a; b; c là
các số đã cho, a

0.
2. Cách giải phơng trình bậc hai một ẩn.
- Đối với phơng trình bậc hai khuyết b hoặc c ta thờng đa về phơng trình tích
hoặc sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế.
- Đối với phơng trình bậc hai đầy đủ:
. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; .
. Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; - .
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
4
. Nhẩm theo hệ thức Vi ét: Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có
hai nghiệm x
1
; x
2
thì
x
1
+ x
2
= - ; x
1
. x
2
=

. Nếu b = 2b' thì sử dụng công thức nghiệm thu gọn:
'

= b'
2
- ac
Nếu
'

< 0 thì phơng trình vô nghiệm.
Nếu
'
= 0 thì phơng trình có 1 nghiệm kép x = -
'b
a

.
Nếu
'

> 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1; 2
=
'
'b
a

.
. Trong trờng hợp tổng quát thì sử dụng công thức nghiệm tổng quát :

= b
2
- 4ac
Nếu

< 0 thì phơng trình vô nghiệm.
Nếu

= 0 thì phơng trình có 1 nghiệm kép x = - .
Nếu

> 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1; 2
=
2
4
2
b b ac
a

Cũng có thể đa về phơng trình tích.
V. Cách giải ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu.
Cách 1:
+ Tìm ĐKXĐ.
+ Qui đồng mẫu rồi khử mẫu.
+ Giải phơng trình tìm đợc.
+ Trong các gía trị tìm đợc của ẩn, gía trị nào thoả mãn ĐKXĐ là
nghiệm của phơng trình, gía trị nào không thoả mãn ĐKXĐ thì loại rồi kết luận.

Cách 2: Đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai (nếu có thể)
VI. Cách giải ph ơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
Cách 1: Xét khoảng để bỏ dấu gía trị tuyệt đối (lu ý đối chiếu gía trị tìm đợc của ẩn
với khoảng đang xét).
Cách 2: Đa về phơng trình tích.
Cách 3: Bình phơng hai vế (Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả
hai vế cùng dấu)
Cách 4: Đặt ẩn phụ.
Cách 5: Biến đổi tơng đơng







a = b a = b
b 0
a = b
a = b
Cách 6: Sử dụng tính chất BĐT:

0 a a
. Dấu "=" xảy ra

a = 0.
a
a với mọi a. Dấu "=" xảy ra

a

0.
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
5
a
- a với mọi a. Dấu "=" xảy ra

a

0.
+a + b a b
. Dấu "=" xảy ra

ab

0.
VII. Cách giải ph ơng trình bậc cao.
Cách 1: Đa về phơng trình tích.
Cách 2: Đặt ẩn phụ.
Cách 3: Sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế.
VIII. Giải ph ơng trình vô tỉ.
Cách 1: Bình phơng hai vế (Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả
hai vế cùng dấu)
Cách 2: Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
Cách 3: Biến đổi tơng đơng


=

2
a
b 0
b
a = b
a = b a = b 0
Cách 4: Đặt ẩn phụ.
Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT.
IX. Ph ơng trình nghiệm nguyên.
Cách 1: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tích các nhân tử chứa ẩn có gía trị nguyên,
1 vế là 1 hằng số.
Cách 2: Rút ẩn.
Cách 3: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tổng các bình phơng, các lập phơng của
các hạng tử chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1 hằng số.
Cách 4: Xem phơng trình là phơng trình bậc hai một ẩn.
Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT:
Cách 6: Sử dụng tính chất chia hết.
Cách 7: Phơng pháp xuống thang.
Cách 8: Sử dụng liên phân số.
X. Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình hay hệ ph ơng trình.
+ Lập phơng trình.
- Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn.(Có thể chọn bất kì 1 số
liệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, chú ý chọn thích hợp để phơng trình lập đợc đơn
giản, thờng ta dựa vào điều đòi hỏi của bài toán để chọn ẩn).
- Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn. (Chú ý về quan hệ giữa các đại l-
ợng trong bài toán).

- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để lập phơng trình.
+ Giải phơng trình.
+ Chọn kết quả thích hợp và trả lời.
XI. Dạng toán về số nghiệm của ph ơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
- Xét trờng hợp a = 0.
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
6
- Trờng hợp a

0
. Nếu ac < 0 thì phơng trình có hai nghiệm.
. Phơng trình vô nghiệm khi và chỉ khi

' < 0 hoặc

< 0.
. Phơng trình có nhiệm kép khi và chỉ khi

' = 0 hoặc

= 0.
. Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

' = 0 hoặc

= 0.
XII. Dạng toán về dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax
2

+ bx + c = 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

' < 0 hoặc

< 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
P < 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

'
> 0 hoặc

> 0 và P > 0. Khi đó 2 nghiệm cùng dơng khi và chỉ khi S > 0;
2 nghiệm cùng âm khi và chỉ khi S < 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 1 nghiệm kép dơng khi và chỉ khi

'
= 0 hoặc

= 0 và - > 0, có 1 nghiệm kép âm khi và chỉ khi

' = 0 hoặc

= 0 và - < 0.
XIII.Tính gía trị của biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai.
Cách 1: + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Biểu diễn biểu thức chứa x
1
; x
2
qua x
1
+ x
2
; x
1
x
2
rồi sử dụng hệ thức Vi ét.
Cách 2: Giải phơng trình, tìm x
1
; x
2
rồi tính.
XIV.Chứng minh biểu thức chứa x
1
; x

2
là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả
mãn một điều kiện cho tr ớc.
+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Biểu diễn biểu thức chứa x
1
; x
2
qua x
1
+ x
2
; x
1
x
2
rồi sử dụng hệ thức Vi ét,
tính gía trị của biểu thức theo tham số.
+ Chứng minh biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai thoả
mãn điều kiện cho trớc.
XV.Tìm gía trị của tham số để biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của ph ơng trình
bậc hai thoả mãn một điều kiện cho tr ớc.

