Bài tập Casio:Lũy thừa (Hay)

Dạng 3.3: Luỹ thừa
A - Tìm số d :
Bài 3.3A.1:
a)Tìm số d khi chia 2006
10
cho 2000 .
b) Tìm số d trong phép chia A = 3
8
+ 3
6
+ 3
2004
cho 91.
Bài 3.3A.2: Tìm số d khi chia 2945
5
- 3 cho 9
Bài 3.3 A.3: Tìm số d khi chia (1997
1998
+1998
1999
+ 1999
2000
)
10
cho 111
Bài 3.3 A.4: Tìm số d khi chia 1532
5
- 1 cho 9
Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số d khi chia 10! cho 11
2) Tìm số d khi chia 1776
2003

cho 4000 .
Bài 3.3 A.6: a) Tìm số d khi chia 13! cho 11
b) Tìm số d trong phép chia: 7
15
: 2001
Bài 3.3 A.7: Tìm số d khi chia 5
70
+ 7
50
cho 12
Bài 3.3 A.8: Tìm số d khi chia
100
2
51200
cho 41
Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có:
51200
41

51200(mod 41)

32(mod 41)
Mặt khác:2
1

2(mod 41) , 2
2

4(mod 41) , 2
3

8(mod 41) , 2
4

16(mod 41) , 2
5

32(mod 41) , 2
6

23(mod 41) , 2
7

5(mod 41)

2
100
= 2
14.7+2
= (2
7
)
14
.2
2


(5)
14
.2

2
(mod 41)
Ta có:5
2


25(mod 41) , 5
3


2(mod 41)


5
14
= 5
3.4 +2
=(5
3
)
4
.5
2


2
4
.5
2
(mod 41)

31(mod 41)
Nên: 2
100


(5)
14
.2
2
(mod 41)

31.2
2
(mod 41)

1(mod 41)
ABC

V
2
100
= 41q +1 (q

N)
Vậy:
100
2
51200
=51200

41q +1
= (51200
41
)
q
.51200

(32)
q
.51200(mod 41)

(32)
q
.32(mod 41)

(32)
q+1
(mod 41) (q

N)
Cách này không ra!
Cách khác:Ta có:51200
40


1(mod 41) ,51200

32(mod 41)
Mà: 2
2

-1(mod5)

(2
2
)
48


1 (mod5)


(2
2
)
48
.2

1.2 (mod5)


2
97

2 (mod5)


2
97

.2
3

2.2
3
(mod5.2
3
)


2
100

16 (mod 40)
Nên: 2
100
= 40q +16
Cho nên:
100
2
51200
=51200
40q +16
= (51200
40
)
q
.51200
16

32
16
(mod 41)
Mà: 32
16
= 2
80
= (2
40
)
2


1(mod 41)
Vậy:
100
2
51200


1(mod 41)
Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số d khi chia (5
15
+ 1) cho (2
12
+1)
b) Hãy tìm số d r .
Bài 3.3 A.10: Tính phần d của các số 7
0

; 7
1
; 7
2
; 7
3
; 7
4
; 7
5
; 7
6
; 7
7
; 7
8
; 7
9
; 7
10
; 7
11
khi chia cho 13
và điền vào bảng sau:
7
0
7
1
7
2

7
3
7
4
7
5
7
6
7
7
7
8
7
9
7
10
7
11
Số d
Bài 3.3 A.11:
a) Tìm số d khi chia 1997
2008
cho 2003
b/ Tìm số d khi chia 1997
2001
cho 2003
c/ Tìm số d khi chia 2
100
cho 100
d/ Tìm số d khi chia 9

100
cho 100
e/ Tìm số d khi chia 11
201
cho 100
Bài 3.3 A.12: Tìm số d khi chia 102007
200708
cho 111007
B - Chứng minh chia hết:
Bài 3.3B.1:
1) Chứng minh rằng: 4
2n+1
+ 3
n+2


13 .
2) Chứng minh rằng với bất kì số nguyên dơng n thì biểu thức:
[7.5
2n
+ 12.6
n
]

19
Bài 3.3B.2:
a/ Chứng minh rằng: 2
4n
- 1

15
b/ Chứng minh rằng: 69
69
+19
19

44
Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 1890
1930
+ 1945
1975

7
b) 19
2007
+13
2004

5
Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220
69
119
+ 119
220
69
+69
119
220

102

Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng:
a) 2
5n
- 1

31 b) (n
2
+ n - 1)
2
- 1

24
Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: 2
5
2
+ 1

461
Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng:
a) 1
n
+ 2
n
+ 3
n
+...+ m
n


0 (mod m ) .

b) A = n
8
- n
6
- n
4
+ n
2
chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ.
c) B = 9n
3
+ 9n
2
+ 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n.
B i 3.3 B.8: Chng minh rng: 2222
5555
+ 5555
2222


7
Giải: Ta có:2222

3(mod7) , 5555

4(mod7)
Mặt khác:2222
6

1(mod7) , 5555 = 5(mod6)

5555 = 6q +5 (q

N) nên 2222
5555
= 2222
6q +5
= (2222
6
)
q
.2222
5


3(mod7)
Tơng tự: 5555
2222


4(mod7)
Vậy: 2222
5555
+ 5555
2222


7(mod7)

0(mod7)

đpcm
B i 3.3 B.9: Chng minh rng:

n

N
*
ta có:
a)
2 2
4 2 1 7
n n
+ +
b)
2
2 15 1 9
n
n+
Giải:a) Với n = 1 thì:
1 1
2 2 2 2
4 2 1 4 2 1 21 7
n n
+ + = + + =
Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k

N , k

1) tức là:
2 2
4 2 1 7
k k
+ +

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là:
1 1
2 2
4 2 1 7
k k+ +
+ +
Thật vậy:
1
2
4
k+

