ĐÁP ÁN CHI TIẾT CỦA BỘ GD ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI D NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐH -CĐ NĂM HỌC 2013
Môn: TOÁN, khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
2 3 ( 1) 1 (1)= − + − +y x mx m x
, m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đường thẳng y = -x +1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình
sin 3 cos2 sin 0
+ − =
x x x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình
2 1
2
2
1
2log log (1 ) log ( 2 2)
2
+ − = − +
x x x x
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
1
2
2
0
( 1)

1
+
+
∫
x
dx
x
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy,
·
0
120=BAD
, M là trung điểm cạnh BC và
·
0
45
=
SMA
. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
1
≤ −
xy y
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
( )
2 2
2
6

3
+ −
= −
+
− +
x y x y
P
x y
x xy y
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm
9 3
;
2 2
 
−
 ÷
 
M
là
trung điểm của cạnh AB, điểm H(-2; 4) và điểm I(-1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.
Câu 8.a (1,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; -1; -2), B(0;1;1) và mặt
phẳng (P): x + y + z - 1 =0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt
phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P).
Câu 9.a (1,0 điểm) Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện

(1 )( ) 2 2
+ − + =
i z i z i
. Tính môđun của số phức
2
2 1− +
=
z z
w
z
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
2 2
( 1) ( 1) 4− + − =x y
và
đường thẳng
: 3 0
∆ − =
y
. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N và P thuộc
∆
,
đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P.
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1; 3; -2) và mặt phẳng (P): x –
2y – 2z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song
với (P).
Câu 9.b(1,0 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2 3 3
( )

1
− +
=
+
x x
f x
x
trên đoạn [0; 2]
Hết
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM CHI TIẾT
1
Câu Nội dung Điểm
Câu 1a
1 điểm
a) m= 1, hàm số thành : y = 2x
3
– 3x
2
+ 1. Tập xác định là R.
y’ = 6x
2
– 6x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1; y(0) = 1; y(1) = 0
lim
x
y
→−∞
= −∞
và
lim
x

y
→+∞
= +∞
0,25
x
−∞ 0 1 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y
1 +∞
−∞ CĐ 0
CT
0,25
Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) ; (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (0; 1)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y(0) = 1; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y(1) = 0
y" = 12x – 6; y” = 0 ⇔ x = 1/2. Điểm uốn I (1/2; 1/2)
0,25
Đồ thị :
0,25
Câu 1b
1 điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
3 2
2 3 0x mx mx− + =
0,25
2
0
( ) 2 3 0 (1)
x
g x x mx m

=

⇔

= − + =

0,25
(d) cắt (C) tại 3 điểm
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
0,25
2
9 8 0
8
0
9
(0) 0

∆ = − >
⇔ ⇔ < ∨ >

= ≠

m m
m m
g m
0,25
Câu 2
1 điểm
:

sin 3 cos 2 sin 0
+ − =
x x x
( )
2cos 2 sin cos 2 0 cos 2 2sin 1 0
⇔ + = ⇔ + =
x x x x x
0,25

cos2 0
⇔ =
x

4 2
⇔ = +
x k
π π
0,25
hay
1
sin
2
= −
x
⇔
2
6
= − +
x k
π

π
hay
7
2
6
= +
x k
π
π
(
∈
k Z
)
0,25
4 2
⇔ = +
x k
π π
hay
2
6
= − +
x k
π
π
hay
7
2
6
= +

x k
π
π
(
∈
k Z
)
0,25
2
0
1
1
x
y
Câu 3
1 điểm
Giải phương trình
2 1
2
2
1
2log log (1 ) log ( 2 2)
2
+ − = − +
x x x x
Đk : 0 < x < 1
Pt
( ) ( )
2
2

1 1 1 (*)
 
⇔ = − − +
 
 
x x x
0,25
Đặt
1
= −
t x
(0< t < 1)
(*) thành
( )
( )
4
2 4 3 2
1 1 5 6 5 1 0
− = + ⇔ − + − + =
t t t t t t t
0,25
2
2
1 1
5 6 0 (**)
   
⇔ + − + + =
 ÷  ÷
   
t t

t t
Đặt
( )
1
2
= + >
u t u
t

(**) thành
2
5 4 0 4
− + = ⇔ =
u u u
(vì u>2)
Vậy
2
1
4 4 1 0 2 3
+ = ⇔ − + = ⇔ = −
t t t t
t
vì (0 < t < 1)
0,25
Nghĩa là
1 2 3 3 1 4 2 3x x x− = − ⇔ = − ⇔ = −

0,25
Câu 4
1 điểm

1 1
2
2 2
0 0
1 2 2
1
1 1
+ +
 
= = +
 ÷
+ +
 
∫ ∫
x x x
I dx dx
x x
0,25
1 1
2
0 0
2
1
xdx
dx
x
= +
+
∫ ∫
0,25

( )
1
2
0
1 ln 1 x
 
= + +
 
0,25
1 ln 2= +
0,25
Câu 5
1 điểm
Tam giác ABC là tam giác đều, tam giác SMA vuông cân tại A
3
2
= =
a
AM SA
0,25
V=
3
1 3 3
. .
3 2 2 4
 
=
 
 
a a

a a
0,25
Vì AD// BC nên
0,25
3
B
S
A
D
M
C
I
d(D, (SBC))= d(A, (SBC))
=
1 1 3 6
2
2 2 2 4
= =
a a
SM
0,25
Câu 6
1 điểm
2
2
1 1 1 1 1 1
1
2 4 4
 