+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Sử dụng hệ thức Vi ét và điều kiện cho trớc để tìm gía trị của tham số.
XVI. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào tham số.
+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Sử dụng hệ thức Vi ét biểu diễn x
1
+ x
2
; x
1
x
2
qua tham số.
+ Khử tham số bằng phơng pháp cộng hoặc phơng pháp thế.
XVII. Lập ph ơng trình bậc hai.
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
7
- Phơng trình bậc hai có hai nghiệm x
1
; x
2
là (x - x
1
)(x - x
2
). Sau đó, đa về dạng

chính tắc.
- Nếu x
1
+ x
2
= S; x
1
x
2
= P thì x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai
x
2
- Sx + P = 0
B. Bài tập
I. Dạng 1: Các bài toán về số nghiệm của phơng trình

B i toán 1 : Chứng minh phơng trình x(x - m) + x(x - n) + (x - m)(x - n) = 0 (1) luôn
có nghiệm với mọi m, n.
B i toán 2 : Chứng minh phơng trình 2x
2
- 3(m + n)x - m
2
- 1 = 0 (1) luôn có nghiệm
với mọi m, n.
B i toán 3. Với gía trị nào của a thì các phơng trình sau có nghiệm, vô nghiệm, có
nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt:

a) 3x
2
- 2x + m = 0
b) 4x
2
+ m + m
2
= 0
c) 48x
2
+ mx - 5 = 0
d) m
2
x
2
- mx + 2 = 0
e) (m - 1)x
2
- 2 (m + 1)x + m - 2 = 0.
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
8
B i toán 4: Không tính , chứng minh mỗi phơng trình sau có hai nghiệm phân
biệt.
a) (1 - )x
2
- 2x + = 0
b) x
2
- 2( + )x + - = 0
c) (1 - )x

2
- 2(1 + )x + 1 + = 0

B i toán 5 : Tìm a để phơng trình (x - 1)(x
2
+ ax + a - 1) = 0 (1)
a) Có 3 nghiệm phân biệt.
b) Có 1 nghiệm kép.
B i toán 6 : Tìm m để phơng trình (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x - 1) = m
2
- 1 có nghiệm.
II. Dạng 2: Giải phơng trình
B i toán 1a : Giải phơng trình:
a) x
2
- 5x +12 = 0
b) x
2
- 4x + 3 = 0
c) - x
2
+ 4x + 5 = 0
d) - = 3
e) + = 10

B i toán 1b: Bằng phơng pháp đồ thị (phơng pháp hình học). Giải phơng trình:

a) x
2
+ x - 6 = 0
b) 0,5x
2
- 2x - 6 = 0
B i toán 1 c: Giải và biện luận phơng trình:
a) x
2
- 2(1 + 3m)x - m
2
= 0
b) 2m
2
x
2
- 3x - 1 = 0
c) mx
2
- 2(m + 1)x - 2m = 0
B i toán 1d : Xác định gía trị của m để phơng trình mx
2
+ 2(m - 1)x + 2 = 0 (1)
có 1 nghiệm.
Tìm nghiệm của phơng trình (1) trong các trờng hợp đó.
B i toán 2 : Tìm m để hai phơng trình x
2
+ 3x + 2 = 0 (1) và x
2
- 3x + m = 0 (2)

có ít nhất một nghiệm chung.
B i toán 3 : Giải phơng trình 3x
2
+ (3 - 2m)x - 2m = 0 (1)
B i toán 4 : Giải phơng trình mx
2
+ (1 - m)x - 1 = 0 (1)
B i toán 5 : Giải phơng trình x
2
- (
2 3+
)x +
6
= 0 (1)
B i toán 6 : Cho phơng trình ax
2
- 2(a - 1)x + a + 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi a = 1
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
9
b) Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất.
B i toán 7 : Giải phơng trình x
2
- (4a - 1)x - 3a
2
- a - 2 = 0 (1)
B i toán 8 : Tìm m để phơng trình x
2
-3(m + 1)x - m - 4 = 0 có hai nghiệm x

1
; x
2
thoả
mãn x
1
< 2 < x
2
B i toán 9 : Cho phơng trình (2m - 1)x
2
- 2mx + 1 = 0 (1)
a) Xác định m để phơng trình có các nghiệm thuộc khoảng (-1; 0)
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn

2 2
1 2
x x
= 1
B i toán 10 : Giải và biện luận phơng trình (m - 2)x
2
- 2(m + 1) x + m = 0 (1)
B i toán 11 : Tìm m để phơng trình (m - 3)x
2
-2(m + 1)x - 3m + 1 = 0 có các nghiệm
đều là số nguyên.
B i toán 12 (Thi vào 10 chuyên Nga- Pháp Lam Sơn 1997- 1998):

