Phương trình lượng giác nâng cao ôn thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.82 MB, 132 trang )
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 1 -
MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản
5
Bài tập áp dụng 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 8
Bài tập rèn luyện 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác
32
Bài tập áp dụng 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 35
Bài tập rèn luyện 56
C
– Phương trình bậc nhất theo sin và cos
59
Bài tập áp dụng 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 62
Bài tập rèn luyện 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp
84
Bài tập áp dụng 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 87
Bài tập rèn luyện 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng
93
Bài tập áp dụng 94
Bài tập rèn luyện 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối
97
Bài tập áp dụng 97
Bài tập rèn luyện 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực
101
Bài tập áp dụng 102
Bài tập rèn luyện 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương
106
Bài tập áp dụng 106
Bài tập rèn luyện 112
I – Hệ phương trình lượng giác
116
Bài tập áp dụng 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác
121
Bài tập áp dụng 122
Bài tập rèn luyện 125
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 2 - www.DeThiThuDaiHoc.com
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
Công thức cơ bản
●
2 2
sin x cos x 1
+ =
●
tan x.cotx 1
=
●
sin x
tan x
cos x
=
●
cos x
cotx
sin x
=
●
os
2
2
1
1 tan x
c x
+ =
●
2
2
1
1 cot x
sin x
+ =
Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
●
sin2x 2 sin x.cos x
=
●
2 2
2 2
cos x sin x
cos2x
2 cos x 1 1 2 sin x
−
=
− = −
●
os
2
1 c 2x
sin x
2
−
=
●
os
os
2
1 c 2x
c x
2
+
=
●
3
sin 3x 3 sin x 4 sin x
= −
●
3
cos 3x 4 cos x 3 cos x
= −
Công thức cộng cung
●
(
)
sin a b sin a.cos b cos a.sin b
± = ±
●
(
)
os
c a b cos a.cos b sin a.sin b
± =
∓
●
( )
tan a tan b
tan a b
1 tan a.tan b
+
+ =
−
●
( )
tan a tan b
tan a b
1 tan a.tan b
−
− =
+
●
π
1 tan x
tan x
4 1 tan x
+
+ =
−
●
π
1 tan x
tan x
4 1 tan x
−
− =
+
Công thức biến đổi tổng thành tích
●
a b a b
cosa cos b 2 cos .cos
2 2
+ −
+ =
●
a b a b
cosa cos b 2 sin .sin
2 2
+ −
− = −
●
a b a b
sin a sin b 2 sin .cos
2 2
+ −
+ =
●
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
2 2
+ −
− =
●
(
)
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
+
+ =
●
(
)
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
−
− =
Công thức biến đổi tích thành tổng
●
(
)
(
)
cos a b cos a b
cos a.cos b
2
+ + −
=
●
(
)
(
)
sin a b sin a b
sin a.cos b
2
+ + −
=
●
(
)
(
)
cos a b cos a b
sin a.sin b
2
− − +
=
Một số công thức thông dụng khác
●
π π
sinx cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
+ = + = −
●
π π
sinx cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
− = − = +
●
4 4 2
1 cos4x
cos x sin x 1 s
3 1
in 2x
2
4
+
+ = − =
●
6 6 2
3 cos4x
cos x sin x 1 s
5 3
in 2x
4
8
+
+ = − =
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 3 -
Một số lưu ý
:
Điều kiện có nghiệm của phương trình
sin x
cos x
= α
= α
là:
1 1
− ≤ α ≤
.
Khi giải phương trình có chứa các hàm số
tan
hoặc
cot
, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết
phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
Phương trình chứa
tan x
, điều kiện:
( )
cos x 0 x k k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π ∈
ℤ
.
Phương trình chứa
cot x
, điều kiện:
(
)
sin x 0 x k k
≠ ⇔ ≠ π ∈
ℤ
.
Phương trình chứa cả
tan x
và
cot x
, điều kiện:
( )
x k. k
2
π
≠ ∈
ℤ
.
Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để
kiểm tra điều kiện:
Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của
x
vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy
làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.
Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm.
Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác
AM
có
số đo là
k2
n
π
α +
0
0
k.360
hay a
n
+
với
k ,n
+
∈ ∈
ℤ ℕ
thì có
n
điểm
M
trên đường tròn
lượng giác cách đều nhau".
Ví dụ 1: Nếu sđ
AM k2
3
π
= + π
thì có một điểm
M
tại vị trí
3
π
(ta chọn
k 0
=
).
Ví dụ 2: Nếu sđ
AM k
6
π
= + π
thì có 2 điểm
M
tại vị trí
6
π
và
7
6
π
(ta chọn
k 0, k 1
= =
).
Ví dụ 3: Nếu sđ
2
AM k.
4 3
π π
= +
thì có 3 điểm
M
tại các vị trí
11
;
4 12
π π
và
19
12
π
,
(
)
k 0;1;2
=
.
Ví dụ 4: Nếu sđ
k2
AM k.
4 2 4 4
π π π π
= + = +
thì có 4 điểm
M
tại các vị trí
4
π
,
3
4
π
,
5
4
π
;
7
4
π
(ứng với các vị trí
k 0,1,2,3
=
).
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung
x k
6
π
= − + π
và
x k
3
π
= + π
Biểu diễn cung
x k
6
π
= − + π
trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
6
π
−
và
5
6
π
Bi
ểu diễn cung
x k
3
π
= + π
trên đường tròn thì có
Để giải được phương trình lượng giác cũng như các
ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả
những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công
cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên:
"Phương trình lượng giác"
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 4 - www.DeThiThuDaiHoc.com
2 điểm tại các vị trí:
3
π
và
4
3
π
.
Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
cung tổng hợp là:
x k
3 2
π π
= +
Đối với phương trình
2
2
1 1
cos x cos x
2 2
1 1
sin x sin x
2 2
= = ±
⇔
= = ±
ta không nên giải
trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là
tối ưu nhất. Nghĩa là:
2
2
2
2
1
cos x
2cos x 1 0 cos2x 0
2
1 cos2x 0
2sin x 1 0
sin x
2
=
− = =
⇔ ⇔
=
− =
=
. Tương tự đối với phương trình
2
2
sin x 1 sin x 1
cos x 1
cos x 1
= = ±
⇔
= ±
=
ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức
2 2
sin x cos x 1
+ =
. Lúc đó:
2 2
2 2
sin x 1 cos x 0 cos x 0
sin x 0
cos x 1 sin x 0
= = =
⇔ ⇔
=
= =
Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''
Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là
một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.
Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là
(
)
cos cos
−α = α
, còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
(
)
(
)
(
)
sin sin , tan tan , cot tan
−α = − α −α = − α −α = − α
Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là
(
)
sin sin
π − α = α
, còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
(
)
(
)
(
)
cos cos , tan tan , cot tan
π − α = − α π − α = − α π − α = − α
Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 90
0
) thì sin góc này bằng cos góc kia và
ngược lại, tức là:
sin cos , cos sin , tan cot , cot tan
2 2 2 2
π π π π
− α = α −α = α −α = α − α = α
Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này:
Giải phương trình lượng giác:
sin u cos v
=
Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình
sin u sin v
=
, vậy còn phương trình
sin u cos v
=
thì sao ?
Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi:
sin u cos v sin u sin v
2
π
= ⇔ = −
( )
u v k2 u v k2 , k
2 2
π π
= − + π ∨ = + + π ∈
ℤ
.
Qua
ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như
2
sin x cos x
3
π
= −
π
/3
5
π
/6
4
π
/3
–
π
/6
O
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 5 -
thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.
Một số cung góc hay dùng khác:
(
)
(
)
sin x k2 sin x
cos x k2 cos x
+ π =
+ π =
và
(
)
(
)
( )
sin x k2 sin x
k
cos x k2 cos x
+ π + π = −
∈
+ π + π = −
ℤ
.
A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Dạng:
u v k2
sin u sin v
u v k2
= + π
= ⇔
= π − + π
Đặc biệt:
sin x 0 x k
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2
= ⇒ = π
π
= ⇒ = + π
π
= − ⇒ = − + π
Dạng:
u v k2
cos u cos v
u v k2
= + π
= ⇔
= − + π
Đặc biệt:
cos x 0 x k
2
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2
π
= ⇒ = + π
= ⇒ = π
= − ⇒ = π + π
Dạng:
tan u tan v u v k
Ðk : u,v k
2
= ⇔ = + π
π
≠ + π
Đặc biệt:
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
= ⇔ = π
π
= ± ⇔ = ± + π
Dạng:
cotu cotv u v k
Ðk : u,v k
= ⇔ = + π
≠ π
Đặc biệt:
cot x 0 x k
2
cot x 1 x k
4
π
= ⇔ = + π
π
= ± ⇔ = ± + π
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
cos 3x 4 cos2x 3 cos x 4 0 , x 0;14
− + − = ∗ ∀ ∈
Bài 2. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x
− + = − ∗
Bài 3. Giải phương trình:
(
)
cos 3x cos2x cos x 1 0
+ − − = ∗
Bài 4. Giải phương trình:
(
)
sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0
+ + + + = ∗
Bài 5. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 sin x 1 cos2x sin 2x 1 cos x
+ + = + ∗
Bài 6. Giải phương trình:
( )
1 1 7
4 sin x
sin x 4
3
sin x
2
π
+ = − ∗
π
−
Bài 7. Giải phương trình:
( )
4 4
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
π π
+ = + − ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 6 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài 8. Giải phương trình:
( )
4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
π π
− +
Bài 9. Giải phương trình:
( )
3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
π π
− = +
Bài 10. Giải phương trình:
( )
sin 3x sin2x sin x 1
4 4
π π
− = +
Bài 11.
( )
3
8 cos x cos 3x 1
3
π
+ =
Bài 12. Giải phương trình:
( )
3
2 sin x 2sin x 1
4
π
+ =
Bài 13. Giải phương trình:
( )
3
sin x 2 sin x 1
4
π
− =
Bài 14. Giải phương trình:
(
)
cos x cos2x cos 3x cos 4x 0
+ + + = ∗
Bài 15. Giải phương trình:
( )
2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = ∗
.
Bài 16. Giải phương trình:
(
)
2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2
+ + = ∗
.
Bài 17. Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
+ = + ∗
Bài 18. Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
− = − ∗
Bài 19. Giải phương trình:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2 cos
4 2 2
π
+ = + − ∗
Bài 20. Giải phương trình:
(
)
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x
= + ∗
Bài 21. Giải phương trình:
(
)
2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x
+ − = ∗
Bài 22. Giải phương trình:
(
)
sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x
+ + = + + ∗
Bài 23. Giải phương trình:
(
)
3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x
+ = ∗
Bài 24. Giải phương trình:
(
)
2 3
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x
+ + = + ∗
Bài 25. Giải phương trình:
(
)
3 3 2
4 sin x 3 cos x 3 sin x sin x cos x 0
+ − − = ∗
Bài 26. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3
+ + − + = ∗
Bài 27. Giải phương trình:
(
)
(
)
6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗
Bài 28. Giải phương trình:
(
)
( )
8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗
Bài 29. Giải phương trình:
(
)
(
)
3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗
Bài 30. Giải phương trình:
(
)
4 2 2 4
3cos x 4 cos x sin x sin x 0
− + = ∗
Bài 31. Giải phương trình:
( )
3 3
2 3 2
cos 3x cos x sin 3x sin x
8
−
− = ∗
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 7 -
Bài 32. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 4x cos 8x
16
= ∗
Bài 33. Giải phương trình:
(
)
3
4 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x
= + − ∗
Bài 34. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x
2
+ + + + = − ∗
Bài 35. Giải phương trình:
( )
sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
= ∗
+
Bài 36. Giải phương trình:
( )
2
1 sin2x cos2x
2 sin x sin2x
1 cot x
+ +
= ∗
+
Bài 37. Giải phương trình:
(
)
(
)
tan x cot x 2 sin2x cos2x
+ = + ∗
Bài 38. Giải phương trình:
(
)
2
tan x tan x tan 3x 2
− = ∗
Bài 39. Giải phương trình:
( )
2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗
Bài 40. Giải phương trình:
( )
2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
π
− − = ∗
Bài 41. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
sin2x cot x tan2x 4cos x
+ = ∗
Bài 42. Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
cot x tan x
16 1 cos 4x
cos2x
−
= + ∗
Bài 43. Giải phương trình:
( )
1
2 tan x cot2x 2 sin2x
2 sin 2x
+ = + ∗
Bài 44. Giải phương trình:
(
)
( ) ( )
3 sin x tan x
2 1 cos x 0
tan x sin x
+
− + = ∗
−
Bài 45. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
2 2
1 cos x 1 cos x
1
tan x sin x 1 sin x tan x
2
4 1 sin x
− + +
− = + + ∗
−
Bài 46. Giải phương trình:
(
)
cos 3x tan 5x sin 7x
= ∗
Bài 47. Giải phương trình:
( )
1 1
sin2x sin x 2 cot x
2 sin x sin 2x
+ − − = ∗
Bài 48. Giải phương trình:
( ) ( )
4 4
sin x cos x 1
tan x cot2x
sin 2x 2
+
= + ∗
Bài 49. Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x
= − + ∗
Bài 50. Giải phương trình:
( )
x
cot x sin x 1 tan x tan 4
2
+ + = ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 8 - www.DeThiThuDaiHoc.com
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung
x,2x,3x
, giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một
cung. Nhưng đưa về cung
x
hay cung
2x
? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan
niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung
x,2x,3x
, ta nên đưa về cung
trung gian
2x
nếu trong biểu thức có chứa sin
2
x (hoặc cos
2
x). Còn không chứa sin
2
x (hoặc
cos
2
x), nên đưa về cung
x
".
