BÀI TẬP CHUỖI LŨY THỪA

BÀI TẬP CHUỖI LŨY THỪA
Bài tập
1. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi sau:
( )
2
3
2
2
2 1
)
n
n
n
n
n
a x
n n
∞
=
+ −

−
∑
( )
( )
( )
1
0
1
) 2
2 !!

n
n
n
b x
n
∞
+
=
−
−
∑
( )
1
1
1
) 1 1
n
n
n
c x
n
∞
−
=
 
− −
 ÷
 
∑
2

1
)
3 .
n
n
n
x
d
n
∞
=

∑
( )
2
1
2
) 1
8 3ln
n
n
n
n
e x
n
∞
+
=
+
+

∑
2
2 3 1
2
1
)
2
n n
n
n
n
f x
n
− +
∞
=
−
 

 ÷
+
 
∑
Hướng dẫn
( )
2
3
2
2
2 1

)
n
n
n
n
n
a x
n n
∞
=
+ −

−
∑
2/3 1/2
1
lim lim
| |
1
2 1
2
n
n
n n
n
n
n
n n
R
a

→∞ →∞
−
= =
 
+ −
 ÷
 
2
1
/3 1 2
/
/
1
lim
2
1
2 1
2
n
n
n
n
n n
→∞
−
= =
 
 
+ −
 

 ÷
 
 
 
( )
( )
( )
1
0
1
2
!!
)
2
n
n
n
x
n
b
∞
+
=

−
−
∑
( )
( )
1

2 2 !!
1
lim lim .
2 !!
n
n n
n
n
a n
R
a n n
→∞ →∞
+
+
−
= =
( )
1
= lim . 2 2
n
n
n
n
→∞
−
+ = +∞
( )
1
1
2

) 1 1
n
n
n
c x
n
∞
−
=
 
− −
 ÷
 
∑
2
1
)
3 .
n
n
n
x
d
n
∞
=

∑
2
1

n
n
n
a x
∞
=
=
∑
1
lim
n
n
n
R
a
→∞
=
lim3
n
n
n
→∞
=
3=
1
2 1
lim lim . 1
1
n
n n

n
a n n
R
a n n
→∞ →∞
+
− +
= = =
−
1
2
1 8 3ln
lim lim
n
n
n
n n
n
n
n
R
a
n
+
→∞ →∞
+
= =
( )
2
1

2
1
8 3ln
)
n
n
n
n
x
n
e
∞
+
=
+
+

∑
1/
2
ln
8 8 3
8
lim
n
n
n
n
n
n

→∞
 
+
 ÷
 
=
0
8.8
8
1
= =
2
2 3 1
2
1
)
2
n n
n
n
n
x
n
f
− +
∞
=
−
 
 ÷

+
 

∑
2
2 3 1
2
lim
1
n n
n
n
n
n
− +
→∞
+
 
=
 ÷
−
 
1
lim
n
n
n
R
a
→∞

=
2
2 3 1
3
lim 1
1
n n
n
n
n
− +
→∞
 
= +
 ÷
−
 
2
3 2 3 1
.
1
1
3
3
lim 1
1
n n
n
n n
n

n
− +
−
−
→∞
 
 
 
= +
 ÷
 
−
 
 
6
e=
2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:
( )
( )
0
1
)
2 5 .3
n
n
n
n
x
a
n

∞
=
−

+
∑
( )
1
3
) 1
2 1
n
n
n
n
b x
n
∞
=
+
 
−
 ÷
+
 
∑
( )
2
0
) 2 5

n
n
n
c x
∞
=
+
∑
1
2
1
2 3
)
3
n n
n
n
n
d x
n
∞
+
=
 
+
 ÷
 
∑
( )
( )

2
1
8
)
!
n
n
n
x
e
n
∞
=
−

∑
Hướng dẫn
( )
( )
1
1
2 3
)
5 .
n
n
n
n
a
x

n
∞
=
−
+

∑
Khoảng hội tụ:
( )
3,3−
3x = −
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 3
1
2 5 .3 2 5
n n
n
n n
n n
∞ ∞
= =
− −
=
+ +
∑ ∑
Chuỗi phân kỳ vì cùng bản chất với
1/2
1

1
n
n
∞
=
∑
3R =
( )
( )
( )
( )
1 1
1 3 1
2 5 .3 2 5
n n
n
n
n n
n n
∞ ∞
= =
− −
=
+ +
∑ ∑
( )
( )
1
1
2 5 .3

n
n
n
n
x
n
∞
=
−
+
∑
3x =
( )
1
0
2 5
n
a
n
= ↓
+
Chuỗi đan dấu với
Chuỗi ht theo tc Leibnitz.
(
]
: 3,3MHT D = −
( )
1
3
1

2 1
)
n
n
n
n
n
b x
∞
=
+
 
−
 ÷
+
 

∑
2R =
1x = −
Khoảng hội tụ:
( ) ( )
1 2,1 2 1,3− + = −
( ) ( )
1 1 1
3 2 6
2 1
2 1 2 1
n n
n n

n
n n n
n n
a
n n
∞ ∞ ∞
= = =
+ +
   
− = − =
 ÷  ÷
+ +
   
∑ ∑ ∑
2 6 5
1
2 1 2 1
n n
n
n n
+
   
= +
 ÷  ÷
+ +
   
5
.
2 1
2 1

5
5
1
2 1
n
n
n
n
+
+
 
 
 
