Đề thi và đáp án Toán 12CB - HK1

đề kiểm tra học kỳ i nĂM HọC 2008 - 2009
môn toán - Khối 12 (Chơng trình chuẩn)
Thời gian: 90
Câu 1 (3,5 điểm): Cho hàm số
3 2
1
y x x
3
=
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại A(3; 0)
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình
3 2
1
x x m 1 0
3
+ + =
Câu 2 (1 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3 2
y x 3x 9x 2= + +
trên đoạn
[ ]
2;2
Câu 3 (2,5 điểm): Giải các phơng trình sau
a)
2x 1 x
3 9.3 6 0
+
+ =

b)
x x 1
2 2
log (2 1).log (2 2) 2
+
+ + =
Câu 4 (3 điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đợc tạo thành khi quay đờng
gấp khúc SCA quanh cạnh SA
---------------------------------------------------------
đáp án và biểu điểm
đề kiểm tra học kỳ i nĂM HọC 2008 - 2009
môn toán - Khối 12 (Chơng trình chuẩn)
Đáp án Biểu điểm
Câu 1: Cho hàm số
3 2
1
y x x
3
=
có đồ thị (C)
3,5đ
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2đ
1. TXĐ:
Ă
0,25
2. Sự biến thiên
a) Chiều biến thiên

2
y' x 2x=
;
2
x 0
y' 0 x 2x 0
x 2
=

= =

=

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y' 0 x ;0 2; HS ;0 2;
y' 0 x 0;2 HSN 0;2
ĐB trên
B trên
> + +
<
0,25
0,25
b) Cực trị
CT CT
C C
4
x 2 y
3
x 0 y 0

Đ Đ
= =
= =
0,25
c) Giới hạn tại vô cực
x x
lim y lim y
+
= ; = +
0,25
d) Bảng biến thiên
x

0 2

+
y + 0 - 0 +
y

0

4
3


+
0,25
3. Đồ thị
Giao với trục Ox: (0;0) và (3;0)
0,5

b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại A(3; 0) 0,5đ
-4 -2 2 4 6 8
-4
-2
2
4
x
y
4
3

O
( )
d
( )
C
3
( )
y' 3 3=
Phơng trình tiếp tuyến tại A là:
( )
y 3 x 3 y 3x 9= =
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình: 1đ
3 2 3 2
1 1
x x m 1 0 x x m 1
3 3
+ + = =
Xét hàm số
3 2

1
y x x
3
=
có đồ thị (C) và hàm số
y m 1=
có đồ thị là đ-
ờng thẳng (d) song song với trục Ox, khi đó số giao điểm của (C) và (d) là
số nghiệm của phơng trình
3 2
1
x x m 1 0
3
+ + =
+)
4 1
m 1 m
3 3
m 1 0 m 1

< <



> >

thì (d) cắt (C) tại 1 điểm, suy ra phơng trình
có một nghiệm
+)
4 1

m 1 m
3 3
m 1 0 m 1

= =



= =

thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt, suy ra
phơng trình có hai nghiệm phân biệt
+)
4 1
m 1 0 m 1
3 3
< < < <
thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt, suy ra
phơng trình có ba nghiệm phân biệt
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2 :
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3 2
y x 3x 9x 2= + +
trên đoạn
[ ]
2;2

1đ
Ta có
2
y' 3x 6x 9= +
0,25
x 1
y' 0
x 3 (loai)
=

=

=

0,25
( )
y 2 24 =
;
( )
y 2 6=
;
( )
y 1 3=
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên
[ ]
2;2
là 24
0,25
Câu 3: Giải các phơng trình sau 2,5đ

a)
2 x 1 x
3 9.3 6 0
+
+ =
1,25đ
2x 1 x 2x x 2x x
3 9.3 6 0 3.3 9.3 6 0 3 3.3 2 0
+
+ = + = + =
0,25
Đặt
( )
x 2x 2
t 3 t 0 3 t= > =
phơng trình ẩn t:
2
t 3t 2 0 + =
0,25
t 1
t 2
=



=

0,25
x
x

3
x 0
3 1
x log 2
3 2
=
=




=
=


0,5

b)
x x 1
2 2
log ( 2 1 ).log ( 2 2 ) 2
+
+ + =
1,25đ
x x
x x
2 2
2 2
log (2 1).log 2(2 1) 2
log (2 1). 1 log (2 1) 2

+ + =

+ + + =

0,25
Đặt
x
2
log (2 1) t+ =
phơng trình ẩn t:
( )
t 1 t 2+ =
2
t t 2 0 + =
t 1
t 2
=



=

0,25
0,25
( )
( )
x
x
2
x

x
2
x
x
x
2 1 2
log 2 1 1
1
2 1
log 2 1 2
4
2 1
2 1 x 0
3
2 (v
4
ô nghiệm)

+ =

+ =





+ =
+ =

=

= =

=


KL : Phơng trình có một nghiệm
x 0=
0,25
0,25
Câu 4 3đ
0,25
a) Theo giả thiết ABCD là hình vuông nên
2 2 2 2
AC AB BC 2 SA= + = + = =a a a
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và đờng cao
SA là:
( )
2 3
ABCD
1 1 2
V S .SA . 2
3 3 3
= = =a a a
0,25
0,5
b) Theo giả thiết

( )
SA ABCD SA AC SAC
vuông tại A
Vậy khi đờng gấp khúc SCA quay quanh SA sẽ tạo ra khối nón có chiều
cao
SA 2= a
, bán kính đáy
AC 2= a
và độ dài đờng sinh là
( ) ( )
2 2
2 2
SC AC SA 2= + = + =a 2 a 2 a

Vậy diện tích xung quanh của khối nón là:
xq
S .AC.SC . 2.2 2 2= = =
2
a a a
Và thể tích của khối nón là:
2
1 1
V .AC .SA
3 3
= =
3
a
0,25
0,5
0,25

0,25
A
D
C
B
S
a