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2
4 cos x 3 cos x 4 2 cos x 1 3 cos x 4 0 4 cos x 8 cos x 0
∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − =
( )
(
)
(
)
( )
2
cos x 0 N
4 cos x cos x 2 0 x k , k
cos x 2 L 2
=
π
⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈
=
ℤ
.
0,5 k 3,9
3 5 7
Do x 0;14 , k 0 k 14 x ; ; ;
k
2 2 2 2 2
− ≤ ≤≈
π π π π π
∈ ∈ ⇔ ≤ + π ≤ ⇔ ⇒ ∈
∈
ℤ
ℤ
.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2 sin x cos x 2 sin x cos x sin x
∗ ⇔ − + = −
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2 sin x cos x sin x 2 cos x 1 0
⇔ − + − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2sin x cos x sin x 0 2 cos x 1 sin x cos x 0
⇔ − + − = ⇔ − + =
( )
x k2
2 cos x 1 0
cos x cos
3
k;l
3
sin x cos x 0
tan x 1
x l
4
π
π
= ± + π
− =
=
⇔ ⇔ ⇔ ∈
+ = π
= −
= − + π
ℤ
.
Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung
3x
và
2x
, chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một
cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos
Bài giải tham khảo
(
)
3 2 3 2
4 cos x 3 cos x 2 cos x 1 cos x 1 0 2 cos x cos x 2 cos x 1 0
∗ ⇔ − + − − − = ⇔ + − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
cos x 2 cos x 1 2 cos x 1 0 2cos x 1 cos x 1 0
⇔ + − + = ⇔ + − =
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
cos 3x 4 cos2x 3 cos x 4 0 , x 0;14
− + − = ∗ ∀ ∈
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002
Bài 2. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2 sin x cos x sin 2x sin x
− + = − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004
Bài 3. Giải phương trình:
(
)
cos 3x cos2x cos x 1 0
+ − − = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 9 -
Bài 4. Giải phương trình:
(
)
sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0
+ + + + = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
( ) ( )
2
sin x 0 x k
2 cos x 1 sin x 0 k;l
1 2
cos x x l2
2 3
= = π
⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈
π
= − = ± + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
2
sin x cos x 2 sin x cos x 2 cos x 0
∗ ⇔ + + + =
(
)
(
)
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0
⇔ + + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 cos x 0
⇔ + + =
( )
sin x cos x tan x 1
x k
4
k;l
1 2
2
cos x cos x cos
x l2
2 3
3
π
= − = −
= − + π
⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
π
= − =
= ± + π
ℤ
.
Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung
2x
và cung
x
mà ta nghĩ đến việc chuyển cung
2x
về cung
x
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
(
)
(
)
2
sin x 1 2 cos x 1 2sin x cos x 1 cos x
∗ ⇔ + − + = +
(
)
(
)
2
2 sin x cos x 2sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 co
s x 0
⇔ + = + ⇔ + − + =
( )( ) ( )
2
1
x k2
cos x
3
cos x 1 sin2x 1 0 k, l
2
sin2x 1
x l
4
π
= ± + π
= −
⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈
π
=
= + π
ℤ
.
Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung
3
x
2
π
−
và
7
x
4
π
−
giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung
khác nhau này về cùng một cung chung là
x
. Để làm được điều đó, ta có thể dùng công
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý
tưởng đó qua hai cách giải sau đây
Bài giải tham khảo
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung:
(
)
sin a b sin a.cos b cos a.sin b
± = ±
Bài 6. Giải phương trình:
( )
1 1 7
4 sin x
sin x 4
3
sin x
2
π
+ = − ∗
π
−
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008
Bài 5. Giải phương trình:
(
)
(
)
sin x 1 cos 2x sin 2x 1 cos x
+ + = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 10 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( )
1 1 7 7
4 sin cos x sin x cos
sin x 3 3 4 4
sin x cos sin cos x
2 2
π π
∗ ⇔ + = −
π π
−
( )
1 1 2
4. sin x cos x
sin x cos x 2
⇔ + = − +
Điều kiện:
sin x cos x 0 sin2x 0
≠ ⇔ ≠
.
( )
sin x cos x
2 2 sin x cos x
sin x cos x
+
⇔ = − +
(
)
(
)
sin x cos x 2 2 sin x cos x sin x cos x 0
⇔ + + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 sin2x 0
⇔ + + =
( )
x k
4
tan x 1
sin x cos x 0
x l k, l, m
2
8
1 2 sin2x 0
sin2x
52
x m
8
π
= − + π
= −
+ =
π
⇔ ⇔ ⇔ = − + π ∈
+ =
= −
π
= + π
ℤ
.
Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''
Ta có:
( )
3
sin x sin 2 x cos x
2 2
7 1
sin x sin 2 x sin x sin x cos x
4 4 4
2
π π
− = − π − − =
π π π
− = π − + = − + = − +
( ) ( )
1 1 1
4. sin x cos x
sin x cos x
2
∗ ⇔ + = − +
. Giải tương tự như cách giải 1.
Lời bình: Từ tổng hai cung
x x
3 6 2
π π π
+ + − =
giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:
cot x cot x cot x cot x cot x tan x 1
3 6 3 2 3 3 3
π π π π π π π
+ − = + − + = + + =
.
Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức:
4 4 2
1
sin x cos x 1 sin 2x
2
+ = −
. Nếu
không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan
cos
cot
sin
=
, rồi qui đồng thì bài toán
trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện.
Bài giải tham khảo
ĐK:
sin x 0
13
sin x sin x 0 cos 2x 0 cos 2x 0
3 6 2 6 6
sin x 0
6
π
+ ≠
π π π π
⇔ + − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − ≠
π
− ≠
.
Bài 7. Giải phương trình:
( )
4 4
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
π π
+ = + − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 11 -
( ) ( )
2 2
1 7 1 1 k
1 sin 2x sin 2x 1 cos 4x x , k
2 8 4 2 12 2
π π
∗ ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
ĐK:
cos x 0
14
cos x cos x 0 cos2x cos 0 cos2x 0
4 4 2 2
cos x 0
4
π
− ≠
π π π
⇔ − + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠
π
+ ≠
.
Ta có:
tan x tan x tan x tan x tan x cot x 1
4 4 4 2 4 4 4
π π π π π π π
− + = − − + = − − =
.
