chuyên đề lượng giác ôn thi ĐH-CĐ

I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Công thức
Công thức cộng
a) cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
b) cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
c) sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa
d) sin(a – b) = sina.cosb – sinb.cosa
Công thức nhân đôi
a) sin2x = 2sinx.cosx
b) cos2x = cos
2
x – sin
2
x = 2 cos
2
x – 1 = 1 - 2 sin
2
x
c) tan2x =
x
x
2
tan1
tan2
−
Công thức nhân ba
a) cos3x = 4cos
3
x -3cosx c) tan3x =
x
xx

2
2
tan31
tan)tan3(
−
−
b) sin3x = 3sinx – 4sin
3
x
Công thức biến đổi
tổng thành tích
a) cosx + cosy = 2cos
2
yx +
.cos
2
yx −

b) sinx + siny = 2sin
2
yx +
cos
2
yx −
c) cosx – cosy = -2sin
2
yx +
sin
2
yx −

d) sinx – siny = 2cos
2
yx +
sin
2
yx −
Công thức biến đổi
tích thành tổng
a) cosx.cosy =
2
1
[cos(x + y) + cos(x – y)]
b) sinx.siny =
2
1
[cos(x + y) – cos(x – y)]
c) sinx.cosy =
2
1
[sin(x + y) + sin(x – y)]
d) cosx.siny =
2
1
[sin(x + y) – sin(x – y)]
Công thức hạ bậc
a) sin
2
x =
2

2cos1 x−
; sin
3
x =
4
3sinsin3 xx −
b) cos
2
x =
2
2cos1 x+
; cos
3
x =
4
3coscos3 xx −
Công thức thu gon
sinx +cosx
a) sinx + cosy =






+
4
sin2
π
x

=






−
4
cos2
π
x
b) sinx – siny =






−
4
sin2
π
x
= -







+
4
cos2
π
x
c) cotx + tanx =
x2sin
2
; d) cotx – tanx = 2cot2x
Lê Trọng Thức – Trường THPT Triệu Sơn I
1
CHỦ ĐỀ 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. KIẾN THỨC
Dạng 1: Phương trình sinx = m
* Trường hợp 1: m được biểu diễn qua sin góc đực biệt (sinα), khi đó:
sinx = sinα
⇔
)(
2
2
Zk
kx
kx
∈



+−=
+=

παπ
πα
* Trường hợp 2: m không biểu diễn được qua sin góc đặc biệt, khi đó, nghiệm của pt:




+−=
+=
ππ
π
2arcsin
2arcsin
kmx
kmx
(k
∈
z)
* Các trường hợp đặc biệt:









+−=⇔−=
+=⇔=

=⇔=
π
π
π
π
π
2
2
1sin
2
2
1sin
0sin
kxx
kxx
kxx
(k
∈
Z)
Dạng 2: phương trình cosx = m (m = cosα). Khi đó:
cosx = cosα



+−=
+=
⇔
πα
πα
2

2
kx
kx
(k
∈
Z)
* Các trường hợp đặc biệt:







+=⇔−=
=⇔=
+=⇔=
ππ
π
π
π
21cos
21cos
2
0cos
kxx
kxx
kxx
(k
∈

Z)
Dạng 3: Phương trình tanx = a và cotx = b (với a = tanα ; b = cotβ), khi đó:
• tanx = tanα
⇔
x = α + k
π
(k
∈
Z)
• cotx =cotβ
⇔
x = β + k
π
(k
∈
Z)
* Các trường hợp đặc biệt:
a)









+−=⇔−=
+=⇔=
=⇔=

π
π
π
π
π
kxx
kxx
kxx
4
1tan
4
1tan
0tan
(k
∈
Z)
b)









+−=⇔−=
+=⇔=
+=⇔=
π

π
π
π
π
π
kxx
kxx
kxx
4
1cot
4
1cot
2
0cot
(k
∈
Z)
B. BÀI TẬP
Lê Trọng Thức – Trường THPT Triệu Sơn I
2
1. Giải các phương trình lượng gác sau:
a)






−=







+−
2
2sin
2
5
cos5sin
ππ
xxx
b) 2cos
3
x + cos2x + sinx = 0
b) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x. d)(2sinx +1)(3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos
2
x = 3.
2. Giải các phương trình lượng gác sau:
a)
xxx 10cos
2
1
8cos2sin
22
=−
c)
02sinsin3sin =+− xxx

b)
( )( )
xxx
2
cos4312sin21sin2 −=−+
d)
03cos.2cos)24(coscos =++ xxxx
3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
)cos(sin2cossin
5533
xxxx +=+
c)
xxxxx 2cos
4
5
)cos(sin2cossin
101088
++=+
c)






−+=−
4
sin2414cos4sin
π

xxx
d)






−=






+
24
sin2
42
3
sin
xx
ππ
4. Giải các phương trình lượng gác sau:
a)