≤ − ⇔ ≤ − = − − + ≤

 ÷
 
x
xy y
y y y y
2 2 2
1 2
2
6( )
3
6 1
3
+ −
+ −
= − = −
+
 
− +
 
+
 ÷
− +
 ÷
 
 
x x
x y x y
y y
P
x y

x
x xy y
x x
y
y y
Đặt
=
x
t
y
, điều kiện
1
0
4
< ≤
t
2
1 2
6( 1)
3
+ −
= −
+
− +
t t
P
t
t t
0,25
Xét

( )
2
1 2
6( 1)
3
+ −
= −
+
− +
t t
f t
t
t t
với
1
0
4
< ≤
t
( )
( )
2
3
2
3 7 1
( )
2 1
2 3
− +
′

= −
+
− +
t
f t
t
t t
0,25
( )
( )
2
3
2
1 3 7 8 5 1 1
0; : ,
4 27 2
2 1
2 3
t
t
t
t t
− +
 
∀ ∈ ≥ <


 
+
− +

1
'( ) 0 0;
4
 
⇒ > ∀ ∈


 
f t t

⇒
f
đồng biến trên
1
0;
4
 


 

1 7 10 5
( )
4 30
+
 
⇒ ≤ =
 ÷
 
f t f

0,25
Vậy
max
7 10 5
30
+
=
P
khi
1
2
=
x
,
2
=
y
0,25
Câu 7a
1 điểm
Đường thẳng AB đi qua M có vectơ pháp tuyến
1
(7; 1)
2
IM
= − −
uuur
nên có phương trình:
7 33 0
− + =

x y
.
0,25
Gọi B(b; 7b + 33). M là trung điểm AB ⇒ tọa độ A :
9
3 (7 33) 7 30
= − −


= − + = − −

A
A
x b
y b b
(7 ;34 7 ) ( 2 ; 29 7 )
= + + ⊥ = − − − −
AH b b BH b b
uuur uuur
2
9 20 0
5 4
⇒ + + =
⇒ = − = −
b b
b hay b
0,25
Vậy B(-5; -2) và A (-4; 5) (hay B(-4; 5) và A (-5; -2))
Phương trình AH là:
2 6 0

+ − =
x y
. Gọi C (6 - 2c;c)
∈
AH.
Do
2 2 2
5 30 25 0 1 5
= ⇔ − + = ⇔ = ∨ =
IB IC c c c c
(loại)
0,25
4
Vậy C(4; 1)
0,25
Câu 8a
1 điểm
. Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P)
1 1 2
:
1 1 1
+ + +
⇒ = =
x y z
d
0,25
Gọi H là hình chiếu của A trên (P)
2 2 1
( ) ; ;
3 3 3

 
⇒ = ∩ ⇒ −
 ÷
 
H d P H
0,25
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm thì (Q) đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là
( )
, ( 1;2; 1)
 
= = − −
 
P
n AB n
r uuur uuur
0,25
Vậy
( ): 2 1 0
− + + =
Q x y z
0,25
Câu 9a
1 điểm
(1 + i)(z – i) + 2z = 2i
⇔
(3 + i)z = -1 + 3i .
0,25
1 3
3
i

z i
i
− +
⇔ = =
+
0,25
Ta có:
2 2
2 1 2 1
1 3
− + − − +
= = = − +
z z i i
w i
z i

0,25
10
⇒ =
w
0,25
Câu 7b
1 điểm
(C) có tâm I(1;1), R=2.
Do
( , )
∆ = ⇒ ∆
d I R
tiếp xúc (C) tại T
Do I là trực tâm tam giác PMN nên MI vuông góc

∆
1⇒ = =
M I
x x
Mà M thuộc (C) nên M(1; -1)
0,25
Gọi J là trung điểm MN suy ra IJ là đường trung bình của tam giác MTN
1⇒ = =
I J
y y
Mà J thuộc (C) nên J(3; 1) hay J(-1; 1)
0,25
Nếu J(3;1) thì N(5;3)
Gọi P(t;3) thuộc
∆
. Ta có
1 ( 1;3)
⊥ ⇒ = − ⇒ −
NI MP t P
uur uuur

0,25
Nếu J(-1;1) thì N(-3;3)
Gọi P(t;3) thuộc
∆
. Ta có
3 (3;3)
⊥ ⇒ = ⇒
NI MP t P
uur uuur

0,25
Câu 8b
1 điểm
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P):
( )
( )
1 6 4 5
2
,
3
1 4 4
− − + +
= =
+ +
d A P
0,5
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm
⇒
(Q) đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là
( )
1; 2; 2
= − −
n
r
0,25
⇒
(Q): x – 2y – 2z +3 = 0.
0,25
5

Câu 9b
1 điểm
2
2
2 4 6
( )
( 1)
+ −
′
=
+
x x
f x
x
0,25
( ) 0 1
′
= ⇔ =
f x x
hay x = -3 (loại) 0,25
f(0) = 3, f(2) = 5/3, f(1) = 1
0,25
Vì f liên tục trên [0; 2] nên
[0;2]
max ( ) 3
=
f x
và
[0;2]
min ( ) 1

=
f x
0,25
Hết
TRUNG TÂM LUYÊN THI ĐẠI HỌC THẦY HOÀNG BÍNH ĐT: 0982238353
Đ/C 247B - ĐƯỜNG LÊ DUẨN - TP VINH - NGHỆ AN
THÔNG BÁO
KHAI GIẢNG: LỚP TOÁN 11 LÊN 12 VÀO 17H NGÀY 13/7/2013 VÀ 17H NGÀY 15/7/2013
KHAI GIẢNG: LIÊN TỤC CÁC LỚP TOÁN 10, 11, 12 DO CÁC EM TỰ TỔ CHỨC
KHAI GIẢNG: LỚP TOÁN 13 VÀO NGÀY 5/9 HÀNG NĂM
6