2 nếu k chẵn và

4 nếu k lẻ

1
2
2
k+

4 nếu k chẵn và

2 nếu k lẻ

Vậy:
1 1
2 2
4 2 1 7
k k+ +
+ +
với
*
k

đpcm
Bài 3.3 B.10: CMR:
a)
2 1
2
2
n+
+3

7 b)
10 1
2
2 19 23
n+
+
c)
6 2
2
2 21 37
n+

+
Giải: c) Ta có:2
36


1 (mod 37)
Mà: 2
6


1(mod 9) nên:(2
6
)
n


1(mod 9)

(2
6
)
n
.2
2

1.2
2
(mod9. 2
2
)

2
6n +2

4 (mod36)

2
6n +2
=36q +4 (q

N)
Nên:
6 2
2
2
n+
= 2
36q+ 4
=(2
36
)
q
.2
4


16 (mod 37)
Vậy:
6 4
2

2 21 16 21(mod37) 0(mod37)
n
dpcm
+
+ +
Bài 3.3 B.11: Số 3
12
- 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó.
Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng:
a/2001
2004
+ 2003
2006


10
b/ 7 + 7
2
+ 7
3
+ +7
2008


400
Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dơng n thì :
3
n+2
- 2
n+2

+3
n
- 2
n


10
C - Số tận cùng:
Ta có:
4 3 2 1
.10 .10 .10 .10abcde a b c d e= + + + +
Cho nên:
- Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng d mod 10
1
- Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 10
2
- Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 10
3
- Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 10
n
Bài 3.3C. 1:
a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:9
9
9
b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 14
14
14
c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 5
21
Bài 3.3 C. 2: Tìm chữ số tận cùng của số:2

4
3
Bài 3.3 C. 3: Tìm chữ số tận cùng của số:14
14
14
Giải:Ta có:14

4(mod 10)
Mà: 14

- 1 (mod 5)

14
13


- 1 (mod 5)


14
13
.7

- 1.7 (mod 5)


14
13
.7 .2

- 1.7.2 (mod 5.2)


14
14

- 14 (mod 10)

6 (mod 10)
Nên: 14
14
=10q +6 (q

N)
Vậy: 14
14
14
= 14
10q +6
= 14
(5q+3).2
= (14
5q +3
)
2
Vì : q

N nên 14
5q +3
luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6

Do đó: (14
5q +3
)
2
luôn có chữ số hàng đơn vị là 6
Cách 2: Ta có:14
2


6 (mod 10)
Nên: (14
2
)
7


6
7
(mod 10)

6 (mod 10)

14
14
= 10 q +6 (q

N)


14

14
14
= 14
10q
+6 = (14
2
)
5q
.14
6


6. 14
6
(mod 10)


6. (14
2
)
3
(mod 10)


6. 6
3
(mod 10)


6

4
(mod 10)


6 (mod 10)
Vậy: Chữ số tận cùng là 6.
Bài 3.3 C. 4: Tìm 2,3,4,5, 6 chữ số tận cùng của số:5
21
HD: 5
21
=5
14
.5
4
.5
3


203125 (mod 10
6
)
Bài 3.3 C. 5: Tìm 8 chữ số tận cùng của số:5
1995
Bài 3.3 C. 6: a) Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9
9
9
b)Tìm 2 chữ số tận cùng của:
9
9
9

11
Giải: a) Vì 100 = 2
2
.5
2
nên:
(100)
1 1
100(1 )(1 ) 40
2 5
= =
Ta có: 9
40


1(mod 100)
Mặt khác: 9
2


1(mod 40)

⇒
(9
2
)
4

≡
1(mod 40)

⇒
(9
2
)
4
.9
≡
1.9(mod 40)

⇒
9
9
= 40q + 9 (q
∈
N)
VËy: 9
9
9
= 9
40q + 9
= (9
40
)
q
.9
9

≡
9

9
(mod 100)
≡
89 (mod 100)
KL: Hai ch÷ sè tËn cïng cña 9
9
9
lµ:89
b) Ta cã: 9
9
9
≡
89 (mod 100) nªn 9
9
9
= 100k + 89 (k
∈
N)
⇒

9
9
9
11
= 11
100k + 89
= (11
100
)
k

.11
89
mµ 11
5

≡
51(mod 100)

⇒
(11
5
)
2

≡
1(mod 100)

⇒
(11
10
)
10

≡
1(mod 100)

⇒
11
100

≡
1(mod 100)
Nªn:
9
9
9
11

≡
11
89
(mod 100)
≡
11
40.2+9
(mod 100)
≡
(11
40
)
2
.11
9
(mod 100)

≡
11
9
(mod 100)

≡
91 (mod 100)
KL: Hai ch÷ sè tËn cïng cña
9
9
9
11
lµ: 91
Bµi 3.3 C. 7: T×m ch÷ sè tËn cïng cña 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+...+ 2004
8009
Bµi 3.3 C. 8: T×m sè tËn cïng cña c¸c sè: 6
713
vµ 2
1000
Bµi 3.3 C. 9: T×m hai sè tËn cïng cña sè: 2
1999
+ 2
2000
+ 2
2001
Bµi 3.3 C.10: T×m hai sè tËn cïng cña sè:2
999
.
Bµi 3.3 C.11: T×m 3 sè tËn cïng cña sè:

2010
70 2011
8 90
1 1
4 5
22 19A = +
Bµi 3.3 C.12: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè:20072008
20072008
.
Bµi 3.3 C.13: T×m hai sè tËn cïng cña sè:
9
9 9
9 9
9 9+
Bµi 3.3 C.14: T×m hai sè tËn cïng cña sè:101
2
+ 102
3
+103
4
+104
5
.