200 Đề thi Toán lớp 9

Phần I: các dạng phơng trình cơ bản.
Bài 1. Giải các phơng trình bậc nhất sau:
1/
6
2
3
1
2
32 +
=


xxx
2/ 2(x-1) - 3 = 5x + 4
3/ 5(x-2) + 3 = 1 2(x-1)
4/
5. 45 0x =
5/
3 1 2 6
1
24 36
x x
+
=
6/
1 2 3 20
5
4 6 3
x x x +
= +
Bài 2. Giải các phơng trình bậc hai khuyết b,c

1/ 2x
2
- 7x = 0
2/
3
4

x
2
+
9
5
x = 0
3/ 5x - 3x
2
= 0
4/
2
7 5
0
5 14
x
x =
5/ -4x
2
+ 18 = 0
6/ - 5x
2
- 7 = 0
7/ 4x

2
- 64 = 0
8/ 4x
2
+ 25 = 0
9/ 9x
2
+ 16 = 0
10/ 36 x
2
7 = 0
11/ 25x
2
- 1 = 0
12/ - 4+
2
16
x
= 0
Bài 3. Giải các phơng trình sau:
1. (x- 1)( x - 2) = 10 - x
2. x
2
+ 2( 1 +
3
) x + 2
3
= 0
3. (2x + 1) ( x+4) = (x-1) (x- 4)
4.a) x

2
+ ( x + 2)
2
= 4 b) x( x + 2) - 5 = 0
5/ 5x
2
- 2x + 6 = 13
6/ x
2
- 2
3
x - 6 = 0
Bài 4. Giải các phơng trình chứa ẩn ở mẫu sau:
1/
xxx
1
1
1
5
1
=

+

2/
2
1
11
=
+

+
x
x
x
x
3/
4
1
4
1
3
1
=
+
+
xx
4/
1 1 1
6 4x x
+ =
+
5/
1 5
1
2 2
x
x x

+ =

6/
40 24 19
2 2 3x x
=
+ +
7/
2
2
3 1 4 24
2 2 4
x x x x
x x x
+ + +
=

8/
1
7
1
2
1
3
2
2


=

+

x
xx
x
x
x
x
9/
xxx
x
x


+
=
+

+

3
1
3
7
3
4
9
14

2

Bài 5. Giải các phơng trình sau:
1/ 3x
3
+ 6x
2
- 4x = 0
3/ x
3
- 5x
2
- x + 5 = 0
2/ (x + 1)
3
- x + 1 = (x- 1)(x-2)
4/ ( 5x
2
+ 3x+ 2)
2
= ( 4x
2
- 3x- 2)
2
Dạng 4. Đa về PT bậc hai bằng PP đặt ẩn phụ
1/ 36x
4
+ 13x
2
+ 1 = 0

2/ x
4
- 15x
2
- 16 = 0
3/ 3x
4
+ 2x
3
- 40x
2
+ 2x + 3 = 0
4/
3
1
5
)1(
2
2
2
=
+

+
x
x
x
x
5/ x (x+1) (x +2 ) (x + 3 ) = 3
6/ ( 12x - 1 )(6x - 1)( 4x - 1)(3x-1) =330

7/ (x
2
- 3x + 4 ) ( x
2
- 3x +2 ) = 3
8/
12
1
)1(
1
)2(
1
2
=
+

+
x
xx
Bài 6. Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và phơng trình vô tỉ
1/
2002144
2
=+ xx
2/
5050202
2
=+ yy
3/
143 = xx

4/ x-
031 =x
5/
2322 = xx
6/
262 =+ xx
7/ 3x
2
- 14|x| - 5 = 0
8/ | x
2

- 3x + 2| = x - 2
9/ | x
2
- 3x - 4 | = |2x
2
- x - 1|
10/ x
2
-
x
- 6 = 0
Bài 7. Giải các hệ phơng trình sau:
1.
2
2
5 6 0
3 4 0
x x

x x

=


=


5.
2
3 4 1 0
3 1 0
x x
x

+ =

=

2.
2
2
5 4 1 0
6 0
x x
x x

=

=


6.
2
20 0
4 6 0
x x
x

=

>

3.
2
2
5 4 1 0
2 0
x x
x x

+ =






7.

15 20 0
4 6 0
x
x
>


>

4.
25 5 0
3 6 0
x
x
>


>

8.
20 15 0
2 5 0
x
x
>


>

Phần II: Rút gọn biểu thức.
Dạng 1: Tìm điều kiện để các biểu thức xác định
Dạng 2: Rút gọn biểu thức.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị của biến
Dạng 4: - Tính giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
- Tìm x để giá trị của biểu thức thoả mãn một điều kiện nào đó.
Dạng 5: Tìm x để biểu thức đạt GTLN; GTNN
Dạng 6: Tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên
Dạng 7: CM biểu thức thoã mãn 1 điều kiện với mọi x
Kiến thức bổ trợ:
1. Phép tính trên căn thức và 4 phép biến đổi.
2. Các PP phân tích đa thức thành nhân tử ( Nhân tử chung, HĐT, Nhóm, tách )
3. PP quy đồng mẫu thức các phân thức
4. Phép tính trên căn thức.
5. Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Bài 1: Cho biểu thức:
A =








+

+++ 1
1
1

2
xxxxx
x
:









+
1
1
2
x
x
; Với x

0 và x

1
a. Rút gọn biểu thức A b.Tính giá trị của biểu thức A tai x = 3 - 2
2
.
Bài 2: Cho biểu thức:
A =

+

+

1
1
1
1
x
x
x
x
:
2
1
2
2
x
x


ữ

ữ

; Với x > 0 và x

1
1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm x để
x
A
> 2.
Bài 3: Cho biểu thức:
A =
1
1
1
1
1
2


++
+
+

+
xxx
x
xx
x
1. Tìm x để A có nghĩa 2. Rút gọn. 3. CMR A<
3

1
4. Tính A tại x = 3- 2
2
Bài 4: Cho biểu thức:
A =
x
x
x
x
xx
x

+


+

+

3
12
2
3
65
92
1. Rút gọn. 2. Tìm số nguyên x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.
Bài 5: Cho biểu thức:
M =
1212
1

.
1
1
2

+
+










+


+
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
a) Rút gọn. b) Với giá trị nào của x thì M đạt GTLN, tìm GTLN đó.

