SKKN Dùng véc tơ Hình học 10

Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



1


KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV : Giáo viên
HS : Học sinh
HH : Hình học
PPVT : Phương pháp véc tơ
SGK, SBT : Sách giáo khoa,sách bài tập
THPT : Trung học phổ thông

Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



2

MỤC LỤC

A. MỞ ðẦU 3
1. Lý do chọn ñề tài 3
2. Nhiệm vụ của ñề tài 4
3. ðối tượng nghiên cứu 4
4. Phạm vi nghiên cứu 4
B. NỘI DUNG 5
1. Cơ sở lý luận 5
2. Cơ sở khoa học 7
3. Thực trạng 7
4. Áp dụng trong thực tế dạy học 8
4.1. Áp dụng quy trình 4 bước trong dạy giải bài tập toán GV 9
4.2. Trước khi giải các bài tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học
sinh các kiến thức và bài tập cơ bản sau 10
4.3. Hệ thống bài tập 12
4.4. Chỉ ra những khó khăn sai lầm của học sinh gặp phải khi giải toán
hình học phẳng bằng PPVT 24
C. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN
27
KẾT LUẬN
28
TÀI LIỆU THAM KHẢO 29
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



3

A. MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài

Một trong những mục ñích dạy toán ở trường phổ thông là: Phát triển ở học
sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức
khoa học của nhân loại ñược tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công
cụ ñể nhận thức và hành ñộng ñúng ñắn trong các lĩnh vực hoạt ñộng cũng
như trong học tập hiện nay và sau này.
Trong ñường lối ñổi mới giáo dục của ðảng và nhà nước ta cũng ñã
khẳng ñịnh: “Phải ñổi mới phương pháp giáo dục ñào tạo, khắc phục lối
truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng
bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện ñại vào quá trình
dạy học, ñảm bảo ñiều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học
sinh”.
Như vậy, quan ñiểm chung về ñổi mới phương pháp dạy học ñã khẳng
ñịnh, cốt lõi của việc ñổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT
là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ ñộng, chống lại thói quen học tập
thụ ñộng. Làm cho học sinh nắm ñược một cách chính xác, vững chắc và có
hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện ñại,
phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức ñó vào những
tình huống cụ thể, vào ñời sống, vào lao ñộng sản xuất, vào việc học tập các
bộ môn khoa học khác.
Việc giải bài tập toán là hình thức tốt nhất ñể củng cố, hệ thống hóa
kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức ñã học
vào những vấn ñề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn ñề mới, là hình thức tốt
nhất ñể giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức ñộ tiếp thu và khả năng vận
dụng kiến thức ñã học.
Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập
cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con
người học sinh về nhiều mặt. Việc giải một bài toán cụ thể không những nhằm
một dụng ý ñơn nhất nào ñó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như học
sinh ñã dùng ñúng phương pháp ñể giải ñúng một vấn ñề toán và cao hơn là một
vấn ñề nào ñó ngoài thực tế mang tính lôgic toán.

Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ trong
nghiên cứu hình học, học sinh có thêm những công cụ mới ñể diễn ñạt, suy
luận ñể giải toán, tránh ñược ảnh hưởng không có lợi của trực giác, từ ñó cho
thấy bất kỳ một vấn ñề gì ñều ñược xem xét và giả quyết trên quan ñiểm khoa
học, với những cách tiệm cận vấn ñề khác nhau sẽ ñưa ra các phương pháp khác
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



4

nhau ñều ñúng ñắn. ðây cũng là dịp tốt ñể học sinh làm quen với ngôn ngữ
toán học cao cấp, từ ñó giáo dục học sinh cách nhìn cởi mở khoa học ñối với
mọi môn học liên quan. Thế nhưng việc sử dụng không thành thạo phương
pháp trên, cụ thể là lúng túng và giải sai bài tập ñã làm học sinh gặp nhiều khó
khăn, hạn chế tới kết quả học tập trong phạm vi chuyên ñề sử dụng “phương
pháp véc tơ” ñể giải toán hình học.
Với những lí do trên, tôi chọn ñề tài nghiên cứu “Dạy giải bài tập về
VÉC TƠ trong hình học 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh”.
2. Nhiệm vụ của ñề tài
2.1. Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập toán theo hướng hình
thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
2.2. Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ năng hình học 10 của Bộ GD-ðT và
xuất phát từ thực tiễn giảng dạy nghiên cứu phương pháp dạy học bài tập hình
học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh.
3. ðối tượng nghiên cứu
3.1. Phương pháp giải bài tập hình học phẳng bằng phương pháp véc tơ

3.2. Các bài tập hình học phẳng bằng phương pháp véc tơ hình học lớp 10
4. Phạm vi nghiên cứu
Bài tập hình học phẳng bằng phương pháp véc tơ trong chương I+II SGK
hình học 10 theo chương trình cơ bản và nâng cao.











Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



5

B. NỘI DUNG

1. Cơ sở lý luận
Theo phương pháp dạy học toán mỗi bài tập toán ñặt ra ở một thời ñiểm
nào ñó của quá trình dạy học ñều chứa ñựng một cách tường minh hay ẩn tàng
những chức năng khác nhau.
Các chức năng ñó là:

- Chức năng dạy học.
- Chức năng giáo dục.
- Chức năng phát triển.
- Chức năng kiểm tra.
Các chức năng ñều hướng tới việc thực hiện các mục ñích dạy học:
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh
những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai ñoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm
chất ñạo ñức của người lao ñộng mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho
học sinh, ñặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê hình thành những phẩm
chất của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm ñánh giá mức ñộ kết quả dạy và
học, ñánh giá khả năng ñộc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến
thức và trình ñộ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và
thực hiện một cách ñầy ñủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách
giáo khoa ñã có dụng ý ñưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm
vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.
Trong các bài toán có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải
và cũng không có một thuật giải tổng quát nào ñể giải tất cả các bài toán.
Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần
dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong
việc suy nghĩ, tìm tòi
lời giải cho mỗi bài toán.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên
cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616

6

trọng bằng làm thế nào ñể giải ñược bài toán. ðể làm tăng hứng thú học tập
của học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một
quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường ñược tiến
hành theo 4 bước sau:

Bước 1:
Tìm hiểu nội dung bài toán
ðể giải ñược một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán ñó và có hứng
thú với việc giải bài toán ñó. Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi ñộng cơ,
kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán
một cách tổng quát. Tiếp theo phải phân tích bài toán ñã cho:
- ðâu là ẩn số, ñâu là dữ kiện.
-Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần).
-Phân biệt các thành phần khác nhau của ñiều kiện, có thể diễn ñạt các
ñiều kiện ñó dưới dạng công thức toán học ñược không?
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Phải phân tích bài toán ñã cho thành nhiều bài toán ñơn giản hơn. Phải
huy ñộng những kiến thức ñã học (ñịnh nghĩa, ñịnh lí, quy tắc ) có liên quan
ñến những ñiều kiện, những quan hệ trong ñề toán rồi lựa chọn trong số ñó
những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự ñoán
kết quả. Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp ñặc biệt. Sau
ñó, xét
một bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán ñã cho.

