đề thi tuyểnsinh vào 10 năm 2013-2014 các tỉnh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (717.57 KB, 54 trang )
Tuyn tp thi vo lp 10 cỏc tnh nm hc 20132014
1.
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã
đề thi tuyển sinh
Vào trờng trung học phổ thô ng chuyên năm 2013 Tr -
ờng đại học s phạm hà nội.
Môn thi : Toán
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng THPT chuyên HSP)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1(2,5 điểm)
1.Cho biểu thức
3
2
a b
2a a b b
ab a
a b
Q
3a 3b ab a a b a
+ +
ữ
+
= +
+
với a>0 ; b>0 a
b.
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
2.Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức
( )
4442222
2)( cbacba ++=++
Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x
2
và đờng thẳng (d) :
2
2
1
m
mxy
+=
( tham số m
0).
1.Chứng minh rằng với m
0 đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
2. Gọi
( ) ( )
2211
;;; yxByxA
là giao điểm của (d) và (P).Tính giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2
2
2
1
yyM
+=
Câu 3 (1,5 điểm) Giả sử a,b,c là các số thực a
b sao cho hai phơng trình
;01
2
=++ axx
;0
2
=++ cbxx
có nghiệm chung và 2 phơng trình
( ) ( )
1 1 .VT VP
;0
2
=++ bcxx
có nghiệm
chung. Tính a + b + c.
Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đ-
ờng cao AA
1
;BB
1
;CC
1
của tam giác ABC cắt nhau tại H.Các đờng thẳng A
1
C
1
và AC cắt
nhau tại điểm D, gọi X là giao điểm thức hai của đờng thẳng BD với đờng tròn (O)
1.Chứng minh rằng DX.DB = DC
1
.DA
1
2.Gọi M là trung điểm cạnh AC .Chứng minh DH
( ) ( )
1 1 .VT VP
BM
Câu 5: (1 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn
+++++=+++++
+++++=+++++
201320122011201320122011
201320122011201320122011
yxzxzy
xzyzyx
Chứng minh rằng x=y=z
Hết
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo dan
Phm vn Cng THCS ng Gia Kim Thnh Hi Dng. Trang
1
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Câu 1: a)
( ) ( )
( )
3
3
2 2
2
2
3 3 3 3
−
+ +
÷
− + + −
−
+
= + = −
+ − + −
a b
a a b b
a b a a b b a a b
ab a
a b
Q
a b ab a a b a a b ab a a b
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
3 3 2 1 3 3 3 1
3 3 3 3
3 3 3 3 3
0
3 3
− − + + + − +
= − = −
+ + + +
− + + − −
= =
+ +
a a b b a b b a a a b b a a a b b a
a b ab a b a b ab a b
a a a b b a a b a b ab
a b ab a b
b) Ta có
)(*)(2)(
2222222222444
accbbacbacba
++−++=++
Từ a+b+c=0 ta có
2
)(
)(2
2
)(2
2
2222
222222
2
222
222222
222
cba
accbba
cba
cbaabcaccbba
cba
cabcab
++
=++⇔
++
=+++++⇔
++
=++
Thay vào (*) Ta có ĐPCM
Câu 2 1. Ta có tọa độ giao (d) và (P) là nghiệm của hệ PT
=−+
=
⇔
+−=
=
(*);0
2
1
2
1
2
2
2
2
2
m
mxx
xy
m
mxy
xy
Xét PT(*) có
022
2
2
2
>≥+=∆
m
m
⇒
Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với
m∀
≠
0
Vậy
( )d
cắt
( )P
tại 2 điểm phân biệt
2. Ta có
( ) ( )
[ ]
2
2
2
1
2
21
2
21
2
2
2
1
2
2
2
2
1
4
2
4
1
2
2
2
1
222 xxxxxxxxxxxxyyM
−−+=−+=+=+=
Áp dụng định lý Viet:
−
=
−=+
2
21
21
2
1
m
xx
mxx
thay vào M ta có
222
2
1
2
11
4
4
4
2
2
2
+≥++=−
+=
m
m
mm
mM
Min(M) =
22 +
khi
8
1
2
m = ±
Câu 3:
( ) ( )
2 2
1 0 1 ; 0 2+ + = + + =x ax x bx c
( ) ( )
2 2
0 3 ; 0 4+ + = + + =x x a x cx b
Gọi
1
x
là nghiệm chung của phương trình (1) và (2)
Từ (1),(2)
( )
2 2
1 1 1 1 1
1 0 ; 0 1
+ + = + + = ⇒ − = −
x ax x bx c x a b c
. Vì
1
1
(5)
c
a b x
a b
−
≠ ⇒ =
−
CMTT:Nếu
1c a b= ⇒ =
(vô lý)
1c⇒ ≠
;Ta có :
2
(6)
1
a b
x
c
−
=
−
Từ (5), (6)
1 2 1
2
1
1x x x
x
⇒ = ⇒ =
. Từ (1) , (3)
2 2
1 1 2 2 1 2
2
2 2
1 1
1 1 0 1 0 1x ax a x ax x x
x x
+ + = + + = ⇒ + + = ⇒ = =
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
2
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Câu 4
a)Ta có tứ giác
1 1
,AC AC ABXC
là các tứ giác nội tiếp
DCX∆
( )
. . .
DC DX
DBA g g BD DX DC AD
DB DA
∆ ⇒ = ⇒ =
1
DCA∆
( )
1
1 1 1
1
. . .
DA DC
DC A g g DC AD DA DC
DA DC
∆ ⇒ = ⇒ =
1 1
. .DA DC DX DB⇒ =
d) Ta thấy :theo a)
1 1
. .DA DC DX DB=
suy ra
XABCHABC
1111
,
là các tứ giác nội tiếp
1
BC HX⇒
là tứ giác nội tiếp
·
·
·
1
180 90BXH BC H BXH HX BX⇒ + = ° ⇒ = °⇒ ⊥
Kẻ đường kính BL.
Ta có :
·
90BAL = °
( chắn nửa đường tròn)
BA AL⇒ ⊥
mà
CH BA CH AL⊥ ⇒ P
·
90BCL = °
( chắn nửa đường tròn)
BC CL⇒ ⊥
mà
AH BC AH CL⊥ ⇒ P
AHCL⇒
là hình bình hành.
Vì M là trung điểm AC
M⇒
là trung điểm LH mà
·
90BXL = °
( chắn nửa đường tròn)
BX XL⇒ ⊥
mà
, ,HX BX L H X⊥ ⇒
thẳng hàng
hay
, ,M H X
thẳng hàng. Nên H là trực tâm tam giác BDM nên
BMDH ⊥
Câu 5:
+++
−
+++
=
+++
−
+++
+++
−
+++
=
+++
−
+++
⇔
+++
=
+++
+
+++
+++
=
+−+
+
+++
⇔
+−+=+−+++−+
+−+=+−+++−+
⇔
+++++=+++++
+++++=+++++
)2(
20122013
1
20112013
2
20112013
1
20112012
1
)1(
20122013
1
20112013
1
20112013
1
20112012
1
20112013
2
20122013
1
20112012
1
20112013
2
20122013
1
20112012
1
201120132012201320112012
201120132012201320112012
201320122011201320122011
201320122011201320122011
xxyyyyzz
zzxxxxyy
yyxxzz
xxzzyy
yyxxzz
xxzzyy
yxzxzy
xzyzyx
Nếu x<y<z từ(1) VT dương VP âm vô lí nếu x>y>z VP dương VT âm vô lí
Nếu x<z<y từ (2) VT dương VP âm vô lí nếu x>z>y VP dương VT âm vô lí
Vậy x=y=z
Đề 2.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013
MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh)
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
3
C
1
B
1
A
1
X
H
M
N
C
D
B
A
2
3
1
= −
⇒ ⇒ + + = −
+ = −
a
a b c
b c
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I 1) Giải phương trình
1213 =−++ xx
2) Giải hệ phương trình
+=
++
=+++
xy
xy
y
x
yx
yx
11
2
3
4
1
2
911
Câu II 1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
baac
ca
accb
bc
cbba
ab
ca
c
cb
b
cb
a
++
+
++
+
++
+=
+
+
+
+
+
4
3
2)Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số
abcde
sao cho
( )
edabc +− 10
chia hết cho 101?
Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC
cắt (O) tại D khác A .Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải
sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A
1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng
2)Chứng minh
ACEF
⊥
Câu IV Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1
Tìm giá trị nhior nhất cảu biểu thức
( )
3333
94 ccbaP +++=
Đề 3.
MÔN THI: TOÁN (dùng cho thí sinh thi chuyên Toán;Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I 1) Giải hệ phương trình
=−+
+−+=+
77
1
33
yxxy
xyxyyx
2) Giải phương trình
xxxx −++=−++ 11313
2
Câu II 1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) :
2041285
22
=+ yx
2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn
1≤+ yx
.Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức
22
1
11
yx
yx
P +
+=
Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường
tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC .PB cắt (O)tại
M khác B. PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại
tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A
1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng
2)Giả dụ AP là phân giác góc MAN .Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC
Câu IV Giả dụ dãy số thực có thứ tự
192321
xxxx ≤≤≤≤
Thỏa mãn điều kiện
1 2 3 n
1 2 3 192
x x x x 0
x x x x 2013
+ + + + =
+ + + + =
Chứng minh rằng
96
2013
1192
≥− xx
Đề 4.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học : 2013 – 2014 Khóa thi 06 / 6 / 2013
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
4
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Môn: TOÁN (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (Không tính thời gian giao đề)
Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A
2 x 9 x 3 2 x 1
x 5 x 6 x 2 x 3
− + +
− +
− + − −
(Với
x 4x 0 ; x ; 9≥ ≠ ≠
)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.
Câu 2. (2 điểm) a.Giải phương trình
2 2
3x 15 x x 3 3x− = + + −
.
b. Giải hệ phương trình
2xy 2y 20
1 2 4
+
y x 3
x+ + =
=
Câu 3. (1,5 điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a
2
= 0 và Parabol
(P) : y = ax
2
(a là tham số dương)
a) Tìm giá trị a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng tỏ khi đó A và B nằm bên
phải trục tung.
b) Gọi x
1
; x
2
lần lượt là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 2 1 2
4 1
M
x x x x
= +
+
Câu 4. (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có góc đỉnh A là 45
0
. Nửa đường tròn tâm O đường
kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Vẽ bán kính OM vuông góc với BC.
a) Chứng minh
EF R 2=
(Với BC = 2R).
b) Chứng minh M là trực tâm tam giác AEF.
Câu 5. (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB < AC. Hạ các đường cao
BE và CF, gọi H là trực tâm, M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kính AK cắt cạnh BC tại N.
a) Chứng minh
AMF∆
đồng dạng với tam giác
ANC
∆
.
b) Chứng minh HI song song với MN, với I là trung điểm BC.
Câu 6. (1 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn:
4 4
xy x y
xy 2013 + 2014
2 4 4
− = −
÷
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích xy.
hết
Đề 5.
Môn: TOÁN ( Toán chung) Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian giao đề)
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho hai biểu thức :
1
A = 2 18
2
+
và
1 1 x 2
B = .
x 2 x 2 x
−
+
÷
+ −
(với x > 0 và x
x 4≠
)
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm giá trị x để
A.B = 2
.
Câu 2. (1,5 điểm) a. Giải hệ phương trình (Không dùng máy tính bỏ túi)
x 2y 5
2x y 0
+ =
− =
.
b. Cho hàm số y = 2x
2
có đồ thi (P). Hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 2 và -1. Viết
phương trình đường thẳng đi qua A và B.
Câu 3. (2 điểm) Cho phương trình bậc hai: x
2
+ 2(m – 1)x + 2m – 6 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
với mọi m.
b) Tìm tất cả các giá trị m để
1 2
1 2
1 1
x x 13 0
x x
+ + + =
.
Câu 4. (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên đoạn AO lấy điểm C sao cho
R
AC =
4
. Vẽ dây cung ED vuông góc với AO tại C. Hai tiếp tuyến tại E và B của đường tròn (O)
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
5
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
cắt nhau tại M. Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng EK cắt
MO , MB lần lượt tại G, H. Gọi I là giao điểm của OM và EB.
a) Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp.
b) Tính AE theo R.
c) Chứng minh HM
2
= HK. HE.
d) Tính MG theo R.
Câu 5. (1 điểm) Cho a, b thỏa mãn điều kiện :
0 a 2
≤ ≤
;
0 b 2
≤ ≤
và a + b = 3.
Chứng minh
2 2
a + b 5≤
………………………………………………
Đề 6.
Đề 7.
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
6
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
Môn thi: Toán ( Chuyên toán - tin ) Ngày thi: 15/6/2013 Thời gian làm bài: 150’
Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức:
( )
x 2 x 2
Q x x
x 1
x 2 x 1
+ −
= − +
÷
÷
−
+ +
( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
1. Rút gọn Q ; 2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên
Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình:
x 2 3 13
x 3 y 1 10
3 2y 4 11
x 3 y 1 6
−
+ =
− +
+
− =−
− +
Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR :
bc ca ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
.
Bài 4: (3 đ) Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn tại
hai điểm A,B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường
tròn ( C,D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn.
2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD.
3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q.
Tìm vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất.
Bài 5: (1 đ) : Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức:
A 7 13 7 13 2
= + − − −
*
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR :
bc ca ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
.
a,b,c là các số thực dương => Theo BĐT Cô-Si ta được:
( )
bc ca bc ca
2 . 2c
a b a b
ca ab ab ca bc ca ab bc ca ab
2 . 2a 2 2. a b c a b c
b c c b a b c a b c
bc ab bc ab
2 . 2b
a c a c
+ ≥ =
+ ≥ = => + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +
÷
+ ≥ =
Bài 4: (3 đ)
3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm
vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất.
Ta có ∆MOD = ∆MOP (g-c-g) => S
∆ MPQ
= 2 S
∆ MOQ
=OD.MQ = R.MQ
=> S
∆ MPQ
nhỏ nhất MQ nhỏ nhất (3) Theo BĐT Cô – si cho hai số không âm , ta có:
MQ = MD+DQ ≥
2
2 MD.DQ 2 OD 2OD 2R= = =
( Vì ∆ MOD vuông tại O có đường cao OD nên OD
2
=MD.DQ )
Dấu “=” xảy ra
⇔
MD= DQ
⇔
∆OMQ vuông cân tại O
⇔
·
0
OMD 45=
⇔
OM
0
OD R
2.R
sin OMD sin 45
= = =
(Vì ∆ ODM vuông nên OD= OM.sinOMD ) Vậy MQ
min
= 2R
⇔
OM =
2
R (2)
Từ (3) và (4) suy ra khi M nằm trên (d) cách O một khoảng
2
R thì S
∆ MPQ
nhỏ nhất là R.2R=2R
2
( d.v.d.t)
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
7
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Bài 5: (1 đ) :
A 7 13 7 13 2= + − − −
.Ta có:
( ) ( )
= + − − − = + − − −
= + − − − = + − + − = => =
2 2
2.A 14 2 13 14 2 13 2 13 1 13 1 2
13 1 13 1 2 13 1 13 1 2 0 A 0
……………………………………………………
Đề 8
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 – 2014Toán (vòng 2)
Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử n là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng
2
2013 3
8
n +
là số
nguyên dương.
Câu 2 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức
3 3
2 5 2 5.A = + + −
Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình
2 2
2
6 17
6 5 1 0
x y xy
y xy x y
+ + =
− + − − =
Câu 4 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC có
, ,BC a CA b AB c= = =
và
µ µ
µ
A B C
≥ ≥
.
Chứng minh rằng
2
9 ( ) .ab a b c≥ + +
Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A, biết rằng H nằm
trên đoạn thẳng BC và không trùng với B hoặc C. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác ACH tại D phân biệt với A. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABH tại E phân biệt với A.
a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng bốn điểm I, J, D, E
cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng HA là tia phân giác của
·
EHD
.
c) Xác định mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.
………………………………………………………….
Đề 9.
…………………………
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 – 2014Toán (vòng 1)
Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b sao cho
1 1
1
1966 2013a b
+ =
− −
.
Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình
2
2 ( 1) 0(1)x mx m m− + + =
.
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm bé là
1
x
, nghiệm lớn là
2
x
thỏa mãn điều
kiện
1 2
2 0x x+ =
.
Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử x và y là các số dương có tổng bằng 1. Đặt
1
S xy
xy
= +
.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của S
b) Biểu thức S có giá trị lớn nhất hay không ? Vì sao?
Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 10. Gọi M, N, P tương ứng
là chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A.
a) Chứng minh rằng, điểm N nằm giữa hai điểm M và P.
b) Tính diện tích các tam giác APB, ABN và ABM.
HẾT
Đề 10.
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
8
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
Năm học 2013 – 2014 Môn: TOÁN (chung)
Bài 1 (1,5điểm)
1. Cho phương trình x
2
+ 4x – m = 0. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
2. Tìm tọa độ của điểm thuộc đồ thị hàm số y = 4x
2
, biết rằng điểm đó có tung độ bằng
4.
3. Cho hàm số y = (m + 5)x + 3m (với
5m ≠ −
).Tìm m để hàm số đồng biến trên
¡
.
4. Cho đường tròn đường kính BC = 5cm và điểm A thuộc đường tròn đó sao cho AC =
4cm. Tính
·
tan ABC
Bài 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức
3
3 3 1 3 1
3 :
4
3
x x
M
x
x x
+ +
= +
÷
÷
+
+
Với x > 0.
1. Rút gọn M.
2. Chứng minh rằng với x > 0 thì
4M
≥
. Tìm x để M = 4.
Bài 3 (2,5 điểm)
1. Tìm hai số dương biết rằng tích của hai số đó bằng 180 và nếu tăng số thứ nhất thêm
5 đồng thời bớt số thứ hai đi 3 thì tích hai số mới vẫn bằng 180.
2. Cho hệ phương trình
2( ) 2 2
(5 5 ) 2
x y m x m
m x y x m
+ + = +
+ − =
(1)
a) Giải hệ (1) khi m = 1.
b) Chứng minh rằng nếu (x;y) là nghiệm của hệ phương trình (1) thì
2
( 1)(5 5 1) 2x y x y x x+ − + − = −
Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Nửa đường tròn đường kính AB cắt các đoạn
thẳng CA, CB lần lượt tại M, N (khác A, B). Gọi H là giao điểm của AN và BM.
1. Chứng minh tứ giác CMHN nội tiếp và
·
·
0
90BAC ANM+ =
.
2. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ đường kính CD của đường tròn
(O). Chứng minh AH = BD.
3. Gọi I là trung điểm của AB. Đường thảng đi qua H và vuông góc với IH cắt các cạnh
CA, CB lần lượt tại P, Q. Chứng minh H là trung điểm của PQ.
Bài 5 (1,0 điểm) Tìm x và y thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
x < y + 2 và x
4
+ y
4
- (x
2
+ y
2
)(xy + 3x - 3y)=2(x
3
- y
3
- 3x
2
- 3y
2
)
……………………………………………….
Đề 11.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NGUYỄN BÌNH
NĂM HỌC 2013-2014 MÔN : TOÁN (chung) Ngày thi : 14/6/2013
Câu I(2,0 điểm) Cho biểu thức:
2 1 1
1
1 1
x x x
P
x
x x x x
+ + +
= + −
−
− + +
với x ≥ 0 và x ≠ 1
a.Rút gọn biểu thức P
b.Tìm
x
để P đạt giá trị nguyên.
Câu II(2,5 điểm) 1.Cho phương trình ẩn x:
( )
2
2 5 0x m x n+ − − =
a) Tìm m và n biết phương trình có hai nghiệm là -2 và 3.
b) Cho m = 5. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để phương trình có nghiệm dương
2. Cho phương trình : x
2
– 2mx + m
2
– m + 1 = 0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2
1 2
x +2mx = 9
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
9
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Câu III (1,0 điểm ) : Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Khoảng cách giữa hai bến sống A và B là 50km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, nghỉ
20 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả là 7
giờ. Hãy tìm vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h
Câu IV (3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm chính giữa của cung
AB, K là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BM. Gọi H là chân đường vuông góc của M xuống
AK
a) Chứng minh rằng AOHM là tứ giác nội tiếp
b) Tam giác MHK là tam giác gì? Vì sao?
c) Chứng minh OH là tia phân giác của góc MOK
d) Gọi P là hình chiếu vuông góc của K lên AB. Xác định vị trí của K để chu vi tam giác
OPK lớn nhất
Câu V (1,5 điểm) : 1. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: abc = 1
Tính giá trị biểu thức:
1 1 1
1 1 1
P
a ab b bc c ca
= + +
+ + + + + +
2. giải phương trình:
xxxxx 34167
223
+=+++
………………Hết ………………
HD:
Ta có chu vi của tam giác OPK là: C = OP + PK + OK. Mà OK không đổi, nên chu vi tam giác
OPK lớn nhất ⇔ OP + PK lớn nhất
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski ta có
(OP + PK)
2
≤ (1
2
+ 1
2
)( OP
2
+ PK
2
) = 2R
2
. Vậy (OP + PK)
2
lớn nhất bằng 2R
2
, nên OP + PK lớn
nhất bằng
2R
. Do đó chu vi của tam giác OPK lớn nhất bằng:
2R
+ R = (
2 1)R+
, khi OP = PK
hay K là điểm chính giữa của cung MB
2
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1
1 1 1 1
= + + = + +
+ + + + + + + + + + + +
+ +
= + + = =
+ + + + + + + +
a ab
P
a ab b bc c ca a ab ab abc a abc a bc ab
a ab a ab
a ab ab a a ab a ab
Vậy a, b, c là các số thực thỏa mãn: abc = 1 thì P = 1
………………………………………………………….
Đề 12.
SỞ GD VÀ ĐT
AN GIANG
KỲ THI TUYỂN SINH THPT VÀO LỚP 10 Khóa ngày 15/6/2013 Môn: TOÁN
TRƯỜNG THPT THOẠI NGỌC HẦU NĂM HỌC: 2013 - 2014
Bài 1: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng
1 1 1
1
1 2 2 3 3 4
+ + =
+ + +
b) Giải hệ phương trình:
3 2 5 0
2 3 3 2 0
x y
x y
+ − =
− =
Bài 2: (2,0 điểm) Cho hai hàm số:
2
y x=
và
1 3
2 2
y x
=− +
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho.
Bài 3: (2,0 điểm) Cho phương trình:
2
(1 ) 4 0 (*)x y x y+ − + − =
a) Tìm y sao cho phương trình (*) ẩn x có một nghiệm kép.
b) Tìm cặp số (x;y) dương thỏa phương trình (*) sao cho y nhỏ nhất.
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
10
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Bài 4:(4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm của AC, vẽ đường
tròn (O) đường kính CD cắt BC tại E, BD cắt đường tròn (O) tại F.
a) CMR ABCF là tứ giác nội tiếp.
b) CMR
·
AFB
=
·
ACB
và tam giác DEC cân.
c) Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại H. CMR CEDH là hình vuông.
Đề 13.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2013 - 2014
TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU MÔN THI: TOÁN (Không chuyên) Ngày
thi:
14 tháng 06 năm 2013
Câu I (3.0 điểm) 1.Rút gọn biểu thức: A =
3 2 5 6
2
6 2 6 2
+ −
− +
.
2.Giải phương trình và hệ phương trình: a) 2x
2
+ x – 15 = 0 .; b)
2x y 2
5x y 12
− =
+ =−
Câu II (2.0 điểm) Cho parabol (P): y =
1
2
x
2
và đường thẳng (d): y = x + m.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = –1 trên cùng một hệ trục toạ độ.
2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt
là x
1
, x
2
thoản mãn
2 2
1 2
x x
+
= 5m
Câu III (1.0 điểm) Quãng đường AB dài 120 km. Một ô tô khởi hành từ A đi đến B và một
mô tô khởi hành từ B đi đến A cùng lúc. Sau khi gặp nhau tại địa điểm C, ô tô chạy thêm 20
phút nữa thì đến B, còn mô tô chạy thêm 3 giờ nữa thì đến A. Tìm vận tốc của ô tô và vận
tốc của mô tô.
Câu IV (3.5 điểm)Cho đường tròn (O) có bán kính R và điểm C nằm ngoài đường tròn.
Đường thẳng CO cắt đường tròn tại hai điểm A, B (A nằm giữa C và O). Kẻ tiếp tuyến CM
đến đường tròn (M là tiếp điểm). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt CM tại E và tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại B cắt CM tại F.
1. Chứng minh tứ giác AOME nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh góc AOE = góc OMB và CE.MF = CF.ME.
3. Tìm điểm N trên đường tròn (O) (N khác M) sao cho tam giác NEF có diện tích lớn
nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R, biết góc AOE = 30
0
.
