Tuyển tập BT thể tích khối đa diện - Ôn thi ĐH

tập HHKG - Ôn thi ĐH
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA =
a 2
. Gọi M, N
và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng
đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của
khối tứ diện AMNP.
Giải:
Gọi I là trung điểm AB.
Ta có MN // AB // CD và SP ⊥ CD ⇒ MN ⊥ SP
∆SIP cân tại S, SI
2
=
2 2
2
a 7a
2a
4 4
− =
⇒ SI = SP =
a 7
2
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD,
ta có SO
2
=SI
2
–OI
2
=
2

2 2
7a a 6a
4 2 4
 
− =
 ÷
 
⇒SO =
a 6
2
, H là hình chiếu vuông góc của P xuống mặt phẳng SAB
Ta có S
(SIP)
=
1 1
SO.IP PH.SI
2 2
=
⇒ PH =
SO.IP
SI
=
a 6 2 a 6
a
2
a 7 7
=
V =
3
(AMN)

1 1 1 a 1 a 7 a 6 a 6
S .PH . .
3 3 2 2 2 2 48
7
 
= =
 ÷
 
(đvtt)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam
giác ABC vuông tại C ; M,N là hình chiếu của A trên SB, SC. Biết MN cắt
BC tại T. Chứng minh rằng tam giác AMN vuông và AT
tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.
Giải:
Theo định lý ba đường vuông góc
BC
⊥
(SAC)
⇒
AN
⊥
BC và AN
⊥
SC

⇒
AN
⊥
(SBC)
⇒

AN
⊥
MN
Ta có: SA
2
= SM.SB = SN.SC Vây
∆
MSN
∼

∆
C
⇒
TM là đường cao của tam giác STB

⇒
BN là đường cao của tam giác STB
Theo định lý ba đường vuông góc, ta có AB
⊥
ST

⇒
AB
⊥
(SAT) hay AB
⊥
AT (đpcm)
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng
A'BC tạo với đáy một góc
0

30 và tam giác A'BC có diện tích bằng 8. Tính
thể tích khối lăng trụ.
ĐS: V 8 3=
Bài 4: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có chiều cao bằng h. Góc
giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng
0 0
(0 90 )< <a a
. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
1
tập HHKG - Ôn thi ĐH
ĐS:
3 2
2h . sin
2
V
cos
a
=
a
Bài 5: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng
a,
·
·
·
0
A ' AB BAD A ' AD 60= = =
. Hãy tính thể tích của khối hộp.
ĐS:
3
a 2

V
2
=
Bài 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a và đỉnh A' cách đều các đỉnh A, B,C. Cạnh bên AA' tạo với đáy góc
0
60 .
Tính thể tích của khối lăng trụ.
ĐS :
3
a 3
V
8
=
Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường
chéo BC' của mặt bên (BCC'B') tạo với mặt bên (ABB'A') một góc
0
30 . Tính
thể tích của khối lăng trụ.
ĐS:
3
a 6
V
4
=
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là
trọng tâm tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng
a 3
6
.

Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên (SCD) và tính thể tích khối
chóp S.ABCD.
ĐS:
3
a 3 a 3
d , V
4 6
= =
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đường cao
SA a=
, đáy là tam giác vuông
cân có
AB BC a= =
. Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đường cao hạ
từ A của tam giác SAC. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Chứng minh rằng
SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C'). Tính thể tích khối chóp S.AB'C'.
ĐS:
3
a
V
36
=
Bài 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên hợp với đáy một góc là 45
0
. Gọi P là trung điểm BC, chân đường
vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho
1
2
AP AH=

uuur uuur
. gọi K là trung
điểm AA’,
( )
α
là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’
tại M, N. Tính tỉ số thể tích
' ' '
ABCKMN
A B C KMN
V
V
.
ĐS:
3 3
2 3
' ' '
3
1
8 8
3
2
8 8
ABCKMN
A B C KMN
a a
V
a a
V
−

⇒ = =
+
2
tập HHKG - Ôn thi ĐH
Bài 11: Đáy của hình chóp SABC là tam giác cân ABC có
AB AC a= =
và
µ
µ
B C= = a
. Các cạnh bên cùng nghiêng với đáy một góc
b
. Tính thể tích của
khối chóp
SABC
ĐS:
3
a cos t an
V
6
a b
=
Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đường cao
SA 2a=
, tam giác ABC vuông
ở C có
AB 2a=
,
·
0

CAB 30=
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên
SC và SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC.
ĐS:
3
a 3
V
7
=
Bài 13: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình
chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác
ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA', cắt hình lăng trụ
ABC.A'B'C' theo một thiết diện có diện tích bằng
2
a 3
8
. Tính thể tích khối
lăng trụ ABC.A'B'C'.
ĐS:
3
a 3
V
12
=
Bài 14: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,
BA = BC = 2a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC)
là trung điểm E của AB và SE = 2a . Gọi I,J lần lượt là trung điểm cuae EC,
SC . M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho
)90(
0