Bước 3

Thực hiện chương trình giải.

Bước 4:
Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp ñể giải một
loại bài toán nào ñó.
- Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể).
- Khai thác kết quả có thể có của bài toán.
- ðề xuất bài toán tương tự, bài toán ñặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán.
Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa quan trọng.
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



7

Trong nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở ñầu cho một bài
toán khác. Vì vậy "Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói quen kiểm tra lại
bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có
ñặt ñiều kiện hoặc bài toán ñòi hỏi phải biện luận. Việc kiểm tra lại lời giải yêu
cầu học sinh thực hiện một cách thường xuyên”.
2. Cơ sở khoa học
Xuất phát từ các yêu cầu ñối với học sinh về kiến thức cơ bản và kỹ
năng cơ bản trong chương I, II- SGK HH cơ bản và nâng cao là:
- Về kiến thức cơ bản: nắm ñược khái niệm véctơ, hai véctơ bằng nhau,
hai véctơ ñối nhau, véctơ không, quy tắc ba ñiểm, quy tắc hình bình hành, quy

tắc trung ñiểm, ñịnh nghĩa và tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân
véctơ với số thực, tích vô hướng của hai véctơ.
- Về kĩ năng cơ bản: biết dựng một véctơ bằng véctơ cho trước, biết lập
luận hai véctơ bằng nhau, vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba ñiểm
ñể dựng véctơ tổng và giải một số bài toán, biết xác ñịnh số thực k ñối với hai

véc tơ cùng phương
a,b
r r
sao cho
b ka
=
r r
, vận dụng tính chất cơ bản của tích vô
hướng, ñặc biệt ñể xác ñịnh ñiều kiện cần và ñủ của hai véctơ (khác véctơ-
không) vuông góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức về véctơ ñể nghiên
cứu một số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng của ba ñiểm, trung ñiểm
của ñoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, giao ñiểm hai ñường chéo của hình
bình hành…

3. Thực trạng
Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận
dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm
vững kiến thức các khái niệm, ñịnh lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kỹ
năng. Muốn hình thành ñược kỹ năng, ñặc biệt là kỹ năng giải toán cho học
sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt ñộng
và bằng hoạt ñộng tự giác, tích cực, sáng tạo ñể học sinh có thể nắm vững tri
thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện
nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học ñi ñôi với hành, giáo dục kết
hợp với lao ñộng sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”.

Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh ñược học về véctơ, các
phép toán trên véctơ, các tính chất cơ bản của tích vô hướng và những ứng
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



8

dụng của chúng, ñặc biệt là những hệ thức quan trọng trong tam giác: ðịnh lý
Côsin, ñịnh lý Sin, công thức trung tuyến, các công thức tính diện tích tam
giác học sinh phải biết tận dụng các kiến thức cơ bản nói trên ñể giải một số
bài toán hình học và bài toán thực tế. PPVT có nhiều tiện lợi trong việc giải các
bài tập hình học. Tuy vậy, khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải
một số khó khăn, và không tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình
học lớp 10.
Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải ñó là lần ñầu tiên làm quen với
ñối tượng mới là véctơ, các phép toán trên các véctơ. Các phép toán trên các
véctơ lại có mmọt số tính chất tương tự như ñối với các số mà học sinh ñã
học trước ñó, do ñó học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các
phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng PPVT.

Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát ly khỏi hình ảnh trực
quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không
hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán. Vì học sinh có thói quen giải bài toán
hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụng PPVT ñể giải một số bài tập không
sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn hơn.

Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học
thông thường sang “ngôn ngữ véctơ” và ngược lại. Vì vậy cần rèn luyện cho

học sinh kỹ năng chuyển tương ñương những quan hệ hình học từ cách nói
thông thường sang dạng véctơ ñể có thể vận dụng công cụ véctơ trong giải
toán.
4. Áp dụng trong thực tế dạy học
Ở lớp 10 học sinh (học theo chương trình cơ bản hoặc nâng cao) học sinh
ñược học về véc tơ, các phép toán trên véc tơ (phép cộng, phép trừ, phép nhân
véc tơ với số thực, tích vô hướng của hai véc tơ), sau ñó là trục, hệ trục toạ ñộ,
toạ ñộ của ñiểm, toạ ñộ của véc tơ và một vài ứng dụng ñơn giản của phương
pháp toạ ñộ. Tuy học sinh ñược học cả hai phương pháp: Véc tơ và toạ ñộ,
phương pháp chủ yếu vẫn là phương pháp véc tơ. Bởi vì, các hệ thức lượng
trong tam giác và trong ñường tròn ñược xây dựng nhờ véc tơ cùng các phép
toán, ñặc biệt là tích vô hướng của hai véc tơ ñược ñịnh nghĩa theo một ñẳng
thức véc tơ ðể giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT ñể giải các bài toán,
ñối với học sinh lớp 10 khi giảng dạy GV cần lưu ý những vấn ñề sau:
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



9

1 1
( ) (2 )
2 2
OI OM ON k OA OB
= + = +
uur uuuur uuur uuur uuuur
4.1. Áp dụng quy trình 4 bước trong dạy giải bài tập toán GV cần hình
thành cho học sinh các bước giải bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ
theo các bước như sau:

Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn
bước giải bài toán bằng PPVT.
Quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT.
Bước 1: Chọn các véc tơ cơ sở.
Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véc tơ và các phép toán véc tơ ñể
biểu diễn, chuyển ngôn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véc tơ.
Bước 3: Giải bài toán véc tơ.
Bước 4: Kết luận, ñánh giá kết quả.
Giáo viên cần tận dụng các cơ hội ñể rèn luyện cho học sinh khả năng
thực hiện bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT thông qua các bài tập, có
thể minh hoạ quy trình bốn bước trên bằng ví dụ sau:
Bài toán:
Cho góc xOy và hai ñiểm di chuyển trên hai cạnh của góc. M
thuộc Ox, N thuộc Oy, luôn luôn thoả mãn OM = 2ON. Chứng minh rằng trung
ñiểm I của MN luôn thuộc ñường thẳng cố ñịnh.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Lấy ñiểm A ∈ Ox, B ∈Oy sao cho OA = OB, và chọn hai véc tơ
,
OA OB
uuur uuur
làm hai véc tơ cơ sở. Mọi véc tơ trong bài toán ñều phân tích ñược (hoặc
biểu thị ñược) qua hai véc tơ nàu.
Bước 2: Giả thiết cho OM = 2ON, nên nếu
ON kOB
=
uuur uuur
, thì
2
OM kOA
=

uuuur uuur
.
ðiều phải chứng minh là I thuộc một ñường thẳng cố ñịnh (dễ thấy ñường thẳng
này ñi qua O) tương ñương
OI pv
=
uur r
, với
v
r
là một véc tơ cố ñịnh nào ñó.
Bước 3: Do I là trung ñiểm của MN, nên ta có