Câu V (0.5 điểm)Cho 2 số thực a và b thoả mãn a > b và ab = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2
a b 1
P
a - b
+ +
=
.
HẾT
Đề 14.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINHVÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013-2014 Môn toán (Chung)
Câu1 (2,0điểm) a) Tính :
49162 −=A
b) Trong các hình sau đây : Hình Vuông, hình bình hành, hình chữ nhật,hình thang cân hình
nào có hai đường chéo bằng nhau ?
Câu2 (2điểm) a) giải phương trình, hệ phương trình :a)
0372
2
=+− xx
; b)
=+
=+
2
43
yx
yx
Câu 3 (2điểm) a)Rút gọn biểu thức
−
−
−
+
+
+=
1
1
1
1
a
aa
a
aa
B
với
1;0 ≠≥ aa
b) Cho phương trình x
2
+2(m+1)x +m
2
=0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
11
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Câu 4 (3điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R.Gọi I là trung điểm OA qua I kẻ
dây MN vuông góc với OA .C thuộc cung nhỏ MB ( M khác B, M), AC cắt MN tại D
a) Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp
b) Chứng minh AD.AC=R
2
c) Khi C chạy trên cung nhỏ MB chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác CMD luôn thuộc đường thẳng cố định
Câu 5 (1 điểm) Cho x, y là 2 số thực dương
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
)2()2( xyyyxx
yx
P
+++
+
=
Hết
Hướng dẫn câu khó
Câu 4
c) Chứng minh tam giác AMD đồng dạng với tam giác ADM suy ra AM
2
=AC.AD suy ra
AM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD mà AM vuông góc với MB suy ra
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD luôn thuộc đường thẳng BM cố định
Câu 5
Áp dụng Bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương
2
ba
ab
+
≤
Ta có
)1(
2
5
2
23
)2(3
yxyxx
yxx
+
=
++
≤+
nên
)2(
2
5
2
23
)2(3
xyxyy
xyy
+
=
++
≤+
Từ (1) và (2) ta có
3
3
2
66
)(3
)2(3)2(3
)(3
=
+
+
≥
+++
+
=
yx
yx
xyyyxx
yx
P
Vậy
yx
xyy
yxx
PMin
=⇔
+=
+=
⇔=
23
23
3
3
)(
Cách 2 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacópki cho 2 dãy
Dãy 1
yx;
; Dãy 2
xyyx ++ 2,2
Ta có
( )
( )( )
)(3)2()2(33)2()2(
2
yxxyyyxxyxyxxyyyxx +≤+++⇔++≤+++
Nên
3
3
3
1
)(3
==
+
+
≥
yx
yx
P
yx
xy
y
yx
x
PMin =⇔
+
=
+
⇔=
22
3
3
)(
………………………………………………
Đề 15.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINHVÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2013-2014 Môn Toán (Chuyên)
Câu 1(1,5 điểm) Cho biểu thức
3 9 3 1 2
2 2 1
x x x x
P
x x x x
+ − + −
= − +
+ − + −
với
0, 1x x≥ ≠
a) Rút gọn biểu thức P ; b) Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm) a) Cho hệ phương trình
2
2 1
x y m
x y m
+ =
− = +
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho x, y là độ dài các cạnh góc vuông
của một vuông có độ dài cạnh huyền bằng
5
.
b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình :
2 2
2 2 3 4 0y xy yx + + + − =
Câu 3 (2,0 điểm) a) Giải phương trình
2 2
1 9 9 2x x x x x− + + − + =
b) Giải hệ phương trình
( )
2 2
2
3
x y
xy x y x y
+ =
+ = −
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
12
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Câu 4 (3,5 điểm) 1) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Kẻ tiếp tuyến chung
CD (C, D là tiếp điểm và C thuộc (O), D thuộc (O’)). Qua B kẻ cát tuyến song song với CD
cắt (O) tại E cắt (O’) tại F. Gọi M, N theo thứ tự giao điểm của DA và CA với EF. Gọi I là
giao điểm của EC với FD. Chứng minh rằng :
a) CD là trung trực của đoạn BI. ; b) Tam giác MIN cân
2) Cho A là điểm cố định trên đường tròn (O; R)). Gọi AB và AC là hai dây cung
thay đổi của đường tròn (O) thỏa mãn
. 3AB AC R=
. Xác định vị trí của B, C trên (O) để
diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm)Cho a, b, c dương thỏa mãn
cba
cba
111
3
111
12
222
+++=
++
Chứng minh rằng
6
1
4
1
4
1
4
1
≤
++
+
++
+
++
cbacbacba
Hết
HD câu 5 Áp dụng BĐT với ,z dương
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y z 9 (x y) 4
x y z x y z 9 x y z x y x y 4 x y
+ + + + ≥ ⇔ ≤ + + ⇒ + + ≥ ⇔ ≤ +
÷ ÷ ÷ ÷
+ + +
Ta có
)1(
36
1
36
1
9
1112
36
1
18
111
2
1
9
1
)()(2
1
4
1
cbacbaacacaacabaacba
++=
+++≤
+
+
+
+≤
++++
=
++
Tương tự
)3(
36
1
36
1
9
1
4
1
);2(
36
1
36
1
9
1
4
1
baccbacabcba
++≤
++
++≤
++
Từ (1) ;(2) ,(3) ta có :
++=
+++
++≤
++
+
++
+
++
cbacbacbacbacbacba
111
6
1111
18
1111
9
1
4
1
4
1
4
1
(*)Từ GT ta
có :
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 12
a b c a 6a 9 b 6b 9 c 6c 9
⇔ + + = − − + + − + + − +
÷
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 12 1 1
a b c a 3 b 3 c 3 a b c
+ + = − − + − + − ≤ ⇔ + + ≤
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
Thay vào (*) Ta có :
6
1
4
1
4
1
4
1
≤
++
+
++
+
++ cbacbacba
Dấu “=” xảy ra khi
3
2
2
2
0
3
11
3
11
3
11
111
3
111
12
222
222
===⇔
==
+=+=
+=+=
+=+=
=
−=
−=
−
+++=
++
cba
cba
acbcc
abcbb
cbbaa
cba
cba
cba
Cách khác Từ GT
1
111111
8
3
2
3
2
3
2
12
111
7
111
34
9
11
9
11
9
11
12
111
3
111
12
222222
≤++⇔
++=
++≥+++⇔
+++=−
++
++
+⇔+++=
++
cbacbabbacba
cba
cba
cba
cba
……………………………………………………………
Đề 16
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
13
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2013
Bài I (2,0 điểm) Với x > 0, cho hai biểu thức
2 x x 1 2 x 1
A và B =
x x x x
+ − +
= +
+
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 64
2) Rút gọn biểu thức B ; 3) Tính x để
A 3
B 2
>
Bài II ( 2,0 điểm) Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B.
Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9
km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tóc xe máy
lúc đi từ A đến B.
Bài III ( 2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình:
3(x 1) 2(x 2y) 4
4(x 1) (x 2y) 9
+ + + =
+ − + =
2) Cho parabol (P):
2
1
y x
2
=
và đường thẳng (d):
2
1
y mx m m 1
2
= − + +
a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B của ( d) và ( P)
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
sao cho:
1 2
x x 2− =
Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn ( O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến
AM, AN với đường tròn (O). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B
và C ( AB < AC, d không đi qua tâm O).
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
2) Chúng minh AN
2
= AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.
3) Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T.
Chứng minh: MT // AC.
4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại K. Chứng minh K thuộc một
đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b +c+ab + bc+ ca = 6abc.
Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
3
a b c
+ + ≥
HD:
Bài 4/4/ Xét
AKO∆
có AI vuông góc với KO. Hạ OQ vuông góc với AK. Gọi H là giao điểm của OQ và
AI thì H là trực tâm của
AKO
∆
, nên KMH vuông góc với AO. Vì MHN vuông góc với AO nên đường
thẳng KMHN vuông góc với AO, nên KM vuông góc với AO. Vậy K nằm trên đường thẳng cố định MN
khi BC di chuyển.