= +
 ÷
 
+
 
 
5/2
n
e
→∞
→
( ) ( )
1 1 1
3 2 6
2 1
2 1 2 1
n n

n n
n
n n n
n n
a
n n
∞ ∞ ∞
= = =
+ +
   
− = − =
 ÷  ÷
+ +
   
∑ ∑ ∑
0
n
a⇒ →
Chuỗi pk theo đk cần
3x =
1 1 1
3 2 6
2
2 1 2 1
n n
n
n
n n n
n n
a

n n
∞ ∞ ∞
= = =
+ +
   
= =
 ÷  ÷
+ +
   
∑ ∑ ∑
( )
1
3
1
2 1
n
n
n
n
x
n
∞
=
+
 
−
 ÷
+
 
∑

0
n
a⇒ →
Chuỗi pk theo đk cần
( )
: 1,3MHT D = −
( )
2
0
) 2 5
n
n
n
c x
∞
=
+
∑
0R =
Chuỗi chỉ hội tụ tại:
5x = −
1
2
1
2
)
3
3
n n
n

n
n
x
n
d
∞
+
=
 
+
 ÷
 

∑
2
1
2
1
2 . 9
3 .
n n
n
n
n
n
x
n
∞
+
=

 
+
=
 ÷
 
∑
1
3
R =
1
3
x = −
2
2
1
2 . 9 1
3 . 3
n
n n
n
n
n
n
∞
=
+
 
−
 ÷
 

∑
( )
2
1
1
2
9
n
n
n
n
∞
=
 
−
 
= − +
 
 ÷
 
 
 
∑
HT HT HT
1
3
x =
2
2
1

2 . 9 1
3 . 3
n
n n
n
n
n
n
∞
=
+
 
 ÷
 
∑
2
1
2 1
9
n
n
n
∞
=
 
 
= +
 
 ÷
 

 
 
∑
HT HT
HT
1 1
: ,
3 3
MHT D
 
= −
 
 
( )
( )
2
1
8
)
!
n
n
n
x
e
n
∞
=
−

∑
R = +∞
( )
: ,MHT D = −∞ +∞
3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau:
( )
2
) sina f x x =
( )
( )
2
2
)
1
x
b f x
x
=
−
( ) ( ) ( )
) 2 ln 1 2c f x x x = − −
( )
2
)
3
x
d f x
x
=
+

Hướng dẫn
( )
2
s) infa x x=
( )
1
1 cos2
2
x= −
( )
( )
( )
2
2
0
2
1 1
1
2 2 2 !
n
n
x
n
∞
=
 
= − −
 ÷
 ÷
 

∑
( )
( )
2
2
)
1
x
fb x
x
=
−

( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 3
2 3 2 3 4
2 1 2
2! 3!
x x x x
 
− − − − −
= − − + − + − +
 
 
L
( )

( )
2 3
2 1 2 3 4 1
n
x x x x n x= + + + + + + +L L
( )
1,1x− ∈ −
ĐKKT:
( ) ( ) ( )
2 ln 1 2) xc f x x= − −
( ) ( )
( )
1
1
2
2 1
n
n
n
x
x
n
∞
−
=
−
= − −
∑
( )
1 1

1
1
2 2
n n n n
n
x x
n
∞
+ +
=
= − +
∑
1
1
2
n
n
n
x
n
+
∞
=
−
=
∑
1
2
2
1

n n
n
x
n
−
∞
=
+
−
∑
1 2 1x− < − ≤
4. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau:
( )
0
1
) , 3
1
a f x x
x
= =
−
( )
) sin ,
2
b f x x x
π
= =
( )
) arctan ,
4 4

c f x x x
π π
 
= − =
 ÷
 
4. Tính tổng của các chuỗi lũy thừa sau:
( ) ( )
( )
1
1) , 1,1
1 2
∞
=
∈ −
+ +
∑
n
n
x
x
n n n
( )
1
1
3
2)
( 1)!
−
∞

=
+

+
∑
n
n
n x
n
Hướng dẫn
( ) ( )
( )
1
, 1,
2
1 1)
1
∞
=
∈ −
+ +

∑
n
n
x
x
n n n
( )
1

1 1 1 1 1
. .
2 1 2 2
∞
=
 
= − +
 ÷
+ +
 
∑
n
n
S x x
n n n
1 1 1
1 1
2 1 2 2
∞ ∞ ∞
= = =
= − +
+ +
∑ ∑ ∑
n n n
n n n
x x x
n n n
( ) ( ) { }
1 2
2

1 1
1 1 1 1
ln 1 . , 1,1 \ 0
2 1 2 2
+ +
∞ ∞
= =
= − − − + ∈ −
+ +
∑ ∑
n n
n n
x x
x x
x n x n
( ) ( ) { }
1 2
2
1 1
1 1 1 1
ln 1 . , 1,1 \ 0
2 1 2 2
+ +
∞ ∞
= =
= − − − + ∈ −
+ +
∑ ∑
n n
n n

x x
x x
x n x n
( ) ( )
1 1
ln 1 ln 1
2
 
= − − − − − −
 
x x x
x
( ) ( ) { }
2
2 2
1 1 1
ln 1 , 1,1 \ 0
2 2
∞ ∞
= =
= − − − + ∈ −
∑ ∑
n n
n n
x x
x x
x n x n
( ) ( ) { }
2
2

1
ln 1 , 1,1 \ 0
2 2
 
+ − − − − ∈ −
 
 
x
x x x
x