Giải phơng trình 2x
2
+ 2xy + y
2
- 6x + 9 = 0 (1)
B i toán 13 : Tìm các gía trị của x thoả mãn 1 < x < 4 đồng thời là nghiệm của ph-
ơng trình
x 1 3 x 4 7 + =
(1)
B i toán 14 (Thi vào 10 chuyên tin Lam Sơn 2002- 2003):
Giải phơng trình
x 1 x 1+
= x (1)
B i toán 15 : Giải phơng trình
( )
2
x 3 x 3 =
(1)
B i toán 16 : Giải phơng trình
2x 1 x 2 + =
(1)
B i toán 17 : Giải phơng trình
2
x 2x 2+ +
+
x 1 0 =
(1)
B i toán 18 : Giải phơng trình 3x
2
+ 2

x
- 1 = 0 (1)
B i toán 19 : Giải phơng trình 2(x
2
+ ) +3(x + ) - 16 = 0 (1)
B i toán 20 : Giải phơng trình x
2
- x -
2
4
x x 1
= 5 (1)
B i toán 21 : Giải phơng trình y
2
- 2y + 3 =
2
6
x 2x 4 +
(1)
B i toán 22 : Giải phơng trình + = 10 (- ) (1)
B i toán 23 : Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
x
4
- mx
2
+ 3m - 8 = 0 (1)
B i toán 24 : (Thi vào 10 Chu Văn An và Hà Nội - Amsterdam 1997- 1998)
Cho phơng trình (x + 1)
4
- (m- 1)(x + 1)

2
- m
2
+ m - 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình với m = - 1.
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
10
b) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi gía trị của m.
B i toán 25 : Giải phơng trình 2x
3
- x
2
+3x + 6 = 0 (1)
B i toán 26 : Giải phơng trình 2x
3
- 8x
2
+11x - 5 = 0 (1)
B i toán 27 : Giải phơng trình
x
4
- (2m + 1)x
3
+ (m
2
+ m - 1)x
2
+ (2m + 1)x - m(m + 1) = 0 (1)
B i toán 28 : Giải phơng trình 2(x
2

- 2x)
2
= 3x
2
- 6x + 9 (1)
B i toán 29 : Giải phơng trình (x
2
+ x + 1)
2
- 3x
2
- 3x - 1 = 0 (1)
B i toán 30 : Giải phơng trình x(x + 1)( x +5)( x + 4) = 12 (1)
B i toán 31 : Giải phơng trình (x + 1)( x +2)( x + 3)( x + 4) = 3 (1)
B i toán 32 : Giải phơng trình 4x
4
+ 12x
3
- 47x
2
+ 12x + 4 = 0 (1)
B i toán 33 : Giải phơng trình x
4
- 5x
3
- x
2
-5x + 1 = 0 (1)
B i toán 34 (Thi vào 10 chuyên toán tin Vinh vòng 1- 2001):
Giải phơng trình x

4
- 2x
3
- x
2
- 2x + 1 = 0 (1)
B i toán 35 : Giải phơng trình 2x
4
- 13x
3
- 24x
2
- 13x + 2 = 0 (1)
B i toán 36 : Giải phơng trình x
4
- 5x
3
+ 10x
2
- 10x + 4 = 0 (1)
B i toán 37 : Giải phơng trình (x
2
+ 2x + 4)(y
2
- 2y + 3) = - z
2
+ 4z + 2 (1)
B i toán 38 : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x
2
- y

2
+ 2y = 1994 (1)
B i toán 39 : Giải phơng trình a)
x 1 x 1+ =
(1)
b)
123
2
=+
xxx
B i toán 40 : Giải phơng trình
x 3 5 x 2+ =
(1)
B i toán 41 : Giải phơng trình

1 1 1
x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x
+ +
+ + + + + + + +
= 1 (1)
B i toán 42 : Giải phơng trình
x 1 x 7 12 x+ =
(1)
B i toán 43 : Giải phơng trình
x x (4 x) 4 x
4
x 4 x
+
=
+

(1)
B i toán 44 ( Thi chuyên tin vòng 1 năm học1995 - 1996):
Giải phơng trình x + = 3 (1)
B i toán 45 : Giải phơng trình x + - 4 (
1
x
x
+
) + 6 = 0 (1)
B i toán 46 : Giải phơng trình
( )
1
x y 1 z 2 x y z
2
+ + = + + (1)
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
11
B i toán 47 : (Thi vào 10 Chu Văn An và Hà Nội - Amsterdam 1995- 1996)
Giải phơng trình
( )
+ + + = + +
1
x 2 y 1995 z 1996 x y z
2
(1)
B i toán 48 : Giải phơng trình
2
x 4x 4 +
+ x = 8 (1)

B i toán 49 (Thi vào 10 chuyên tin Lam Sơn 2003- 2004):
Giải phơng trình
2
1
x x 1 6 2 5 0
4
+ + =
(1)
B i toán 50 : Giải phơng trình
x 1 2 x x 4 4 x+ + +
= 1 (1)
B i toán 51 : Giải phơng trình
x 2 x 1 x 2 x 1+ +
= 4 (1)
B i toán 52 : Giải phơng trình y
2
+ - 29 = 0 (1)
B i toán 53 : Giải phơng trình 3x + 2 = x
2
- 2
2
x 3x 6 +
(1)
B i toán 54 : Giải phơng trình
x 4
x 2

+
= x - 8 (1)
B i toán 55 : (2a - Đề 40 - tuyển tập đề thi môn toán THCS)

Giải phơng trình 2 - 5= 3 (1)
B i toán 56 : Giải phơng trình 2
3
2x 3
1 x


+
3
1 x
2x 3


= 3 (1)
B i toán 57 : Giải phơng trình
+ = 4 - 2x - x
2
(1)
B i toán 58 : Giải phơng trình
2 2
9 13
x x x x 2 3
4 4
+ + + + = +
(1)
B i toán 59 : Giải phơng trình
2 2
3x 18x 28 4x 24x 45 + + + =
6x - x
2