Bài 6: Cho biểu thức: A =
x
xx
xx
xx +
+
+
+ 2
1
1
2
a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 6 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 7: Cho biểu thức:
P =
x
x
xx
xx
xx
xx 111 +
+
+
+



, với x 1, x > 0
Bài 8: Cho biểu thức: A =

++
+











+
1
2
:
1
1
1
2
xx
x
xxx

xx
( 0 x 1)
1. Rút gọn A 2. Tính
A
khi x = 4 + 2
3
Bài 9: Cho biểu thức:
1. Rút gọn P 2. Tìm x để P =
2
9
A =
xxxx
x
xx ++
+

1
:
1
2
1. Tìm x để A có nghĩa. 2. Rút gọn A
Bài 10: Cho biểu thức: K =
x
xx
x
x
xx
x
3
13

1
42
:3
1
2
3
2 +

+










+
+
+

1. Rút gọn với x > 0 ; x
4
1
2. Tính giá trị của K tại x =
4
1

3. Tìm x để K < 0. 4. Tìm x để K có giá trị nguyên.
Bài 11: Cho biểu thức: A =
x
x
xx
x
xx
x
x
x

+
+









+



66
62
:
6

6
36
1. Tìm điều kiện của x để A xác định.
2. CMR: giá trị của A không phụ thuộc vào x, với mọi x thuộc TXĐ
Bài 12: Cho biểu thức:P =
( )
2
1 1 3 1 1
:
1 1 1
3 1
a a a a
a a a a
a a

+ +
ữ

ữ

ữ
+

với a
0, 1a
1. Rút gọn. 2. Tìm a để
P
1
đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 13. Cho biểu thức:A =

( ) ( )
2 2 4 6 9
:
4
2 2
2 3
x x x x x
x
x x
x x

+ +

ữ
ữ

+


, với x

0 và x 4, x 9
1. Rút gọn. 2. Tính giá trị của A biết |x| =
9
1
3. Tìm x để A 1 4. Tìm x

N / x > 4 để A là 1 số nguyên.
Bài 14: Cho biểu thức:A =
6 1

4 6 3 2
x
x x x x x
+ +
+
a) Tìm TXĐ b) Rút gọn c) Tính A khi x = 9 d) Tìm giá trị của x để A = 1
Bài 15: Cho biểu thức: Y =








+










+
+
+
1

1
1
1 x
xx
x
xx
, ( x > 0; x 1 )
1. Rút gọn biểu thức Y 2.Coi y là hàm số và x là biến số hãy vẽ đồ thị của hàm số y.
Bài 16: Cho biểu thức: A =
xy
xyyx +
:
yx
yx


, với x > 0, y > 0, x y.
1.Rút gọn biểu thức A 2.Tính giá trị của biểu thức A khi x =
625
, y =
625 +
Bài 17: Cho biểu thức: A =
4
3
1
x
x

+
ữ

+

:
2
1
x
x
x


ữ
ữ
+

với x

0
1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm giá trị của x để A > 1
Bài 18: Cho biểu thức:A =
3 1 4 4
4
2 2
a a a
a
a a
+
+

+
( a

0, a

4 )
1. Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị của A khi a = 9.
Bài 19: Cho biểu thức: A =









+









+
+

2
1

1
1
1
1
1
x
x
xx
( x

0; x

1 )
1. Rút gọn biểu thức A 2.Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 20: Cho biểu thức: A =
( )
2 1
: 1
1 1 1
x x
x
x x x x x

+
+
ữ
ữ
+ +

với x

0; x

1
1. Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị của A khi a = 3 - 2
2
.
Bài 21: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
1 1 2
2 2 2 2 1
x x
x x x


+
( x

0; x

1 )

1 1 1 2
:
1
1 1 1 1
x x x
B
x
x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

với x
0, 1x
C=
2 4 2 4 4 2
:
2 4 4 2 8 2
x x x x
x x x x x x x

+ +

ữ
ữ
+ +


D =
2
3 3
: .
3
2

x y x y
x
x y
x y x xy y


+
+

ữ
ữ

+ +



E =
( )
1 1
1
1
x x x
x x
x
x

+

ữ
ữ

+

với
0, 1x x
F =
7 1
9
3 3
b b b
b
b b



ữ
ữ

+

với b
0

và
9b

.
G =
4 1 1
1

2 2
a a
a
a a

+

ì
ữ
ữ
ữ
+


với a > 0 và
4a

.
H =
1 1 1 1
:
1
1 1
a
a a a

+
ữ ữ

+

với a > 0 và
1a

.
I=
x
x
x
x
x
x

+
+
+
+

+
4
51
2
2
2
1
với mọi x
4;0 x
)
K =(
)

2
1
(:)
1
1
11
2

+
++
+

+ x
xxx
x
xx
x

L= (
x
1
-
1
1
x
) : (
)
2
1
1

2

+


+
x
x
x
x

M=
1
)1(22
1
2


+
+

++

x
x
x
xx
xx
xx

Chú ý: - Tất cả các biểu thức trên coi nh đã xác định
Phần III: hệ phơng trình hai ẩn và Hàm số y = ax + b
1. Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất
3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến.
4. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số tạo với trục Ox một góc nhọn, góc tù.
5. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số đi qua một điểm A ( x
0
; y
0
) cho trớc.
6. Tìm điều kiện của tham số để 2 đồ thị hàm số: cắt nhau, cắt nhau tại một điểm nằm trên
trục tung, hoành; song song; trùng nhau; vuông góc;
H
à
m

s
ố

y

=

a
x

+

b

7. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số cắt hai trục tạo thành một tam giác có chu vi
hay diện tích thoả mãn điều kiện cho trớc.
8. Tìm cố định của đồ thị hàm số
9. Giải hệ phơng trình thông thờng bằng PP cộng đại số; PP thế và PP đặt ẩn phụ.
10. Tìm điều kiện để hệ phơng trình nhận 1 cặp số cho trớc làm nghiệm: - Cặp số cho sẵn
hoặc cặp số phải tìm.
11. Tìm điều kiện để hệ có nghiệm.
12. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số.
13. Tìm điều kiện để hệ có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó cho trớc.
14. Tìm điều kiện để hệ có nghiệm nguyên
15. Tìm điều kiện để hệ có nghiệm và tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa nghiệm.
16. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với 2 trục và của 2 đờng thẳng y = ax + b và y =
ax + b.
17. Tìm điều kiện để 3 đờng thẳng đồng quy.
18. Lập phơng trình của một đờng thẳng:
Đi qua 2 điểm A (x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
) cho trớc.
Đi qua điểm A (x
1
; y
1
) và vuông góc với đờng thẳng cho trớc.
Đi qua điểm A (x

