Giải đề thi Đại học Môn Toán Khối A năm 2013
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (374.14 KB, 18 trang )
Ngêi thùc hiÖn: lª hång ®øc
§T: 0936546689
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
Bài 1: Bài toán liên quan tới biểu thức chứa căn bậc hai.
CẤU TRÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
1. Tính giá trị của biểu thức.
2. Rút gọn biểu thức.
3. Tìm giá trị x thoả mãn điều kiện K.
Bài 5: Bất đẳng thức.
Bài 4: Đường tròn và các bài toán liên quan.
Bài 3: Bao gồm:
* Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
* Phương trình bậc hai và định lí Vi-ét.
* Tương giao của đường thẳng với parabol.
* Góc với đường tròn, tiếp tuyến.
* Quĩ tích điểm.
* Tứ giác nội tiếp.
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 2 (2,0 điểm): (Giải bài toán bằng cách lập phương trình): Quãng
đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến
B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc
lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A
là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.
Bài 1 (2,0 điểm): Với x > 0, cho hai biểu thức
+ − +
= = +
+
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – HÀ NỘI
Năm học: 2013 – 2014
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
2. Rút gọn biểu thức B.
>
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 3 (2,0 điểm):
1) Giải hệ phương trình:
+ + + =
+ − + =
2) Cho parabol (P) và đường thẳng (d):
= = − + +
a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P).
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành
độ x
1
, x
2
sao cho x
1
− x
2
= 2.
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 4 (2,0 điểm): Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ
hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một
đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B và C (AB < AC,
d không đi qua tâm O).
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
2) Chứng minh AN
2
= AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi
AB = 4 cm, AN = 6 cm.
3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn
(O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC.
4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K.
Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và
thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 5 (2,0 điểm): Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện:
a + b + c + ab + bc + ca = 6abc,
chứng minh:
+ + ≥
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 1 (2,0 điểm): Với x > 0, cho hai biểu thức
+ − +
= = +
+
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
2. Rút gọn biểu thức B.
>
Hướng dẫn
1. Vì A là biểu thức tối giản nên chỉ cần thay trực tiếp x = 64 vào A.
2. Các phân thức trong B đều tối giản nên cách duy nhất là quy đồng
mẫu số.
3. Thiết lập bất đẳng thức từ giả thiết cùng kết quả câu 2).
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 1 (2,0 điểm): Với x > 0, cho hai biểu thức
+ − +
= = +
+
Giải
1. Với x = 64 ta có:
+
=
+
=
=
2. Ta biến đổi:
( ) ( ) ( )
( )
+ − + +
=
+
( )
+
=
+
+
=
+
( )
( )
+
=
+
+
=
+
3. Với x > 0, ta có:
>
+ +
⇔ >
+
+
⇔ >
⇔ + >
⇔ <
⇔ x < 4.
Vậy, với 0 < x < 4 thoả mãn
điều kiện đầu bài.
Ho¹t ®éng:Thu gọn các biểu thức sau:
+
= + ≤ ≠
÷
+
+ −
( ) ( )
= + + − − − + + −
Ho¹t ®éng: êu cách rút gọn
khác.
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 2 (2,0 điểm): (Giải bài toán bằng cách lập phương trình): Quãng
đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến
B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc
lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A
là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.
Hướng dẫn
Lựa chọn ẩn x(km/h) là vận tốc đi từ A đến B.
GT: Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ.
Thiết lập phương trình tổng số thời gian
Cần chuyển đổi 30 phút thành giờ.
+
+
= 5.
+
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 2 (2,0 điểm): (Giải bài toán bằng cách lập phương trình): Quãng
đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến
B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc
lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A
là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.
Giải
Đổi 30 phút
!"#
=
Đặt x (km/h) là vận tốc đi từ A đến B.
Vận tốc đi từ B về A là x + 9 (km/h).
Do giả thiết ta có:
+ + =
+
⇔ + =
+
⇔ + =
+
⇔ 20(x + 9) + 20x = x(x + 9)
⇔ x
2
− 31x − 180 = 0
$%&"
=
⇔
= −
Vậy, vận tốc đi từ A đến B là 36km/h.
Ho¹t ®éng:Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến B với vận tốc 40km/h.
Sau đó 1giờ 30 phút, một chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A để đi
đến tỉnh B với vận tốc 60km/h. Hai xe gặp nhau khi chúng đã đi được
một nửa quãng đường AB. Tính quãng đường AB.
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 3 (2,0 điểm):
1) Giải hệ phương trình:
+ + + =
+ − + =
A
B
+ =
− =
+ =
⇔
− =
=
⇔
− =
=
⇔
= −
+ =
⇔
+ = −
=
⇔
= −
Giải
Hệ phương trình tương đương với:
+ =
− =
+ =
⇔
− =
=
⇔
− =
=
⇔
− =
=
⇔
= −
Vậy hệ pt có nghiệm là: (x; y) = (1; −1).