<=
∧
αα
ECM
và H
là hình chiếu vuông góc của S trên MC . Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ
theo a ; α và tìm α để thể tích đó lớn nhất .
Giải:
Ta có SE ⊥ (ABC) ⇒ SE ⊥ CM mà SH ⊥ CM nên CM ⊥ (SEH) ⇒ CM ⊥ EH
222
22
aECaBCABAC
=⇔=+=
,
αα
sin.2sin. aECEH
==
,
αα
cos.2cos. aECCH
==
Diện tích tam giác EHC ,
ααα
2sin.
2
cos.sin..
2
1
2
2

a
aHCEHS
EHC
===
∆
Ị là đường trung bình của tam giác CSE nên IJ // SE ⇒ IJ ⊥ (ABC) và
aSEIJ
==
2
1
HI là trung tuyến của tam giác HEC nên diện tích tam giác HEC .
α
2sin
42
1
2
a
SS
EHCHEC
==
∆∆
Thể tích khối tứ diện EHIJ
)(2sin.
12
1
2sin
4
..
3
1

.
3
1
3
2
đvtta
a
aSIJV
HECEHI H
αα
===
∆
Bài 15: Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông SA=SB=SC
= a . Gọi M,N,E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . D là điểm đối
xứng của S qua E , I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN) .
Chứng minh rằng AD ⊥ SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI .
Giải:
3
tập HHKG - Ôn thi ĐH
Trong (ABC) AE
∩
MN = J
⇒
SJ = (SMN)
∩
(ASD)
Trong (ASD) SJ
∩
AD = I
⇒

I = AD
∩
(SMN)
Ba tam giác SAB,SAC,SBC là các tam giác vuông
cân bằng nhau
⇒
SA,SB,SC đôi một vuông góc và
∆
ABC là tam giác đều cạnh
2a

BSCD là hình vuông cạnh a
( )
BD SB
BD SAB BD SM
BD SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Lại có SM
⊥
AD nên SM
⊥
(ABD)
⇒
SM
⊥

AD (1)
( )
BC SD
BC SAD BC AD
BC SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Mà MN// BC
⇒
MN
⊥
AD (2)
Từ (1) và (2)
⇒
AD
⊥
(SMN)
⇒
AD
⊥
SI (đpcm)
Trong (SBD) kẻ IH // BD (H
∈
AB)
⇒
IH

⊥
(SAB)
2 2
2 2 2 2
. 1
3
3
IH AI AI AD SA a
BD AD
AD SA SD a
= = = = =
+
⇒
IH = a/3
S
SMB
= 1/2 . S
SAB
=
2
4
a
, V
MBSI
=
2 3
1 1
. . .
3 3 3 4 36
SMB

a a a
IH S = =
Bài 16: Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r
cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh
đáy nhỏ.
HD:
Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC,
A’B’C’. Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’. Ta có:
( ) ( ) ( )
' ' ' ' '
'
AB IC
AB CHH ABB A CII C
AB HH
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và
tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại điểm
'K II∈
.
Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn. Ta có:
1 3 1 3
' ' ' ' ' ;
3 6 3 3
x x
I K I H I C IK IH IC

= = = = = =
Tam giác IOI’ vuông ở O nên:
2 2 2 2
3 3
' . . 6r
6 3
x x
I K IK OK r x
= ⇒ = ⇒ =
4
J
H
I
D
E
N
M
S C
B
A
tập HHKG - Ôn thi ĐH
Thể tích hình chóp cụt tính bởi:
( )
' . '
3
h
V B B B B= + +
Trong đó:
2 2 2
2 2

4x 3 3 3r 3
3 6r 3; ' ; 2r
4 4 2
x
B x B h= = = = = =
Từ đó, ta có:
2 2 3
2 2
2r 3r 3 3r 3 21r . 3
6r 3 6r 3.
3 2 2 3
V
 
 ÷
= + + =
 ÷
 
Bài 17: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh
liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại
nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với
đáy hình trụ góc 45
0
. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.
giải:
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Khi đó
OM AB
⊥
và
' DO N C
⊥

.
Giả sử I là giao điểm của MN và OO’.Đặt R = OA và h = OO’.
Khi đó:
OMI
∆
vuông cân tại O nên:
2 2 2
.
2 2 2 2 2
h a
OM OI IM h a= = ⇒ = ⇒ =
Ta có:
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 3a
2 4 4 8 8
a a a a
R OA AM MO
 
 
= = + = + = + =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2 3
2

3a 2 3 2
R . . ,
8 2 16
a a
V h
π
π π
⇒ = = = và
2
a 3 2 3
2 Rh=2 . . .
2 2
2 2
xq
a a
S
π
π π
= =
Bài 18: Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai
đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện
tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình
nón đã cho.
giải:
Gọi E là trung điểm của AB, ta có:
,OE AB SE AB⊥ ⊥
,
suy ra
( )
SOE AB⊥

.
Dựng
( )
OH SE OH SAB⊥ ⇒ ⊥
, vậy OH là khoảng cách
từ O đến (SAB), theo giả thiết thì OH = 1.
Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có:
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 8 9 3
1
9 9 8
2 2
= + ⇒ = − = − = ⇒ = ⇒ =OE OE
OH SO OE OE OH SO
5