1
; y
1
) và song song với đờng thẳng cho trớc.
Hàm số y = ax + b
Bài 1: Với giá trị nào của m thì các hàm số sau là hàm số bậc nhất:
a) y =( 2m + 1 )x - 3m + 2 b) y =
m5
( x - 1 ) c) y =
1
1

+
m
m
x +
2
7
d) y = 4mx + 3x - 2 e) y = ( m
2
- 4m )x
2
+ ( m- 4 )x + 3
Bài 2. Chứng minh các hàm số sau:
a) y = (6 + 2
2
)x - 9x + 3 nghịch biến

x

R
b) y = (
11
-
3
) x + 2x - 4 đồng biến

x

R
Bài 3. Cho hàm số y = (m-1)x + 2m - 1
1. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến.
2. Tìm m để hàm số đi qua điểm A(-1;3). Vẽ đồ thị với m vừa tìm đợc.
3. Tìm m để đồ thị hàm số tạo với chiều dơng trục hoành một góc tù.
Bài 4. Cho hàm số y = (m-1)x + 2m - 1
1. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đi qua điểm (
2
- 1; 2 ).
2. Tìm m để đồ thị hàm số tạo với chiều dơng trục hoành một góc nhọn.
3. Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích =
2
1
4. Tìm điểm cố định của hàm số.
Bài 5. Cho hàm số y = (m
2
- 2)x + m + 2
1. Tìm giá trị của m để đồ thị h/s song song với đồ thị hàm số y = - x + 1
2. Tìm m để đồ thị của hàm số cắt đờng thẳng x = 1 và cắt đồ thị của hàm số
y = 3x - 1 tại một điểm.
Bài 6.

1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A(2;1) và B(-1;5 )
2. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị trên với hai trục toạ độ.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai trục toạ độ và đờng thẳng trên.
Bài 7.
1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(2;5) và vuông góc với đờng thẳng y = 3x - 2
2. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(4;1) và song song với đờng thẳng y = 2x + 3
Bài 8.


ứ
n
g
s

d
ụ
n
g

c
ủ
a

h
ệ
Cho hàm số y = ( m-1)x + m + 3
1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đồ thị y= -3x +1
2. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2; -3 )
3. CMR đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định

giá trị của m. Tìm giá trị ấy.
4. Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích
bằng 1 ( đơn vị diện tích )
Bài 9.
Cho hàm số y = (m + 2)x + m-3
1. Tìm m để đồ thị hàm số luôn nghịch biến.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số tạo với chiều dơng trục hoành một góc bằng 45
0
3. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3
4. Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2
5. Tìm m để đồ thị của các hàm số y = 2x-1, y = -3x + 4 và y=(m+2)x + m -3 đồng quy
Bài 10.
Cho 2 điểm A(1; 1) và B( 2; -1)
1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B.
2. Tìm m để đờng thẳng y = (m
2
+ 3m )x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng
thời đi qua điểm C ( 0; 2 ).
Bài 11.
Cho hàm số y = (2m - 3)x + m- 1
1. Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;4)
2.Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m, tìm điểm cố định ấy.
3. Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
2
- 1
Bài 12. Cho hàm số y = 2x + m (d)
1. Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm B (
2

; -5
2
)
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (d) cắt đồ thị hàm số y = 3x+2 trong góc phần t thứ IV.
Bài 13
Cho hàm số y = x + 2m - 1 (d). Tìm m để đồ thị của hàm số (d) cắt đờng thẳng
y = 2x + 1 trong góc phần t thứ II.
Bài 14.
Tìm m để đồ thị hàm số y = (m-3)x+2m +1 và y = 4x - m +2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Bài 15.
Cho đt y = (1- 4m )x + m- 2
1. Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ.
2. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ tới đồ thị hàm số bằng 1
3. Tìm m để đồ thị của hàm số song song với đt y = -x - 1
Bài 16.
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng y = (2m+1)x - 4m 1 và điểm A( -2; 3 ). Tìm m
để khoảng cách từ A đến đờng thẳng trên là lớn nhất.
Bài 17.
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(2; 3) và điểm B (1; -4) và điểm C nằm trên trục Ox. Tìm
toạ độ điểm C để tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Hệ phơng trình
Bài 1. Giải các hệ phơng trình sau:
1.
3
3 4 2
x y
x y
=

=

2.
4x + 3y = 2
7 x - 3y = 5



3.
3y - 7 = 8
x -2y = -3



4.
8 7 5
12 13 8
x y
x y
=


+ =

5.
4 2 3
2 4 0
x y
x
+ =

+ =

6.
x +y- 10 = 0
x 2
- = 0
y 3





7.
x
3
2 3
5x- 8y = 3
y

=




8.
1 1
1
3 4

5
x y
x y

=




+ =


9.
1 1
2
2 1
2 3
1
2 1
x y
x y

+ =





=

10.
x 2 - y 3= 1
x + y 3 = 3





11.
2(x-2) + 3(1+y) = -2
3(x-2) - 2(1+y) = -3



12.
5( x + 2y) = 3x - 1
2x + 4 = 3(x-5y) - 12



13.
2 2
4x - 5 (2y - 1) = (2x - 3)
3(7x + 2) = 5 ( 2y -1) - 3x



14.

2 1 2 1
4 3 12
5 7
4
2 3
x y
x y
+

=



+ +

=


15.
( x+5)(y-2) = xy
(x-5)(y+12) = xy



16.
3x + 5y = -1
3
x + y = 1
5

17.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 1 3
3 1 1 3
x y x y
x y x y
+ = +


+ = + +


Bài 2. Tìm giá trị của a và b:
a. Để hệ phơng trình
3ax - (b +1)y = 93
bx + 4ay = -3



có nghiệm (x,y)=(1;5)
b. Để hệ phơng trình
(a-2)x + 5by = 25
2ax - (b - 2)y = 5

có nghiệm là (x,y) = (3;-1)
Bài 3 . Tìm giá trị của a và b để hai đờng thẳng (d
1
): (3a-1)x + 2by = 56
và (d
2
):
2
1
ax - (3b + 2 )y = 3 cắt nhau tại điểm M(2;5).
Bài 4. Tìm a,b để đờng thẳng ax- 8y = b đi qua điểm M( 9;- 6) và đi qua giao điểm của 2 đờng
thẳng (d
1
): 2x + 5y = 17 và (d
2
): 4x -10y = 14
Bài 5. Tìm m để.
a. Hai đờng thẳng (d
1
): 5x - 2y = 3, (d
2
) y+x = m cắt nhau tại một điểm trên Ox . Vẽ hai đờng
thẳng này trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
b. Hai đờng thẳng (d
1
): 5x - 2y = 3, (d
2
) y+x = m cắt nhau tại một điểm trên Oy .
Bài 6. Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phơng trình