Ho¹t ®éng:Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
− =
+ = −
2 1
2
x y
b. .
6 2
1
x y
+ =
− =
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 3.2) Cho parabol (P) và đường thẳng (d):
= = − + +
a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P).
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành
độ x
1
, x
2
sao cho x
1
− x
2
= 2.
Hướng dẫn
Vì cả hai câu hỏi đề liên quan tới giao điểm của hai đồ thị nên ta thiết lập
ngay phương trình hoành độ.
a. Thay m = 1 vào phương trình hoành độ.
b. Chia câu hỏi thành các phần :
* Thiết lập điều kiện để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
* Hệ thức Vi − ét cho các hoành độ x
1
, x
2
.
* Giải biểu thức điều kiện.
= − + +
⇔ − + − − =
(*)
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 3.2) Cho parabol (P) và đường thẳng (d):
= = − + +
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
= − + +
⇔ − + − − =
(*)
a) Với m = 1, phương trình (*) có dạng:
− − =
= −
⇔
=
* Với x = −1 ta được
− = − =
'( ) *
−
÷
* Với x = 3 ta được
= =
'( ) *
÷
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 3.2) Cho parabol (P) và đường thẳng (d):
= = − + +
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
= − + +
⇔ − + − − =
(*)
b. Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
phương trình
(*) phải có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ > 0
( )
⇔ − − − >
⇔ + >
⇔ > −
Ta có hệ thức Vi−ét:
+ =
= − −
⇔ (x
1
− x
2
)
2
= 4
⇔ + − =
⇔ (x
1
+ x
2
)
2
− 4x
1
x
2
= 4
⇔ (2m)
2
− 4(m
2
− 2m − 2) = 4
⇔ 8m = −4
+,%- ./
⇔ = −
x
1
− x
2
= 2
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 3.2) Cho parabol (P) và đường thẳng (d):
= = − + +
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
= − + +
⇔ − + − − =
(*)
b. Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
phương trình
(*) phải có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ > 0
( )
⇔ − − − >
⇔ + >
⇔ > −
Cách giả khác
2 = x
1
− x
2
0
∆
=
= +
⇔ + =
⇔ 2m + 2 = 1
⇔ 2m = −1
+,%- ./
⇔ = −
Ho¹t ®éng:Cho phương trình:
1
− + + =
a) Định m để phương trình (*) có nghiệm
=
b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa điều kiện:
− = −
Ho¹t ®éng:Cho parabol (P) và đường thẳng (d):
Xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P).
= = − +
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 4: Vẽ hình
Ho¹t ®éng:Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp
đường tròn (O; R). (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp
tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với
AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC
tại F, cắt AC tại I.
1. Chứng minh rằng MBC = BAC. Từ đó suy ra MBIC là tứ giác
nội tiếp.
2. Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE.Đường thẳng OI cắt (O) tại P
và Q (P thuộc cung nhỏ AB).
3. Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm
P, T, M thẳng hàng.
4. Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện
tích lớn nhất.
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 5 (2,0 điểm): Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện:
a + b + c + ab + bc + ca = 6abc,
chứng minh:
+ + ≥
Hướng dẫn
* Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân thức.
Định hướng chuyển biểu thức điều kiện về dạng phân thức
+ + + + + =
* Các nhân tử trong bất đẳng thức cần chứng minh có dạng bậc hai đơn.
=
, tương tự với
=
≤ +
÷
, tương tự với
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên sẽ nhận được bất đẳng thức cần
chứng minh.
( )
≤ +
≤ +
÷
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN
Bài 5 (2,0 điểm): Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện:
a + b + c + ab + bc + ca = 6abc,
chứng minh:
+ + ≥
Giải
Từ giả thiết đã cho ta có:
+ + + + + =
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có biến đổi:
≤ +
÷
≤ +
÷
≤ +
÷
≤ +
÷
≤ +
÷
≤ +
÷
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
≤ + + +
2
⇔ + + ≥
+ + + + + =
= =
+ =
⇔
= =
⇔ a = b = c = 1.
Dấu "=" xảy ra khi:
Ho¹t ®éng:3,%
/
$/'456/!7"+8,
/
9
3,:/!"/,
(a
1
+ a
2
)(a
2
+ a
3
)…(a
n-1
+ a
n
)(a
n
+ a
1
) ≥ 2
n
.
Bµi gi¶ng luyÖn thi
to¸n THCS
T¸c gi¶: nhãm cù m«n
BÀI GIẢNG CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN – TOÁN 10