- 5 (1)
B i toán 60 : Giải phơng trình
2 2
5 13
x x x x 2,5
4 4
+ + + + =
(1)
B i toán 61 (Thi vào 10 chuyên toán tin, ĐHSP Hà Nội 2002):
* Chứng minh số x
0
=
2 2 3 6 3 2 3+ + +
là nghiệm của phơng trình
x
4
- 16x
2
+ 32 = 0
B i toán 62 : Chứng minh chỉ có một cặp số duy nhất (x; y) thoả mãn phơng trình x
2
- 4x + y - 6+ 13 = 0 (1)
B i toán 63 (Thi vào 10 chuyên toán Vinh vòng 1- 1998):
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
12
Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian nhất định. Sau
khi đi đợc 1 giờ, ô tô phải dừng lại 10 phút. Vì vậy, để đi đến B đúng giờ thì ô tô phải
tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc dự định của ô tô.
B i toán 64 (Thi vào 10 Bắc Giang 2003- 2004):
Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 24 km. Cùng lúc đó , cũng từ A

về B, một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay
và gặp bè nứa tại điểm C cách A 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
B i toán 65 : Để làm một chiếc hộp không nắp, ngời ta cắt đi 4 hình vuông bằng
nhau ở 4 góc của một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài bằng 12 cm, và chiều rộng
10 cm. Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu biết rằng tổng diện tích 4
hình vuông đó bằng diện tích đáy hộp.
III. Dạng 3: Hệ thức Vi ét
B i toán 1 : Cho x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình x
2
- 2(m + 1) x + m - 4 = 0.
Chứng minh biểu thức M = x
1
(1 - x
2
) + x
2
(1 - x
1
) không phụ thuộc vào m.
B i toán 2 : Cho x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0.

Tính theo a; b; c gía trị của các biểu thức
a) A = (5x
1
- 3x
2
)( 5x
2
- 3x
1
)
b) B =
1
1 2
2 1 2
x x
x 3x x 3x
+

B i toán 3 : Cho x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình 2x
2
- 5x + 1 = 0.
Tính A = x
1
+ x
2
B i toán 4 : Không giải phơng trình. Xác định dấu các nghiệm của mỗi phơng trình

sau
1. 2x
2
+ 5x + 2 = 0
2. 3x
2
+ 5x + 60 = 0
3. 7x
2
- 13x + 2 = 0
4. 9x
2
- 12x + 4 = 0
5. 4x
2
+ x - 1 = 0
B i toán 5 : Tìm a để phơng trình x
2
- 3x + a - 1 = 0
a) Có 2 nghiệm cùng dấu.
b) Có 2 nghiệm trái dấu.
B i toán 6 : Tìm a để phơng trình (a - 1)x
2
+2ax + a + 1 = 0 có 2 nghiệm cùng âm.
B i toán 7 : Tìm k để phơng trình k
2
x
2
- (k + 1)x - 5 = 0
a) Có 2 nghiệm cùng dấu.

Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
13
b) Có 2 nghiệm trái dấu.
B i toán 8a (Thi vào 10 chuyên Nga- Pháp Lam Sơn 2004- 2005):
Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình 2x
2
+ 2mx + m
2
- 2 = 0 (1)
Tìm m để + + x
1
+ x
2
= 1.
B i toán 8b . Cho phơng trình:
2 2
x - 2mx + m - 3m + 4 = 0
1. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm dơng phân biệt.
2. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:
2 2
1 2 1 2
x + x + x x = 2

B i toán 9 : Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
x
2
- 2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1)
Tìm m để x
1
(1 - 2x
2
) + x
2
(1 - 2x
1
) = m
2
.
B i toán 10 : Cho phơng trình x
2
+ ax + 1 = 0. Tìm gía trị của a để phơng trình có
hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
2 2
1 2
2 1

x x
7
x x

+ >
ữ ữ

B i toán 11 : Tìm a để tổng các bình phơng các nghiệm của phơng trình
( )
2
x 2a 1 x 4a 3
=0 là nhỏ nhất.
B i toán 12 : Cho phơng trình (m
2
+ m + 1)x
2
- (m
2
+ 2m + 2)x - 1 = 0
a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình trên. Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trị lớn
nhất của S = x
1
+ x
2
B i toán 13 : Giả sử x

1
; x
2
là nghiệm của phơng trình x
2
+ 2mx + 4 = 0.
Xác định m để x
1
4
+ x
2
4


32.
B i toán 14 (Thi vào 10 Chu Văn An và Hà Nội - Amsterdam 1998):
Cho phơng trình (x + 1)
4
- (m - 1)(x + 1)
2
- m
2
+ m - 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = - 1
b) Chứng minh phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm các gía trị của m để
1 2
x x 2+ =
B i toán 15 : Tìm m để phơng trình x
4

- 2mx
2
+ m
2
- 3 = 0 (1)
có ba nghiệm phân biệt.
B i toán 16 : Tìm m để phơng trình 2x - m
2x 1
+ 2m - 4 = 0 (1) có hai nghiệm
phân biệt.
B i toán 17 : Giả sử phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (1) có hai nghiệm dơng x
1
; x
2
.
Chứng minh phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 cũng có hai nghiệm dơng x
3
x
4
và
x
1
+ x
2
+ x
3

+ x
4

4
IV. Dạng 4: Hệ thức Vi ét đảo
B i toán 1 : a) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm
x
1
=
2 + 1

2
; x
2
=
2 - 1

2
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
14
b) Tính x
1
3
+ x
2
3
B i toán 2 : a) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm x
1
= 2 + ; x
2

= 2 -
b) Tính x
1
3
+ x
2
3
C. Hớng dẫn
I. Dạng 1: Các bài toán về số nghiệm của phơng trình
B i toán 1 :
'
= (m - )
2
+

0 với mọi m.
B i toán 2 : a và c trái dấu.
B i toán 3. a) Phơng trình có nghiệm khi m