Bài IV: (0,5 điểm)
Cách 1: Từ giả thiết đã cho, ta có
1 1 1 1 1 1
6
ab bc ca a b c
+ + + + + =
. Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
2 2
1 1 1 1
2 a b ab
+ ≥
÷
,
2 2
1 1 1 1
2 b c bc
+ ≥
÷
,
2 2
1 1 1 1
2 c a ca
+ ≥
÷
2
1 1 1
1
2 a a
+ ≥
÷
,
2
1 1 1
1
2 b b
+ ≥
÷
,
2
1 1 1
1
2 c c
+ ≥
÷
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:
2 2 2 2 2 2
3 1 1 1 3 3 1 1 1 3 9
6 6
2 2 2 2 2a b c a b c
+ + + ≥ ⇔ + + ≥ − =
÷ ÷
2 2 2
1 1 1
3
a b c
⇔ + + ≥
÷
(đpcm)
………… Hết…………
Đề 17.
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
14
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC
2013- 2014 Môn thi: TOÁN (không chuyên)Ngày thi 19 tháng 6 năm 2013
Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình (2x + 1)
2
+ (x – 3)
2
= 10
2) Xác định các hệ số m và n biết hệ phương trình
3 5
2 9
x my
mx ny
− =
+ =
có nghiệm (1; -2)
Câu II ( 2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức
2 3 1 1
A= +
x +1 x- 1 x 1
x x x
x x
− + −
−
+ +
với
x 0≥
2) Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu
họ làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ hai là 9
ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc.
Câu III (2,0 điểm) Cho phương trình
2
2( 1) 2 5 0x m x m− − + − =
1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 1 2 2
( 2 2 1)( 2 2 1) 0x mx m x mx m− + − − + − <
Câu IV (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn
(O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM
và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là
giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN.
1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh OI.OH = R
2
.
3) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V ( 1,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh
của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 9a b c
S
b c a c a b a b c
= + +
+ − + − + −
.
Hướng dẫn câu IVc :
+
AMB∆
∽
ACM∆
(g-g)
⇒
2
AM AB
AM AB.AC
AC AM
= ⇒ =
+
AME∆
∽
AIM∆
(g-g)
⇒
2
AM AE
AM AI.AE
AI AM
= ⇒ =
⇒
AB.AC = AI.AE (*)
Do A, B, C cố định nên trung điểm I của BC cố địnhnên từ (*) suy ra E cố định.
Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm E cố định
Hướng dẫn giải câu V:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 nên
a b c 2
+ + =
.
Đặt
() ()
1 1 .VT VP
≥
do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên
x,y,z 0>
.
Suy ra
x y z 2+ + =
(do
a b c 2
+ + =
) và
y z x z x y
a ; b ; c
2 2 2
+ + +
= = =
.
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
4 x z 9 x y 4 x z 9 x y
y z 1 y z
S
2x 2y 2z 2 x y z
+ + + +
+ +
= + + = + +
1 y 4x z 9x 4z 9y
2 x y x z y z
= + + + + +
÷
÷ ÷
Ta có:
2
y 4x y x
2 2 2
x y x y
+ = − + ≥
÷
;
2
z 9x z x
3 6 6
x z x z
+ = − + ≥
÷
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
15
H
E
I
B
N
O
A
M
C
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
2
4z 9y z y
2 3 12 12
y z y z
+ = − + ≥
÷
( )
1
S 4 6 12 11
2
⇒ ≥ + + =
Dấu “=” xảy ra khi
1
x
y 2x
3
z 3x
2
y
2z 3y
3
z 1
x y z 2
=
=
=
⇔ =
=
=
+ + =
5 2 1
a ; b ; c
6 3 2
⇔ = = =
Khi đó:
2 2 2
a b c= +
ABC
⇔ ∆
vuông
Vậy
min
S 11
= ⇔
ABC
∆
vuông
5 2 1
a ; b ; c
6 3 2
= = =
.
…………………………………………
Đề 18.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC
2013 – 2014.Môn thi: TOÁN (chuyên)
Câu I (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức
3 3 3
( ) (3 2) (1 2 ) (1 )P x x x x= − + − + −
thành nhân tử.
2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
4a b c abc+ + + =
. Tính giá trị của
biểu thức:
(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − −
Câu II ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình
2
4 6 2 2 3 2x x x− + = + + −
.
2) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
5
( ) 6
x y
xy x y
+ =
− =
.
Câu III (2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện
2 2
4 5 2( )x xy y x y− + = −
.
2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho
2 3 4
1+ + + +p p p p
là số hữu tỷ.
Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A
thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD,
BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
2) Chứng minh
AO EF⊥
.
3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn chấm.
Câu Ý Nội dung Điểm
I 1 Phân tích
3 3 3
( ) (3 2) (1 2 ) (1 )= − + − + −P x x x x
thành nhân tử 1,00
Đặt
3 3 3
3 2, 1 2 , 1 0= − = − = − ⇒ + + = ⇒ = + +a x b x c x a b c P a b c
0,25
3 3
( ) 3 ( )= + + − +P a b c ab a b
0,25
2 2
( ) ( ) ( ) 3 ( )
= + + + − + + − +
a b c a b a b c c ab a b
0,25
3 ( ) 3 3(3 2)(1 2 )(1 )= − − = = − − −ab c abc x x x
0,25
I 2
(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − −
1,00
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
16
2 2 2 2
2 2
2 2 2
− + − +
− +
= + +
+ + + + + +
x xy y y yz z
z zx x
S
x y z y z x z x y
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
4 4 4 4 4 16
(4 )(4 ) (16 4 4 )
+ + + = ⇔ + + + =
⇒ − − = − − +
a b c abc a b c abc
a b c a b c bc
0,25
(4 4 4 4 4 4 ) (4 4 )= + + + − − + = + +a a b c abc b c bc a a abc bc
0,25
2
(2 ) (2 ) 2= + = + = +a a bc a a bc a abc
0,25
Tương tự
(4 )(4 ) 2 , (4 )(4 ) 2− − = + − − = +b c a b abc c a b c abc
2( ) 3 2( ) 8⇒ = + + + − = + + + =A a b c abc abc a b c abc
0,25
II 1 Giải phương trình
2
4 6 2 2 3 2− + = + + −x x x
1,00
ĐK:
2 2− ≤ ≤x
. Pt
( )
(2 )(2 ) 3 2 2 3 2 0⇔ − + − − + − + =x x x x
0,25
( ) ( )
2 2 3 2 2 3 0⇔ − + − − + − =x x x
( ) ( )
2 3 0
2 3 2 2 0
2 2 0
+ − =
⇔ + − − − = ⇔
− − =
x
x x
x
0,25
Giải pt
2 3 0 7+ − = ⇔ =x x
(Loại) 0,25
Giải pt
2 2 0 2− − = ⇔ = −x x
(TM). Vậy x = -2 0,25
II 2 Giải hệ phương trình
2 2
2 2
5
( ) 6
+ =
− =
x y
xy x y
1,00
Hệ
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) 5
5
( )( ) 6
( )( ) 6
− + + =
+ =
⇔ ⇔
− + =
− + =
x xy y xy
x y
xy x y x y
x xy y xy
Đặt
2 2
,= − = +a x xy b y xy
ta được hệ
5
6
+ =
=
a b
ab
0,25
Giải hệ pt này ta được
2 2
2 2
2, 3 2, 3
3, 2
3, 2
= = − = + =
⇒
= =
− = + =
a b x xy y xy
a b
x xy y xy
0,25
TH 1.
2
2 2 2 2
2
2
3 3 2 2 3 5 2 0
3
− =
⇒ − = + ⇔ − − =
+ =
x xy
x xy y xy x xy y
y xy
2
2
2 1 1, 2
1 1 3
3 ,
2
2 2
= ⇒ = ⇒ = ± = ±
= − ⇒ = ⇒ = ± =
m
x y y y x
y x x x y
0,25
TH 2.