1 2 2( )
3 4 5
3 3
2
4 3
x y x y
x y
y x
+ +

=





=


cũng là nghiệm
của pt: 3mx- 5y = 2m + 1.
Bài 7. Cho hệ phơng trình:
mx - y = 1
x + my = 2



1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất . Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2. Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x;y).Tìm các giá trị của m để x- y = -1
3. Tìm m để hệ có nghiệm dơng.

Bài 8. Cho hệ phơng trình:
x - 2y = 3- m
2x + y = 3 ( m+2)



1. Giải hệ với m = -1
2. Tìm m để hệ có nghiệm (x; y)
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
b. Tìm m để biểu thức x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị ấy
Bài 9 . Cho hệ phơng trình :
(a- 1 )x + y = a
x + (a-1) y = 2



1. Tìm a để hệ có nghiệm (x;y)
2. Giải hệ theo a.
3. Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
4. Tìm giá trị của a thoả mãn điều kiện 6x
2
- 17 y = 5
5. Tìm các giá trị của a để biểu thức
yx
yx
+

52
nhận giá trị nguyên.
Bài 10.
a. Giải hệ phơng trình
3x - 4y = -5
4x + y = 6



b. Tìm các giá trị của m để các đờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
y = 6 - 4x ; y =
4
53 +x
và y = (m-1)x + 2m
Bài 11. Tìm m để hệ
mx - y = 2
3x + my = 5



có nghiệm (x;y) sao cho
x > 0
y < 0




Bài 12 .Tìm giá trị nguyên của m để hệ
mx - 2y = 3
3x + my = 4

có nghiệm (x;y) sao cho
x < 0
y > 0




Bài 13. (bài1/25- TVHinh) Cho hệ phơng trình
4 4 0
( 1) 1
x y
x m
+ =


+ + =


1. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên
2. Tìm các giá trị của m hệ có nghiệm thoả mãn hệ thức x - y = 1
3. Tìm các giá trị của m hệ có nghiệm thoả mãn hệ thức x
2
+ y
2
= 65
Bài 14. Cho hệ phơng trình :
2x - ay = a

x + y = a + 2



a. Giải hệ phơng trình khi a = -1
b. Gọi nghiệm duy nhất của hệ pt là (x; y). Tìm các giá trị của a để 3x - 2y = 2
Bài 15 . Cho hệ phơng trình
2x + y = 1
x + ay = 3




Bài 16. Cho hệ phơng trình
x - my = 2m
mx - 4y = m + 6



Gọi cặp (x;y ) là nghiệm duy nhất của hệ phơng trình.
Tìm các giá trị của m để 3(3x + y - 7 ) = m
Bài 17. Cho hệ phơng trình
2 2
2 3 4
x y m
x y m
=


+ = +

Phần IV: Phơng trình bậc hai
1. Tìm m để phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai
2. Tìm m để phơng trình nhận 1 số cho trớc làm nghiệm. Tìm nghiệm còn lại
3. CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm hoặc 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
4. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
5. Tìm m để PT có nghiệm thoả mãn hệ thức cho trớc.
6. Tìm m để PT có nghiệm và tìm GTLN,GTNN của biểu thức chứa nghiệm.
7. Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu, khác dấu
8. Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm.
9. Lập PT bậc hai nhận 2 số cho trớc làm nghiệm.
10. Sự tơng giao giữa đờng thẳng y = ax + b và đồ thị hàm số y = ax
2
.
Bài 1. Tìm m để các phơng trình sau là phơng trình bậc hai:
a) (1-3m) x
2
+ 2(m-1)x - 2m-3 = 0
1. Giải hệ phơng trình khi a = 1
2. Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm.
1) Giải hệ phơng trình với m = 1.
2) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn:
x
2
+ y
2
= 10.
b) ( m
2
-1) x

2
+ 2x - 2m+5 = 0
Bài 2. 1.Với giá trị nào của m thì các PT sau có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép ấy
a) x
2
- (m + 2)x +m
2
- 4 = 0.
b) (m + 3)x
2
- mx + m = 0.
2.Tìm m để phơng trình ( m
2
-9) x
2
+ 2(m + 3)x +2 = 0 vô nghiệm
3. Tìm k để PT kx
2
+ 2(k - 1)x + k + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2. Cho PT x
2
+2(m-1) - 2m-3 = 0 (1)
1. Giải PT với m = 1
2. CMR PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của PT (1) . Tìm m để
0

1
2
2
1
>+
x
x
x
x
( Đ/S m <
2
3
)
Bài 3. Cho PT (m - 1) x
2
- 2(m+1)x + m- 2 = 0
1. Giải pt với m = -1
2. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt.
3. Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép ấy.
Bài 4. Cho pt x
2
- 2( k-1)x + 2k - 5 = 0
a. Giải pt với k = 1
b. CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
c. Tìm k để pt có 2 nghiệm cùng dấu khi đó 2 nghiệm cùng dấu gì ?
d. Tìm k để pt có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức |x

1
|-|x
2
| =
14
Bài 5. Cho pt : x
2
- ( 2m - 1 ) + m
2
- m- 1 = 0 (1)
1. CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
2. Giải phơng trình với m =
2
1
3. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của pt (1)
a. Tìm hệ thức lên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
b. Tìm m sao cho ( 2x
1
- x
2
) ( 2x
2

- x
1
) đạt GTNN
Bài 6. Cho pt bặc 2 : x
2
- 2( m + 1 )x + m
2
+ 3m + 2 = 0 (1)
1. Giải phơng trình (1) với m = -1
2. Tìm m để PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3. Gọi x
1
,x
2
là 2 nghiệm của PT. Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
= 12
Bài 7.Cho phơng trình x
2
- 2mx + 2m - 3 = 0
1. Giải pt với m =
2
3