Phơng trình vô nghiệm khi m >
Phơng trình có nghiệm kép khi và chỉ khi m =
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi m < .
b) Phơng trình có nghiệm khi m + m
2

0

- 1

m

0
Phơng trình vô nghiệm khi m + m
2
> 0

m < - 1 hoặc m > 0
Phơng trình có hai nhiệm phân biệt khi m + m
2
< 0

- 1 < m < 0.
Phơng trình có nghiệm kép khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = - 1
c)

= m
2
+ 960 > 0 với mọi m nên với mọi m thì phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt.
d) Phơng trình vô nghiệm khi m = 0 hoặc m

0 và

< 0

m

R.
e) Phơng trình có nghiệm khi m

Phơng trình vô nghiệm khi m <
Phơng trình có nghiệm kép khi và chỉ khi m =
Phơng trình có hai nhiệm phân biệt khi m >
B i toán 4: ac < 0.
B i toán 5 : Cách 1: (1)

(x - 1)(x + 1)(x + a - 1) = 0
Phơng trình (x - 1)(x
2
+ ax + a - 1) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
1 - a

1 hoặc 1 - a

- 1

a

0 hoặc a

2.
Cách 2: Phơng trình (x - 1)(x
2
+ ax + a - 1) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi phơng trình x
2
+ ax + a - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.
b) x

2
+ ax + a - 1 = 0 có 1 nghiệm kép khi và chỉ khi phơng trình
x
2
+ ax + a - 1 = 0 có

= 0 và 1 không phải là nghiệm của nó hoặc

> 0 và 1 là
nghiệm của nó

a = 0 hoặc a = 2.
B i toán 6 : Đặt x
2
+ 3x = y ta có y =

m
Phơng trình (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x - 1) = m
2
- 1 có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình
x
2
+ 3x - m = 0 hoặc phơng trình x
2
+ 3x + m = 0 có nghiệm

m

2,25 hoặc m

-
2,25

m

R.
Vậy với mọi m thì phơng trình (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x - 1) = m
2
- 1 có nghiệm.
II. Dạng 2: Giải phơng trình
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
15
B i toán 1a : a) áp dụng công thức nghiệm x
1
= 3; x
2
= 2
b) áp dụng công thức nghiệm x
1
= 3; x
2
= 1

c) áp dụng công thức nghiệm x
1
= - 1; x
2
= 5
d) x
2
+ 9 = 0 Phơng trình vô nghiệm.
e) x =

5
B i toán 1b: a) Tìm giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x
2
và y = 6 - x.
b) Tìm giao điểm của đồ thị hai hàm số y = 0,5x
2
và y = 2x + 6.
B i toán 1 c: a)

= 10m
2
+ 6m + 1 > 0 với mọi m.
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1; 2
= 1 + 3m


b) - Nếu m = 0 thì x = -
- Nếu m

0 thì

= 9 + 8m
2
> 0. Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1; 2
=
c) - Nếu m = 0 thì x = 0
- Nếu m

0 thì

= 3m
2
+ 2m + 1 > 0 với mọi m.
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1; 2
=
m 1
m
+
B i toán 1d :
- Nếu m = 0 thì phơng trình có một nghiệm x = 1
- Nếu m

0 thì phơng trình có một nghiệm khi và chỉ khi
,

= 0

m = 2


. Khi m = 2 + thì x = 1 -
. Khi m = 2 - thì x = 1 +
B i toán 2 : (1)

x = - 1; x = - 2
Hai phơng trình x
2
+ 3x + 2 = 0 và x
2
- 3x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung khi
và chỉ khi x = - 1 hoặc x = - 2 là nghiệm của phơng trình (2)
ĐS: m = - 4; m = - 10
B i toán 3 : a - b + c = 0. Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1; }
B i toán 4 : a + b + c = 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {1; - }
B i toán 5 : Dùng phơng pháp phân tích hoặc sử dụng hệ thức Vi ét.
ĐS:
2; 3
B i toán 6 : a) Khi a = 1 thì (1)

x

b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a

0 và

> 0

a

0 và a <
c) Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 0 hoặc

= 0

a = 0 hoặc a = .
B i toán 7 :
( )
( )
2
2 2
4a 1 4 3a a 2 28a 4a 9 = + + + = +
> 0 với mọi a.
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
16
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {
4a 1
2

}
B i toán 8 : a - b + c = 0 nên phơng trình có hai nghiệm - 1; m + 4
Để phơng trình x

2
-3(m + 1)x - m - 4 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
< 2 < x
2
thì m + 4 > 2

m > - 2.
B i toán 9 :
a) - Nếu m = 0,5 thì (1) có nghiệm x = 1 thuộc khoảng (-1; 0)
- Nếu m

0,5 thì (1) là phơng trình bậc 2 có a + b + c = 0 với mọi m.

phơng trình có 2 nghiệm là 1 và
Ta thấy x = 1 thuộc khoảng (-1; 0)
Phơng trình có các nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) khi và chỉ khi
-1 < < 1

m < 0
Tóm lại, Phơng trình có các nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) khi và chỉ khi m < 0
b)
2 2
1 2
x x
= 1

2
2
2
2
1
1 1
2m 1
1 2 2
1 1 m
2m 1 4
1
1 1
2m 1


=

ữ





= =
ữ

=
ữ




B i toán 10 :
- Nếu m = - 2 thì (1)

x =
- Nếu m < - thì (1) vô nghiệm.
- Nếu m

- thì (1)

x =
m 1 4m 1
m 2
+ +

B i toán 11 :
- Nếu m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = - 1

Z.
- Nếu m

3 thì phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a - b + c = 0

phơng trình có nghiệm x = - 1

Z và x = .
Để phơng trình (m - 3)x
2
-2(m + 1)x - 3m + 1 = 0 có các nghiệm đều là số nguyên thì