ðặt
1
,2
2
k p OA OB v
= + =
uuur uuur r
, ta ñược ñiều phải chứng minh.
Bước 4: Nhận xét:
Nếu lấy
'
2
OA OA
=
uuur
uuur
thì

'
v OA OB
= + ⇒
uuur
r uuur
ñường thẳng cố
ñịnh ñó ñi qua trung ñiểm A
’
B.
* Có thể tổng quát hoá bài toán theo hai cách:
- Thay cho giả thiết OM = 2ON bằng OM = m.ON (m là một hằng số).
O
B
N
y
x
A
'
A
I
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



10

- Thay cho kết luận: Trung ñiểm I của MN thuộc một ñường thẳng cố ñịnh
bằng kết luận: Mỗi ñiểm chia MN theo tỷ số
IM p

IN q
=
(p, q là hằng số dương) ñều
thuộc một ñường thẳng cố ñịnh.
Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán bằng PPVT, giáo viên cần
chú ý ñến những tri thức phương pháp:
Ở bước 1: Nên chọn các véc tơ cơ sở sao cho các véc tơ trong bài toán
phân tích theo chúng thuận lợi nhất. Qua mỗi bài toán học sinh sẽ thấy việc chọn
các véc tơ cơ sở như thế nào.
Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển ñổi ngôn ngữ một cách
thành thạo. Cách chuyển ñổi như thế nào ta có thể thấy qua từng nhóm bài toán
sẽ ñược trình bày dưới ñây.
Ở bước 3: Cần nắm vững các phép toán véc tơ. ðồng thời, thông qua các
bài tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ ñược tính ưu việt của
PPVT. ðặc biệt các bài tập về tìm tập hợp ñiểm, các bài tập về chứng minh 3
ñiểm thẳng hàng, chứng minh hai ñường thẳng song song, hai ñường thẳng
vuông góc, là những dạng toán có nhiều cơ hội ñể làm rõ vấn ñề này.
4.2. Trước khi giải các bài tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học
sinh các kiến thức và bài tập cơ bản sau (vì ñây là các tri thức phương pháp ñể
giải các bài tập sau này).
A - ðiều kiện cần và ñủ ñể hai véc tơ không cùng phương
Bài toán 1
: (Bài 12-trang 17-SBT-HH10-nâng cao)
Chứng minh rằng hai véc tơ
a
r
và
b
r
cùng phương khi và chỉ khi có cặp số

m, n không ñồng thời bằng 0 sao cho
0
ma mb
+ =
r r r
. Suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể
a
r
và
b
r
cùng phương là có cặp số m, n không thời bằng 0 sao cho
0
ma mb
+ =
r r r
.
B-Tâm tỉ cự của hệ ñiểm {A
1
, A
2
, A
n
} ứng với các hệ số
{
1
α
,
2
α

,
n
α
} (n ≥ 2).
Bài toán 2
: Cho hai ñiểm A, B phân biệt và hai số
,
α β
không ñồng thời
bằng không. Chứng minh rằng:
a) Nếu
α β
+
= 0 thì không tồn tại ñiểm M sao cho
0
MA MB
α β
+ =
uuur uuur r
.
b) Nếu
α β
+

≠
0 thì tồn tại duy nhất ñiểm M sao cho
0
MA MB
α β
+ =

uuur uuur r
.
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



11

Bài toán 3: Cho hai ñiểm A, B và hai số thực
,
α β
. Chứng minh: Nếu
α β
+
= 0 thì véc tơ
v MA MB
α β
= +
r uuur uuur
không ñổi, không phụ thuộc vào vị trí ñiểm
M
Bằng phương pháp quy nạp ta có thể chứng minh ñược kết quả tổng quát:
- Cho n ñiểm A
1
, A
2
, A
n
và n số thực

1
α
,
2
α
,
n
α
sao
cho
1
α
+
2
α
+ +
0
n
α
≠
. Khi ñó tồn tại duy nhất ñiểm I sao cho:

1 1 2 2
0
n n
IA IA IA
α α α
+ + + =
uur uuur uuur r
(1).

ðiểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ ñiểm {A
1
, A
2
, A
n
} ứng với các hệ số
{
1
α
,
2
α
,
n
α
} (n ≥ 2).
Từ (1), với ñiểm M tùy ý ta có:
1 1 2 2 1 2
( )
n n n
MA MA MA MI
α α α α α α
+ + + = + + +
uuuur uuuur uuuur uuur

Công thức này thường xuyên ñược sử dụng trong những bài toán có liên
quan tới tâm tỉ cự. Ta gọi nó là công thức thu gọn.
Với n = 3 và
1

α
=
2
α
=
3
1
α
=
, ta thấy ñây là tính chất trọng tâm của tam giác
ñược trình bày dưới ñây.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC và 3 số
, ,
α β γ
không ñồng thời bằng 0.
Chứng minh rằng:
a. Nếu
0
α β γ
+ + ≠
thì tồn tại duy nhất ñiểm I sao cho
0
IA IB IC
α β γ
+ + =
uur uur uur r
.
b. Nếu
0
α β γ

+ + =
thì không tồn tại ñiểm M sao cho
0
MA MB MC
α β γ
+ + =
uuur uuur uuuur r
.
C-Tính chất trung ñiểm.
Bài toán 5
: M là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB khi và chỉ khi
0
MA MB
+ =
uuur uuur r

Hoặc với ñiểm M bất kỳ ta có
2
MA MB MI
+ =
uuur uuur uuur
.
D-Tính chất trọng tâm tam giác.
Bài toán 6
: Cho tam giác ABC. CMR ñiểm G là trọng tâm tam giác khi
và chỉ khi
0
GA GB GC
+ + =
uuur uuur uuur r

hoặc với ñiểm M bất kỳ ta có 3
GA GB GC MG
+ + =
uuur uuur uuur uuuur
.
E-ðiều kiện cần và ñủ ñể ba ñiểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.
Bài toán 7
: Ba ñiểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi thoả mãn
một trong các ñiều kiện sau:
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



12

1. Tồn tại một số k khác 0 sao cho
AB kAC
=
uuur uuur

2. Cho một ñiểm I và một số t nào ñó sao cho
(1 )
IA tIB t IC
= + −
uur uur uur
là ñiều
kiện cần và ñủ ñể ba ñiểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.
F-Công thức ñiểm chia.
Bài toán 8

: Cho ñoạn thẳng AB, số thực k khác 0 và 1. Ta nói ñiểm M
chia ñoạn AB theo tỉ số k nếu
MA kMB
=
uuur uuur
. CMR với ñiểm C bất kỳ ta có:

