De thi và đáp án Toán 10 tỉnh Thanh HÓA

Đáp án: Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT tỉnh thanh hóa
Năm học 2013-2014 (Đề B)
Trình bày lời giải: Lê Thanh Bình Trờng THPT Tĩnh Gia 1
Câu 1:

1) Cho phơng trình
2
2 3 0
x x
+ =
với các hệ số
1; 2; 3
a b c
= = =
.
a) Tính tổng:
S a b c
= + +
b) Giải phơng trình trên.
2) Giải hệ phơng trình
3 2
2 3 4
x y
x y
=


+ =

.
Giải:

a)
1 2 3 0
S a b c
= + + = + =
b) Suy ra phơng trình có nghiệm
1
1
x
=
và
2
3
c
x
a
= =
.
2) Ta có
3 2 3 6 2
2 3 4 2 2 0
x y x x
x y x y y
= = =



+ = = =

. Vậy nghiệm của hệ là

(
)
(
)
; 2;0
x y = .
Câu 2: Cho biểu thức
1
1 1
:
1 2 1
y
Q
y y y y y

+
= +


+

với
0; 1
y y
>

a) Rút gọn biểu thức
Q
. b) Tính giá trị của
Q

khi
3 2 2
y =
.
Giải:

a) Ta có
( ) ( ) ( )
(
)
2
1
2 1 1 1
1 1
. . 1
1 1
1 1 1
y
y y y y y
Q
y y y y
y y y y y y



+ +

= + = = =

+ +




b) Ta có
(
)
2
3 2 2 2 1 2 1
y y
= = =
. Vậy
1 1 2 2
1 1 2
2 1 2 1
Q
y

= = = =

.
Câu 3
: Cho đờng thẳng
: 2 1
d y bx
= +
và parabol
(

)
2
: 2
P y x
=
.
a) Tìm
b
để
d
đi qua
(
)
1;5
B
.
b) Tìm
b
để đờng thẳng
d
cắt parabol
(
)
P
tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lợt
là
1 2
,
x x
thỏa mn điều kiện

(
)
2 2
1 2 1 2
4 4 0
x x x x
+ + + + =
.
Giải:

a) Ta có
d
đi qua
(
)
1;5
B

5 2 1 2
b b
= + =
.
b) Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của phơng trình:
(
)
2 2
2 2 1 2 2 1 0 1
x bx x bx = + + + =
.
Để

d
cắt parabol
(
)
P
tại hai điểm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x

( )
2
2
' 0 2 0 *
2
b
b
b

>
> >

<



Khi đó hai nghiệm
1 2
,
x x

của (1) thỏa mn hệ thức Vi ét:
1 2
1 2
1
2
x x b
x x
+ =



=



Ta có
( ) ( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4 0 2 4 4 0
x x x x x x x x x x
+ + + + = + + + + =

2 2
1
1 4 4 0 4 3 0
3
b
b b b b

b
=

+ = + =

=

.
Kết hợp điều kiện (*) ta đợc
3
b
=
.
Câu 4
: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính EF. Bán kính IO vuông góc với EF, gọi J là
điểm bất kỳ trên cung nhỏ EI (J khác E và I), FJ cắt EI tại L, kẻ LS vuông góc với EF (S
thuộc EF).
a) Chứng minh tứ giác IFSL nội tiếp.
b) Trên đoạn thẳng FJ lấy điểm N sao cho FN=EJ. Chứng minh rằng, tam giác IJN
vuông cân.
c) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại E. Lấy D là điểm nằm trên d sao cho hai điểm D và I
nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng EF và
. .
ED JF JE OF
=
. Chứng minh
rằng đờng thẳng FD đi qua trung điểm của đoạn thẳng LS.
Giải:

a) Vì I thuộc (O) nên

0
90
EIF =
. Vì
LS EF

nên

0
90
LSF =
.
Từ đó suy ra


0
180
EIF LSF+ =
, do đó tứ giác IFSL nội tiếp.
b) Ta có
IO EF

nên tam giác IEF là tam giác vuông cân
tại I. Suy ra IE=IF (1).
Ta lại có


IEJ IFJ
=

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

IJ
) (2)
Theo giả thiết ta có FN=EJ (3)
Từ (1), (2) , (3) suy ra
IEJ IFN
=
(c-g-c).
Do đó IJ=IN (4) và


EIJ FIN
=
.
Suy ra






0
90
JIN EIJ EIN FIN EIN EIF= + = + = =
(5)
Từ (4) và (5) suy ra tam giác IJN vuông cân tại I.
c) Đặt
(
)

0
SE x x R
= < <
. Ta có tam giác LES vuông cân tại S nên
LS x
=
.
Gọi H là giao điểm của FD và LS. Vì D và L nằm cùng phía đối với EF nên H và L nằm
cùng phía đối với S.
Ta có
FHS FDE


(g-g) nên
2 2
.
2 2
HS SF R x R x
HS DE
DE EF R R

= = =
(6)
Theo giả thiết
. .
ED JE
ED JF JE OF
OF JF
= =
(7).

Ta lại có
FLS FEJ


(g-g) suy ra
LS JE
FS JF
=
(8).
Từ (7) và (8) suy ra
2 2
ED LS ED x xR
ED
OF FS R R x R x
= = =

(9).
Từ (6) và (9) suy ra
2
.
2 2 2 2
R x xR x LS
HS
R R x

= = =

. Do đó H là trung điểm của đoạn LS.
Câu 5
: Cho

, , 0
a b c
>
thỏa mn
3
ab bc ca
+ +
. CMR:
4 4 4
3
3 3 3 4
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
.
Giải:

Theo bđt Cô si ta có
( ) ( ) ( )
[ ]
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 2 3
2 2
a b c a b b c c a ab bc ca ab bc ca

+ + = + + + + + + + = + +

Mặt khác theo bđt Bunhiacopxki ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
a b c a b c a b c
+ + + + + + = + +
.
Lại theo bđt Bunhiacopxki ta có:
( )
4 4 4
4
3 3 3
a b c
a b c
b c c a a b

+ + + + =

+ + +


( ) ( ) ( )

4 4 4
3 3 3
3 3 3
a b c
b c c a a b
b c c a a b


= + + + + + + +


+ + +

(
)
2
2 2 2
a b c
+ +
.
( )
( )
( )
( )
( )
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 3
2 2 2
1 1 3 3

3 3 3 4 4 3 4 3 4
4 3
a b c a b c a b c
a b c
b c c a a b a b c
a b c
+ + + + + +
+ + = =
+ + + + +
+ +

Đẳng thức xảy ra
1
a b c
= = =
. (Điều phải chứng minh)

Tĩnh Gia, ngày 12 tháng 7 năm 2013
Lê Thanh Bình
d
H
D
S
L
I
E
O
F
J
N