Z

3 +

Z

m - 1

Ư(8)

m = - 5; - 1; 1; 2; 3; 4; 5; 7; 11.
B i toán 12 (1)

(x + y)
2
+ (x - 3)
2
= 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {(3; - 3)}
B i toán 13 : Với 1 < x < 4 thì (1)

x - 1 + 3 (x - 4) = 7

x = 2

(thoả mãn điều kiện 1 < x < 4)
Vậy, gía trị của x thoả mãn 1 < x < 4 đồng thời là nghiệm của phơng trình
x 1 3 x 4 7 + =
là x = 2.
B i toán 14 Xét khoảng.
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 2; 0; 2}
B i toán 15 : (1)


x 3 (1 x 3 ) 0 =
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
17
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {2; 3; 4}

B i toán 16 : Xét khoảng
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {

1}
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {

}
B i toán 17 : Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S =

B i toán 18 : Đặt
x
= y
B i toán 19 : Đặt x + = y
B i toán 20 : Đặt x
2
- x = y ta có phơng trình y -

4
y 1
= 5

y
2
- 6y + 1 = 0. Phơng trình vô nghiệm.
B i toán 21 : y
2
- 2y + 3 = (y - 1)
2
+ 2

2 với mọi y.
Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi y = 1
2
6
x 2x 4 +


2 với mọi x. Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {(- 1; 1)}
B i toán 22 :
Đặt - = y thì (1)

y = 2 hoặc y =
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {-2; 6; 3

}
B i toán 23 : Đặt x

2
= t đợc t
2
- mt + 3m - 8 = 0 (2)

= m
2
- 12m + 32; P = 3m - 8; S = m.
- Nếu m < thì

> 0; P < 0


(2) có hai nghiệm trái dấu

(2) có 2 nghiệm.
- Nếu m = thì

> 0; P = 0; S > 0


(2) có 1 nghiệm là 0; 1 nghiệm dơng

(2) có 3 nghiệm.
- Nếu <m < 4 thì

> 0; P > 0; S > 0


(2) có hai nghiệm dơng

(2) có 4 nghiệm.
- Nếu m = 4 thì

= 0; S > 0


(2) có 1 nghiệm dơng

(2) có 2 nghiệm.
- Nếu 4 <m < 8 thì

< 0

(2) vô nghiệm

(2) vô nghiệm.
- Nếu m = 8 thì

= 0; S > 0


(2) có 1 nghiệm dơng

(2) có 2 nghiệm..
- Nếu 8 < m thì

> 0; P > 0; S > 0

(2) có hai nghiệm dơng

(2) có 4 nghiệm.
B i toán 24 : a) Với m = - 1 ta có phơng trình (x + 1)
4
+ 2(x + 1)
2
-3 = 0
Đặt (x + 1)
2
= t đợc t
2
+ 2t - 3 = 0 (2)

t = - 3 (loại); t = 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {0; - 2}
b) Đặt (x + 1)
2
= t đợc t
2
+ (m - 1)t - m
2
+ m - 1 = 0 (3)
Vì (3) là phơng trình bậc 2 có ac < 0 nên (3) có hai nghiệm trái dấu với mọi m

phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi gía trị của m.
B i toán 25 : (1)

(x + 1)( 2x
2

- 3x + 6) = 0
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
18
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1}
B i toán 26 : Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1}
B i toán 27 : Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {

1; m; m + 1}
B i toán 28 : Đặt t = x
2
- 2x
B i toán 29 : Đặt x
2
+ x + 1 = t

(1)

x = - 1; 0;
1 5
2

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1; 0;
1 5
2

}
B i toán 30 : (1)

(x
2

+ 5x)( x
2
+ 5x + 4) - 12 = 0
Đặt t = x
2
+ 5x + 2 ta có t =

4
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 2; - 3;
5 33
2

}
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1; 3}
B i toán 31 : (1)

(x
2
+ 5x + 4)( x
2
+ 5x + 6) - 3 = 0
Đặt t = x
2
+ 5x + 4 ta có t
2
+ 2t - 3 = 0

t = 1; t = - 3
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {
5 13

2

}
B i toán 32 : Chia cả hai vế cho x
2


0 và đặt x +
1
x
= t ta có phơng trình
4t
2
+ 12t - 56 = 0

t =
5 11
;t
2 2

=
Với t = thì x = 2;
Với t =
11
2

thì x =
B i toán 33 : Chia cả hai vế cho x
2

0 và đặt x +
1
x
= t ta có t =
1 11
;t
2 2

=
Với t =
1
2

thì phơng trình vô nghiệm.
Với t =
11
2
thì x =
11 105
2

B i toán 34 Chia hai vế cho x
2


0 rồi đặt x +
1
x
= y

2
ta có y = - 1 (loại); y = 3
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {
3 5
2

}
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
19
B i toán 35 : Chia cả hai vế cho x
2


0 và đặt x +
1
x
= t
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {2;
1
;2 3
2

}
B i toán 36 : Cách 1: Chia cả hai vế cho x
2


0 và đặt x +
2

x
= t
Cách 2: Nhân cả 2 vế với x

0 ta có (x - 1)
5
- (x - 1) = 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {2; 1}
B i toán 37 : (1)

(x
2
+ 2x + 4)(y
2
- 2y + 3)

6 với mọi x; y.
Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi
x = - 1; y = 1
- z
2
+ 4z + 2

6 với mọi z. Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi z = 2
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {(- 1; 1; 2)}