1
1 1
k
CM CA CB
k k
= −
− −
uuuur uuur uuur
(*). Ta gọi (*) là công thức ñiểm chia
G-Công thức hình chiếu.
Cho hai véc tơ
,
OA OB
uuur uuur
. Gọi B
’
là hình chiếu của B trên ñường thẳng OA
khi ñó:
'
. .
OAOB OAOB
=
uuur

uuur uuur uuur
.
Véc tơ
'
OB
uuur
gọi là hình chiếu của
OA
uuur
trên ñường thẳng OA; Công thức
'
. .
OAOB OAOB
=
uuur
uuur uuur uuur
gọi là công thức hình chiếu.
4.3. Hệ thống bài tập.
Trong thực tế giảng dạy và học tập, không phải lúc nào giải bài tập cũng
làm theo 4 bước như trên, không phải lúc nào cũng phân tích các véc tơ theo hai
véc tơ cơ sở cho trước, mà có thể giải quyết bài toán một cách linh hoạt.
Việc rèn luyện cho học sinh thông qua một hệ thống bài tập ñã ñược phân
loại sẽ ñem lại hiệu quả cao trong dạy học.
Việc ñưa ra hệ thống bài tập ñã ñược phân loại nhằm giúp học sinh có
kinh nghiệm giải toán và rèn luyện các kỹ năng:
- Chuyển bài toán sang ngôn ngữ véc tơ.
- Phân tích một véc tơ thành một tổ hợp véc tơ.
- Kỹ năng biết cách ghép một số véc tơ trong một tổ hợp véc tơ.
- Biết khái quát hoá một số những kết quả ñể vận dụng vào bài toán tổng quát
hơn.

ðặc biệt biết vận dụng quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng
PPVT vào giải các bài tập hình học.
* Giáo viên có thể sử dụng hệ thống bài tập ñã phân dạng này trong các
tình huống dạy học khác nhau như: Làm bài tập về nhà, bài tập phân hoá, dùng
ñể bồi dưỡng HS khá giỏi, dùng ñể kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm góp phần
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



13

bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh (chủ yếu là bồi dưỡng học sinh khá
giỏi).
Dạng 1: Chứng minh ba ñiểm thẳng hàng.
ðối với dạng toán trên ta có thể dùng ñiều kiện cùng phương của hai véc
tơ ñể giải toán.
Véc tơ
b
r
cùng phương với véc tơ
( 0)
a a
≠
r r
khi và chỉ khi có số k sao cho
b ka
=
r r
.

* Từ ñó ứng dụng vào dạng toán:
Cho 3 ñiểm A, B, C thoả mãn một ñiều kiện xác ñịnh. Chứng minh rằng
A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp
:
- Hãy xác ñịnh véc tơ
,
AB AC
uuur uuur

- Chỉ ra rằng hai véc tơ ñó cùng phương, nghĩa là hãy chỉ ra số thực k sao
cho
AB kAC
=
uuur uuur
.
Ví dụ
: (Bài 19-tr8-SBT HH10 nâng cao)
Cho tam giác ABC. Các ñiểm M, N, P lần lượt chia các ñoạn thẳng AB,
BC, CA theo các tỷ số lần lượt là m, n, p (ñều khác 1).
Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi mnp = 1 (ðịnh lý
Mênêlauýt).
Hướng dẫn giải: (Theo quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT)
Bước 1
: GV chọn véc tơ cơ sở.
HS: Chọn hai véc tơ
,
CA CB
uuur uuur
làm hai véc tơ cơ sở. Mọi véc tơ xuất hiện

trong bài toán ñều phân tích ñược theo hai véc tơ này.
Bước 2:
GV: Các ñiểm M, N, P lần lượt chia các
ñoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỷ số
lần lượt là m, n, p (ñều khác 1) tương
ñương với các ñẳng thức véc tơ nào?
HS:
; ;
MA mMB NB nNC PC pPA
= = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
A
P
C
B
N
M
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



14

GV: ðiều phải chứng minh M, N, P thẳng hàng tương ñương với ñẳng
thức véc tơ nào phải xảy ra?
HS: - Chỉ ra số thực k sao cho
MP kMN
=

uuur uuuur
hoặc
- Với ñiểm O bất kỳ và một số thực ta có
(1 )
OM tON t OP
= + −
uuuur uuur uuur
.
Bước 3
: Lấy ñiểm O nào ñó, ta có

; ;
1 1 1
OA mOB OB nOC OC pOA
OM ON OP
m n p
− − −
= = =
− − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur

ðể ñơn giản tính toán, ta chọn ñiểm O trùng với ñiểm C khi ñó ta có:
; ;
1 1 1
CA mCB CB pCA
CM CN CP
m n p
−
= = =

− − −
uuur uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur
(1)
Từ hai ñẳng thức cuối của (1) ta có:
1
(1 ) ;
p
CB n CN CA CP
p
−
= − =
uuur uuur uuur uuur
Và thay vào ñẳng thức ñầu của (1) ta ñược:

1 (1 )
(1 ) 1
p m n
CM CP CN
p m m
− −
= −
− −
uuuur uuur uuur

Từ Bài toán 9: ðiều kiện cần và ñủ ñể 3 ñiểm M, N, P thẳng hàng là:

1 (1 )
1 1 (1 ) (1 ) 1
(1 ) 1

p m n
p pm n p m mnp
p m n
− −
− = ⇔ − − − = − ⇔ =
− −

Bước 4:
Vậy cho tam giác ABC. Các ñiểm M, N, P lần lượt chia các ñoạn
thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p thì M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi: mnp
=1.
Lưu ý: Học sinh có thể vận dụng cách chứng minh bài toán trên vào giải
các bài toán sau:
1/ Bài 38-tr11-SBT- HH10-nâng cao.
Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm ñường tròn trên ngoại tiếp O.
Chứng minh rằng:
a/
OA OB OC OH
+ + =
uuur uuur uuur uuur

b/
2
HA HB HC OH
+ + =
uuur uuur uuur uuur

2/ Bài 39 - tr11 - SBT - HH10 - nâng cao.
Cho 3 dây cung song song AA
1

, BB
1
, CC
1
của hình tròn (O). Chứng minh
rằng trực tâm của 3 tam giác ABC
1
, BCA
1
và ACB
1
nằm trên một ñường thẳng.
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



15

3/ Bài toán: Cho tam giác ABC ñường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC
tiếp xúc với cạnh BC tại D. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AD và BC.
Chứng minh 3 ñiểm M, N, I thẳng hàng.
Chứng minh trên có sử dụng kết quả bài tập sau:
4/Bài 37b - tr11- SBT HH10 - nâng cao
Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b. Gọi I là tâm
ñường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
0
aIA bIB cIC
+ + =
uur uur uur r

.
* Hệ thống bài tập
Bài 1: Bài 26 - SBT HH10 - nâng cao
Cho ñiểm O cố ñịnh và ñường thẳng d ñi qua hai ñiêm A, B cố ñịnh.
Chứng minh rằng ñiểm M thuộc ñường thẳng d khi và chỉ khi có số
α
sao cho:
(1 )
OM OA OB
α α
= + −
uuuur uuur uuur
. Với ñiều kiện nào của
α
thì M thuộc ñoạn thẳng AB.
Bài 2
: Trên các cạnh của tam giác ABC, lấy các ñiểm M, N, P sao cho:
3 6 2 0
MA MB NB NC PC PA
+ = − = + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
. Hãy biểu thị
AN
uuur
qua
AM
uuuur
và
AP
uuur