( )
(
)
2 4 2 4 4 2
1 1
1 sin 4x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x 2cos x cos 4x 1 0
2 2
∗ ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − − =
(
)
( )
2
2 2
2
2
t 1 N
2t t 1 0
1
cos 4x 1 sin 4x 0 sin 4x 0
t L
t cos 4x 0
2
t cos 4x 0
=
− − =
⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
= −
= ≥
= ≥
(
)
(
)
( )
sin2x 0 N
k
x , k
cos2x 0 L 2
=
π
⇔ ⇔ = ∈
=
ℤ
.
Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau
tan tan x tan tan x
1 tan x 1 tan x
4 4
tan x .tan x . . 1
4 4 1 tan x 1 tan x
1 tan tan x 1 tan tan x
4 4
π π
− +
π π − +
− + = = =
π π + −
+ −
.
Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin……, hoặc xét tổng
cung của chúng, ……. nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả. Ta hãy xem
giữa hai cung
3 x
10 2
π
−
và
3x
10 2
π
+
có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy:
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
π π π π
+ = π − + = − = −
. Từ đó, ta sẽ
đặ
t
3 x
t
10 2
π
= −
và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất.
Bài 8. Giải phương trình:
( )
4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
π π
− +
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997
Bài 9. Giải phương trình:
( )
3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
π π
− = +
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 12 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài giải tham khảo
Ta có:
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
π π π π
+ = π − + = − = −
.
( ) ( )
3 x 1 3 x
1 sin sin 3 2
10 2 2 10 2
π π
⇔ − = −
.
Đặt
3 x
t
10 2
π
= −
. Và
( )
(
)
(
)
3 2
1 1
2 sin t sin3t sin t 3sin t 4sin t sin t 1 sin t 0
2 2
⇔ = ⇔ = − ⇔ − =
( )
3 x 3
t k
k x k2
sin t 0
10 2 5
k, l
cos t 0 3 x 2
t l
l x l2
2
10 2 2 5
π π
= π
− = π = − π
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
= π π π
= + π
− = + π = − π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Ta có:
3
sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x sin 3 x
4 4 4 4 4
π π π π π
− = − − = − π − − = − + = − +
Đặt
t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = −
. Lúc đó
( )
1 sin 3t sin 2t .sin t
2
π
⇔ − = −
3
2 2 2
sin t 0 sin t 0
4 sin t 3 sin t cos 2tsin t 0
4 sin t 3 1 2 sin t 0 sin t 1
= =
⇔ − + = ⇔ ⇔
− + − = =
( )
t k
x k
sin t 0
4
x m , k,l, m
cos t 0
4 2
t l
x l
2
4
π
= π
= − + π
=
π π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − + ∈
π
= π
= + π
= + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Ta có:
( )
cos 3x cos 3x cos 3 x
3
π
= − π + = − +
.
Phương trình:
( ) ( )
3
1 8cos x cos 3 x 2
3 3
π π
⇔ + = − +
.
Đặt
t x
3
π
= +
. Lúc đó:
(
)
3 3 3
2 8 cos t cos 3t 8 cos t 4 cos t 3 cos t
⇔ = − ⇔ = − +
(
)
(
)
3 2
12 cos t 3 cos t 0 cos 3t 4 cos t 1 0 cos 3t 2 cos 2t 1 0
⇔ − = ⇔ − = ⇔ + =
Bài 11. Giải phương trình:
( )
3
8 cos x cos 3x 1
3
π
+ =
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999
Bài 10. Giải phương trình:
( )
sin 3x sin 2x sin x 1
4 4
π π
− = +
Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 13 -
( )
t k
x k
2
cos 3t 0
6
t l x l k; l; m
1
3
cos2t
2
2
x m
t m
3
3
π
= + π π
= + π
=
π
⇔ ⇔ = + π ⇔ = π ∈
= −
π
π
= + π
= − + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = −
. Lúc đó:
( )
3 3
1 sin t 2 sin t sin t sin t cos t
4
π
⇔ = − ⇔ = −
(
)
(
)
(
)
3 3 2 2
sin t sin t cos t sin t sin t cos t sin t cos t
⇔ = − ⇔ = + − •
(
)
2 2
cos t sin t sin t cos t cos t 0
⇔ − + − =
(
)
(
)
( )
cos t 0 N
1
cos t sin 2t 1 0 t k x k , k
sin 2t 2 L2 2 4
=
π π
⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ∈
=
ℤ
.
Lời bình: Trong
(
)
•
, tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức
2 2
1 sin t cos t
= +
. Vậy trong giải
phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn
giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép
2 2
1 sin t cos t
= +
để phương trình trở nên đơn giản hơn ".
Cách giải 2.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
π
⇔ + = ⇔ + =
(
)
(
)
(
)
3 2
sin x cos x 4 sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x
⇔ + = ⇔ + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 sin x cos x 4 sin x
⇔ + + =
2 2
3 sin x 2 cos x sin x 2sin x cos x cos x 0
⇔ − + + + =
(
)
(
)
2 2
sin x 3 2 cos x cos x 2sin x 1 0
⇔ − + + + =
(
)
(
)
2 2
sin x 2sin x 1 cos x 2 sin x 1 0
⇔ − + + + =
( )
( )
(
)
2
2
0 2 sin x 1 0 VN
2 sin x 1 cos x sin x 0
cos x sin x 0
= + >
⇔ + − = ⇔
− =
( )
tan x 1 x k , k
4
π
⇔ = ⇔ = + π ∈
ℤ
.
Cách giải 3.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
π
⇔ + = ⇔ + =
Bài 12. Giải phương trình:
( )
3
2 sin x 2 sin x 1
4
π
+ =
Trích đề thi tuyển sinh Phân Viện Báo Chí Truyền Thông năm 1998
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 14 - www.DeThiThuDaiHoc.com
(
)
(
)
3
sin x cos x 4 sin x 2
⇔ + =
Vì
(
)
cos x 0 hay sin x 1
= =
không phải là nghiệm của phương trình
(
)
2
nên chia hai vế của
phương trình
(
)
2
cho
3
cos x
, ta được:
(
)
(
)
(
)
3
2
2 tan x 1 4 tan x. 1 tan x
⇔ + = +
Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm:
( )
tan x 1 x k , k
4
π
= ⇔ = + π ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
t x x t
4 4
π π
= − ⇒ = +
. Lúc đó:
(
)
(
)
3 3
1 sin t 2 sin t 4 sin t sin t cos t
⇔ = + ⇔ = +
(
)
(
)
3 2 2
sin t sin t cos t sin t cos t
⇔ = + +
(
)
3 3 2 2 3
sin t sin t sin tcos t cos tsin t cos t cos t sin tcos t
1 0
⇔ = + + + ⇔ + =
(
)
( )
cos t 0
3
t k x k k , k
sin 2t 2 L
2 4 4
=
π π π
⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ≡ − + π ∈
= −
ℤ
.
Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải
Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả
sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu
(hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý
(
)
x 4x 5x
+ =
và
(
)
2x 3x 5x
+ =
. Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản,
chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình
tích số.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
5x 3x 5x x
cos x cos 4x cos2x cos 3x 0 2cos cos 2 cos cos 0
2 2 2 2
∗ ⇔ + + + = ⇔ + =
5x 3x x 5x x
2 cos cos cos 0 4 cos cos x cos 0
2 2 2 2 2
⇔ + = ⇔ =
( )
5x k2
5x k x
cos 0
2 2 5 5
2
cos x 0 x l x l k;l;m
2 2
x
x x 2m
cos 0
m
2
2 2
π π π
= + π = +
=
π π
⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + π ∈
π = π + π
=
= + π
ℤ
.
Bài 14. Giải phương trình:
(
)
cos x cos2x cos 3x cos 4x 0
+ + + = ∗
Bài 13. Giải phương trình:
( )
3
sin x 2 sin x 1
4
π
− =
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 15 -
Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công
thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 3
1 cos2x 1 cos 4x 1 cos6x cos2x cos 6x cos 4x 0
2 2 2 2
∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =
(
)
2 cos 4x cos2x cos 4x 0 cos 4x 2 cos2x 1 0
⇔ + = ⇔ + =
( )
k
cos 4x 0
4x k x
2 8 4
k, l
2
2
cos2x cos
2x l2 x l
3
3 3
π π π
=
= + π = +
⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
π π
=
= ± + π = ± + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 cos2x 1 cos 4x 1 cos 6x 2
2 2 2
∗ ⇔ − + − + − =
( ) ( ) ( )
1 1
cos2x cos 4x cos 6x cos2x cos 6x cos 4x 1 0
2 2
⇔ − + + = ⇔ + + + =
(
)
2
2 cos 4x cos2x 2 cos 2x 0 2 cos 2x cos 4x cos2x 0
⇔ + = ⇔ + =
( )
x k
2
cos x 0
4 cos2x cos 3x cos x 0 cos2x 0 x l k, l, m
4 2
cos 3x 0
x m
6 3
π
= + π
=
π π
⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
=
π π
= +
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 cos2x 1 cos 6x 1 cos 4x 1 cos 8x
2 2 2 2
∗ ⇔ − + − = + + +
(
)
cos2x cos6x cos 4x cos 8x 2 cos 4x cos2x 2cos6x cos
2x
⇔ − + = + ⇔ − =
(
)
2 cos2x cos 6x cos 4x 0 4 cos 2x cos 5x cos x 0
⇔ + = ⇔ =
( )
cos x 0
m
cos2x 0 x k x l x ; k, l, m
2 4 2 10 5
cos 5x 0
=
π π π π π
⇔ = ⇔ = + π ∨ = + ∨ = + ∈
=
ℤ
.
Bài 15. Giải phương trình:
( )
2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = ∗
.
Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000
Bài 16. Giải phương trình:
(
)
2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2
+ + = ∗
.
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001
Bài 17. Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
+ = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 16 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 cos6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
2 2 2 2
∗ ⇔ − − + = − − +
cos6x cos 8x cos10x cos12x 2cos7x cos x 2cos11x c
os x
⇔ + = + ⇔ =
( ) ( )
x k
2
cos x 0
l
cos x cos 7x cos11x 0 x k, l, m
cos7x cos11x
2
m
x
9
π
= + π
=
π
⇔ − = ⇔ ⇔ = − ∈
=
π
=
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( )
x x
cos 3x sin 7x 1 cos 5x 1 cos 9 cos 3x sin 7x sin 5x cos 9
2
π
∗ ⇔ + = − + − − ⇔ + = −
cos 3x cos 9x sin 7x sin 5x 0 2 cos 6x cos 3x 2 cos 6x si
n x 0
⇔ + + − = ⇔ + =
( ) ( )
x k
12 6
cos6x 0
cos6x cos 3x sin x 0 x l k, l,m
cos 3x cos x
4
2
m
x
8 2
π π
= +
=
π
⇔ + = ⇔ ⇔ = + π ∈
π
= +
π π
= − +
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
1 cos2x 1 cos 4x 1 cos 6x
cos2x cos 4x 1 cos6x 0
2 2 2
− + +
∗ ⇔ = + ⇔ + + + =
(
)
2
2 cos 3x cos x 2 cos 3x 0 2 cos 3x cos x cos 3x 0
⇔ + = ⇔ + =
( )
k
x
k
6 3
cos x 0
x
l
6 3
4 cos 3x cos2x cos x 0 cos2x 0 x k, l, m
l
4 2
x
cos 3x 0
4 2
x m
2
π π
= +
π π
=
= +
π π
⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ ∈
π π
= +
=
π
= + π
ℤ
.
Bài 18. Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
− = − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002
Bài 19. Giải phương trình:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2cos
4 2 2
π
+ = + − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001
Bài 20. Giải phương trình:
(
)
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x
= + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 17 -
Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung
(
)
(
)
(
)
x , 2x , 7x
và nhận xét
7x x
4x
2
+
=
, ta có thể định
hướng nhóm
(
)
sin 7x sin x
−
,
(
)
2
2 sin 2x 1
−
lại với nhau, để sau khi dùng công thức
tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
2
sin 7x sin x 1 2 sin 2x 0 2cos 4x sin 3x cos 4x 0
∗ ⇔ − − − = ⇔ − =
( ) ( )
k2
cos 4x 0
x
18 3
cos 4x 2 sin 3x 1 0 k,l
1
5 l2
sin 3x
x
2
18 3
π π
=
= +
⇔ − = ⇔ ⇔ ∈
π π
=
= +
ℤ
.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
sin x sin 3x sin 2x 1 cos2x cos x
∗ ⇔ + + = + +
(
)
(
)
2
2 sin 2x cos x sin2x 2 cos x cos x sin2x 2 cos x 1 cos x 2
cos x 1 0
⇔ + = + ⇔ + − + =
(
)
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 sin2x cos x 0 2cos x 1 2sin x cos x cos x 0
⇔ + − = ⇔ + − =
( )( ) ( )
x k
2
cos x 0
x l2
1
6
cos x 2 sin x 1 2 cos x 1 0 sin x k, l, m,n
5
2
x m2
1
6
cos x
22
x n2
3
π
= + π
=
π
= + π
⇔ − + = ⇔ = ⇔ ∈
π
= + π
= −
π
= ± + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
3 3 3 3 3
sin x 4 cos x 3 cos x cos x 3 sin x 4 sin x sin 4x
∗ ⇔ − + − =
3 3 3 3 3 3 3
4 sin x cos x 3 sin x3 cos x 3cos x sin x 4 cos x sin x sin
4x
⇔ − + − =
(
)
2 2 3
3 sin x cos x cos x sin x sin 4x
⇔ − =
3 3
3 3
sin2x cos2x sin 4x sin 4x sin 4x
2 4
⇔ = ⇔ =
( )
3
k
3 sin 4x 4 sin 4x 0 sin12x 0 12x k x , k
12
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈
ℤ
.