2. CMR PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
3. Gọi x

1
, x
2
là 2 nghiệm của phơng trình.
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1,
x
2
độc lập với m.
b. Tìm GTNN của hệ thức A= x
1
2
+ x
2
2
4. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 8. Cho PT : x
2
- 4x + m + 1 = 0
1. Giải phơng trình với m = -1
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
3. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, khi đó 2 nghiệm này mang dấu gì ?
4. Tìm m sao cho PT có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x
1
2
+ x
2
2
= 10
Bài 9. x

2
- 2(m - 1)x + m - 3 = 0
1. Giải phơng trình với m = 3
2. CMR phơng trình luôn có nghiệm

m.
3. Xác định m để pt có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
4. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
5. Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại của phơng trình.
6. Tìm m để PT có 2 nghiệm cùng dấu dơng .
7. Tìm m để PT có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức |x
1
|+|x
2
| = 1
Bài 10. Cho pt x
2
- 2(m +2)x + m +1 = 0
1. Giải pt với m= -2
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2
độc lập với m.
4. Tìm m để x

1
(1- 2x
2
) + x
2
(1- 2x
1
) = m
2
Bài 11. Tìm m để PT: x
2
- (m +3)x + 2(m+2)= 0 (1)
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
= 2x
2
Bài 12. Cho PT: x
2
- 2(m + 1)x + 2m - 15 = 0
1. Giải pt khi m =-1
2. Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
.Tìm các giá trị của m thoả mãn x
2

+5x
1
= 4
3. Tìm m để pt có 2 nghiệm cùng dấu.
4. Tìm m để pt có nghiệm bằng -2. Tìm nghiệm còn lại của PT
Bài 13. Cho phơng trình x
2
- (m + 4)x + 3m +3 = 0
1. Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại của phơng trình.
2. Xác định m để PT có hai nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
3
+ x
2
3


0
Bài 14. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
- 2(m-1)x 4 = 0.Tìm m để |x
1

|+|x
2
| = 5
Bài 14. Cho Parabol y = -
2
1
x
2
và điểm N(1;-2).
1. CMR phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt Parabol tại 2 điểm phân
biệt A,B với mọi giá trị của k.
2. Gọi x
A
, x
B
lần lợt là hoành độ của A và B. Tìm k để
x
2
A
+ x
2
B
- 2x
A
x
B
(x
A
+ x
B

) đạt GTLN. Tìm giá trị ấy.
Bài 15. Cho h/s y= x
2
(P) và đờng thẳng y = 2mx - 2m + 3 (d)
1. Tìm giao điểm của Parabol (P) và đờng thẳng (d) khi m = 0.
2. CMR đt luôn cắt Parabol tại mọi giá trị của m.
3. Tìm m để đờng thẳng cắt Parabol 2 điểm có hoành độ trái dấu.
4. Gọi x
1
,x
2
là hoành độ giao diểm giữa đt và Parabol.
Tìm m để x
2
1
(1-x
2
2
) + x
2
2
(1-x
2
1
) = 4
Bài 16. Cho h/s y = f(x) = -2x
2
có đồ thị là ( P )
1. Tính f(0); f(
2

); f(
2
1
); f(-1)
2. Tìm x để h/s lần lợt nhận các giá trị 0; -8; -18; 32
3. Các điểm A(3;-18), B(
3
;-6); C(-2;8) có thuộc đồ thị (P) không ?
Bài 16. Cho h/s y=
2
1
x
2
1. Gọi A,B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ là 1 và -2. Viết phơng trình đờng thẳng
đi qua A và B.
2. Đờng thẳng y = x + m - 2 cắt đồ thị trên tại 2 điểm phân biệt gọi x
1
và x
2
là hoành độ giao
điểm ấy. Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
+ 20 = x
1
2
x

2
2
Bài 17. Cho h/s y = ( m - 2)x
2
1. Tìm m để h/s đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
2. Tìm m để đồ thị h/s nằm phía trên trục hoành.
3. Tìm m để đồ thị h/s đi qua A(-
2
; 2)
4.Tìm m để đồ thị h/s tiếm xúc với đt y = x - 3. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 18. Cho hàm số y = f(x) = 2x
2
- x + 1. Tính f(0); f(-
1
2
); f(-
3
).
Bài 19. Cho pt x
2
- 3x + 2 = 0, Gọi x
1
và x
2
là 2 nghiệm của pt. Không giải pt hãy tính.
1. x
1
2
+ x
2

2
2. x
3
1
+ x
3
2
3. x
4
1
+ x
4
2
4. x
2
1
x
2
+ x
2
2
x
1
5.
21
11
xx
+
6.
1

2
2
1
x
x
x
x
+
7.
2
2
12
2
1
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
8.
)1()1(
)(
2
2
2

2
1
2
2
1
2121
2
2
2
1
+
+++
xxxx
xxxxxx
9. x
1
-x
2
10. x
1
2
- x
2
2
11. |x
1
|-|x
2
|
12.

21
xx +
13.
1221
xxxx +
14.
2211
xxxx +
15.
1
2
2
1
x
x
x
x
+
16. (2 x
1
-1)( 2x
2
-1) 17. x
1
2
(x
1
- 1) + x
2
2

(x
2
- 1) 18.
1 2
2 1
2 x -1 2 x -1
x x
+
* Luyện với các pt 2x
2
- 7x + 1 = 0
3x
2
- 4x + 1= 0
Bài 20. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của pt 3x
2
+ 7x + 4 = 0 (1)
Không giải pt hãy lập một pt bậc 2 nhận.
1.
1
1
1
x
x
và
2

2
1
x
x
làm nghiệm.
2. x
2
1
- 2x
1
và x
2
2
- 2x
2
làm
nghiệm
3. Nghịch đảo các nghiệm của
PT(1) làm nghiệm.
Bài 21. Tìm m để pt x
2
- 12x + m = 0. có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức
2
1 2
x x=
Phần V. Giải bài toán bằng cách lập hệ hoặc PT