, từ ñó suy
ra M, N, P thẳng hàng.
Bài 3
: Cho tam giác ABC, gọi D, I, N là các ñiểm xác ñịnh bởi hệ thức:
3 2 0, 3 , 2
DB DC AN NB CI CN
− = = =
uuur uuur r uuur uuur uur uuur
. Chứng minh A, I, D thẳng hàng.
Bài 4:
Bài 20a-tr8-SBT HH10-nâng cao
Cho tam giác ABC và các ñiểm A
1
, B
1
, C
1
lần lượt nằm trên các ñường
thẳng BC, CA, AB. Gọi A
2
, B
2
, C
2
lần lượt là các ñiểm ñối xứng với A
1
, B
1
, C
1

qua trung ñiểm của của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) Nếu 3 ñiểm A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng thì 3 ñiểm A
2
, B
2
, C
2
cũng thế.
b) Trọng tâm của 3 tam giác ABC, A
1
B
1
C
1
, A
2
B
2
C
2
thẳng hàng.
Bài 5:
Cho tam giác ABC ñều, tâm O. M bất kỳ ở trong tam giác ABC và

có hình chiếu xuống 3 cạnh BC, CA, AB tương ứng là P, Q, R. Gọi K là trọng
tâm tam giác PQR.
a) Chứng minh: M, O, K thẳng hàng.
b) Cho N là một ñiểm tùy ý trên BC. Hạ NE, NF tương ứng vuông góc với AC,
AC. Chứng minh N, J, O thẳng hàng, với J là trung ñiểm của EF.
Bài 6:
Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Qua ñiểm M
tùy ý trên mặt phẳng tam giác ABC dựng các ñường thẳng song song với GA,
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



16

GB, GC, chúng tương ứng cắt BC, CA, AB tại A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh M, G, G
1

thẳng hàng, với G
1
là trọng tâm tam giác A
1
B
1

C
1
. Có nhận xét gì về ñiểm G
1
?
Bài 7: Bài 28-tr24-SGK HH10-nâng cao
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
a) Có một ñiểm G duy nhất sao cho
0
GA GB GC GD
+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
. ðiểm G như
thế gọi là trọng tâm của 4 ñiểm A, B, C, D. Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi G
là trọng tâm của tứ giác ABCD.
b) Trọng tâm G là trung ñiểm của mỗi ñoạn thẳng nối các trung ñiểm hai
cạnh ñối của tứ giác, nó cũng là trung ñiểm của ñoạn thẳng nối trung ñiểm hai
ñường chéo của tứ giác.
c) Trọng tâm G nằm trên các ñoạn thẳng nối một ñỉnh của tứ giác và trọng
tâm của tam giác tạo bởi 3 ñỉnh còn lại.
Bài 8
: Cho tứ giác ABCD. Hai ñiểm M, N thay ñổi trên các cạnh AB, CD
sao cho
AM CN
AB CD
=
. Gọi P, Q lần lượt là trung ñiểm của hai ñường chéo AC, BD,
I là trung ñiểm của MN. Chứng minh 3 ñiểm P, I, Q thẳng hàng.
Bài 9
: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp ñường tròn tâm I. Gọi E, F lần lượt là

trung ñiểm của các ñường chéo AC, BD. Chứng minh rằng I, E, F thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc.
Vận dụng các kiến thức và PPVT ñể giải quyết các bài toán về quan hệ
vuông góc sẽ cho lời giải khá rõ ràng, ngắn gọn.
Thông thường với dạng toán trên, ta có thể quy về bài toán chứng minh
hai ñường thẳng vuông góc, hay từ ñịnh nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ ta có
thể suy ra: Nếu
,
a b
r r
là hai véc tơ khác
0
r
với
a
r
nằm trên ñường thẳng a,
b
r
nằm
trên ñường thẳng b thì
. 0
a b ab
⊥ ⇔ =
r r
.
Vậy bài toán chứng minh hai ñường thẳng vuông góc có thể quy về bài
toán chứng minh tích vô hướng của hai véc tơ bằng 0.
Ví dụ 1
: Cho tam giác ABC cân tại A; M là trung ñiểm của BC, H là hình

chiếu của M trên AC, E là trung ñiểm của MH. Chứng minh rằng AE ⊥ BH.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



17

Trước hết học sinh phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể: ðây là dạng
toán chứng minh hai ñường thẳng vuông góc. Tiếp theo phải phân tích bài toán ñã
cho.
- Bài toán cho biết gì? (Cho tam giác ABC cân tại A, H là hình chiếu của
M trên AC, E là trung ñiểm của MH).
- Bài toán hỏi gì? (Chứng minh AE ⊥ BH).
- Tìm mối liên hệ giữa cái phải tìm với cái ñã cho.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải:
ðể chứng minh AE ⊥ BH, ta phải chứng minh những gì ? (phải chứng
minh ñẳng thức véc tơ
. 0
AE BH
=
uuur uuur
)
ðể sử dụng giả thiết AM ⊥ BC (Hay
. 0
AM BC
=
uuuur uuur

)
và MH ⊥ AC (Hay
. 0
MH AC
=
uuuur uuur
) ta phải phân tích
véc tơ
,
AE BH
uuur uuur
theo những véc tơ nào?
Khi ñó
. ?
AE BH
=
uuur uuur

Bước 3
: Thực hiện chương trình giải
2 . ( )( )
AE BH AM AH BM BH
= + +
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

=
AM MH AH BM
+
uuuuruuuur uuuruuuur

=
( )
AM MH AM MH BM AM MH MHMC
+ + = +
uuuuruuuur uuuur uuuur uuuur uuuuruuuur uuuur
uuuur

=
2 2
0
HM MH MH MH MH MH AE BH
+ = + = ⇒ ⊥
uuuuruuuur uuuuruuuur uuuur uuuur

Bước 4
: - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- Kiểm tra lại các bước giải của bài toán.
* Hệ thống bài tập
Bài 1: (Bài 8-tr5-SGK-HH10-nâng cao)
Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể tam giác ABC vuông tại A là
2
BABC AB
=
uuuruuur
.
Bài 2
: Bài 11-tr40-SGK-HH10-nâng cao
Tam giác MNP có MN=4, MP=8,
¶
0

M 60
=
. Lấy ñiểm E trên tia MP và ñặt
ME kMP
=
uuur uuur
. Tìm k ñể NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP.
A
B
C
H
M
E
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



18

Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng BC và H
là ñiểm nằm trên ñường thẳng BC. Chứng minh rằng
2 2
AB AC
− =
2 .
BC MH
uuur uuuur
là
ñiều kiện cần và ñủ ñể AH ⊥ BC.