B i toán 38 : (1)

x
2

- (y - 1)
2
= 1993

(x - y + 1)(x + y - 1) = 1993


+ =



+ =



+ =



+ =



+ =




+ =

+ =




+ =


x y 1 1
x y 1 1993
x y 1 1
x y 1 1993
x y 1 1993
x y 1 1
x y 1 1993
x y 1 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm nguyên là
S = {(997; 997); (-997; 997); (997; -995); (-997; -995)}
B i toán 39 : a) (1)


( )
2
x 1
x 1 x 1

+ =


Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {3}
b) PT




=++

01
)1(23
22
x
xxx




=

1
1
x
x
1
=
x

B i toán 40 : ĐKXĐ: x

2
(1)


x 3 x 2 5+ + =
Bình phơng 2 vế (không âm) ta có
2
x x 6+
= 12 - x
2 2
x 12
x x 6 144 24x x




+ = +



x = 6 (Thoả mãn ĐKXĐ)
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {6}
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
20
B i toán 41: ĐKXĐ: x

0
(1)

x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 3 x 1+ + + + + + + = + =
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {1}
B i toán 42 : ĐKXĐ: 7

x

12
(1)


x 1 12 x x 7+ = +
Bình phơng hai vế (không âm) ta đợc
2
2 x 19x 84 x 4 + =
Bình phơng hai vế (không âm) ta đợc 5x
2
- 84 x + 352 = 0

x = ; x = 8 (thoả mãn ĐKXĐ)
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {; 8}
B i toán 43 : (1)


3 3
( x) ( 4 x)
4
x 4 x
x 4 x 0

+
=
+
=
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {0; 4}
B i toán 44 1)

()
3
= 3 - x

9 - x
3
= 27 - 27x + 9x
2
- x
3

9x
2
- 27x + 18 = 0

x
2
- 3x + 2 = 0

x = 1; x = 2
B i toán 45 : ĐKXĐ: x > 0. (1)

(

1
x
x
+
)
2
- 4 (
1
x
x
+
) + 4 = 0

(
1
x
x
+
- 2)
2
= 0

x = 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {1}
B i toán 46 : Cách 1: (1)


( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 y 1 1 z 2 1 + + = 0

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {(1; 2; 3)}
Cách 2: Đặt
= = =x a; y 1 b; z 2 c
B i toán 47 : Cách 1: (1)


( ) ( ) ( )
+ + +
2 2 2
x 2 1 y 1995 1 z 1996 1 = 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {(3; - 1994; 1997)}
Cách 2:
= + = =x 2 a; y 1995 b; z 1996 c
B i toán 48 : (1)

x 2
+ x = 8
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {5}
B i toán 49 (1)


1
x 1 5 1
2
+ =
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
21
B i toán 50 : (1)

x 1 x 2 +
=1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {x\ -1

x

4}
B i toán 51 : Cách 1: Bình phơng hai vế thì (1)

x 2
= 8 - x
Cách 2: Đặt
x 1
= y dợc y + 1 +
y 1
= 4

y = 2
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {5}
B i toán 52 : Đặt = t

0 ta có t
2
+ t + 20 = 0

t = 4 (thoả mãn ĐK của t); t = - 5 (loại)
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {

5}
B i toán 53 : Đặt

2
x 3x 6 +
= y
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 2; 5}

B i toán 54 : Đặt = y thì (1)

y
2
- y - 6 = 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {9}

B i toán 55 : Đặt = y thì (1)

2y
2
- 5y - 3 = 0

y = - 0,5; 3
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 0,125; 27}
B i toán 56 : Đặt
3
2x 3
1 x


= y
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {; }
B i toán 57 : Ta có +
= +

5 với mọi x,
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 1.
4 - 2x - x
2
= 5 - (x + 1)
2

5 với mọi x, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 1.
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1}
B i toán 58 : Ta có
2 2
9 13
x x x x 2 3
4 4
+ + + + +
với mọi x, dấu "="
không xảy ra. Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S =

B i toán 59 : Ta có
( ) ( )
2 2
2 2
3x 18x 28 4x 24x 45 3 x 1 1 4 x 3 9 + + + = + + +


1 + 3 = 4
với mọi x, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 3.
6x - x
2

- 5 = 4 - (x - 3)
2


4 với mọi x, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 3.
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {3}
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
22
B i toán 60 : Ta có
2 2
2 2
5 13 1 1
x x x x x 1 x 3 1 3
4 4 2 2

+ + + + = + + + + +
ữ ữ

> 2,5
với mọi x.
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S =

B i toán 61 Tính x
0
2
rồi thay vào phơng trình.
B i toán 62 : Cách 1: (1)

(x - 2)
2

+ (- 3)
2
= 0

(x; y) = (2; 9)
Cách 2: Xem (1) nh phơng trình bậc 2 đối với x (y là tham số),để phơng trình có
nghiệm thì
'


0

- (- 3)
2


0

y = 9. Khi đó x = 2
B i toán 63: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (ĐK: x > 0)
Theo bài ra ta có phơng trình = 1 + +
120 x
x 6

+
B i toán 64: Thời gian bè nứa trôi từ A đến C là 8 : 4 = 2 (h)
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) (ĐK: x > 4)
Theo bài ra ta có phơng trình + = 2

x = 0 (loại); x = 20 (thoả mãn điều kiện của ẩn)

Vậy, vận tốc thực của ca nô là 20 (km/h)
B i toán 65 : Gọi cạnh của các hình vuông đó là x (cm) ĐK: x < 5
Theo bài ra ta có phơng trình: 4x
2
= (10 - 2x)(12 - 2x)

x = 2.
Cạnh hình vuông cắt đi là 2 cm.
III. Dạng 3: Hệ thức Vi ét
B i toán 1 : M = (x
1
+ x
2
) - 2 x
1
x
2
= 2(m + 1) - 2 (m - 4) = 10
B i toán 2 : A = 64 x
1
x
2
- 15(x
1
+ x
2
)
2
= -
B = =

B i toán 3 : A = (+ )
Đặt B = + thì B
2
= x
1
+ x
2
+ 2

B =
5 2 2
2
+

A =
1
5 2 2
2
+
B i toán 4 : 1.