Dạng 1: Toán chuyển động.
Bài 1. Một ôtô và xe máy xuất phát cùng một lúc, đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 180
km . Vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h , nên ôtô đã đến B trớc xe máy 36
phút. Tính vận tốc của mỗi xe
Bài 2 . Hai ngời đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 75 km . Ngời thứ nhất mỗi giờ
đi nhanh hơn ngời thứ hai 5 km/h nên đến B sớm hơn ngời thứ hai 10 phút. Tính vận tốc của mỗi
ngời.
Bài 3. Khoảng cách giữa 2 thành phố A và B là 180 km. một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B
rồi lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi dến lúc trở về A là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc
đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
Bài 4. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đờng từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ
nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến b trớc ô tô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của
mỗi xe.
Bài 5. Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến
A với vận tốc hơn xe đạp 18 km/h. Sau khi 2 xe gặp nhau, xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B.
Tính vận tốc mỗi xe?
Bài 6 Một ô tô đi trên quãng đờng dài 520 km. Khi đi đợc 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10
km/hvà đi hết quãng đờng còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đờng
là 8 giờ.
Bài 7 Một ngời dự định đi từ A đến B cách nhau 36 km trong một thời gian nhất định. Đi đợc nửa
đờng, ngời đó nghỉ 18 phút nên để đến B đúng hẹn phải tăng vận tốc 2 km/h. Tính vận tốc ban đầu.
Bài 8 Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút, một ca nô cũng khởi hành
từ A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Tim Vận tốc của thuyền, biết vận tốc ca nô nhanh
hơn thuyền là 12 km/h.
Bài 9 Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Khi còn cách trung điểm quãng đờng
60 km thì xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đã đến B sớm hơn dự định là 1 giờ. Tính quãng đờng
AB.
Bài 10. Một canô xuôi dòng 30 km rồi ngợc dòng 36 km. Vận tốc canô xuôi dòng lớn hơn vận tốc
canô ngợc dòng 3km/h. Tính vận tốc canô lúc ngợc dòng. Biết rằng thời gian canô lúc ngợc dòng
lâu hơn thời gian xuôi dòng 1 giờ.

Bài 11. Quãng đờng Hải Dơng Thái Nguyên dài 150km. Một ô tô đi từ Hải Dơng đến Thái
Nguyên rồi nghỉ ở Thái Nguyên 4 giờ 30 phút , sau đó trở về Hải Dơng hết tất cả 10 giờ. Tính vận
tốc của ô tô lúc đi . Biết vận tốc lúc về nhanh hơn vận tốc lúc đi 10km/h.
Bài 12 Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng
từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè
nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Bài 13. Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi dòng và ngợc dòng là
4 giờ 10 phút. Tính vận tốc thực của thuyền, biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới
xuôi hết dòng sông.
Bài 14. Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc 20
km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đờng đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục
chạy với vận tốc nh cũ. Tính chiều dài khúc sông AB, biết rằng 2 canô đến bến B cùng một lúc.
Bài 15. Hai ngời đi xe máy cùng khởi hành một lúc từ Hà Nội và Hải Dơng ngợc chiều nhau, sau
40 phút họ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ngời, biết rằng vận tốc ngời đi từ HN hơn vận tốc ngời
đi từ HD là 10km/h và quãng đờng Hà Nội - Hải Dơng dài 60km.
Dạng 2. Tăng giảm
Bài 1Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8
tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc?
Bài 2. Lớp 8 B đợc phân công trồng 420 cây xanh. Lớp dự định chia đều số cây cho mỗi bạn trong
lớp. Đến buổi lao động có 5 ngời đi làm việc khác, vì vậy mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 2 cây
nữa mới hết số cây cần trồng . Tính tổng số h/s của lớp 8 B.
Bài 3. Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 15 học sinh( cả nam và nữ) đã trồng đợc tất
cả 60 cây. Biểt rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau.
Mỗi bạn nam trồng đợc hơn các bạn nữ là 3 cây. Tính số h/s nam và nữ của tổ.
Bài 4. Một đội xe theo kế hoạch cần vận chuyển 150 tấn hàng. Nhng đến lúc làm việc phải điều 4
xe đi làm nhiệm vụ khác . Vì vậy số xe còn lại phải chở thêm 10 tấn hàng mới hết số hàng đó.
Hỏi đội có bao nhiêu xe ?
Bài 5. Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải
điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiêu hơn dự định là 4 sản
phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi cồg nhân là

nh nhau.
Bài 6 Lớp 9A đợc phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh, nhng khi
lao động có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong. Tính số học sinh lớp
9A
Bài 7. Trong trờng A có 155 cuốn sách toàn và văn. Dự tính trong thời gian tới nhà trờng sẽ mua
thêm 45 cuốn sách văn và toán, trong đó số sách môn Văn bằng 1/3 số sách môn văn hiện có và
sách môn toán bằng 1/4 số sách môn toán hiện có .
Tính số sách môn văn và toán có trong th viện của nhà trờng.
Bài 8. Hai tổ công nhân đợc giao mỗi tuần sản xuất đợc 980 đôi giầy. Để lập thành tích chào
mừng ,tuần vừa qua tổ 1 vợt mức 8%, tổ 2 vợt mức 10%. So với kế hoạch đợc giao nên cả 2 tổ sản
xuất đợc 1068 đôi. Hỏi định mức đợcgiao của mỗi tổ là bao nhiêu đôi giầy.
Bài 9 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ
thuật mới nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ II đã vợt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã
hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm đợc giao của mỗi tổ theo kế hoạch là bao
nhiêu?
Bài 10 Trong một phòng có 80 ngời họp, đợc sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi hai
dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai ngời mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế
và mỗi dãy ghế đợc xếp bao nhiêu ngời ngồi?
Bài 11 Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và đợc chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. Nếu
thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi. Hỏi
ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp đợc chia thành bao nhiêu dãy?
Tổng số công nhân của hai đội sản xuất là 125 ngời. Sau khi điều 13 ngời từ đội thứ nhất
sang đội thứ hai thì số công nhân của đội thứ nhất bằng
2
3
số công nhân của đội thứ hai.
Tính số công nhân của mỗi đội lúc đầu.
Dạng 3. Hình học
Bài 1. Một hình chữ nhật có diện tích 300 m
2

. Nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài lên
5m thì ta đợc HCN mới bằng diện tích HCN ban đầu. Tính chu vi HCN ban đầu.
Bài 2. Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 50 m và diện tích 100 m
2
Tính các cạnh của khu v-
ờn ấy.
Bài 3 Một khu vờn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/5 chiều dài và có diện tích bằng 360 m
2
.
Tính chu vi của khu vờn ấy.
Bài 4 Một khu vờn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792 m
2
.
Tính chu vi khu vờn ấy.
Bài 5 Tính các kích thớc của hình chữ nhật có diện tích 40 cm
2
, biết rằng nếu tăng mỗi kích thớc
thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm
2
.
Bài 6 Hai ngời đi xe đạp khởi hành cùng lúc từ A và B cách nhau 60 kmvà đi dến C. Hớng chuyển
động của họ vuông góc với nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc mỗi ngời, biết vận tốc ngời đi
từ A nhỏ hơn vận tốc ngời đi từ B là 6 km/h.
Dạng 4. Tìm số.
Bài 1. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 và
nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận đợc số mới bằng
5
17
số ban đầu.
Bài 2. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và

nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận đợc số mới bằng
7
4
số ban đầu.
Bài 3. Cho một số có hai chữ số, tổng của hai chữ số bằng 11. Nếu thay đổi theo thứ tự ngợc lại đ-
ợc một số mới lớn hơn số lúc đầu 27 đơn vị. Tìm số đã cho.
Bài 4. một số có hai chữ số lớn gấp 3 lần tổng các chữ số của nó, còn bình phơng của tổng các chữ
số gấp 3 lân số đã cho. Tìm số đó.
Bài 5. Đem một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì đợc 405. Nêu lấy số đợc viết
bởi hai chữ số ấy nhng theo thứ tự ngợc lại nhân với tổng các chữ số của nó thì đợc 486. Tìm số đó
(54)
Bài 6. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm 2 số đó.
Dạng 5 : Làm chung công việc:
Bài 1. Hai ngời cùng làm chung một công việc mất 3giờ. Ngời thứ nhất làm đến nửa công việc ng-
ời thứ hai làm nốt cho hoàn thành cả thảy hết 8 giờ. Nếu mỗi ngời làm riêng thì mất mấy giờ ?
Bài 2 Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ
hai đợc điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi mỗi tổ làm
riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?.
Phần Hình Học
Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn ( O; R), hai đờng cao AD và BE
cắt nhau tại H ( D

BC; E

AC; AB < AC ).
a) Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh CE.CA = CD. CB và DB.DC = DH.DA.
c) Chứng minh OC vuông góc với DE.
d) Đờng phân giác trong AN của
ã

BAC
cắt BC tại N và đờng tròng ( O ) tại K ( K khác A).
Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CAN. Chứng minh rằng KO và CI cắt nhau tại
một điểm thuộc đờng tròn (O)
Bài 2. Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B. AM cắt BE
tại C; AE cắt MB tại D.
a) Chứng minh MCED là tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB.
b) Gọi H là giao điểm cảu CD và AB. Chứng minh rằng BE. BC = BH. BA.
c) Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đ-
ờng thẳng CD.
Bài 3. Cho đờng tròn (O; R) và một điểm S ở ngoài đờng tròn. Vẽ hai tiếp tuyến SA và SB. Vẽ đ-
ờng thẳng a đi qua S và cắt đờng tròn (O) tại M; N với M nằm giữa S và N. (O

a).
a) Chứng minh SO vuông góc với AB
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm của MN. Hai đờng thẳng OI và AB cắt
nhau tại E. Chứng minh ISHE nội tiếp.
c) Chứng minh OI.OE = R
2
.
d) Cho SO = 2R và MN = R
3
. Tính diến tích tam giác ESM theo R.
Bài 4: Cho tam giác MNP vuông tại M, đờng cao MH ( H trên cạnh NP ). Đờng tròn đờng kính
MH cắt các cạnh MN tại A và cắt cạnh MP tại B.
1. Chứng minh AB là đờng kính của Đờng tròn đờng kính MH.
2. Chứng minh tứ giác NABP là tứ giác nội tiếp.
3. Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP tại I. Chứng minh rằng IN = IP.
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh Ccắt nhau tại H và cắt đờng tròn
ngoịa tiếp tam giác ABC lần lợt tại E và F.

1. Chng minh AE = AF
2. Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH.
3. Kẻ đờng kính BD . Chứng minh tứ giác ADCH là hình bình.
Bài 6: Cho tam giác vuông PQR (
^
P
= 90
0
) nội tiết đờng tròn tâm O, kẻ đờng kính PD.
1. Chứng minh tứ giác PQDR là hình chữ nhật .
2. Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc của Q, R trên PD. PH là đờng cao của tam giác
( H trên cạnh QR ) . Chứng minh HM vuông góc với cạnh PR.
3. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN.
4. Gọi bán kính đờng tròn nội, ngoại tiếp tam giác vuông PQR là r và R .
Chứng minh: r + R


PRPQ.
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC vuông tại C. O là trung điểm của AB và D là điểm trên cạnh AB
( D không trùng với A, O, B ) . Gọi I và J thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD và tam
giác BCD.
1. Chứng minh OI // BC
2. Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh rằng CD là phân giác của góc
ã
ACB
khi và chỉ khi OI = OJ.
Bài 8:
Cho đờng tròn tâm O và M là điểm ở ngoài đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B là
tiếp điểm ) và một cát tuyến cắt đờng tròn tại C, D.

1. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh bốn điểm A, B, O, I nằm trên một đờng tròn.
2. AB cắt CD tại E. Chứng MA
2
= ME.MI
3. Giả sử AD = a và C là trung điểm của MD. Tính đoạn AC theo a.
Bài 9: Cho điểm A ở bên ngoài đờng tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn(B, C là
tiếp tuyến). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (MB, MC). Gọi D, E, F tơng ứng là hình chiếu
vuông góc của M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao
điểm của MC và EF.
1. Chứng minh:
a. MECF là tứ giác nội tiếp.
b. MF vuông góc với HK.
2. Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất.
Bài 10:Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự ấy). Gọi (O) là đờng tròn đi qua B và C. Từ A
vẽ các tiếp tuyến AE và AF với đờng tròn(O) (E và F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của
BC.
a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F năm trên một đờng thẳng.
b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại G. Chứng minh EG//AB.
c) Nối EF cắt AC tại K. Chứng minh AK.AI = AB.AC
Bài 11:Cho hình vuôngABCD, M là một điểm trên đờng chéo BD, gọi H, I và K lần lợt là hình
chiếu vuông góc của M trên AB, BC, AD.
1. Chứng minh tam giác MIC bằng tam giác HMK.
2. Chứng minh CM vuông góc với HK.
3. Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 12: Cho hai đờng tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại M và N, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn
(O