Bài 4: Các ñường AM, BE, CF là trung tuyến của tam giác ABC
a) Chứng minh rằng
2 2 2
BE CF 5AM
+ =
là ñiều kiện cần và ñủ ñể

0
BAC 90
=

b) Chứng minh rằng
2 2 2
AB AC 5BC
+ =
là ñiều kiện cần và ñủ ñể BE ⊥ CF
Bài 5
: Cho tam giác ABC vuông cân tại ñỉnh A, trên các cạnh AB, BC, CA
ta lần lượt lấy các ñiểm M, N, E sao cho
AM BN CE
MB NC EA
= = Chứng minh rằng: AN ⊥
ME
Bài 6:
Cho tam giác ñều ABC. Lấy các ñiểm M, N thoả mãn:
1
3
BM BC
=
uuuur uuur

;
1
3
AN AB
=
uuur uuur
gọi I là giao ñiểm của AM và CN. Chứng minh rằng góc

0
BIC 90
=

Bài 7
: Tam giác ABC cân tại A nội tiếp ñường tròn (O), D là trung ñiểm
của AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng OE ⊥ CD.
Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn (O), ngoại tiếp ñường tròn
(I). B
’
là ñiểm ñối xứng của B qua O. (I) tiếp xúc với các cạnh BA, BC tại P, Q.
Trên BA, BC lấy các ñiểm K, L sao cho BK = CQ, BL = AP. Chứng minh rằng
B
’
I ⊥ KL.
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi O, I lần lượt là tâm ñường tròn ngoại tiếp,
nội tiếp tam giác. Trên các tia BA, CA lấy các ñiểm E, F sao cho EB = BC = CF.
Chứng minh rằng OI ⊥ EF.
Bài 10
: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể tứ
giác có hai ñường chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh ñối diện
bằng nhau.

Bài 11
: Bài 22-tr41-SBT-HH10-nâng cao
Tứ giác ABCD có hai ñường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M,
gọi P là trung ñiểm ñoạn thẳng AD. Chứng minh rằng MP ⊥ BC khi và chỉ khi
. .
MA MC MB MD
=
uuuuruuuur uuur uuuur
.
Bài 12
: Các ñường chéo của tứ giác ABCD là vuông góc và bằng nhau.
Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lần lượt lấy các ñiểm P, Q, R, S sao cho:
; ; ; ( 1)
AP kPB BQ kQC CR kRD DS kSA k
= = = = ≠ −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur

Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



19

Chứng minh SQ ⊥ PR
Bài 13
: Bài 23-tr41-SBT-HH10-nâng cao
Cho hình vuông ABCD, ñiểm M nằm trên ñoạn thẳng AC sao cho
4
AC

AM =
. Gọi N là trung ñiểm ñoạn thẳng DC. Chứng minh rằng BMN là tam
giác vuông cân.
Bài 14
: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BK vuông góc với AC. Gọi M, N
lần lượt là trung ñiểm của AK và CD. Chứng minh rằng góc BMN vuông.
Bài 15: Cho hình vuông ABCD. Các ñiểm M, N thuộc các cạnh BA, BC
sao cho BM = BN. H là hình chiếu của B trên CM. Chứng minh rằng DHN =
90
0
.
Bài 16
: Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O; R). Chứng minh rằng
AC ⊥ BD ⇔ AB
2
+ CD
2
= 4R
2
.
Bài 17
: Bài 32-tr43-SBT-HH10-nâng cao
Trong ñường tròn
ξ
(O; R) cho hai dây cung AA
’
, BB
’
vuông góc với
nhau ở ñiểm S và gọi M là trung ñiểm của AB. Chứng minh rằng SM ⊥ A

’
B
’
.
Bài 18:
Bài 35-tr43-SBT-HH10-nâng cao
Cho ñiểm M nằm trong góc

xOy
và gọi M
1
, M
2
lần lượt là hình chiếu của
M trên Ox, Oy. Vẽ ñường tròn (
ϕ
) qua M
1
, M
2
, ñường tròn này cắt 2 cạnh Ox,
Oy lần lượt ở N
1
, N
2
. Kẻ ñường thẳng vuông góc Ox ở N
1
và ñường thẳng vuông
góc Oy ở N
2

. Giả sử hai ñường thẳng ñó vuông góc với nhau ở N. Chứng minh
rằng ON ⊥ M
1
M
2.
Dạng 3: Chứng minh ñẳng thức véc tơ.
ðẳng thức véc tơ là một ñẳng thức mà cả hai vế là các biểu thức véc tơ.
Mỗi biểu thức chứa các hạng tử là véc tơ và chúng ñược nối với nhau bởi các
dấu của các phép toán véc rơ hoặc một trong hai vế của ñẳng thức ñó là
0
r
.
ðể chứng minh các bài tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng các quy tắc 3
ñiểm, quy tắc hình bình hành ñể dựng các véc tơ ñược cho ở hai vế của ñẳng
thức, sử dụng công thức trọng tâm của tam giác, trung ñiểm của ñoạn thẳng,
tính chất của các phép toán, các tính chất của tích vô hướng của hai véc tơ ñể
rút gọn hai vế
Ví dụ
: Chứng minh rằng với 4 ñiểm A, B, C, D ta có
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



20

. . . 0
ABCD AC DB AB BC
+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

(*)
Hướng dẫn giải:

Bước 1
: Chọn véc tơ
, ,
AB AC AD
uuur uuur uuur
làm các véc tơ cơ sở. Mọi véc tơ xuất
hiện trong bài toán ñều phân tích ñược qua véc tơ này.
Bước 2
: Bài toán ñã cho dưới dạng ngôn ngữ véc tơ.
Bước 3
: . . .
ABCD AC DB AB BC
+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

=
( ) ( ) ( )
AB AD AC AC AB AD AD AC AB
− + − + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

=
. . . . . .
AB AD AB AC AC AB AC AD AD AC AD AB
− + − + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur

= (
. . ) ( . . ) ( . . ) 0
AB AD AD AB AC AB AB AC AD AC AC AD
− + − + − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur

Bước 4
: Nhận xét:
1. ðẳng thức véc tơ (*)ñược gọi là hệ thức Ơle. Có thể dùng hệ thức Ơle
ñể chứng minh: Trong tam giác 3 ñường cao ñồng quy.
Thật vậy, giả sử các ñường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC cắt nhau tại
H. Áp dụng hệ thức Ơle cho 4 ñiểm H, A, B, C ta có:
. . . 0
HA BC HB CA HC AB
+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Do
HB CA,HC AB
⊥ ⊥
nên
. . 0
HB CA HC AB
= =
uuur uuur uuur uuur
từ ñó
. 0
HA BC

=
uuur uuur
tức
HA BC
⊥
.
2. Kết quả vừa chứng minh là sự mở rộng ñẳng thức

. . . 0
ABCD AC DB AD BC
+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
khi A, B, C, D nằm trên một ñường thẳng.
* Hệ thống bài tập
Bài 1
: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Chứng minh rằng
1.
. . . 0
MA BC MBCA MC AB
+ + =
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur

2.
2 2 2 2 2 2 2
MA MB MC 3MG GA GB GC
+ + = + + +

3.
2 2 2 2 2 2
GA GB GC a b c ,

+ + = + + với a, b, c là ñộ dài 3 cạnh tam giác ABC.
4. Nếu tam giác ABC nội tiếp (O; R) thì
2 2 2 2 2
OG R (a b c ).
= − + +

5. Nếu trọng tâm G của tam giác ABC thoả mãn ñiều kiện
0
aGA bGB cGC
+ + =
uuur uuur uuur r
thì tam giác ABC ñều.
Bài 2:
Cho tam giác ABC, gọi H là trực tâm, I là tâm ñường tròn nội tiếp.
Chứng minh:
1.
0
aIA bIB cIC
+ + =
uur uur uur r
(a, b, c là ñộ dài các cạnh tam giác ABC).
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



21

2.
tan tan tan 0

AHA BHB CHC
+ + =
uuur uuur uuur r

3.
. . . 0
a b c
S MA S MB S MC
+ + =
uuur uuur uuuur r
, trongñó M là ñiểm bất kỳ nằm trong tam giác
ABC, S
a
, S
b
, S
c
theo thứ tự là diện tích của tam giác MBC, MCA, MAB.
4.
2 2 2
a.IA b.IB c.IC abc
+ + =
.
Bài 3:
cho tam giác ñều ABC tâm O, M là ñiểm bất kỳ trong tam giác. Hạ
MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

3
2
MD ME MF MO

+ + =
uuuur uuur uuur uuuur

Bài 4:
Cho tứ giác ABCD, gọi I, J theo thứ tự là trung ñiểm của AC, BD.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2
AB BC CD DA AC BD 4IJ
+ + + = + +

Bài 5:
Cho tứ giác ABCD và số k ≠ 0; k ≠ 1. Trên các ñường thẳng AB,
BC, CD, DA ta lấy các ñiểm tương ứng A
’
, B
’
, C
’
, D
’
sao cho:
Dạng 4: Các bài toán tìm tập hợp ñiểm.
Trong hình học phẳng thường chỉ ñề cập ñến bài toán quỹ tích của ñiểm
M chuyển ñộng trong mặt phẳng thoả mãn ñiều kiện nào ñó.
Bằng phương pháp tổng hợp chỉ nghiên cứu bài toán quỹ tích trên các bài
toán quỹ tích cơ bản. Bằng phương pháp véc tơ nghiên cứu quỹ tích của ñiểm M
chuyển ñộng trong mặt phẳng thoả mãn ñiều kiện nào ñó (ta gọi tính chất
α
)
theo nguyên tắc chung là phải thiết lập ñược tính tương ứng giữa tính chất

α
với
các ñiều kiện của các véc tơ có liên quan ñến ñiểm M và từ ñó mô tả hình H =
{(M/M có tính chất
α
)}. Do ñó phạm vi nghiên cứu ñược mở rộng hơn và nhiều
bài cho lời giải khá dễ dàng.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các ñiểm M sao cho
a)
. ( )
MA MB k k R
= ∈
uuur uuur

b)
2 2
2 .
MB MB MC a
+ =
uuur uuuur

(a là ñộ dài cạnh BC)
Hướng dẫn giải:


. ( )( )
MA MB k MI IA MI IA k
= ⇔ + − =
uuur uuur uuur uur uuur uur

⇔
2 2
IM IA k
− =
2
2
4
AB
IM k
⇔ = +

Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



22

* Nếu
2 2
0
4 4
AB AB
k k+ > ⇔ > −
Tập hợp những ñiểm M là ñường tròn tâm
I, bán kính
2
4
AB
k

+

* Nếu
2
0
4
AB
k IM
= − ⇒ = ⇔
Tập hợp M là ñiểm I.
* Nếu
2 2
0
4 4
AB AB
k k
+ < ⇔ < − ⇔
tậ hợp ñiểm M là tập rỗng.
* Nếu k = 0 ta có ngay
. 0
MA MB
= ⇔
uuur uuur
tập hợp ñiểm M là ñường tròn ñường
kính AB.
b)
2 2 2
2 . (2 )
MB MB MC a MB MB MC a
+ = ⇔ + =

uuur uuuur uuur uuur uuuur
(1)
Chọn ñiểm K thoả mãn:
2 0
KB KC
+ =
uuur uuur r
. K cố ñịnh
2 3
MB MC MK
⇒ + =
uuur uuuur uuuur

(1)
2
.
3
a
MB MK⇔ =
uuur uuuur

Gọi I là trung ñiểm của BK, và biến ñổi như câu a) ta ñược:
(1)
2 2
2
4 3
BK a
MI
⇔ = +
có thể thấy

3
a
BK
=

Do ñó (1)
2
2
13 13
36 6
a a
IM IM⇔ = ⇒ =

Vậy tập hợp những ñiểm M là ñường tròn tâm I, bán kính
13
6
a

Ví dụ 2:
Cho ñoạn thẳng AB và số thực k. Tìm tập hợp ñiểm M thoả mãn
ñiều kiện:
.
AB AM k
=
uuur uuuur
.
Hướng dẫn giải:

Ta tiến hành biến ñổi bài toán về dạng quen thuộc. Họi H là hình chiếu
của M trên ñường thẳng AB ta có:

. ( . ) .
AB AM k AB AH HM k AB AH k
= ⇔ = ⇔ =
uuur uuuur uuur uuur uuuur

.
k
AB AH k AH
AB
⇔ = ⇔ =
uuur uuur uuur
uuur
ñiều này chứng tỏ H là ñiểm cố ñịnh. Vậy tập
hợp ñiểm M là ñường thẳng vuông góc với AH tại H.
Chú ý rằng trong quá trình lí luận, ta ñã sử dụng phép biến ñổi tương
ñương, vì vậy các phần thuận và ñảo ñược chứng minh song song. Giới hạn quỹ
tích chính là phần ñảo. Bài toán này ñược xem là một bài toán cơ bản, Phần lớn
các bài toán phức tạp ñều ñược ñưa về bài toán này qua một số phép biến ñổi
tương ñương.
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



23

* Hệ thống bài tập:
Bài 1
: Cho hai ñiểm phân biệt A, B và số dương k ≠ 1. Tìm tập hợp các
ñiểm M thoả mãn:

MA
k
MB
=

Bài 2:
Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp ñiểm M sao cho:
a)
2 2 3
MA MB MC MA MB MC
+ + = + +
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur

b)
( )( 2 3 ) 0
MB MC MA MB MC
+ + + =
uuur uuuur uuur uuur uuuur

c)
2 2 2
1
. ( )
2
MA MB MC MA MB
= − −
uuur uuur

d) Cho tam giác ABC ñều cạnh a tìm tập hợp những ñiểm M sao cho:
2

5
. . .
2
a
MA MB MB MC MC MA+ + =
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur

2 2 2
MB MC 2MA 0
+ − =

Bài 3:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tìm tập hợp các ñiểm M sao cho:
a)
2 2 2 2 2
4
3
3
MA MB MC MD a
+ + − = −
b)
2
( )( ) 3
MA MB MC MC MB a
+ + − =
uuur uuur uuuur uuuur uuur

Bài 4:
Cho tứ giác ABCD. Hai ñiểm M, N thay ñổi trên các cạnh AB, CD
sao cho:

AM CN
AB CD
=

Bài 5:
Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các ñiểm M sao cho:
a)
2
MA MB MC MD MA MB MC
+ + + = + −
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur

b)
( 2 3 )( ) 0
MA MB MC MA MD
+ + + =
uuur uuur uuuur uuur uuuur

c)
(
)
2 2 2 2
MA MB MC MD k k 0 .
+ + + = >
d) Gọi I, J là trung ñiểm của AB, CD. Tìm tập hợp các ñiểm M sao cho:
2
1
. .
2
MA MB MC MD IJ

+ =
uuur uuur uuuur uuuur uur

B thay ñổi lần lượt trên , Các ñiểm A. b, Cho góc xOy và hai số dương a:6Bài
Ox, Oy sao cho . Chứng minh rằng trung ñiểm I của AB thuộc một ñường thẳng.

`Hệ thống bài tập trên cùng với những kỹ năng giải toán cần thiết như:
Chuyển bài toán sang ngôn ngữ véc rơ, phân tích một véc tơ thành một tổ hợp
véc tơ, kỹ năng biết cách ghép một số véc tơ trong một tổ hợp véc tơ ñã giúp
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



24

học sinh dễ nhận dạng và tìm ñược cách giải cho mỗi bài toán cụ thể, giúp học
sinh có hứng thú học tập môn toán, góp phần phát triển năng lực giải toán.
Sự phân dạng các bài tập trên ñã tạo ñiều kiện cho học sinh tuỳ theo năng
lực, trình ñộ của mình có thể chủ ñộng, sáng tạo hơn khi học tập, nghiên cứu về
chủ ñề véc tơ trong chương trình HH 10 (Cả sách cơ bản và nâng cao).
4.4. Chỉ ra những khó khăn sai lầm của học sinh gặp phải khi giải toán
hình học phẳng bằng PPVT.
PPVT có nhiều tiện lợi trong việc giải các bài tập hình học. Tuy vậy, khi sử
dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải một số khó khăn, và không tránh
khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học lớp 10.
Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải ñó là lần ñầu tiên làm quen với ñối
tượng mới là véctơ, các phép toán trên các véctơ. Các phép toán trên các véctơ
lại có nhiều tính chất tương tự như ñối với các số mà học sinh ñã học trước
ñó, do ñó vì học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các

phép
toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng PPVT.
Ví dụ 1
: Cho bốn ñiểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: Error! Objects cannot be
created from editing field codes Với bài toán trên, nhiều học sinh ñã bị
học
sinh ñã hiểu bài toán này như sau: Cho bốn ñiểm A, B, C, D. Chứng minh
rằng:
AB CD AD CB
+ = +
Vì hiểu sai bài toán, dẫn ñến khó khăn trong quá trình tìm
lời giải bài toán.
Ví dụ 2
: Cho tam giác ABC với
AB 3,AC 5, BC 7
= = =
. Tính
AB . AC
uuur uuur
, tính góc A,
và góc giữa hai ñường thẳng AB và AC. Có học sinh giải bài toán này như sau: Ta
có
. D 3.5 15
AB C
= =
uuur uuur
.
cos 1
.
AB AC

A
AB AC
⇒ = =
uuur uuur
nên số ño của góc A là
0
0
, góc giữa hai
ñường thẳng AB, AC là
0
0 .

Lời giải 2
:Ta có
2 2 2
1 15
. ( )
2 2
AB AC AB AC BC
−
= + − =
uuur uuur
nên
15
1
2
cos
15 2
A
−

= = −

Do ñó : góc A có số ño 120 ñộ. Góc giữa 2 ñường thẳng AB, Ac là 120 ñộ.

Bài trên học sinh giải sai do chưa nắm vững các kiến thức về véc tơ, có nhầm lẫn
giữa véc tơ với ñoạn thẳng, ñặc biệt việc xác ñịnh góc giữa hai véc tơ với góc giữa
Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Alex Le 2013 0280 878 616



25

hai ñường thẳng (không hiểu, không học kỹ ñịnh nghĩa).
Lời giải ñúng như sau: Ta có
2 2 2
1 15
. ( )
2 2
AB AC AB AC BC
−
= + − =
uuur uuur
nên
15
1
2
cos
15 2
A

−
= = −
. Góc
0
A 120
=
ur
, góc giữa hai ñường thẳng AB, AC là
0 0 0
180 120 60
α
= − =
.
Khó khăn thứ hai khi sử dụng véc tơ ñể giải toán hình học lớp 10 là học sinh
phải gần như thoát ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ, (ít vẽ hình minh họa
nếu không cần thiết), nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức,
không hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán. Vì học sinh có thói quen giải bài
toán hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụng PPVT ñể giải một số bài tập
không sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng.

Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC. ðặt
,
CA a CB b
= =
uur r uuur r
. Lấy các ñiểm A’, B’ sao cho
' , '
CA ma CB nb
= =

uuur r uuur r
. Gọi I là giao ñiểm của A’B và B’A. Hãy biểu thị véc tơ
CI
uur
theo hai véc tơ
, .
a b
r r

Học sinh ñã giải bài toán như sau: ta có
' , '
CA ma CB nb
= =
uuur r uuur r
nên
'CA
m
CA
=
' ' 1
'
CA A A
CA m
+
⇒ =
'
' 1
CA m
A A m
⇒ =

−
. Tương tự:
'
1
BB
n
CB
= −
. Gọi I chia ñoạn
AB’ theo tỷ số
x
, do B, I, A’ thẳng hàng nên áp dụng ñịnh l Menêlaúyt ta
có
1
(1 ) 1 .
1 (1 ) '
m m AI
n x x
m m n IB
−
+ = ⇔ =
− −
hay
1
'
1
(1 )
'
1
(1 )

1
(1 )
m
CA CB
m
m n
IA IB CI
m
m n
m n
−
−
−
−
= ⇒ =
−
−
−
−
uur uuur
uur uuur uur
=

( 1) (1 )
'
1 1
m n n m
CA CB
mn mn
− −

= +
− −
uur uuur
.
Nhìn kết quả và quá trình làm bài có vẻ lôgic và hoàn hảo.

Phân tích sai lầm: Trong quá trình giải, do thoát ly khỏi hình vẽ nên HS

ñã xác ñịnh “nhầm” vị trí ñiểm I: ñiểm I nằm trong tam giác ABC.Mặc dù kết
quả ñúng
cuối cùng ñúng, nhưng lời giải này vẫn chưa chính xác, vì ñã “thu