Bài 22. Giải phương trình:
(
)
sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x
+ + = + + ∗
Bài 23. Giải phương trình:
(
)
3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x
+ = ∗
Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999
Bài 21. Giải phương trình:
(
)
2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x
+ − = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 18 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
3
cos10x 1 cos 8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3 cos 3x
∗ ⇔ + + = + −
(
)
cos10x cos 8x 1 cos x 2 cos x cos 9x
⇔ + + = +
2 cos 9x cos x 1 cos x 2 cos x cos 9x
⇔ + = +
(
)
cos x 1 x k2 , k
⇔ = ⇔ = π ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
2 2 2
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 cos x 0
∗ ⇔ − − − =
(
)
(
)
2 2 2
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0
⇔ − − − − =
(
)
(
)
2
4 sin x 3 sin x cos x 0
⇔ − − =
(
)
(
)
2 1 cos2x 3 sin x cos x 0
⇔ − − − =
( )
2
1 2 2
x k
cos2x cos 2x k2
3
k;l
2 3 3
sin x cos x tan x 1
x l
4
π
π π
= ± + π
= − = = ± + π
⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
= =
= + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 1 sin x 3 0
∗ ⇔ + + − + − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
2 sin x 1 3 cos 4x 2sin x 4 1 2 sin x 1 2 sin x 0
⇔ + + − + − + =
(
)
(
)
2 sin x 1 3 cos 4x 2sin x 4 1 2 sin x 0
⇔ + + − + − =
(
)
(
)
3 cos 4x 1 2 sin x 1 0
⇔ − + =
( )
k
x
4x k2
2
cos 4x 1
x l2 x l2 k;l;m
1
6 6
sin 2x
2
7 7
x m2 x m2
6 6
π
=
= π
=
π π
⇔ ⇔ = − + π ⇔ = − + π ∈
= −
π π
= + π = + π
ℤ
.
Bài 24. Giải phương trình:
(
)
2 3
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x
+ + = + ∗
Bài 25. Giải phương trình:
(
)
3 3 2
4 sin x 3 cos x 3 sin x sin x cos x 0
+ − − = ∗
Bài 26. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3
+ + − + = ∗
Bài 27. Giải phương trình:
(
)
(
)
6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 19 -
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
6 8 6 8 6 2 6 2
sin x 2sin x cos x 2cos x 0 sin x 1 2sin x cos x 2 cos x 1 0
∗ ⇔ − + − = ⇔ − − − =
(
)
6 6 6 6
sin x cos2x cos x cos2x 0 cos2x sin x cos x 0
⇔ − = ⇔ − =
( )
6 6
k
x
cos2x 0
cos2x 0
k
4 2
x , k
tan x 1
sin x cos x
4 2
x k
4
π π
= +
=
=
π π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈
= ± π
=
= ± + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( )
(
)
(
)
10 8 8 10
5
2 cos x cos x sin x 2 sin x cos2x 0
4
∗ ⇔ − − − + =
(
)
(
)
8 2 8 2
5
cos x 2 cos x 1 sin x 1 2 cos x cos2x 0
4
⇔ − − − + =
8 8 8 8
5 5
cos x.cos2x sin x cos2x cos2x 0 cos2x cos x sin x 0
4 4
⇔ − + = ⇔ − + =
( )
( )
8 8
8 8
cos2x 0
2x k
k
2
x , k
5
5
4 2
cos x sin x 0
sin x cos x 1 VN
4
4
π
=
= + π
π π
⇔ ⇔ ⇔ = + ∈
− + =
= + >
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Cách giải 1
(
)
(
)
(
)
3 5 5 3
sin x 2 sin x 2cos x cos x 0
∗ ⇔ − − + =
(
)
(
)
3 2 3 2 3 3
sin x 1 2sin x cos x 2cos x 1 0 sin x cos2x cos x cos 2x 0
⇔ − − − = ⇔ − =
( )
( )
3 3
3
cos2x 0
m
cos2x sin x cos x 0 x , m
tan x 1
4 2
=
π π
⇔ − = ⇔ ⇔ = + ∈
=
ℤ
.
Cách giải 2
(
)
(
)
(
)
3 3 2 2 5 5
sin x cos x sin x cos x 2 sin x 2cos x 0
∗ ⇔ + + − − =
(
)
(
)
3 2 5 5 3 2
sin x cos x sin x cos x cos sin x 0
⇔ − − − =
(
)
(
)
(
)
3 2 2 3 2 2 3 3
sin x cos x sin x cos x cos x sin x 0 cos2x sin x cos x 0
⇔ − − − = ⇔ − =
( )
3 3 3
cos2x 0 cos2x 0
m
x , m
sin x cos x 0 tan x 1
4 2
= =
π π
⇔ ⇔ ⇔ = + ∈
− = =
ℤ
.
Bài 28. Giải phương trình:
(
)
( )
8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000
Bài 29. Giải phương trình:
(
)
(
)
3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 20 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài giải tham khảo
( )
2 2
2
1 cos2x 1 cos2x
3 sin 2x 0
2 2
+ −
∗ ⇔ − + =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
3 1 2 cos2x cos 2x 4 1 cos 2x 1 2 cos2x cos 2x 0
⇔ + + − − + − + =
(
)
2
8 cos 2x 4 cos2x 0 4 cos2x 2 cos2x 1 0
⇔ + = ⇔ + =
( )
k
cos2x 0
x k
4 2 4
k, m
1
cos2x
x m
2
3
π π π
=
= + ≡ ± + π
⇔ ⇔ ∈
π
= −
= ± + π
ℤ
.
Cách khác
Do
cos x 0 hay sin x 1
= =
không là nghiệm của phương trình
(
)
∗
Chia hai vế của
(
)
∗
cho
4
cos x
, ta được:
( )
2
2 4
2
t 4t 3 0
3 4 tan x tan x 0
t tan x 0
− + =
∗ ⇔ − + = ⇔
= ≥
( )
2
2
2
t 1
x k
tan x 1
tan x 1
4
t 3
k,m
tan x 3
tan x 3
x m
t tan x
3
π
=
= ± + π
= ±
=
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
=
= ±
= ± + π
=
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa
cos 3x
lẫn
sin 3x
, nếu ta sử dụng công thức
nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp.
Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất
hiện số
1
2
nhằm tối giản được với số
2 3 2
8
−
phức tạp bên vế phải của phương trình.
( ) ( ) ( )
2 2
2 3 2
cos 3x cos x cos x sin 3x sin x sin x
8
−
∗ ⇔ − =
( ) ( )
2 2
1 1 2 3 2
cos 4x cos2x cos x cos2x cos 4x sin x
2 2 8
−
⇔ + − − =
2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x cos2x cos x cos2x sin x cos 4x sin x
4
−
⇔ + − + =
(
)
(
)
2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x sin x cos2x cos x sin x
4
−
⇔ + + − =
Bài 30. Giải phương trình:
(
)
4 2 2 4
3cos x 4 cos x sin x sin x 0
− + = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1
Bài 31. Giải phương trình:
( )
3 3
2 3 2
cos 3x cos x sin 3x sin x
8
−
− = ∗
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 21 -
( )
2
2 3 2 1 2 3 2
cos 4x cos 2x cos 4x 1 cos 4x
4 2 4
− −
⇔ + = ⇔ + + =
( ) ( )
2 k
4 cos2x 2 1 cos 4x 2 3 2 cos 4x x , k
2 16 2
π π
⇔ + + = − ⇔ = − ⇔ = ± + ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung
x,2x,4x,8x
khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc
đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức
2 2
cos2x 2 cos x 1 1 2sin x
= − = −
, nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế
phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý
rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của
sin
,
bằng cách nhân thêm hai vế của
(
)
∗
cho
sin x
. Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm
tra xem
sin x 0
=
có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.
● Nhận thấy:
(
)
sin x 0 x k hay cos x 1 cos2x cos 4x cos 8x 1
= ⇔ = π = ± ⇔ = = =
nên
( )
1
1
16
∗ ⇔ ± =
(vô nghiệm) nên
sin x 0 x k
= ⇔ = π
không là nghiệm của
(
)
∗
● Nhân cả 2 vế của phương trình
(
)
∗
cho
16 sin x 0
≠
, ta được:
( )
16 sin x cos x cos2x cos 4x cos 8x sin x 8 sin 2x cos2x
cos 4x cos 8x sin x
sin x 0 sin x 0
= =
∗ ⇔ ⇔
≠ ≠
4 sin 4x cos 4x cos 8x sin x 2 sin 8x cos 8x sin x sin16
x sin x
sin x 0 sin x 0 sin x 0
= = =
⇔ ⇔ ⇔
≠ ≠ ≠
k2
x
k2
x
15
15
l
x
l
x
17 17
17 17
x m
π
=
π
=
π π
⇔ ⇔
= +
π π
= +
≠ π
với
( )
17p 1
k 15n; l ; k, l,m, n,p
2
−
≠ ≠ ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
3
4 sin 3x cos2x 1 2 3sin x 4 sin x 4 sin 3x cos2x 1 2 sin 3
x
∗ ⇔ = + − ⇔ = +
(
)
(
)
(
)
2
2 sin 3x 2 cos2x 1 1 2 sin 3x 4 cos x 3 1⇔ − = ⇔ − =
Do
( )
cos x 0 x k , k
2
π
= ⇔ = + π ∈
ℤ
không là nghiệm phương trình
(
)
, nên nhân hai vế
(
)
cho
cos x 0
≠
, ta được:
(
)
(
)
3
2 sin 3x 4 cos x 3 cos x cos x 2 sin 3x cos 3x cos x
⇔ − = ⇔ =
Bài 32. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 4x cos 8x
16
= ∗
Trí
ch
đề
thi tuy
ể
n sinh Đ
ạ
i
họ
c Kinh t
ế
Qu
ố
c Dân năm 1998
Bài 33. Giải phương trình:
(
)
3
4 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x
= + − ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 22 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( )
l2
x
14 7
sin 6x cos x cos x cos 6x l, k
m2
2
x
10 5
π π
= +
π
⇔ = ⇔ = − ⇔ ∈
π π
= +
ℤ
.
Bài giải tham khảo
● Khi
(
)
x k2 , k
= π ∈
ℤ
thì
( ) ( )
1
5
2
∗ ⇔ = − ⇒ ∗
không có nghiệm
(
)
x k2 , k
= π ∈
ℤ
.
● Khi
( )
x
x k2 , k sin 0
2
≠ π ∈ ⇒ ≠
ℤ
. Nhân hai vế của
(
)
∗
cho
x
2 sin 0
2
≠
, ta được:
( )
x x x x x x
2 sin cos x 2 sin cos2x 2 sin cos 3x 2 sin cos 4x 2 sin c
os 5x sin
2 2 2 2 2 2
∗ ⇔ + + + + = −
3x x 5x 3x 7x 5x 9x 7x 11x 9x x
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⇔ − + − + − + − + − =−
.
( )
11x 11x 2m
sin 0 m x , m 11, m
2 2 11
π
⇔ = ⇔ = π ⇔ = ≠ ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc
chẳn,… ta phải đặc điều kiện để phương trình xác định. Đặc biệt đối với những bài toán
có chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng bằng
sin cos
,
cos sin
nhằm mục đích " đơn
giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là sin và cos mà thôi.
Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay không
Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện xem có thỏa không. Nếu thỏa thì ghi nhận
nghiệm ấy, nếu không thỏa thì loại.
Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường
tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung
của điều kiện.
Hoặc so với điều kiện trong quá trình giải phương trình.
● Điều kiện:
tan x 3
cos x 0
≠ −
≠
(
)
(
)
(
)
sin2x 2 cos x sin x 1 0 2cos x sin x 1 sin x 1 0
∗ ⇔ + − − = ⇔ + − + =
( )( ) ( )
1
x k2
cos x
3
sin x 1 2 cos x 1 0 k, l
2
sin x 1
x l2
2
π
= ± + π
=
⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈
π
= −
= − + π
ℤ
.
Bài 34. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos 5x
2
+ + + + = − ∗
Bài 35. Giải phương trình:
( )
sin2x 2 cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
= ∗
+
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2011
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 23 -
● So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là
( )
x k2 , k
3
π
= + π ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
sin x 0
≠
(
)
2 2
sin x(1 sin2x cos2x) 2 2 sin x cos x 1 sin2x cos2x 2 2
cos x
∗ ⇔ + + = ⇔ + + =
(
)
2
2 cos x 2 cos x sin x 2 2 cos x 0 2 cos x cos x sin x 2 0
⇔ + − = ⇔ + − =
( )
cos x 0
x k
cos x 0
2
k, l
cos x 1
cos x sin x 2
x l2
4
4
π
=
= + π
=
⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
π
− =
+ =
= + π
ℤ
.
● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là
( )
x k x l2 , k,l
2 4
π π
= + π ∨ = + π ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
( )
sin x 0
2 sin x cos x 0 sin 2x 0 2x k x k , k
cos x 0
2
≠
π
⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ π ⇔ ≠ ∈
≠
ℤ
.
( ) ( ) ( )
2 2
sin x cos x sin x cos x
2 sin2x cos2x 2 sin2x cos2x
cos x sin x sin x cos x
+
∗ ⇔ + = + ⇔ = +
( ) ( )
1 1
2 sin2x cos2x sin2x cos2x
sin x cos x sin 2x
⇔ = + ⇔ = +
(
)
2
sin2x sin 2x cos2x 1 sin 2x sin 2x cos2x 1 0
⇔ + = ⇔ + − =
(
)
2
sin 2x cos2x cos 2x 0 cos 2x sin 2x cos2x 0
⇔ − = ⇔ − =
( )
cos2x 0
x k
4
2 cos2x sin 2x 0 k, l
sin 2x 0
4
x l
4
8 2
π
=
= + π
π
⇔ − = ⇔ ⇔ ∈
π
π π
− =
= +
ℤ
.
● Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 họ nghiệm:
( )
x k x l , k, l
4 8 2
π π π
= + π ∨ = + ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Bài 36. Giải phương trình:
( )
2
1 sin2x cos2x
2 sin x sin2x
1 cot x
+ +
= ∗
+
Trí
ch
đề
thi tuy
ể
n sinh Đ
ạ
i
họ
c kh
ố
i A năm 2011
Bài 37. Giải phương trình:
(
)
(
)
tan x cot x 2 sin2x cos2x
+ = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM năm 1998
Bài 38. Giải phương trình:
(
)
2
tan x tan x tan 3x 2
+ = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 24 - www.DeThiThuDaiHoc.com
● Điều kiện:
( )
3
cos x 0
k
cos 3x 0 x , k
cos 3x 4 cos x 3 cos x 0
6 3
≠
π π
⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈
= − ≠
ℤ
.
( ) ( )
sin x sin x sin 3x
tan x tan x tan 3x 2 2
cos x cos x cos 3x
∗ ⇔ + = ⇔ + =
(
)
2
sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2cos x cos 3x
⇔ + =
(
)
2
sin x sin 2x 2cos x cos 3x
⇔ − =
2 2
2sin x cos x 2cos x cos3x
⇔ − =
(
)
2
sin x cos x cos 3x do cos x 0
⇔ − = ≠
( ) ( )
1 1
1 cos2x cos 4x cos2x
2 2
⇔ − − = +
( )
l
cos 4x 1 x , l
4 2
π π
⇔ = − ⇔ = + ∈
ℤ
● So nghiệm với điều kiện:
Cách 1: Khi
l
x
4 2
π π
= +
thì
3 l3 2
cos 3x cos 0
4 2 2
π π
= + = ± ≠
(nhận).
Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung
nào trùng nhau. Do đó:
l
x
4 2
π π
= +
là nghiệm
của
phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian).
Cách 3: Nếu
3 l3
3x k
4 2 2
π π π
= + = + π
thì
3 6l 2 4k 2k 3l 0,5
+ = + ⇔ − =
(vô lí vì
k, l
∈
ℤ
).
Vậy họ nghiệm của phương trình là:
( )
l
x , l
4 2
π π
= + ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
cos x 0
sin x 0 sin 2x 0
sin2x 0
≠
≠ ⇔ ≠
≠
.
( )
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 11 1 1 1 20
1 1 1
3 3
cos x sin x sin 2x cos x sin x 4 sin x cos x
∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =
( )
2 2
2
2 2 2
4 sin x 4 cos x 1 20 5 20 3 1 3
sin 2x 1 cos 4x
3 3 4 2 4
4 sin x cos x sin 2x
+ +
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − =
( )
1 2 k
cos 4x cos x , k
2 3 6 2
π π π
⇔ = − = ⇔ = ± + ∈
ℤ
.
π
/4
π
/6
π
/2
3
π
/4
5
π
/6
7
π
/6
5
π
/4
3
π
/2
7
π
/4
11
π
/6
Bài 39. Giải phương trình:
( )
2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 25 -
● Thay vào nghiệm vào điều kiện, thỏa. Vậy họ nghiệm của phương trình là
( )
k
x , k
6 2
π π
= ± + ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
cos x 0 sin x 1
≠ ⇔ ≠ ±
.
( ) ( )
(
)
(
)
( )
2
2
2 2
1 sin x 1 cos x
1 sin x 1
1 cos x 1 cos x 0 1 cos x 0
2 2 2
cos x 1 sin x
− −
π
∗ ⇔ − − − + = ⇔ − + =
−
( ) ( )
2
1 cos x 1 cos x
1 cos x 0 1 cos x 1 0
1 sin x 1 sin x
− −
⇔ − + = ⇔ + − =
+ +
( )( )
( )
( )
( )
x k2
cos x 1 N
1 cos x cos x sin x 0 k;l
tan x 1 N
x l2
4
= π + π
= −
⇔ + − − = ⇔ ⇔ ∈
π
= −
= − + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
2
cos x 1
sin x 0
sin x 0
2
cos2x 0
2 cos x 1 0
cos x
2
≠ ±
≠
≠
⇔ ⇔
≠
− ≠
≠ ±
Ta có:
cos x sin2x cos2x cos x sin2x sin x cos x
cot x tan 2x
sin x cos2x sin x cos2x sin x cos2x
+
+ = + = =
.
Lúc đó:
( )
2
2 2 2
sin 2x cos x 2 cos x 2
4 cos x 4 cos x 0 cos x 4 0
sin x cos2x cos2x cos 2x
∗ ⇔ = ⇔ − = ⇔ − =
(
)
( )
( )
cos x 0
cos x 0 N
x k
2
k;l
1
1
2
cos2x N
x l
cos2x
2
6
π
=
=
= + π
⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
=
=
= ± + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
sin2x 0
sin 4x 0
cos2x 0
≠
⇔ ≠
≠
.
Ta
có:
2 2 4 4
2 2
2 2 2 2 2
cos x sin x cos x sin x 4 cos2x
cot x tan x
sin x cos x sin x cos x sin 2x
−
− = − = =
.
Bài 40. Giải phương trình:
( )
2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
π
− − = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2003
Bài 41. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
sin2x cot x tan 2x 4 cos x
+ = ∗
Trích đề thi Tuyển Sinh Đại học Mỏ – Địa chất năm 2000
Bài 42. Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
cot x tan x
16 1 cos 4x
cos2x
−
= + ∗