2
2 2 2 2
2
3
2 2 3 3 2 5 3 0
2
− =
⇒ − = + ⇔ − − =
+ =
x xy
x xy y xy x xy y
y xy
2
2
1 1 3
3 ,
2
2 2
2 1 1, 2
= ⇒ = ⇒ = ± = ±
= − ⇒ = ⇒ = ± =
m
x y y y x
y x x x y
Vậy hệ pt có tám nghiệm là:
1 3 1 3 3 1 3 1
(2;1), ( 2; 1), ; , ; , (1; 2), ( 1;2), ; , ;
2 2 2 2 2 2 2 2
− − − −
− − − −
÷ ÷ ÷ ÷
0,25
III 1 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
2 2
4 5 2( )− + = −x xy y x y
1,00
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
17
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Pt
2 2
2(1 2 ) 5 2 0⇔ − + + + =x y x y y
Tồn tại x
2 2
' (1 2 ) (5 2 ) 0⇔ ∆ = + − + ≥y y y
0,25
2 2
2 1 0 ( 1) 2 1 2 1 2 1 2⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +y y y y y
0,25
Do y là số nguyên nên
0, 1, 2= = =y y y
0,25
2
2
2
0 2 0 0, 2
1 6 7 3 2
2 10 24 0 4, 6
= ⇒ − = ⇔ = =
= ⇒ − + ⇔ = ±
= ⇒ − + = ⇔ = =
y x x x x
y x x x
y x x x x
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là
(0;0), (2;0), (4;2), (6;2)
0,25
III 2 Tìm các số nguyên tố p sao cho
2 3 4
1+ + + +p p p p
là số hữu tỷ 1,00
2 3 4
1+ + + +p p p p
là số hữu tỷ
2 3 4 2
1 ,⇔ + + + + = ∈ ¥p p p p n n
0,25
2 3 4 2
2 3 4 2 2 3 4 2
2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 (1)
4 4 4 4 4 4 4 4 5
(2 ) (2 ) (2 2) 2 2 2 2
⇔ + + + + =
⇒ + + < < + + + + +
⇔ + < < + + ⇔ + < < + +
p p p p n
p p p n p p p p p
p p n p p p p n p p
0,25
2
2 2 1⇒ = + +n p p
. Thế vào (1) ta được
2 3 4 2 2 2
4 4 4 4 4 (2 1) 2 3 0+ + + + = + + ⇔ − − =p p p p p p p p
0,25
Giải pt tìm được
1= −p
(loại) và
3=p
Với
2 3 4
3 1 11= ⇒ + + + + =p p p p p
. Vậy
3=p
0,25
IV 1 Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 1,00
Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra
·
·
HDE HCE⇒ =
0,25
Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra
·
·
HDF HBF⇒ =
0,25
Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra
·
·
·
·
HCE HBF HDE HDF⇒ = ⇒ =
Suy ra DH là tia phân giác của góc
·
EDF
0,25
Tương tự EH là tia phân giác của góc
·
DEF
. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác DEF.
0,25
IV 2 Chứng minh
AO EF⊥
1,00
Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A
Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra
·
·
AFE AHE⇒ =
Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra
·
·
AHE DCE⇒ =
0,25
·
·
DCE xAB=
(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
0,25
Suy ra
·
·
AFE xAB Ax // EF= ⇒
0,25
AO ⊥ xAy ⇒ AO ⊥ EF
0,25
IV 3 Chứng minh
AO EF⊥
1,00
AO ⊥ EF ⇒ S
AEOF
=
1
AO.EF
2
0,25
Tương tự:
BDOF CDOE
1 1
BO DF S BO.DF, CO DE S CO.DE
2 2
⊥ ⇒ = ⊥ ⇒ =
0,25
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
18
Tuyn tp thi vo lp 10 cỏc tnh nm hc 20132014
ABC AEOF BDOF CDOE
1
S = S + S S (AO.EF BO.DF+CO.DE)
2
1
= R(EF DF+DE)
2
+ = +
+
0,25
Vy chu vi tam giỏc DEF ln nht
ABC
S
ln nht khong cỏch t A n BC
ln nht A l im chớnh gia ca cung ln BC.
0,25
V Tỡm GTNN ca
( ) ( )
1 1 .VT VP
1,00
Ta cú
2 2 2 2 2
1 3 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 2
+ = + + + = +
x xy y x y x y x y x y
0,25
Tng t suy ra
2
2 2 2
+ + +
+ +
+ + + + + +
x y y z z x
S
x y z y z x z x y
0,25
t
2 , 2 , 2
, ,
2 2 2
2
2 2 2
= + + = + + = + +
+ + +
+ = + = + =
+ + +
+ +
a x y z b y z x a z x y
b c a c a b a b c
x y y z z x
b c a c a b a b c
S
a b c
0,25
( )
!
4 3 2 2 2 3 3
! !
+ + + + + + + =
ữ ữ ữ
b a c a c b n
S
a b a c b c r n r
\
Do ú
3
4
S
. ng thc xy ra
= =x y z
. Vy GTNN ca S l
3
4
0,25
19.
Sở Giáo dục và đào tạo
Thái bình
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên thái bình
Năm học 2013-2014 Môn thi: Toán (Đề chung cho mọi thí sinh)
Bài 1 ( 2 điểm) Cho biểu thức
1 1
( 4)
4
2 2
x
P x
x
x x
= + +
ữ
ữ
+
với x
0; x
4
1) Rút gọn biểu thức P. ; 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 ( 2 điểm) Cho hệ phơng trình:
1
6
mx y
x my m
=
+ = +
( với m là tham số)
1) Giải hệ phơng trình với m = 1. ; 2) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: 3x - y = 1
Bài 3 ( 2 điểm) 1) Cho phơng trình bậc hai: x
2
- (2m - 1)x + m
2
-m - 6 = 0 ( m là tham số).
Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
với mọi giá trị của m. Tìm m
để: -5 < x
1
< x
2
< 5.
2) Giải phơng trình : ( x + 2)(x - 3)(x
2
+ 2x - 24) = 16x
2
Bài 4 ( 3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC có đờng cao AH. Trên đờng thẳng BC lấy điểm M
nằm ngoài đoạn BC sao cho MB > MC và hình chiếu vuông góc của M trên AB là P ( P nằm
giữa A và B). Kẻ MQ vuông góc với đờng thẳng AC tại Q.
1) Chứng minh 4 điểm A, P, Q, M cùng nằm trên một đờng tròn. Xác định tâm O của đờng tròn đó.
2) Chứng minh: BA. BP = BM.BH ; 3) Chứng minh OH vuông góc với PQ.
4) Chứng minh PQ > AH
Bài 5 ( 0,5 điểm) Giải phơng trình:
3
3
2 2
2013 1 2013 1
2 2014 2013 1
2 2
x x
x x x
x x
+ = + +
.
20.
Phm vn Cng THCS ng Gia Kim Thnh Hi Dng. Trang
19
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NAM
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2009 – 2010 Môn thi : toán(Đề chung)
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức P =
( ) ( )
2
1 2 3
1
1
x x x x x
x
x
+ − + −
+
−
−
a) Tìm điều kiện xác định của P ; b) Rút gọn P ; c) Tìm x để P > 0
Bài 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
( )
( )
1 2 2
2 2 1
x y
x y
+ + =
+ − =
Bài 3. (2 điểm) 1) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = x + 6 và parabol y = x
2
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục Ox, trục Oy lần lượt tại các điểm A , B và
∆
AOB cân ( đơn vị trên hai trục Ox và Oy bằng nhau).
Bài 4. (3,0 điểm) Cho
∆
ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm của
HC. Đường tròn đường kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại diểm M và N.
a) Chứng minh
∆
ACB và
∆
AMN đồng dạng
b) Chứng minh KN là tiếp tuýên với đường tròn (AH) c) Tìm trực tâm của
∆
ABK
Bài 5. (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: x + y + x = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1 1 1
16 4x y z
+ +
Bài 6: (1,0 điểm) Dùng đồ thị để biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:
2 2
x 4x 4 4x 4x 1 x m
− + + + + = +
…………………………………………………
Đề 21.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)
. Em hãy ghi vào bài làm chữ cái in hoa đứng trước lựa chọn đúng
Câu 1. Điều kiện để biểu thức
1
1 x−
được xác định là: A. x < 1 ;B. x
≠
- 1 ;C. x > 1 ;D. x
≠
1
Câu 2. Đường thẳng có phương trình y = x – 1 đi qua điểm: A. M(0; 1) ;B. N(0; -1) ;C. P(-1; 0);D. Q(1; 1)
Câu 3. Phương trình x
2
+ 3x – 2 = 0 có tích hai nghiệm bằng: A. 3 ;B. 2 ;C. – 2 ;D. – 3
Câu 4. Cho
ABC∆
có diện tích 81cm
2
. Gọi M, N tương ứng là các điểm thuộc các đoạn thẳng BC, CA sao
cho 2BM = MC, 2CN = NA. Khi đó diện tích
AMN
∆
bằng:
A. 36cm
2
B. 26cm
2
C. 16cm
2
D. 25cm
2
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Câu 5 (2,5 điểm). Cho phương trình x
2
+ 2x – m = 0 (1). (x là ẩn, m là tham số)
a) Giải phương trình với m = - 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm (có thể bằng nhau)
của phương trình (1). Tính biểu thức P = x
1
4
+ x
2
4
theo m, tìm m để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6 (1,5 điểm). Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số của nó bằng 11 và nếu đổi chỗ hai
chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì ta được số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị.
