BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ÔN THI ĐH

ÔN THI ĐẠI HỌC 2013
CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHÔI ĐA DIỆN
Lưu ý: Cách xác định nhanh hình chiếu vuông góc H của đỉnh S của khối chóp trên đáy:
+) Nếu S cách đều các đỉnh thì đáy H là tâm của đường tròn ngoại tiếp của đáy (Tâm của đường tròn ngoại
tiếp tam giác là giao điểm các đường trung trực của ba cạnh tam giác).
+) Nếu có một mặt bên của khối chóp vuông góc với đáy thì H nằm trên giao tuyến của mặt bên đó với đáy
+) Nếu S cách đều hai đỉnh của đáy thì H năm trên giao tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai
đỉnh của đáy.
Dạng 1.Tính thể tích khối đa diện
Bài 1.B Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a; AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 60
o
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3a
; (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM .
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc
với mặt đáy (ABCD). Mặt bên (SAD) cân tại S và tạo với đáy một góc 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 3. Trên mặp phẳng (P) chứa tam giác đều ABC cajnh a, D là điểm đối xứng của A qua trung điểm I của
BC. Lấy điểm S trên đường thẳng vuông góc với (P) tại D, biết SD =
2
6a
. Gọi H là hình chiếu của I trên SA.
Chứng minh: (SAB) vuông góc (SAC). Tính thể tích khối chóp H.ABC.
Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông ABC tại A. AB =
3a
; AC = a.
Biết đỉnh C cách đều các đỉnh A,B,C và khoảng cách từ đỉnh B đến (C’AC) bằng
15

6a
. Tính thể tích khối
chóp A’ABC’ theo a và tính cosin góc tạo mặt phẳng (ABB’A’) và mặt phẳng đáy (ABC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành AB = 2a, AD = a,
∠
BAD = 60
0
SAB là tam
giác đều. Gọi H là trung điểm AB, K là hình chiếu vuông góc của H lên (SCD). Tính thể tích khối chóp
S.ABCD biết HK =
5
15a
và điểm K nằm trong tam giác SCD,.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB =BC =
3a
khoảng cách từ A đến
(SBC) bằng
2a
và
∠
SAB=
∠
SCB= 90
o
. Tính thể tích khối chóm S.ABC theo a.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. SA = SB = a, SD =
2a
và mặt phẳng
(SBD) và vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Dạng 2: Phương pháp tỉ số thể tích

Bài 1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB đều bằng
60
0
.
Bài 2. (D-2006)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA
⊥
(ABC). Gọi M,N lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
∠
BAD = 60
0
; SA
⊥
(ABCD), SA =a. Gọi
C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song song với BD, cắt cạnh SB, SD của hình
chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Bài 4. (D2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA a=
; hình chiếu vuông
góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH =
. CM là đường cao của tam giác SAC. CMR: M
là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC.
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a
2
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA,
SB, CD. Chứng minh rằng MN

⊥
SP. Tính theo a thể tích tứ diện AMNP.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, AB = 2a, AC = a, SA
⊥
(ABC) và SA = a
2
.
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB,SC. Tính thể tích khối chóp
A.BCKH theo a.
Bài 7. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy bằng a, cạnh bên bằng a
2
. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc
với SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.
Bài 8. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung
điểm của BC, CC’. Tính thể tích khối tứ diện AA’MN và khoảng cách từ A’ đến (AMN)
GV: Nguyễn Văn Đạt
ÔN THI ĐẠI HỌC 2013
Dạng 3: ứng dụng thể tích để tính khoảng cách
Bài 1.Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông
góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI =
Tìm khoảng cách từ C đến mp(SAD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có
3SA a

=
và
( )
.SA mp ABC
⊥
ABC
∆
có
2 ,AB BC a
= =

120 .ABC
∠ =
o
Tìm
khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 3.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Gọi K là trung điểm của DD’. Tìm khoảng
cách giữa CK và AD’.
Dạng 4. Khối cầu
Bài 1.Cho hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC) ,tam giác ABC vuông tại B,AB = a,
0
30ACB∠ =
.
( )
0
;( ) 60SB ABC =

. Tính thể tích khối chóp S.ABC và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp đó.
Bài 2.Cho hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC);tam giác ABC vuông tại B,AB = a,
0
30ACB∠ =
. SC tạo với đáy
một góc 60
0
.Hình chiếu vuông góc của A lên SB,SC lần lượt là B’ ,C’
a) Tính thể tích khối chóp A.BCC’B’
b) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC’B’
Bài 3.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
.Xác định
tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.Tính thể tích khối cầu đó.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, AB = AC =
3a
;
0
120BAC∠ =
. SA
⊥
(ABC),
SB tạo với đáy một góc 30
0
. Tính V
S.ABC
và xác định tâm ,bk của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Các đề thi đại học, cao đẳng

Bài 1. (A2011) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và
song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối
chóp S. BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 2. (D2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =
2 3a
và
·
SBC
= 30
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 3. (CĐ2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính
thể tích của khối chóp S.ABM theo a.
Bài 4 (B2011) Cho lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD =

3a
. Hình
chiếu vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt
phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B
1
đến mặt
phẳng (A
1
BD) theo a.
Bài 5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy bằng a, các cạnh bên tạo với đáy 1 góc 60
0
. Mặt phẳng (
α
) qua BC và
vuông góc với SA cắt SA tại D. Tính thể tích khối chóp S.DBC.
Bài 6.(B 2012)Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2
a
, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo
a
.
Bài 7.(D 2012)Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C =

a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
Bài 8.(A 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)
bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Bài 9.(CĐ2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A,
2AB a=
, SA=SB=SC. Góc
giữa SA và (ABC) bằng 60
0
.Tính thể tích S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 10. (A,B,D 2013) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông
tại A, AB = AC =
2a
, hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của cạnh BC.Tính V khối
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa AA’ và BC.
GV: Nguyễn Văn Đạt
ÔN THI ĐẠI HỌC 2013
GV: Nguyễn Văn Đạt