Đề, đáp án Toán chuyên Khánh Hòa 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2013 – 2014
 
Môn thi : TOÁN (CHUYÊN)
Ngày thi : 22/6/2013
(Thời gian : 150 phút – không kể thời gian phát đề)
(Đề thi có 01 trang) 
Bài 1. (2,00 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
3 2 3 2
A 5 2 6
3 7
− + +
= + −
+
.
2) Chứng minh rằng
3
3 3
3
4 1
32 16 3
= −
+ +
.
Bài 2. (2,00 điểm)
1) Giải phương trình
2
2
2x 1 5x
7

x 2x x 1
−
+ =
− −
.
2) Giải hệ phương trình
2 2
5(x 2) y 3y
(6x 4y 1) x y 1 (2x 2y 1) 3x 2y .

− = −


+ − + + = + + +


Bài 3. (2,00 điểm)
1) Với hai số dương x và y, chứng minh rằng
2
(x y) x y
x y y x
2 4
+ +
+ ≥ +
.
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
2) Với số nguyên n bất kỳ cho trước, chứng minh rằng không tồn tại số nguyên
dương x thỏa mãn điều kiện
x(x 1) n(n 2)+ = +
.

Bài 4. (3,00 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD. Gọi E
là hình chiếu vuông góc của B trên AD, H là hình chiếu vuông góc của A trên BC và M là
trung điểm của BC.
1) Chứng minh
HME∆
đồng dạng với
AOB∆
.
2) Từ C vẽ CF vuông góc với AD
(F AD)∈
. Chứng minh M là tâm của đường tròn
ngoại tiếp tam giác EFH.
3) Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB. Chứng minh
AM BN CP 2AD+ + >
.
Bài 5. (1,00 điểm)
Trên một mặt phẳng cho trước, giả sử rằng mỗi điểm đều được tô màu đỏ hoặc màu
xanh. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu.
 HẾT 
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………/Phòng:………
Giám thị 1: …………………………………………
Giám thị 2: …………………………………………
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
M
G
N
P
D

O
B
C
A
O
D
A
B
C
Hướng dẫn bài khó
Bài 3.2
Với số nguyên n bất kỳ cho trước, chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương x thỏa
mãn điều kiện
x(x 1) n(n 2)+ = +
.
Hướng dẫn :
Giả sử
x(x 1) n(n 2)+ = +
, với n nguyên và x nguyên dương
Ta có
2 2 2 2
x x n 2n x x 1 (n 1)+ = + ⇔ + + = +
Vì x nguyên dương nên
2 2 2 2
x x x 1 x 2x 1 (x 1)< + + < + + = +
Suy ra
2 2 2
x (n 1) (x 1)< + < +
(vô lý)
Vậy không tồn tại số nguyên dương x thỏa mãn bài toán.

Bài 4.3
Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB. Chứng minh
AM BN CP 2AD
+ + >
.
Hướng dẫn :
Gọi G là trọng tâm
ABC
∆
. Khi đó O thuộc 1 trong 3 miền tam
giác :
GAB∆
,
GBC∆
,
GCA∆
. Không mất tổng quát, giả sử O
thuộc miền
GAC
∆
(kể cả biên)
+ C/m được :
GA GC OA OC AD+ ≥ + =
2 2 3
3 3 2
⇒ + ≥ ⇔ + ≥AM CP AD AM CP AD
+ Vì
1
BN BO AD
2

> =
AM BN CP 2AD
⇒ + + >
.
Bài 5
Trên một mặt phẳng cho trước, giả sử rằng mỗi điểm đều được tô màu đỏ hoặc màu xanh.
Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu.
Hướng dẫn :
1/ Chỉ có 1 điểm màu đỏ hoặc màu xanh khi đó luôn tìm được 3 đỉnh còn
lại của hình vuông cùng màu  bài toán luôn xảy ra.
2/ Có 2 điểm phân biệt cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh.
Giả sử A, B là 2 điểm phân biệt cùng màu đỏ. Ta vẽ một hình vuông
ABCD tâm O.
+ Nếu C màu đỏ thì
ABC∆
vuông cân có 3 đỉnh cùng màu. Tương tự đối với D.
+ Nếu C, D cùng màu xanh. Khi đó, nếu O màu đỏ thì
AB
∆Ο
vuông cân có 3 đỉnh cùng
màu đỏ. Còn nếu O màu xanh thì
CD∆Ο
vuông cân có 3 đỉnh cùng màu xanh.
Tóm lại trong tất cả các trường hợp, ta đều tìm được một tam giác vuông cân có 3 đỉnh
cùng màu.