đề HKII toán 11 ThptTrP 2013

Khi x
2≠
Khi x = 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012 – 2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
Bài 1: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:
a.
( )
12
2)3(
lim
3
2
+
−+
n
nnn
b.
(
)
1224lim
2
−++
−∞→
xxx
x

Bài 2: (1 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x
0
= 2:





−
−
−
=
mm
x
xx
xf
2
2
2
2
)(
Bài 3: (1 điểm) Chứng minh phương trình (m
2
+ 1)x
3
– m
2
x – 4x + 1 = 0 luôn có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 4: (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.

5
2
3
3
1
26
+−+−=
x
xxxy
b.
( )
xy 23sin
2
−=
Bài 5: (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x
x
y
−
+
=
1
13
biết tiếp tuyến có hệ số
góc bằng 4.
Bài 6: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
(ABCD), SA =
6 / 2a
.
a. Chứng minh

BD SC⊥

b. Tính góc giữa (SBD) và (ABCD)
c. G là trọng tâm tam giác SBC, tính AG.
Hết
Khi x
2≠
Khi x = 2
Trường THPT Trần Phú
Tổ Toán - Tin
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2012 – 2013
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
NỘI DUNG ĐIỂM
Bài 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
( )
( )
2
1
/12
1/2)/31(
lim
12
2)3(
lim
33
2
−
=

+
−+
=
+
−+
n
nn
n
nnn
0.5x2
b)
(
)








−
−+
=−++
−∞→−∞→
1
224
2
lim1224lim
2

2
xxx
x
xxx
xx

2
3
1
2/24
2
lim1
2/24
2
lim −=






−
−+−
=







−
−+−
=
−∞→−∞→
xxxx
x
xx
0.25x4
Bài 2: Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x
0
= 2:





−
−
−
=
mm
x
xx
xf
2
2
2
2
)(
2lim

2
)2(
lim
2
2
lim
22
2
2
==
−
−
=
−
−
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx
0,25
f(2) = m
2
– m 0.25
Hàm số sau liên tục tại điểm x
0
= 2
)2()(lim

2
fxf
x
=⇔
→
0,25
 m
2
– m = 2  m = – 1 hoặc m = 2 0.25
Bài 3: Chứng minh phương trình (m
2
+ 1)x
3
– m
2
x – 4x + 1 = 0 luôn có 3 nghiệm phân biệt.
f(x) = (m
2
+ 1)x
3
– m
2
x – 4x + 1 là hàm số liên tục trên R => f(x) liên tục trên mọi [a; b]
⊂
R 0.25






−=
=
2)1(
1)0(
f
f
=> f(x) = 0 có nghiệm thuộc (0; 1) 0.25
*
( )
0)(|0lim <<∃⇒−∞=
−∞→
afaxf
x
*





<
=
0)(
1)0(
af
f
=> f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; 0)
0.25
*
( )
0)(|1lim >>∃⇒+∞=

+∞→
bfbxf
x
*





>
−=
0)(
2)1(
bf
f
=> f(x) = 0 có nghiệm thuộc (1; b)
* Vậy phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
0.25
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
5
2
3
3
1
26
+−+−=
x
xxxy
=>

2
5
2
2
1
62'
x
x
xxy ++−=
1.0
b.
( )
xy 23sin
2
−=
0.25
f(x) liên tục trên [0; 1]
f(x) liên tục trên [a; 0]
f(x) liên tục trên [1; b]
)64sin(2
)23cos().23sin(4
)'23).(23cos().23sin(2
)]'23).[sin(23sin(2'
−=
−−−=
−−−=
−−=
x
xx
xxx

xxy
0.25
0.25
0.25
Bài 5: Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x
x
y
−
+
=
1
13
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4.
* D = R \ {1}
* f’(x) = 4/(1-x)
2
0.25
Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm, có: f’(x
0
) = 4  x
0
= 0 hoặc x
0
= 2
0.25
• Tại x
0

= 0: y
0
= 1; f’(x
0
) = 4. Phương trình tiếp tuyến: y – 1 = 4(x – 0)  y = 4x + 1
0.25
• Tại x
0
= 2: y
0
= -7; f’(x
0
) = 4. Phương trình tiếp tuyến: y +7 = 4(x – 2)  y = 4x – 15
0.25
Vậy phương trình tiếp tuyến cần viết là: y = 4x + 1 và y = 4x – 15
Bài 6:
G
M
O
C
A
B
D
S
0.5
a. *
( )SA ABCD SA BD⊥ ⇒ ⊥

* Có:
( )

BD SA
BD SAC BD SC
BD AC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

0.25x4
b. * Có
( ) ( )SBD ABCD BD
SO BD
AO BD
∩ =


⊥ ⇒


⊥

góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc
SOA
α
∧
=
0.5
* Xét tam giác SAO vuông tại A, có:
6 / 2

tan 3
2 / 2
SA a
AO
a
α
= = =
0
60
α
⇒ =
0.25
0.25
c. Có
1 1 1
2
3 3 3
AG AS AB AC AS AB AB AD AS AB AD
→ → → → → → → → → → →
     
= + + = + + + = + +
 ÷  ÷  ÷
     
0.25
2
2 2 2 2
1 3 13 26
( 4 )
9 2 18 6
a a

AG a a a AG⇒ = + + = ⇒ =
0.25
Lưu ý: Học sinh làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.