> 0; P > 0; S < 0

x
1
< x
2
< 0
2.

< 0

phơng trình vô nghiệm.
3.

> 0; P > 0; S < 0

x
1
> x
2
> 0
4.

= 0; S > 0

x
1
= x
2
> 0
5. P < 0

x
1
< 0 < x
2
B i toán 5 : a) Phơng trình x
2
- 3x + a - 1 = 0 có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

> 0; P > 0.
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
23
a) Phơng trình x
2
- 3x + a - 1 = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

a < 1.
B i toán 6 : a) Phơng trình (a - 1)x
2
+2ax + a + 1 = 0 có 2 nghiệm cùng âm khi và
chỉ khi
a

1;
a 1
1 a
+

< 0 (Do - 1 là nghiệm của phơng trình)

a < - 1 hoặc a > 1
B i toán 7 : a) Phơng trình k
2
x
2
- (k + 1)x - 5 = 0 có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ
khi

> 0; P > 0; k

0. Không tồn tại gía trị của k thoả mãn bài toán.
a) Phơng trình k
2
x
2
- (k + 1)x - 5 = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

k

0.
B i toán 8a: Phơng trình (1) có hai nghiệm khác 0 khi và chỉ khi


0 và ac

0

- 2

m

2 và m


2
.
Khi đó, + + x
1

+ x
2
= 1

(x
1
+ x
2
)(1 + ) = 1

m
3
+ m
2
- 2 = 0

m = 1(Thoả mãn)
B i toán 8b . Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì

2
'
= 3m - 2 > 0 m >
3
Ta có

2 2
c 3 7
P = = m - 3m + 4 = (m - ) + > 0 m
a 2 4
Do đó để phơng trình có 2 nghiệm dơng thì S > 0

m > 0
Kết hợp với điều kiện ta đợc
2
m >
3
là kết quả cần tìm.
Để phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thì

2
m
3
Theo Viet ta có:



1 2
2
1 2
x + x = 2m
x x = m - 3m + 4
Theo bài ra ta có:
2 2
1 2 1 2
x + x + x x = 2

( )






2
1 2 1 2
2
x + x - x x - 2 = 0
m + m - 2 = 0
m = 1
m = -2
Kết hợp với điều kiện ta đợc m = 1 là giá trị cần tìm.
B i toán 9 : Phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
nên
x
1
+ x
2
= 2(m + 2)
x
1
. x
2
= m + 1

Do đó, x
1
(1 - 2x
2
) + x
2
(1 - 2x
1
) = m
2


x
1
+ x
2
- 4 x
1
. x
2
= m
2
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
24


2(m + 2) - 4(m + 1) = m
2

m= 0 hoặc m = - 2 (thoả mãn điều kiện để phơng
trình có nghiệm)
ĐS: 0; - 2.
B i toán 10 : Phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi
0 a 2
(1) .
Theo hệ thức Vi ét thì x
1
+ x
2
= - a; x
1
. x
2
= 1
Khi đó
2 2
1 2
2 1
x x
7
x x

+ >
ữ ữ




2

4 4 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x x 7x x (x x ) 2x x 9(x x ) 0+ > + >



(a
2
- 2)
2
- 9 > 0


2
2 2
2
a 2 3
a 2 3 a 5 a 5
a 2 3
>

> > >

<

(2)
Từ (1) và (2) ta có a < - 5 hoặc a > 5.
B i toán 11 :
2
4a 12a 13 = + +

> 0 với mọi a nên phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
.
Khi đó x
1
2
+ x
2
2

= (x
1
+ x
2
)
2
- 2 x
1
x
2
=

(2a - 1)
2
+ 2 (4a + 3) = 4a
2
+ 4a + 7
= (2a + 1)

2
+ 6

6 với mọi a.
tổng các bình phơng các nghiệm của phơng trình
( )
2
x 2a 1 x 4a 3
= 0
có gía trị nhỏ nhất là 6 khi và chỉ khi a = -
B i toán 12 : a) a; c trái dấu.
b) S =
2
2 2
m 2m 2 m 1
1
m m 1 m m 1
+ + +
= +
+ + + +
Đặt
2
m 1
m m 1
+
+ +
= y

ym
2

+ (y - 1)m + y - 1 = 0 (2)
- Nếu y = 0 thì (2) có nghiệm.
- Nếu y

0 thì (2) có nghiệm khi và chỉ khi


0

(y - 1)
2
- 4y (y - 1)

0

-3y
2
+2y + 1

0

-

y

1
Tóm lại, phơng trình (2) có nghiệm đối với m khi và chỉ khi -

y

1
hay miền gía trị của y là -

y

1



S

2.
Gía trị nhỏ nhất của S là ; gía trị lớn nhất của S là 2.
B i toán 13 : Phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi
'


0

m

2 (1)
Khi đó, x
1
4
+ x
2
4
=

2
4 4 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x+ = +


- 2(x
1
x
2
)
2

x
1
4
+ x
2
4


32.

(4m
2
- 8)
2
- 32

32


2
m 2

2

- 2

m
2
- 2

2


m

2 (2)
Từ (1) và (2) ta có
m
= 2

m =

2
Giáo viên : Trần Văn Nội Trờng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân
25