Đề thi HKII. Toán 11-NC (có đáp án kèm theo)

Trường THPT Chuyên ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP 11 NÂNG CAO
Tổ Toán – Tin Năm học : 2008 -2009
Môn : Toán
Thời gian : 90 phút
Họ và tên:……………………………………Lớp: …………………...
Câu 1:
a) Tìm 4 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết rằng tổng của chúng là 10 và
tổng bình phương của chúng là 70
b) Cho a, b là hai số thực dương. Giữa các số
2
a
b
và
2
b
a
hãy đặt thêm 5 số nữa để
tạo thành 1 cấp số nhân.
Câu 2:
Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2 3
lim
4 2
x
x
x
→+∞
+
+

b)
3
0
tan sin
lim
x
x x
x
→
−
Câu 3:
Tìm a để
2
4
2
( )
2
2
x
f x
x

−
≠

=
−


=


NÕu x
a NÕu x
Liên tục với mọi
x∈¡
Câu 4:
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)
5 4 2
sin 2 os ( 3 2)y x c x x= − − + b)
3
cot ( sin 2 )y x=
Câu 5:
Cho hàm số
3 2
6 9 3y x x x= − + −
viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp
sau:
a) Tiếp điểm có hoành độ x = 1
b) Tiếp tuyến đi qua điểm A(5;17)
Câu 6:
(22)
Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau.
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với CB.
b) Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho
,MA kMB ND k NB= =
uuur uuuur uuur uuur
. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC
ĐỀ 2

ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM
ĐỀ 2
Câu Ý Nội dung Điểm
1
a
Gọi 4 số hạng cần tìm là:
3 3
; ; ;
2 2 2 2
d d d d
x x x x− − + +
(d – công sai
của cấp số cộng)
Ta có:
2 2 2 2
3 3
10
2 2 2 2
3 3
70
2 2 2 2
d d d d
x x x x
d d d d
x x x x

− + − + + + + =




       

− + − + + + + =
 ÷  ÷  ÷  ÷

       

Giải hệ ta có:
5
2
x=
;
3d =±
Vậy 4 số hạng là: -2; 1; 4; 7 hoặc: 7; 4; 1; -2
(HS có thể gọi 4 số hạng là x, x+d, x+2d, x+3d rồi giải hệ)
0,75
b
Cho a, b là hai số thực dương. Giữa các số
2
a
b
và
2
b
a
hãy đặt
thêm 5 số nữa để tạo thành 1 cấp số nhân.
Ta có:
1 7
2 2

;
a b
u u
b a
= =
. Gọi q là công bội, ta có:
3
6 6
2 2 3
.
b a b b
q q q
a b a a
= ⇒ = ⇒ = ±
Vậy có 2 cấp số nhân là:
2 2
1 1 1
; ; ; ; ; ;
a a b b
b b a a
b b ab a a
và
2 2
1 1 1
; ; ; ; ; ;
a a b b
b b a a
b b ab a a
− − −
0,75

2
a
2
2 2
3 3
2 2
2 3 2
lim lim lim
2 2
4 2 4
(4 ) 4
x x x
x
x
x x
x
x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
+ +
+
= = =
+
+ +
0,75
b
2
3 3 2
0 0 0
sin

tan sin sin .(1 osx) 1 1 sinx 1
2
lim lim lim
. os 2 osx x 2
2
x x x
x
x x x c
x
x x c x c
→ → →
 
 ÷
− −
= = =
 ÷
 ÷
 
0,75
3
2
4
2
( )
2
2
x
f x
x


−
≠

=
−


=

NÕu x
a NÕu x
Hàm số đã cho liên tục với mọi
2x≠
. Để hàm số liên tục trên R
thì hàm số phải liên tục tại x = 2. Tức là:
2
lim ( ) (2)
x
f x f
→
=
Ta có:
2
2 2 2
4
lim ( ) lim lim( 2) 4
2
x x x
x
f x x

x
→ → →
−
= = + =
−
1
(2)f a=
a = 4⇒
4
5 4 2
'
5 4 2
5 4 2
4 2 2
5 4 2
sin 2 os ( 3 2)
sin 2 os ( 3 2)
'
2 sin 2 os ( 3 2)
10 . os2x.sin 2 4(2 3)sin( 3 2) os( 3 2)
2 sin 2 os ( 3 2)
y x c x x
x c x x
y
x c x x
x c x x x x c x x
x c x x
= − − +
 
− − +

 
⇒ =
− − +
+ − − + − +
=
− − +
0,75
3
2
'
2
2
2 2
2 2
cot ( sin 2 )
( sin 2 )'cot ( sin 2 )
' 3 cot( sin 2 ) .cot ( sin 2 )
sin ( sin 2 )
(sin 2 )'cot ( sin 2 ) os2x cot ( sin 2 )
2 sin 2 .sin ( sin 2 ) sin 2 .sin ( sin 2 )
y x
x x
y x x
x
x x c x
x x x x
=
 
⇒ = = −
 

= − = −
0,75
5
2
' 3 12 9
'(1) 0
(1) 1
y x x
y
y
= − +
⇒ =
=
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
1y =
0,5
Gọi
0 0
( ; )M x y
là tiếp điểm. Tiếp tuyến tại M là:
0 0 0
'( )( )y f x x x y= − +
3 2
0 0 0 0 0 0
(3 12 9)( ) ( 6 9 3)y x x x x x x x⇔ = − + − + − + −
Vì tiếo tuyến đi qua A(5;17) nên:
3 2
0 0 0 0 0 0
2
0 0

0
0
17 (3 12 9)(5 ) ( 6 9 3)
( 5) (2 1) 0
5
1
2
x x x x x x
x x
x
x
= − + − + − + −
⇔ − − =
=


⇔

=

Với
0
5x =
. Ta có tiếp tuyến:
24 103y x= −
Với
0
1
2
x =

. Ta có tiếp tuyến:
15 7
4 4
y x= −
1
6 a Gọi I là trung điểm của BC. A
Khi đó
,AI BC DI BC⊥ ⊥
Xét:

. ( )
. .
0
BC AD BC AI ID
BC AI BC ID
= +
= +
=
uuur uuur uuur uur uur
uuuruuur uuur uur

Do đó:
BC AD⊥
B
D
I
C
1,5
N
M

b
Vì
MA kMB
ND k ND

=


=


uuur uuur
uuur uuur
Nên MN//AD
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng góc giữa hai
đường thẳng AD và BC
Theo chứng minh trên thì
AD BC
⊥
, nên góc giữa MN và BC
bẳng 90
0
1,5