+=−+
2
tan.tan1sincoscottan
2
x
xxxxx
b)
)sin1(2
cossin
)1(coscos
2
x
xx
xx
+=
+
−
c) 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0
5. Giải các phương trình lượng gác sau:
a)
x
xxx
2sin
1
2sin22cottan2 +=+
b)
( )
x
xx

x
4
2
4
cos
3sin2sin2
1tan
−
=+
b) tan2x + cotx = 8cos
2
x d)
1cot
)sin(cos2
2cottan
1
−
−
=
+ x
xx
xx

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (bậc cao) ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Lê Trọng Thức – Trường THPT Triệu Sơn I
3
A. Kiến thức
Dạng 1: Phương trình bậc hai VD: asin
2
x + bsinx + c = 0 (a

≠
0). Ta giải như sau:
* Đặt t = sinx ,
1≤t
. Khi đó phương trình có dạng : at
2
+ bt + c = 0. (1)
* Giải (1)  nghiệm t (so sánh đk)  nghiệm x của phương trình.
Hoặc: Không cần đặt sinx = t, giải PT bậc hai với sinx bình thường và thêm điều kiện (-1
≤
sinx
≤
1)
* Phương trình đối với cosx, tanx, cotx
Cũng giải tương tự như dạng 1 (với tanx và cotx phải có đkxđ).
Dạng 2: Phương trình bậc 3: at
3
+ bt
2
+ c = 0 (a
≠
0) (1)
* TH1: Phương trình có nghiệm t
0,
khi đó:
(1)
( )




=++
=
⇔=++−⇔
0
0)(
2
0
3
0
CBtat
tt
CBtattt
 nghiệm x của pt.
* TH2: Sử dụng phương pháp biến thiên của hàm số để  nghiệm.
* TH3: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị.
Dạng 3: Phương tình bậc 4: at
4
+ bt
3
+ ct
2
+ d = 0 (a
≠
0)
* TH1: Giải phương trình tìm nghiệm t  nghiệm x của phương trình
* TH2: Sử dụng phương pháp biến thiên của hàm số để  nghiệm.
* TH3: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị.
B. BÀI TẬP
1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin

4
x + cos
4
x – cos2x +
4
1
sin
2
2x – 2 = 0. b) 4cos
3
x +
23
sin2x = 8cosx
c) (sin2x +
3
cos2x) – 5 = cos






−
6
2
π
x
.
2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 3cos4x – 8cos

6
x + 2cos
2
x + 3 = 0 b) tan2x + sin2x =
2
3
cotx
c) sinx.cos2x + cos
2
x(tan
2
x – 1) + 2sin
3
x = 0.
3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
0
2sin1
1cos2)23sin1(cos
2
=
+
−−+
x
xxx
b)
0)cot.2cot1(
sin
2
cos

1
48
24
=+−− xx
xx
4. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) b) sin3x + sinx – 2cos
2
x = 0
c) 2cos2x – 8cosx + 7 =
xcos
1
d) cos2x + cosx(2tan
2
x – 1) = 2

CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx
A. Kiến thức
Lê Trọng Thức – Trường THPT Triệu Sơn I
4
Phương trình dạng asinx + bcosx = 0, ta giải như sau:
* Tính giá trị của biểu thức
22
ba +
+ Nếu
22
ba +
≤
c
2

 phương trình vô nghiệm
+ Nếu
22
ba +
2
c≥
, khi đó nghiệm của phương trình được tính:
* Chia cả hai vế của phương trình cho
22
ba +
, ta được:

222222
cossin
ba
c
x
ba
b
x
ba
a
+
=
+
+
+
Vì
1)()(
2

22
2
22
=
+
+
+ ba
b
ba
a
, nên tồn tại góc β sao cho:
sinx.cosβ + sinβ.cosx =
22
ba
c
+
với (
β
cos
22
=
+ ba
a
;
β
sin
22
=
+ ba
b

)

=+⇔ )sin(
β
x
22
ba
c
+
(đây là phương trình cơ bản của sin)
B. BÀI TẬP
1. Giải phương trình lượng giác sau:
a) cos
2
x -
3
sin2x = sin
3
x + 1 b) 3sinx -
3
cos3x = 4sin
3
x – 1
c) 2cosx(sinx – 1) =
3
cos2x d) 2sin3x – sin2x +
3
cos2x = 0
2. Giải phương trình lượng giác sau:
a) 4sin

3
x – 1 = 3sinx -
3
cos3x b) 4(cos
4
x – sin
4
x) +
3
cos4x = 2
c) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 c) cos
3
x + cos2x + sinx = 0
3. Giải phương trình lượng giác sau:
a) sinx + sin2x =
3
(cosx + cos2x) b)
3
sin4x – cos4x = sinx -
3
cosx
c) sinx =
3
1
(3 -
3
cosx) d) (1 -
3
)sinx + (1 +
3

)cosx = 2
4. Giải phương trình lượng giác sau:
a) sin2x + (
3
- 2)cos2x = 1 b) 3cosx – sin2x =
3
(cos2x + sinx)
c)
3
1sincos2
cossin2cos
2
=
−+
−
xx
xxx
d) 4sin
2
2
x

–
3
cos2x = 1 + 2cos
2







−
4
3
π
x

Lê Trọng Thức – Trường THPT Triệu Sơn I
5