Câu 7 (3,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên cạnh AD và CD lần lượt lấy các
điểm M và N sao cho góc
·
MBN
= 45
0
, BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MF với NE và I là giao điểm của BH với MN. Tính độ dài đoạn BI theo a.
c) Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.
Câu 8 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y thoả mãn x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M =
3
xy + y
2
.
HẾT
Hướng dẫn chấm.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
20
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Mỗi câu đúng: 0,5 điểm
Câu 1 2 3 4
Đáp án D B C A
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Câu Đáp án, gợi ý trình bày Điểm
Câu 5
(2,5
điểm)
a) Với m = -1, phương trình có dạng: x
2
+ 2x +1 = 0 <=> (x + 1)
2
= 0
<=> x + 1 = 0 <=> x = - 1
Vậy với m = -1 thì phương trình (1) có nghiệm kép là x
1
= x
2
= -1.
0,5
0,25
0,25
b) Phương trình (1) là phương trình bậc 2 (vì hệ số của x
2
là 1
≠
0) có
∆
’ = 1 + m
≥
0 <=> m
≥
- 1. Vậy phương trình (1) có nghiệm <=> m
≥
-1.
Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét, ta có: x
1
+ x
2
= -2 ; x
1.
x
2
= -m
Do đó, P = x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
– 2 x
1
2
.x
2
2
= [(x
1
+ x
2
)
2
- 2 x
1
.x
2
]
2
– 2(x
1
.x
2
)
2
= (4 + 2m)
2
– 2m
2
= 2m
2
+ 16m + 16.
Vì m
≥
-1 <=> m + 1
≥
0 nên ta có: P = 2m
2
+ 16m + 16 = 2(m
2
+ 2m + 1) + 12m +14
= 2(m + 1)
2
+ 12(m + 1) + 2
≥
2; P đạt GTNN= 2 khi và chỉ khi m + 1 = 0<=> m = -1.
0,5
0,25
0,25
0,5
Câu 6
(1,5
điểm).
Gọi số tự nhiên cần tìm là
ab
(với a, b
∈
N và 0 <a<10, 0
≤
b<10)
Vì tổng 2 chữ số la 11 nên a + b =11 (1) ; Khi đổi chỗ 2 chữ số ta được số mới là
ba
.
Vì số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị nên ta có:
ba
-
ab
= 27
<=>10b + a – (10a + b) = 27 <=> 9b – 9a = 27 <=> a – b = -3 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình:
11
3
a b
a b
+ =
− =−
<=>
2 8 4
11 7
a a
a b b
= =
<=>
+ = =
(thoả mãn điều kiện).Vậy số tự nhiên cần tìm là 47.
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
Câu 7
(3,0
điểm).
-Hình vẽ đúng (phần a)
a) Chứng minh các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp:
Vì ABCD là hình vuông và
·
MBN
= 45
0
(GT)
nên ta có
·
·
0
45MBF FAM= =
và
·
·
0
45NBE NCE= =
do đó các tứ giác ABFM và BCNE là các tứ giác nội
tiếp (vì đều có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 2 đỉnh còn
lại dưới một góc 45
0
).
Mặt khác, vì tứ giác ABFM nội tiếp nên
· ·
0
180BFM BAM+ =
, mà
·
0
90BAM =
=>
·
0
90BFM =
=>
·
0
90MFN =
(1) Chứng minh tương tự, ta có
·
0
90NEM =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MEFN nội tiếp được đường tròn (đường kính MN).
Vậy các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp.
0,25
0,5
0,5
7b
(1,0
điểm)
b) Tính độ dài đoạn BI theo a
Lấy G trên tia đối của tia AD sao cho AG = CN (như hình vẽ)
Kết hợp ABCD là hình vuông ta suy ra
ABG CBN∆ = ∆
(c.g.c)
=>
·
·
GBA CBN=
.(3) và GB = NB (4)Lại có
·
MBN
= 45
0
=>
·
·
0
45ABM CBN+ =
(5).
Kết hợp (3), (5) =>
· ·
·
·
0
45GBM ABM GBA MBN= + = =
, lại kết hợp với (4) và BM là
cạnh chung =>
MBG MBN
∆ = ∆
(c.g.c)
Mặt khác theo chứng minh ở phần a, ta có NE và MF là hai đường cao của
MBN∆
,
suy ra BI cũng là đường cao của
MBN
∆
=> BA = BI (hai đường cao tương ứng của hai
tam giác bằng nhau).Vậy BI = BA = a.
0,25
0,25
0,25
0,25
7c
(0,75
điểm)
c) Tìm vị trí của M và N để diện tích tam giác MDN lớn nhất
Do
MBG MBN∆ = ∆
(theo chứng minh ở phần b) => MG = MN
Do đó MD + DN + MN = MD + DN + MG = MD + DN + (GA + AM)
= MD + DN + CN + AM (vì GA = CN)
= (MD + AM) + (DN + NC) = 2a (không đổi)
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho
MDN
∆
(vuông tại D), ta có MN
2
= DN
2
+ DM
2
Mặt khác dễ dàng chứng minh được: DN
2
+ DM
2
2
( )
2
DM DN
+
≥
(vì tương đương với
0,25
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
21
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
(DM – DN)
2
≥
0 luôn đúng). Suy ra
2
( )
2
2
DM DN DM DN
MN
+ +
≥ =
=> 2a = MD + DN + MN
( )
2 1
2 2
MD DN
MD DN MD DN
+ +
≥ + + = +
Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2a =MD+DN+ MN
2 1 2 1
( ) 2 . (2 2). .
2 2
MD DN MD DN MD DN
+ +
≥ + ≥ × = +
=>
2
2 2
2
. 2( 2 1) .
2 2
a
DM DN a
≤ = −
÷
+
=>
2 2
1
. ( 2 1) .
2
MDN
S DM DN a
∆
= ≤ −
,
dấu “=” xảy ra <=>
( )
2 2
2
2
DM DN
DM DN
MN DM DN a
DM DN MN a
=
+
= ⇔ = = −
+ + =
.
Vậy để diện tích tam giác MDN lớn nhất thì M, N lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho
( )
2 2DM DN a= = −
.
0,25
0,25
Câu 8
(1,0
điểm).
+Ta có:
2 2
2 2 2
2 ( ) 0
2
a b
ab ab a b a b
+
≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≥
(đúng với mọi a, b), đẳng thức
xảy ra <=>a =b.Do đó:M=
3
xy + y
2
= (
3
x).y + y
2
( )
2
2
2 2 2 2 2
2
3.
3 2 3( )
2 2 2
x y
x y y x y
y
+
+ + +
≤ + = =
Mà x
2
+ y
2
= 1 => M
3
2
≤
, dấu “=” xảy ra <=>
2 2
1 3
;
3.
2 2
1
1 3
;
2 2
= =
=
<=>
+ =
− −
= =
x y
x y
x y
x y
Vậy GTLNcủa M là
3
2
,đạt được khi và chỉ khi
1
2
x
=
và
3
2
y
=
hoặc
1
2
x
−
=
và
3
2
y
−
=
.
+Xét 2M + 1 = 2(
3
xy + y
2
) +1 = 2
3
xy + 2y
2
+ (x
2
+ y
2
)
= x
2
+ 2x.
3
y + 3y
2
= (x +
3
y)
2
≥
0 với mọi x, y
Suy ra M
1
2
−
≥
, dấu “=” xảy ra
2 2
1
3
2
3. 0
x y
x
x y
+ =
−
⇔ ⇔ =
+ =
và
1
2
y =
hoặc
3
2
x
=
và
1
2
y
−
=
.
Vậy GTNNcủa M là
1
2
−
,đạt được khi và chỉ khi
3
2
x
−
=
và
1
2
y
=
hoặc
3
2
x
=
và
1
2
y
−
=
0,25
0,25
0,25
0,25
………………………………
ĐỀ 22
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10NĂM HỌC 2013 – 2014
KHÓA NGÀY 21/6/2013 MÔN THI: TOÁN
Câu 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x
2
– 5x + 6 = 0 ; b) x
2
– 2x – 1 = 0; c) x
4
+ 3x
2
– 4 = 0 d0
2 3
2 1
x y
x y
− =
+ = −
Câu 2: (1,5 điểm) a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x
2
và đường thẳng (D): y = -x + 2 trên
cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Câu 3: (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau:
3 3
.