1
) và (O
2
) về phía nửa mặt phẳng bờ O
1
O
2
chứa điểm N, có tiếp điểm thứ tự là A và B. Qua M kẻ
cát tuyến song song với AB cắt đờng tròn (O
1
), (O
2
) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CA và đờng thẳng
DB cắt nhau tại I.
1. Chứng minh IM vuông góc với CD.
2. Chứng minh tứ giác IANB là tứ giác nội tiếp.
3. Chứng minh đờng thẳng MNđi qua trung điểm của AB.
Bài 13: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đờng tròn đờng kính AB, BC, gọi D
và E thứ tự là hai tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB và BC, và M là giao
điểm của AD với CE.
1. Chứng minh tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh MB là tiếp tuyến của hai đờng tròn đờng kính AB và BC
3. Kẻ đờng kính DK của đờng tròn đờng kính AB. Chứng minh K, B, E thẳng hàng.
Bài 14: Cho tam giác vuông MNP (góc M = 90
0
). Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía tam giác
MNP sao cho NP = NQ và góc MNP = góc PNQ, và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E.
1.Chứng minh góc PMI và góc QNP bằng nhau.
2. Chứng minh tam giác MNE là tam giác cân.
3. Chứng minh MN.PQ = NP.ME

Bài 15: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Lấy điểm D tuỳ ý trên nửa đờng tròn (DA và DB).
Dựng hình bình hành ABCD. Từ D kẻ DM vuông góc với đờng thẳng AC tại M và từ B kẻ BN
vuông góc với đờng thẳng AC tại N.
a) Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh AD.ND = BN.DC
c) Tìm vị trí của D trên nửa đờng tròn sao cho BN.AC lớn nhất.
Bài 16:
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC, BD cắt nhau tại E.
Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M.
Giao điểm của BD và CF là N.
Chứng minh:
a) CEFD là tứ giác nội tiếp.
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM
c) BE.DN = EN.BD
Bài 17: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Một dây CD cắt AB tại H. Tiếp tuyến tại B của đờng
tròn (O) cắt các tia AC, AD lần lợt tại M và N.
1. Chứng minh tam giác ACB đồng dạng với tam giác ABM.
2. Các tiếp tuyến tại C và D của đờng tròn (O) cắt MN lần lợt tại E và F. Chứng minh EF
= MN/2
3. Xác định vị trí của dây CD để tam giác AMN là tam giác đều.
Bài 18: Cho đờng tròn (O) và một đờng thẳng a không có điểm chung với đờng tròn(O). Từ một
điểm A thuộc đờng thẳng a, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn (O) (B, C thuộc đờng tròn
(O)). Từ O kẻ OH vuông góc với đờng thẳng a tại H. Dây BC cắt OA tại D và cắt OH tại E.
1. Chứng minh từ giác ABOC nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
2. Gọi R là bán kính đờng tròn (O). Chứng minh OH.OE = R
2
3. Khi A di chuyển trên đờng thẳng a, chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 45
0
, nội tiếp đờng tròn (O ; R). Tia AO cắt đ-

ờng tròn (O;R) tại D khác A. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB (M khác A, B). Dây MD cắt dây BC
tại I. Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME=MB. Đờng tròn tâm D bán kính DC cắt MC
tại điểm thứ hai K.
1. Chứng minh rằng:
a. BE song song với DM.
b. Tứ giác DCKI là tứ giác nội tiếp.
2. Không dùng máy tính hoặc bảng lợng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác
ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra.
Bài 20: Cho đờng thẳng (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc
với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
1. Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp.
2. Tính tích AH.AK theo R.
Bài 21: Cho hình thoi ABCD , có góc A = 60
0
, M là một điểm trên cạnh BC, đờng thẳng AM cắt
cạnh DC kéo dài tại N.
1. Chứng minh đẳng thức: AD
2
= BM.DN.
2. Đờng thẳng DM cắt BN tại E. Chứng minh rằng tứ giác BECD là tứ giác nội tiếp.
3. Khi hình thoi ABCD cố định. Chứng minh rằng điểm E năm trên cung tròn cố định khi
điểm M thay đổi trên cạnh BC.
Bài 22:Cho đờng tròn tâm ( 0 ), AB là dây cố định của đờng tròn không đi qua tâm. M là một
điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB là tam giác nhọn. Gọi D và C thứ tự là điểm chính
giữa của cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD tại I, đờng thẳng CD cắt cạnh MA
và MB thứ tự tại P, Q.
1. Chứng minh tam giác BCI là tam giác cân.
2. Chứng minh tứ giác BCQI là tứ giác nội tiếp
3. Chứng minh QI = MP
4. Đờng thẳng MI cắt đờng tròn tại N, khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung điểm

của MN chuyển động trên đờng nào ?
Bài 23
Cho tam giác vuông cân ABC ( AB = AC ), trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O
1
) là tâm đờng
tròn tâm 0
1

qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi ( O
2
) là tâm đờng tròn tâm O
2
đi qua M và tiếp
xúc với AC tại C. Đờng tròn ( O
1
) và ( O
2
) cắt nhau tại D ( D

M )
1. CMR tam giác BDC là tam giác vuông
2. Chứng ming 0
1
D là tiếp tuyến của đờng tròn tâm ( O
2
)
3. B0
1
cắt C0
2

tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C năm trên một đờng tròn.
4. Xác định vị trí của M sao cho đoạn thẳng O
1
0
2
là ngắn nhất.
Bài 24: Cho tam giác vuông ABC ( AC > AB,
^
A
= 90
0
). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác
ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, AC lần lợt tại M, N, P.
1. Chứng minh tứ giác AMIP là hình vuông.
2. Đờng thẳng AI cắt PN tai D. Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đờng tròn.
3. Đờng thẳng BI và CI kéo dài cắt AC, AB lần lợt tại E và F.
Chứng minh BE. CF = 2 BI . CI
Bài 25: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. Trên đờng tròn (O) lấy điểm C (C không trùng
với A, B và CA > CB). Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ
CH vuông góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại E.
1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp.
2) Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB tại F. Chứng minh
ã
ã
0
2BCF CFB 90+ =
.
3) BD cắt CH tại M . Chứng minh EM//AB.
Bài 26: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm 0 , đờng phân giác trong của góc A cắt cạnh BC
tại D và đờng tròn ngoại tiếp tại I.

1. chứng minh OI vuông góc vứi cạnh BC.
2. Chứng minh đẳng thức BI
2
= AI. DI.
3. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Chứng minh góc
ã
ã
BAH CAO=
4.Chứng minh góc HÂO =
^^
CB