9
3 3
x x
A
x
x x
+
= +
÷
+
+ −
với x ≥ 0; x
≠
9
(
)
(
)
2 2
21 2 3 3 5 6 2 3 3 5 15 15B
= + + − − − + + −
Câu 4 (1,5 điểm)
Cho phương trình 8x
2
– 8x + m
2
+ 1 = 0 (*) (x là ẩn số)
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
22
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
a) Định m để phương trình (*) có nghiệm x =
1
2
.
b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện: x
1
4
– x
2
4
= x
1
3
– x
2
3
Câu 5 (3,5 điểm) Cho ∆ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O;R) (B, C
cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ
đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ
BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.
a) Chứng minh:
·
·
MBC BAC=
, từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: FI.FM = FD.FE
c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O)
tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.
d) Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC sao cho ∆IBC có diện tích lớn nhất.
…………………………………
Đê 23
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC: 2013 – 2014
KHÁNH HÒA MÔN THI: TOÁN (KHÔNG CHUYÊN) Ngày thi: 21/06/2013
Bài 1: ( 2,00 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)
1) Chứng minh:
(
)
22 3 2 10 3 11 2− + =
2) Cho biểu thức P =
( 1)
1
a a a
a
a a
−
−
−
+
với a > 0 và a ≠ 1.
Rút gọn rồi tính giá trị của P tại a = 2014
2
.
Bài 2: (2,00 điểm) 1) Tìm x biết
3 2x 3 8x 12 1 2+ − + = +
2) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3x 4 2(3x 2 ) 11
5 2x 5 11
y y
x y y
− + − = −
− + − = −
Bài 3: (2,00 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parapol (P): y =
2
1
4
y x= −
1) Vẽ đồ thị (P).
2) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ x = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua
điểm M đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
diện tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB.
Bài 4: (4,00 điểm) Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với
nhau. Gọi M là điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và C). Tia BM cắt cắt đường tròn (O)
tại N.
1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh ND là phân giác của
·
ANB
. ; 3) Tính:
.BM BN
4) Gọi E và F lần lượt là hai điểm thuộc các đường thẳng AC và AD sao cho M là
trung điểm của EF. Nếu cách xác định các điểm E, F và chứng minh rằng tổng (AE + AF)
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
……………………………………………
Đề 24.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
LÂM ĐỒNG Khóa ngày 21/6/2013 MÔN THI : TOÁN
Câu 1:(2,0đ) Rút gọn :
2 3. 2 2 3 . 2 2 3A
= + + + − +
Câu 2:(2,0đ) Cho
α
là góc nhọn. Chứng minh :
6 6 2 2
sin cos 3sin cos 1
α α α α
+ + =
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
23
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Câu 3:(2,0đ) Giải hệ phương trình :
( ) ( )
2
6 8
6
x y x y
x y
+ − + = −
− =
Câu 4:(2,0đ) Giải phương trình :
2
2 3 3 2 4 3x x x
+ + + =
Câu 5:(1,5đ) Cho tam giác ABC, lấy điểm M nằm giữa B và C, lấy điểm N nằm giữa A và
M. Biết diện tích tam giác ABM và diện tích tam giác NBC đều bằng 10m
2
, diện tích tam
giác ANC là 9m
2
. Tính diện tích tam giác ABC.
Câu 6:(1,5đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy ( đơn vị trên hai trục toạ độ bằng nhau) cho
A(6;0) , B(3;0) , C(0;- 4) , D(0;-8) . Đường thẳng AC cắt đường thẳng BD tại M. Tính độ
dài đoạn thẳng OM.
Câu 7:(1,5đ) Cho phương trình bậc hai :
( )
2 2
3 1 15 0x m x m
− + − − =
(x là ẩn số, m là tham
số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thoả mãn hệ thức
1 2
2 12x x− = −
Câu 8:(1,5đ) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trên tia đối của tia AC
lấy điểm D và trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho AD = BE . Chứng minh tứ giác
DAOE nội tiếp .
Câu 9:(1,5đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 5M x x
= − −
Câu 10:(1,5đ) Tìm số tự nhiên n để n + 4 và n + 11 đều là số chính phương.
Câu 11:(1,5đ) Cho tam giác ABC cân tại A, lấy điểm D nằm giữa B và C, lấy điểm E nằm
giữa A và B , lấy điểm F nằm giữa A và C sao cho
ˆ ˆ
EDF B=
. Chứng minh :
2
.
4
BC
BE CF ≤
Câu 12:(1,5đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm trên đường tròn (M
khác A và B), kẻ MH vuông góc với AB tại H. Đường tròn tâm M bán kính MH cắt (O) tại
C và D. Đoạn thẳng CD cắt MH tại I. Chứng minh : I là trung điểm của MH .
Đề 25.
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN
Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức P =
2 1 1
:
x 4
x 2 x 2
+
÷
−
+ +
a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P. b) Tim x để P =
3
2
.
Câu 2: (1,5 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng 3 m
và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m
2
. Tính diện tích của mảnh vườn.
Câu 3: (2,0 điểm) Cho phương trình x
2
– 2(m + 1)x + m
2
+ 4 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
x 2(m 1)x 3m 16
+ + ≤ +
.
Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường
cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam
giác ABC.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
24
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm học 2013—2014
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c 1
a b b c c a 2
+ + ≥
+ + +
.
Hết
Câu 5: Áp dụng BĐT Cô Si cho các số thực dương a, b, c ta có:
2 2 2
a a b b b c c c a
a; b; c
a b 4 b c 4 c a 4
+ + +
+ ≥ + ≥ + ≥
+ + +
Suy ra
2 2 2
a b c a b b c c a a b c 1
(a b c) ( )
a b b c c a 4 4 4 2 2
+ + + + +
+ + ≥ + + − + + = =
+ + +
Vậy
2 2 2
a b c 1
a b b c c a 2
+ + ≥
+ + +
Đề 26.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
TP.ĐÀ NẴNG Năm học: 2013 – 2014 MÔN: TOÁN
Bài 1: (2,0 điểm) a) Tìm số x không âm biết
2.x =
b)Rút gọn biểu thức P=
2 2 2 2
1 1
2 1 2 1
+ −
+ −
÷ ÷
+ −
Bài 2: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3 5
5 2 6
x y
x y
+ =
+ =
Bài 3: (1,5 điểm) a) Vẽ đồ thị hàm số
2
1
2
y x=
b) Cho hàm số bậc nhất
2y ax= −
(1) . Hãy xác định hệ số a, biết rằng a > 0 và đồ thị của
hàm số (1) cắt trục hoành Ox, trục tung Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OB = 2OA
(với O là gốc tọa độ).
Bài 4: (2,0 điểm) Cho phương trình
2
( 2) 8 0x m x+ − − =
, với m là tham số.
1) Giải phương trình khi m = 4.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
sao cho biểu thức
Q =
2 2
1 2
( 1)( 4)x x− −
có giá trị lớn nhất
Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có BC = 2R và AB < AC.
Đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A. Tiếp tuyến tại B và C của đường
tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E. Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng DE.
a) Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FCvới đường tròn (O;R).Chứng minh rằng
·
·
2CED AMB=
c) Tính tích MC.BF theo R.
……………………….
3b) Gọi
( ,0)
A
A x
,
(0, )
B
B y
; A nằm trên đường thẳng (1) nên
2
2 0 2 ( 0)
A A A A
y ax ax x a
a
= − = ⇒ = ⇒ = >
B nằm trên đường thẳng (1) nên
2 .0 2 2
B B B
y ax a y= − = − ⇒ = −
2
2 2 2 2 2 ( 0)
B A
OB OA y x a a
a
= ⇔ = ⇔ − = ⇒ = >
Bài 4:a) Khi m = 4 pt trở thành :
2
2 8 0 1 3 2 1 3 4x x x hay x
+ − = ⇔ = − + = = − − = −
( do
' 9
∆ =
)
b)
( )
2
2 8 0m∆ = − + >
với mọi m. Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Phạm văn Cương THCS Đồng Gia Kim Thành Hải Dương. Trang
25
